Знания-Онтологии-Теории (ЗОНТ-09)

Знания-Онтологии-Теории (ЗОНТ-09)
Адаптации расстояний и мер
опровержимости на многозначных
высказываниях экспертов
А. А. Викентьев1, Р.А. Викентьев2
1,2
Институт Математики им.Академика С.Л. Соболева СО РАН, г. Новосибирск, Россия
vikent@math.nsc.ru, ruslan.vikentiev@gmail.com
Аннотация. В этой статье рассматриваются высказывания экспертов как
формулы n-значной логики. Используя методы математической логики и
соотвествующей теории моделей, вводятся метрики на формулах и меры
опровержимости формул. Изучаются свойства введенных метрик и мер
опровержимости (информативности).
Ключевые слова: распознавание образов, метрики, меры опровержимости,
кластеризация.
1 Введение
В настоящее время появляется большой интерес к построению решающих функций на основе
анализа экспертной информации, заданной в виде вероятностных логических высказываний
нескольких экспертов, реализации процессов адаптации и согласования высказываний [1-9]. В
данной работе предложено записывать высказывания экспертов в виде формул многозначной логики
Лукасевича [3]. Предлагаемый подход расширяет предыдущий случай n  3 . Значения истинности
формул можно рассматривать как их возможные вероятности. Здесь рассмотрим случай для любого
конечного n. Не все ранее доказанные результаты переносятся на общую ситуацию. Число n можно
рассматривать как параметр при адаптации.
2 Теоретические проблемы
2.1 Постановка задачи
Ясно, что различные высказывания экспертов (и соответствующие им формулы) несут в себе
разное количество информации, а значит, возникает вопрос о ранжировании высказываний экспертов
и сравнении их по информативности ( меры опровержимости). Для решения этих задач в работе будут
введены и доказаны свойства расстояния между двумя прозвольными n-значными формулами и
подробно рассмотрена мера опровержимости рассматриваемых высказываний.
2.2 Предварительные сведения из многозначной логики
Пусть p, q, r с индексами или без них суть пропозициональные переменные;
связки, и (,) – вспомогательные символы. Определим понятие формулы.
p, q, r, … - формулы; Если А и В – формулы, то
A и A  B
 ,  суть логические
- формулы;
Никакие другие конечные последовательности исходных символов, кроме тех, которые построены в
силу пунктов (1)-(2), не являются формулами.
Посредствам исходных связок определяются другие логические связки:
p  q  ( p  q)  q
(дизъюнкция),
p  q  (p  q)
(конъюнкция),
p  q  ( p  q)  (q  p)
(эквивалентность).
Матрица вида M n  Vn , , , {1}  называется n-значной матрицей Лукасевича ( n  N , n  2 ),
L
1
2
n2
,
,...,
,1} ;  есть унарная и  бинарная операция импликации
n 1 n 1
n 1
соответственно, определенные на множестве V n следующим образом:
где Vn  {0,
x  1  x,
x  y  min( 1,1  x  y ). Операции дизъюнкции и конъюнкции вводятся так по
определению: x  y  ( x  y )  y  max( x; y ), x  y  (x  y )  min( x; y ).
2.3 Определение расстояния между высказываниями экспертов
n
2.3.1 Определение Множество элементарных высказываний S () , используемых при


написании формул многозначной логики , назовем носителем формулы .
n
2.3.2 Определение Назовем носителем совокупности знаний S () , объединение носителей
S n ()   S n ()
формул, входящих в
 , т.е.

.
2.3.3 Определение Назовем множеством возможных значений носителя совокупности
Q n ()  { k |   S (), k  1,.., n  1}
знаний
n 1
.
n
2.3.4 Определение Моделью М назовем любое подмножество Q () такое, что М не содержит
 k
 l
k  l   Q() .Множество всех моделей будем обозначать
n

