ББК - ННГАСУ
реклама
И.С. Куликов, Б.Б. Лампси
СТАТИКА
СООРУЖЕНИЙ
Учебное пособие
-1-
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
И.С. Куликов, Б.Б. Лампси
СТАТИКА СООРУЖЕНИЙ
Утверждено редакционно-издательским советом
университета в качестве учебного пособия
Нижний Новгород
ННГАСУ
2012
-2-
ББК
Куликов И.С., Лампси Б.Б.
Статика сооружений: Учебное пособие. – Н.Новгород, Нижегород. гос. архитект. строит. ун-т, 2012г. – 94 с.
Сжато и доступно изложены основы строительной механики в рамках, не выходящих за пределы требований ГОС. В популярной форме авторы знакомят с основными понятиями и методами этой дисциплины, необходимыми для изучения статически определимых и статически неопределимых плоских стержневых систем. Рассматривается методика построения эпюр внутренних усилий и определения перемещений.
Изложен метод сил и метод перемещений, даны сведения о методе конечных элементов. Изложение сопровождается примерами, необходимыми для успешного овладения
теорией и приобретения минимальных навыков в решении задач.
Предназначено для студентов направления 521700 - Архитектура, но будет полезно и студентам других специальностей, изучающим основы строительной механики по сокращенной программе. Например – студентам строительного направления,
специализирующимся по профилям «Теплогазоснабжение и вентиляция» или «Водоснабжение и водоотведение».
Илл. 66, библиогр. назв.7.
ББК
ISBN
Куликов И.С., 2012
Лампси Б.Б., 2012
ННГАСУ, 2012
-3-
ПРЕДИСЛОВИЕ
Переход к многоуровневой системе образования проходит в условиях гуманитаризации процесса обучения и создания новых информационновычислительных систем. Это сопровождается значительным сокращением времени, отводимого на изучение механики у студентов традиционных специальностей,
и появлением новых специальностей с одним или двухсеместровым курсом по
этой дисциплине.
К их числу относится и курс основ строительной механики для студентов
направления 521700 «Архитектура», который состоит из трех разделов:
статика твердого тела,
статика деформируемого тела,
статика сооружений.
Отметим, что студенты строительных специальностей изучают эти разделы
механики в соответствующих курсах: теоретической механики, сопротивления
материалов и строительной механики. Поэтому нетрудно понять, что успешное
овладение основами механики в рамках сокращенной программы представляет
непростую задачу, как для лектора, так и для студентов. И первым шагом на пути
её решения является определение целей этого курса. Для студентов-архитекторов
они сформулированы так:
научить анализировать существующие конструктивные решения, понимать работу сооружения в целом и оценивать ту роль, которую играют отдельные
элементы ансамбля, устанавливать функциональную связь между воздействиями,
внутренними усилиями и формой сооружения;
способствовать осознанному, свободному и целенаправленному решению
основной задачи архитектурного проектирования – поиску новых форм и совершенных решений;
ознакомить с основными понятиями и методами строительной механики и
помочь формированию рационального и логического мышления.
Достижение намеченных целей требует тщательной подготовки учебной
программы и её методического обеспечения.
Настоящее пособие является попыткой содействовать решению этой задачи
для третьего раздела курса – статики сооружений. Его содержание не претендует
на полноту и отражает точку зрения авторов на то, каким должен быть начальный
курс этой дисциплины для архитекторов.
В частности, было принято решение ограничиться изучением плоских
стержневых систем, которые в пособии представлены балками, рамами, фермами и
арками. Изложена методика построения эпюр и определения перемещений, рассмотрены метод сил и метод перемещений. Даны понятия о расчете статически
неопределимых систем методом конечных элементов.
Замечания в конце ряда параграфов предназначены для критически настроенных читателей и могут быть оставлены без внимания при первом чтении.
Авторы благодарят студентку факультета архитектуры и градостроительства
С. Смирнову за выполненные для этого пособия рисунки.
-4-
ГЛАВА 1.
ВВЕДЕНИЕ
1.1. Предмет строительной механики и ее задачи
Термин «строительная механика» применяют в широком и узком смысле
этого слова.
В широком смысле – строительная механика это раздел механики, в котором ее выводы и методы применяют для решения задач проектирования,
строительства и эксплуатации сооружений. В этом значении она объединяет
такие науки и дисциплины как:
– теоретическая механика;
– сопротивление материалов;
– теория упругости;
– статика и динамика сооружений;
– металлические и железобетонные конструкции
и многое другое. При этом термин «строительная механика» близок к понятиям
«прикладная» или «техническая механика».