1
n 1
одновременно
и
P n (S ()) . Для упрощения записи, верхний индекс у формул, означающий значность высказываний,
будем опускать.
n
|S (  )|
2.3.5 Лемма ( о мощности P (S ()) ). Общее число моделей равно | P(S ()) | n
.
Доказательство. Доказываем лемму по индукции.
Пусть S ()  { A} ; | S () | 1 . Тогда P ( S )  {{ A},{ An  2 },..,{ A
n 1
верно для | S () | k  1 ;
1
n 1
} {Ø}}. | P ( S ()) | n . Пусть
S ()  { A , A ,.., A } ; P( S ())  n |S (  )| .
Докажем для | S () | k , т.е.
1
k 1
2
S ()  { A1 , A2 ,... Ak } , что
P( S ())  P( S ()) 
 {M  { A1k } | M  P( S ())}  {M  { Ank 2 } | M  P( S ())  ..  {M  { Ak1 } |
M  P( S ())}} . P( S ())  P( S ()) 
n 1
n 1
 {M  { A1k } | M  P( S ())}  {M  { Ank 2 } | M  P( S ())  ..  {M { Ak1 } | M  P( S ())}}
n 1
n 1
что очевидно. Докажем обратное включение. Пусть M  P( S ()) , тогда если Al  M ,
k
n 1 n  2
,
,..,0} , тогда M \ Alk  P( S ()) ;
n 1 n 1
Следовательно, P( S ( ))  P( S ()) 
l {
если
Alk  M ,
то
где
M  P( S ()) .
 {M  { Ak } | M  P( S ())}  {M  { Ank 2 } | M  P( S ())  ..  {M  { Ak1 } |
n 1
M  P( S ())}} . Значит,
n 1
'
| P(S ()) || P(S ()) |  | P(S ()) | ... | P(S ()) | n | P(S ()) | n * n|S ()|  n|S ()|1  n|S ( )|
что и требовалось доказать.
k
2.3.6 Определение Элементарная формула A принимает на модели M значение n  1 ,
A k M
A k  A k M
n 1
k =1, .., n  1 , если n 1
, т.е. M |= n 1
.
2.3.7 Определение Элементарная формула A принимает на модели M значение 0, если
A k  M k  1,.., n  1 .
n 1
Далее, используя определенные выше формулы, полагаем:
1) M | ( A & B)
2) M | ( A  B)
3) M | (A)
k
n 1
 ( M | A
k
n 1
k
n 1
 ( M | A
p и
n 1
p
n 1
M | B
q
n 1
и M | B
q
n 1
)
) max( p, q)  k
 M | An 1 k
n 1
Во всех остальных случаях формулы принимают значения 0.
Введем обозначения: Mod S (  ) ( A)
k
n 1
 {M | M  P( S ()), M | A k } ,
n 1
Mod S (  ) ( A0 )  {M | M  P( S ()), M
A
k
n 1
, k  1,..., n  1} .
Сформулируем важные для дальнейшего теоретико-модельные свойства.
2.3.8 Лемма
1) Mod S (  ) (( A & B )
k
n 1
)=
n 1
=
 (( Mod
S ()
( A)
p k
2) Mod S (  ) (( A  B)

k
n 1
n 1
 Mod S () ( A) k
n 1
 Mod S (  ) ( B)
k
n 1
)  ( Mod S (  ) ( A)
k
n 1
 Mod S (  ) ( B)
p
n 1
);
)
k
3) Mod S (  ) (A)
k 1
k
n 1
 (( Mod S () ( A)
p 0
4)
p
n 1
p
n 1
 Mod S (  ) ( B)
k
n 1
)  ( Mod S ( ) ( A)
 Mod S (  ) ( A) n 1 k ;
n 1
 P(S ()) / Mod S ( ) (A)1
k
n 1
 Mod S (  ) ( B)
p
n 1
;
S ()  S () соответствует совокупность
, k  1,.., n  1 моделей из P( S ()) , на которых  принимает значения
Таким образом, любой формуле  такой, что
Mod S (  ) ()
k
n 1
k
, k  1,.., n  1 соответственно.
n 1
2.3.9 Определение Назовем формулы  и  эквивалентными (далее коротко    ),
n 1
 Mod S () () k
n 1
  Mod S ( ) ()
k
k 1
n 1
n 1 , т.е. они имеют одно и тоже множество моделей.
если k 1
Это будет отношением эквивалентности.
2.3.10 Определение Расстоянием между формулами  и  (такое, что S ()  S ()  S () )
на множестве P( S ()) назовем (нормированную симметрическую разность в многозначном случае,
как естественное обобщение расстояния для (классической ) 2-значной логики) величину
n 1
|  Mod S (  ) (
 S (  ) (, ) 
k 1
n 1
k
n 1
&  0 ) |  |  Mod S (  ) ( 0 & 
k 1
n |S (  )|
k
n 1
)|
.
Замечание. Очевидно, что n-1 в формуле можно варьировать: заменить его на подходящее разумное с
точки зрения экспертов число n-s, а формулируемые далее свойства расстояний и их доказательства
сильно не изменятся и останутся верными. Аналогичное замечание справедливо и для определения
меры опровержимости, как и соответствующих свойств.
2.4 Свойства расстояния
2.4.1 Лемма (О свойствах расстояния  S ( ) ). Для любых формул ,  таких, что
S ()  S ()  S () справедливы следующие утверждения:
1) 0   S (  ) (,  )  1 ;
2)  S (  ) (,  ) =  S (  ) (, ) ;
3)  S (  ) (,  ) =0     ;
4)  S (  ) (,  ) =1 
n 1 n 1
l 1 k 1
( Mod ( )
k
n 1
 Mod ( )
l
n 1
)  P( S ()) , где  -- прямое объединение;
5)  S (  ) (,  )   S (  ) (, ) +  S (  ) (,  ) ;
6) Если
1   2 , то  S ( ) (1 , ) =  S () (2 , ) .
Доказательство проводим для каждого пункта.
1) Очевидно, что 0   S (  ) (,  )  1 , причем верхняя и нижняя границы достижимы. Приведем
примеры формул, на которых они достигаются:
-  S (  ) (, )  0 ;
- Пусть  - формула, не принимающая значение
принимает значение
k
, k  1,.., n  2 , тогда  - так же не
n 1
k
, k  1,.., n  2 . Тогда  S (  ) (, )  1 .
n 1
2) Данное свойство очевидно из определения расстояния и симметричности конъюнкции и
дизъюнкции.
3) Докажем прямую импликацию.
 S (  ) (, )  0 
n 1
 (| Mod S () () k
k 1
|  | Mod S ( ) ()
n 1
n 1
 (| Mod S () ()
k 1
|  | Mod S () ()
k
n 1
n 1
По определению
 (| Mod S () ()
k 1
n 1
n 1
n 1
k 1
k
n 1
p 1 q 1
n 1 n 1
k
n 1
k
n 1
| | Mod S ( ) (
k 1 s 0
|  | Mod S (  ) ()
s
n 1
&
k
n 1
k
n 1
p
n 1
&
&
&
s
n 1
q
n 1
) | =0,
)|;
(1)
) |;
n 1 n 1
k
n 1
q
n 1
)|;
|)  2 | Mod S (  ) (
k 1 s 1
k
n 1
&
s
n 1
)|
n 1
k
n 1
&  0 ) |   | Mod S (  ) (0 & 
k 1
k
n 1
)|.
n 1
Если из (2) вычесть (1), то получается
 (| Mod S () ( k
k 1
n 1
  | Mod S (  ) (
k 1
k
n 1
 | Mod s () (0 & 
k 1
k
n 1
)|0 
 Mod ()
k 1
n 1
 Mod ()
k 1
n 1
Из (3), (4) получаем
 Mod ()
k 1
(2)
&  0 ) |  | Mod S () (0 & 
n 1
n 1
& 0 ) |  0 
n 1

p
n 1
n 1 n 1
| 2 | Mod S () (
k 1 s 0
  (| Mod S (  ) ()
  | Mod S (  ) (
p 1 q 1
|   | Mod S (  ) (
n 1
k 1
k
n 1
n 1 n 1
 (| Mod S () () k
k 1
n 1 n 1
|)  2 | Mod S ( ) (
) |)  0
n 1
k
n 1
  Mod ()
k 1
,
(3)
k
n 1
n 1
  Mod ()
k
n 1
k 1
n
k
n 1
k
n 1
  Mod s (  ) ()
k 1
k
n 1
k
n 1
.
(4)
   .
Докажем обратное. Если    , то (,  )  0 . По определению    означает, что
n 1
 Mod S () ()
k 1
Mod (
k
n 1
| Mod (
k
n 1
n 1
k
n 1
  Mod S () ()
k 1
n 1
k
n 1
 Mod ()
.
k 1
n 1
k
n 1
  Mod ()
k 1
&  0 )  Ø.
&  0 ) | 0 k  | Mod ( 0 & 
n 1
|  Mod (
 (, ) 
k 1
k
n 1
) | 0 k
n 1
k
n 1
&  0 ) |  |  Mod (
k 1
n |S (  )|
k
n 1
& ) |
 0.
k
n 1