В узком смысле слова строительная механика – это, прежде всего, статика
сооружений, в дальнейшем именно так мы и будем понимать этот термин.
Напомним, что если предметом теоретической механики является абсолютно твердое тело (или система таких тел), а предметом сопромата – деформируемое тело, то предметом строительной механики является система деформируемых тел.
Основная задача строительной механики – проектирование сооружений,
находящихся в определенных условиях с учетом требований прочности, жесткости, устойчивости, надежности, экономичности, эстетики и других ограничений. Для решения этой задачи нужно построить модель сооружения, выделив
основные несущие элементы и определив действующую на них нагрузку. Такая
модель в виде совокупности деформируемых тел, соединенных друг с другом и
с землей определенными связями, и называется расчетной схемой или системой.
В зависимости от геометрических особенностей элементов системы их
делят на три класса: стержневые, тонкостенные и массивы. В общем случае
расчетная схема может включать в себя каждый из этих элементов. Мы ограничимся в дальнейшем рассмотрением плоских стержневых систем.
Примечания:
1. Помимо основной задачи – проектирования в строительной механике, как и в
сопромате, может возникнуть необходимость расчета сооружения, уже находящегося в
эксплуатации. Например – при его реконструкции.
2. Решение основной задачи строительной механики сводится, прежде всего, к определению внутренних усилий. Последующий подбор сечений элементов конструкции выполняется методами сопромата либо, в зависимости от вида материала, – по теории железобетонных, металлических конструкций и т.д.
-5-
1.2. Кинематический анализ сооружений
Прежде чем приступить к расчету модели сооружения, необходимо проверить: способна ли она воспринимать приложенную нагрузку, оставаясь в
равновесии? При этом расчетная схема рассматривается как совокупность не
деформируемых, а абсолютно жестких тел – дисков, и в отдельный класс выделяются системы, элементы которых обладают подвижностью, то есть могут
смещаться относительно друг друга или относительно земли. Такое исследование структуры модели называется ее кинематическим анализом.
Поскольку подвижность системы зависит, очевидно, от вида связей,
соединяющих ее элементы, вернемся к рассмотрению и уточнению этих понятий – уже встречавшихся в теоретической механике.
1.2.1. Связи и их реакции
Напомним, что под связью понимают тело, ограничивающее свободу перемещения выбранного рассматриваемого тела, а реакцией связи называют
силу, с которой связь действует на это тело.
Будем называть связь линейной, если соответствующая ей реакция – сила
и моментной, если соответствующая ей реакция – момент.
Для плоских стержневых систем можно ограничиться рассмотрением
следующих видов связей.
Подвижная опора (рис. 1.1) помимо обозначения по ГОСТу (рис. 1.1, а)
может на схемах изображаться так, как показано на рис. 1.1, б и 1.1, в. Она
соответствует одной линейной связи, а ее реакция перпендикулярна заштрихованной опорной площадке (рис. 1.1, г).
Рис.1.1
Неподвижная опора (рис. 1.2) также допускает на схемах изображения,
отличные от стандартного – на рис. 1.2, а. Очевидно, что она эквивалентна двум
линейным связям (рис. 1.2, в – г).
Рис.1.2
-6-
Жесткое защемление (рис. 1.3, а) исключает не только перемещения закрепленной точки балки, но и ее поворот вокруг этой точки. Оно эквивалентно
двум линейным связям и одной моментной (рис. 1.3, б), либо трем линейным
связям при 0 (рис. 1.3, в).
Рис.1.3
Скользящее защемление (рис. 1.4, а – б) в отличие от жесткого не препятствует смещению закрепленной таким образом точки в одном из направлений и
эквивалентно линейной и моментной связям (рис. 1.4, в) либо двум линейным
при 0 (рис. 1.4, г).
Рис.1.4
Кратный шарнир, соединяющий N дисков, (рис. 1.5, а) эквивалентен (N –
1) простому шарниру (рис. 1.5, б).
Рис.1.5
Примечания:
1. Результаты расчета можно улучшить, если учесть податливость соединений элементов системы.
2. Построение расчетной схемы действующего сооружения может оказаться непростой задачей, соизмеримой по сложности с самим расчетом.
-7-
1.2.2. Степени свободы и статическая определимость системы
Все системы в механике можно разделить на два класса: неизменяемые
системы (НС) и изменяемые системы (ИС).
Определение 1.1. Неизменяемыми или неподвижными будем называть
системы, элементы которых не могут перемещаться относительно друг
друга или относительно земли, если они являются абсолютно твердыми, то
есть недеформируемыми.