(, )  1 | Mod S () (
4)
n 1
&  0 ) |  |  Mod S () (0 & 
k
n 1
k 1
k
n 1
) | n |S ( )|
(5)
n 1
n |S ( )| |  Mod (
k 1
n 1 n 1
 |  Mod (
p 1 q 1
p
n 1
n 1
&  0 ) |  |  Mod (
k
n 1
k 1
&
q
n 1
& 0 ) | 
) |  | Mod (0 &  0 ) | .
n 1 n 1
Из (4)-(6) получаем, что:
k
n 1
 Mod (
p 1 q 1
p
n 1
&
q
n 1
(6)
) |  | Mod ( 0 &  0 ) | 0 ,
т.е.  и  одновременно не принимают значение 0. Если  принимает значение не 0, то 
n 1 n 1
( Mod ( )
обязательно равно 0, значит,
l 1 k 1
k  1, n  1
и Mod ( )
 Mod ( )
k
n 1
l
n 1
)  P( S ()) . То есть модели Mod ()
l  1, n  1 образуют пересекающие множества, такие что их
l
n 1
объединение заполняет все наше пространство.
5)
n 1
|  Mod (
k 1
(, ) 
n 1
&  0 ) |   Mod ( 0 & 
k
n 1
k 1
n 1
k 1
(, ) 
)|
,
n 1
k
n 1
&  0 ) |  |  Mod ( 0 & 
k 1
k
n 1
)|
n |S (  )|
n 1
|  Mod (
k
n 1
(, ) 
Mod (
& )   (
&  0 ) |  |  Mod ( 0 & 
k 1
k
n 1
)|
n |S (  )|
n 1
k
n 1
l 0
k
n 1
0
l
n 1
)
n 1 n 1
 (, )n |S (  )| |  Mod (
k 1 l 0
k
n 1
n 1 n 1
(, )n|S (  )| |  Mod (
k 1 l 0
k
n 1
n 1 n 1
(, )n |S ( )| |  Mod (
k 1 l 0
k
n 1
n 1 n 1
(, )n |S ( )|   | Mod (
k 1 l 1
n 1
  | Mod (
k
n 1
& 0 & 
& 0 & 
& 0 & 
n 1 n 1
l
n 1
) |  |  Mod (0 & 
k 1 l 0
n 1 n 1
l
n 1
) |  |  Mod (0 & 
k 1 l 0
k
n 1
n 1 n 1
l
n 1
& 0 & 
) |  |  Mod ( 0 & 
k 1 l 0
k
n 1
n 1 n 1
l
n 1
) |  | Mod (0 & 
&  0 &  0 ) |  | Mod (0 & 
k 1
,

k 1 l 1
n 1
k
n 1
,
n 1
k 1
k 1
k
n 1
n |S (  )|
|  Mod (
k
n 1
k
n 1
& 0 ) | ,
k
n 1
k
n 1
&
&
&
l
n 1
l
n 1
&
l
n 1
)| ,
) |,
)|,
l
n 1
)|
n 1 n 1
(, )n |S (  )|   | Mod (
k
n 1
k 1 l 1
n 1
  | Mod (
k 1
k
n 1
k 1 l 1
k 1
k 1 l 1
n 1
k
n 1
& 0 & 
k
n 1
k 1 l 1
k 1
n 1
l
n 1
)|
k
n 1
&
l
n 1
)|
&  0 ) |  (, )  (, )  (, ) ;
n 1
k
n 1
k 1
n 1
k
n 1
&
& 0 ) | ,
) |  | Mod ( 0 & 
&  0 &  0 ) |  | Mod ( 0 & 
 Mod (1 )
k
n 1
n 1 n 1
l
n 1
n 1
k
n 1
1   2 обозначает, что
6)
l
n 1
n 1
n 1 n 1
k 1
n 1 n 1
) |  | Mod ( 0 & 
&  0 &  0 ) |  | Mod (0 & 
(, )n |S (  )|   | Mod (
  | Mod (
& 0 & 
  Mod ( 2 )
k 1
k
n 1

n 1
 Mod ( 1k & 0 )   Mod ( 2k & 0 ) очевидно, что и требовалось доказать.
k 1
k 1
n 1
n 1
2.4.2 Замечание Так как доказательства не используют свойств множества P( S ()) , то
расстояние можно рассматривать на любом подмножестве, если это необходимо или вытекает из
P( S ())
условий конкретной задачи. Введенное расстояние рассматривается на всем множестве
.
Хотелось сделать вычисление более простым и удобным, поскольку носители формул составляют
P( S ())
небольшое подмножество
. Следующая лемма доказывает возможность упрощения
вычисления расстояния в нашей ситуации.
2.4.3 Лемма (о сохранении расстояния при расширении). Для любого S ( 0 ) такого, что
S (1 ) :
S ()  S ()  S ( 0 ) и любого
 S ( 0 ) (, )   S ( 1 ) (, ) .
S ( 0 )  S (1 )
имеет
место
равенство:
Доказательство. Рассмотрим S (1 )  S ( 0 )  {},   S ( 0 ) . При этом
n 1
P(S (1 ))  P( S ( 0 ))  ({M  {
k
n 1
n 1
k 1
n 1
Также
|  Mod S ( 1 ) (
k 1
k
n 1
} | M  P(S ( 0 ))}) и | P(S (1 )) | n | P(S ( 0 )) | .
& ) | n |  Mod S (0 ) (
k 1
k
n 1
&  0 ) | , таким образом,
n



n 1
P( S (1 ))  P( S ( 0 ))  {M  { k } | M  P( S ( 0 ))}
 k 1
1
1
n 


1


n 1
n 1
|  Mod S ( 1 ) (

 S ( 1 ) (, ) 
k 1
n 1
n |  Mod S ( 0 ) (

k 1
n 1
k
n 1
&  0 ) |  |  Mod S ( 1 ) ( 0 & 
k 1
n |S ( 1 )|
k
n 1
)|

n 1
k
n 1
&  0 ) |  n |  Mod S ( 0 ) ( 0 & 
k 1
n  n |S ( 0 )|
1
m
Пусть теперь | S (1 ) \ S ( 0 ) || { A ,..., A } | m  1 . Тогда
k
n 1
)|
  S ( 0 ) (, ) .
 S ( 0 ) (, )   S ( 
1
0 ) { A }
(, )  ...   S ( 
0 ) { A
m
}
(, )   S ( 1 ) (, ) ,
что и требовалось доказать.
3. Мера опровержимости высказываний эксперта в многозначной
логике
3.1 Определение меры опровержимости.
Подход к определению меры опровержимости основан на естественном предположении о том,
что чем больше моделей на которых высказывание принимает значение не равное 1 (true), тем
высказывание легче опровержимо. Поскольку значений не равных 1 у формулы несколько, то
предлагается учитывать их с весами монотонно по этим значениям и для каждого такого значения
истинности нормированными. Перейдем к формальному определению. Мера опровержимости
I S (  ) () для формул из ()  { | S ()  S ()} задается равенством
n2
I S (  ) ()    i
| Mod S (  ) (
i
n 1
)|
n |S (  )|
i 0
,
0   i  1;

n 1

где  i удовлетворяют условиям:  i   n 1i  1 i  0,...,
;
2

 k   i k  i.
3.2 Свойства меры опровержимости
3.2.1 Лемма (о свойствах меры I S ( ) ). Для любых высказываний  ,   ()
1) 0  I S (  ) ()  1;
2) I S (  ) ()  I S (  ) ()  1;
3) I S (  ) ( & )  max{ I S (  ) (), I S (  ) ()} ;
4) I S (  ) (  )  min{ I S (  ) (), I S (  ) ()} ;
5) I S (  ) (  )  I S (  ) ( & )  I S (  ) ()  I S (  ) () .
Доказательство проводится для каждого пункта.
1) Неравенство очевидно, т.к. Mod S (  ) ( i ) попарно не пересекаются, а в объединении дают
n 1
все множество P( S ()) . Свойство 1) доказано.
2) I S (  ) ()  I S (  ) () 
 0
| Mod S (  ) ( 0 ) |
n
|S (  )|
  n 1
| Mod S (  ) (1 ) |
n
| S (  )|
n2
  ( i   n 1i )
| Mod S (  ) (
i 1
n
i
n 1
)|