Изменяемыми или подвижными будем называть системы, элементы которых могут перемещаться относительно друг друга или относительно земли, оставаясь абсолютно твердыми
НС могут воспринимать любую нагрузку, ИС – только определенные виды нагрузок.
Например, рама на рис. 1.10, а является НС и может воспринимать как горизонтальную, так и вертикальную нагрузку, оставаясь в положении равновесия. А раму на рис. 1.10, б можно загрузить вертикальной нагрузкой, но она не
способна воспринимать горизонтальную нагрузку, под действием которой она
придет в движение – подобно незакрепленному на рельсах монтажному крану
под действием ветра.
Нетрудно догадаться, что в строительстве в основном применяют неизменяемые системы – изменяемые здесь используют довольно редко и с большой осторожностью (в отличие от машиностроения, где наоборот интерес
представляют изменяемые или подвижные системы).
Все неизменяемые системы делятся на статически определимые (СОС) и
статически неопределимые системы (СНС).
Напомним, что СОС – это системы, для которых число неизвестных реакций внешних и внутренних связей не превышает максимально допустимого
числа уравнений статики, которые можно составить для их определения.
Если число неизвестных больше максимально допустимого числа уравнений, система называется СНС. При этом разность между числом неизвестных и числом уравнений называется степенью статической неопределимости
системы.
Чтобы описать изменяемые системы введем следующее
Определение 1.2. Под степенью свободы системы – W будем понимать
минимальное число параметров, определяющих ее положение в пространстве.
Очевидно, что для неподвижных систем W = 0, а для подвижных W 1.
Для точки на плоскости W = 2, и в качестве параметров можно выбрать ее декартовы координаты. Чтобы однозначно определить положение твердого тела
(диска) на этой плоскости нужно задать уже три параметра. Например – координаты фиксированной точки A этого диска xA , yA и угол наклона принадлежащего ему отрезка AB (рис. 1.6). Таким образом, для диска W = 3, а система
N дисков на плоскости будет иметь 3N степеней свободы.
Если два свободных диска на плоскости (W = 6) соединить одной линейной связью C1C2, получим систему с пятью степенями свободы (рис. 1.7), по-
-8-
скольку к трем параметрам для первого диска добавятся углы 1 и 2, определяющие положение стержня C1C2 относительно диска Д1 и диска Д2 относительно точки C2. Аналогично, система двух дисков, соединенных двумя линейными связями (или шарниром) будет иметь 4 степени свободы.
Рис.1.6
Рис.1.7
Естественно предположить, что всякое наложение дополнительной связи
уменьшает степень свободы системы на единицу, поэтому для произвольной
плоской системы ее можно найти по формуле:
W* = 3Д 2Ш СО ,
где
W* – предполагаемая или условная степень свободы системы;
Д – число дисков;
Ш – число простых шарниров, соединяющих диски друг с другом;
СО – число опорных связей.
(1.1)
-9-
Как видим, при рассмотрении любой системы возможны три варианта:
1) W* > 0 – система заведомо подвижна;
2) W* = 0 – система имеет минимальное число связей, необходимых для
ее неизменяемости;
3) W* < 0 – система содержит избыточные связи.
На самом деле наше предположение о том, что в формуле (1.1) W* = W
неверно. Дело в том, что не всякая дополнительная связь уменьшает степень
свободы системы – нетрудно представить связь, которая просто дублирует
наложенную ранее, не меняя степени свободы системы.
Итак, условие W* 0 является необходимым, но недостаточным для
образования неподвижной системы.
Если все же при условии W* < 0 система окажется неподвижной, то она
одновременно будет и статически неопределимой, а число ее лишних связей
можно найти по формуле:
Л = W* = СО + 2Ш 3Д
(1.2)
Пример 1.1. Определить число лишних связей рамы (рис. 1.8).
Рис.1.8
Решение. 1) Методом теоретической механики: общее число неизвестных
реакций в опорах А, В, С и соединительном шарнире D равно восьми, максимально допустимое число уравнений для их определения – 6 (по три для каждого из дисков AD и DBC), число лишних связей Л = 8 – 6 = 2.
2) По формуле (1.2):
Л = 6 + 21 – 32 = 2.
Для плоских ферм применять формулы (1.1) и (1.2) неудобно: если С –
число стержней фермы, а У – число ее узлов, то во-первых будет слишком
много дисков Д = С, а во-вторых почти все шарниры будут кратными.