| S (  )|
| P( S ()) |
1
n |S (  )|
.
3) Распишем подробно I S (  ) ( &  ) :
n2
I S (  ) ( &  )    i
| Mod S (  ) (( & )
i 0
n2
n 1
i 0
k i
   i ( (
| Mod S (  ) (
n
i
n 1
| S (  )|
&
k
n 1
i
n 1
)|

n |S (  )|
) | | Mod S (  ) ( k & 

n
n 1
| S (  )|
i
n 1
| Mod S (  ) (
)|
))   i
n
i
n 1
| S (  )|
&
i
n 1
(3.3)
)|
Распишем подробно I S (  ) () :
n2
I S (  ) ()    i
| Mod S (  ) (
i
n 1
n |S (  )|
| Mod S (  ) ( i & 
)|
n 1
i 0
k i
  i 
n
n 1
|S (  )|
n 1
i 0
k 0
  i 
i 0
n2
n2
k
n 1
)|
| Mod S (  ) (
i
n 1
|S (  )|
n2
i
i 0
k 0
  i 
| Mod S (  ) (
 i
n
n
| Mod S (  ) (
n
&
i
n 1
|S (  )|
&
i
n 1
i
n 1
| S (  )|
k
n 1
&
)|

k
n 1
)|

)|
.
(3.4)
Исходя из двух полученных равенств, вычислим их разность:
| Mod S (  ) (
n  2 n 1
I S (  ) ( & )  I S (  ) ()    i
n
i  0 k i
i
n 1
|S (  )|
&
k
n 1
)|
n  2 n 1
   i
| Mod S (  ) (
n
i  0 k i
i
n 1
|S (  )|
&
k
n 1
)|
=
n2 i
   ( k   i )
| Mod S (  ) (
n
i 0 k 0
i
n 1
|S (  )|
&
k
n 1
)|
n  2 n 1
   i
| Mod S (  ) (
n
ki  0 k i
i
n 1
|S (  )|
&
k
n 1
)|
 0.
Получаем, что I S (  ) ( &  )  I S (  ) () . По симметрии получаем аналогичное неравенство для
 : I S (  ) ( & )  I S (  ) () . Следовательно I S (  ) ( & )  max{ I S (  ) (), I S (  ) ()} . Свойство
3) доказано.
4) Распишем подробно, что такое I S (  ) (  ) :
n2
I S (  ) (   )    i
| Mod S (  ) ((  )
i 0
i

| Mod S (  ) (
n
k 0
k
n 1
|S (  )|
n |S (  )|
& i )|
n 1
i
n 1
)|
n2
i
i 0
k 0
| Mod S (  ) (
i
n 1
|S (  )|
   i (
n2
) 
| Mod S (  ) (
n
i 0
i
n 1
| S (  )|
&
i
n 1
&
k
n 1
)|
n
)|

.
(3.5)
Распишем подробно I S (  ) () :
n2
I S (  ) ()    i
| Mod S (  ) (
i
n 1
n |S (  )|
| Mod S (  ) ( i & 
)|
n 1
i 0
k i
  i 
n 1
k
n 1
n 1
i 0
k 0
  i 
i 0
n2
n2
)|
| Mod S (  ) (
i
n 1
|S (  )|
n2
i
i 0
k 0
  i 
n |S (  )|
| Mod S (  ) (
 i
n
i
n 1
|S (  )|
&
n
| Mod S (  ) (
n
i
n 1
&
i
n 1
| S (  )|
k
n 1
&
)|
k
n 1

)|

)|
.
(3.6)
Исходя из двух полученных равенств, вычислим их разность:
n2
n 1
i 0
k i
I S (  ) ()  I S (  ) (  )    i 
| Mod S (  ) (
n
i
n 1
|S (  )|
&
k
n 1
)|
n2
i
i 0
k 0
  i 
| Mod S (  ) (
n
k
n 1
| S (  )|
&
i
n 1
)|

n 1 k
   i
k 0 k 0
| Mod S (  ) (
n
i
n 1
|S (  )|
&
n2 i
   i
i 0 k 0
k
n 1
)|
n2
i
i 0
k 0
  i  i
| Mod S (  ) (
n
k
n 1
|S (  )|
| Mod S (  ) (
&
n
i
n 1
k
n 1
|S (  )|
&
i
n 1
)|

)|
.
Получили, что I S (  ) (   )  I S (  ) () . По симметрии получим аналогичное неравенство для
 : I S (  ) (  )  I S (  ) () => I S (  ) (  )  min{ I S (  ) (), I S (  ) ()} . Свойство 4) доказано.
5) Из формул (3.2)-(3.6) непосредственно следует формула:
I S (  ) (  )  I S (  ) ( & )  I S (  ) ()  I S (  ) () .
Заметим, что связь меры опровержимости с введенным выше расстоянием не такая простая как
в случаях логических исчислений при n  2 или 3 . Для введения расстояния было рассмотрено
много других вариантов, но для них желаемые свойства, с позиций экспертов, не выполнялись.
Можно выдвинуть гипотезу о том, что в общем случае нет тесной связи между расстоянием и мерой
опровержимости.
В качестве примера рассмотрено дерево событий , используемого для анализа причин
возникновения аварийных ситуаций при автоматизированной заправке емкости. Структура дерева
событий включает одно головное событие (авария, инцидент), которое соединяется с набором
соответствующих нижестоящих событий (ошибок, отказов, неблагоприятных внешних воздействий),
образующих цепи причин (сценарии аварий).
Проанализированы записанные по дереву (отказов) различные сложные высказывания
(формулы) о конкретных отказах заправочной станции и найдены расстояния между различными
формулами и меры их опровержимости при различных n . Результаты вычислений показали
адекватность (согласованность с мнениями экспертов) предлагаемого подхода, количественную
уточненность результатов по сравнению с n  2 и n  3 и быструю стабилизацию вычисляемых
величин с ростом n.
4 Заключение. Предложенные расстояния и мера опровержимости могут быть использованы
для изучении баз знаний, их пополнений, кластеризации знаний такого сорта, и использованы в
различных вопросах при распознавании образов [1, 9].
5 Благодарности Авторы выражают благодарность Новикову Д.В.
за помощь при наборе
версии текста, создание программ и таблиц, и проверку правильности конкретных вычислений
расстояний и мер опровержимости формул на компьютере. Авторы благодарят профессора Лбова
Г.С. за постоянный интерес к этой тематике, а так же и Н. Г. Загоруйко за поддержку и внимание к
исследованиям в этом направлении.
Литература
[1] Лбов Г.С., Старцева Н.Г. Логические решающие функции и вопросы статистической
устойчивости решений. – Новосибирск: Изд-во Ин-та математики им. С. Л. Соболева, 1999.
[2] Загоруйко Н. Г. Прикладные методы анализа данных и знаний. – Новосибирск: Изд-во Ин-та
математики им. С. Л. Соболева, 1999.
[3] Карпенко А.С. Логики Лукасевича и простые числа. – Москва: «Наука», 2000.
[4] Lbov G.S., Gerasimov M.K. Constructing of a Consensus of Several Experts Statements. In: Proc. of XII Int. Conf.
”Knowledge-Dialogue-Solution”, 2006. - P. 193-195.
[5] Lbov G.S., Gerasimov M.K. Interval Prediction Based on Experts’ Statements. In: Proc. of XIII Int. Conf.
”Knowledge-Dialogue-Solution”, 2007. - Vol. 2. - P. 474-478.
[6] Lbov G.S., Gerasimov M.K. Determining of Distance Between Logical Statements in Forecasting Problems. In:
Artificial Intelligence, 2’2004 [in Russian]. Institute of Artificial Intelligence, Ukraine.
[7] Vikent’ev A. Measure of Refutation and Metrics on Statements of Experts (Logical Formulas) in the Models for Some
Theory. In: Int. Journal ”Information Theories & Applications”, 2007. - Vol. 14. - No.1. - P. 92-95.
[8] Викентьев А. А., Новиков Д.В. Расстояние и Информативность на формулах-высказываниях экспертов и
мера опровержимости (информативности) высказываний экспертов на моделях 3-значной логики. ВЕСТНИК
Карагандинского гос. университета, сер. Математическая., N 1(45), Караганда, 2007, с. 8 -- 18.
[9] Кейслер Г., Чэн Ч..Ч.. Теория моделей. - М.: Мир, 1977.