- 10 -
Гораздо проще найти степень ее свободы из следующих соображений:
каждый узел имеет две степени свободы, а каждый стержень, как линейная
связь, уменьшает общее число степеней свободы на единицу, откуда получим:
W* = 2У – С – СО
(1.3)
Л = W* = С + СО 2У.
(1.4)
Пример 1.2. Определить степени свободы системы (рис. 1.9).
Рис.1.9
Решение. По формуле (1.3) находим:
– для схемы а): W* = 26 – 8 – 4 = 0;
– для схемы б): W* = 26 – 9 – 3 = 0.
Таким образом, необходимое условие неизменяемости выполняется для
каждой из ферм, но только первая из них будет неподвижной. Система на рис.
1.9, б является изменяемой, и не может воспринимать показанную нагрузку,
оставаясь в состоянии равновесия.
Примечания:
1. Мы выяснили, что степень свободы зависит не только от того, какие элементы образуют систему, но и как они соединяются друг с другом. При неправильном образовании в
одной части системы связи дублируют друг друга, а в другой – их недостаточно и система в
целом оказывается изменяемой, как в примере на рис. 1.9, б. Вопрос о том, какие системы
будут неподвижными, остается открытым.
2. Полезно рассмотреть еще одно
Определение 1.3. Степень свободы системы W равна минимальному числу дополнительно введенных связей, превращающих ее в неизменяемую систему.
1.2.3. Изменяемые системы
Ограничимся в дальнейшем рассмотрением систем, у которых условная
степень свободы W* = 0.
- 11 -
Мы выяснили, что такие системы, могут быть как изменяемыми, так и
неизменяемыми, причем в последнем случае они будут статически определимыми. Для таких систем справедливо следующее
Определение 1.4. Изменяемыми называются системы, которые получаются из неизменяемых систем при определенных критических значениях параметров.
Например, НС на рис. 1.10, а при = 0 переходит в ИС на рис. 1.10, б.
Это сопровождается превращением статически определимой системы (СОС) в
СНС, поскольку число линейно-независимых уравнений для определения опорных реакций уменьшается на единицу. При этом ранг матрицы этих уравнений
становится равным двум, а ее определитель равным нулю:
det A = 0.
(1.6)
Изменяемые системы (W > 0, W* = 0) подразделяются на:
– геометрически изменяемые системы (ГИС);
– мгновенно изменяемые системы (МИС).
Рис.1.10
Мгновенно изменяемые отличаются от ГИС тем, что допускают не конечные – как рама на рис. 1.10, б, – а только бесконечно малые перемещения. При
этом значения параметров, о которых идет речь в определении 1.4, у ГИС
остаются постоянными, а у МИС – изменяются при перемещении.
Кроме того, переход неподвижных статически определимых систем в
МИС может сопровождаться появлением бесконечно больших опорных реакций.
Рассмотрим, например, НС на рис. 1.11, а. Для определения опорной реакции RB составим уравнение равновесия: МА = 0, откуда найдем: RB = Pa/.
Эта рама переходит в МИС на рис. 1.11, б при критическом значении параметра
= 0. Нетрудно видеть, что предел RB при 0 равен бесконечности.
Это может привести к разрушению реальной конструкции, поэтому такие
МИС не применяют в строительстве.
Термин «мгновенно изменяемая система», подчеркивает, что под действием приложенной нагрузки реальная деформируемая система может занять
- 12 -
новую конфигурацию, для которой значение параметра станет отличным от
критического. При этом в рассматриваемом примере (рис. 1.11, б) точка В сместится вниз и реакция RB примет конечное значение.
Рис.1.11
Итак, мы выяснили, что принадлежность системы к классу МИС крайне
нежелательна. Поэтому перечислим некоторые признаки МИС:
1) Два диска, соединенные шарниром, связаны с остальной частью системы или с землей при помощи двух других шарниров, лежащих на одной прямой
с первым (рис. 1.12).
2) Диск, прикреплен к системе или к земле при помощи трех линейных
связей, у которых линии действия реакций параллельны (рис. 1.13) или пересекаются в одной точке (рис. 1.14).
Рис.1.12
Рис.1.13
- 13 -
Рис.1.14
Примечания:
1. МИС на рис. 1.11, б соответствует первому из приведенных признаков, роль второго диска выполняет подвижная опора В. Диск Д1 на рис. 1.14 выполняет роль третьей линейной связи по отношению к диску Д2.
2. Приведенные признаки МИС не являются исчерпывающими, то есть если исследуемая модель не отвечает им, то это не означает, что она не будет принадлежать к этому
классу. Самым общим является аналитический метод исследования систем, основанный на
рассмотрении уравнений равновесия для определения их опорных реакций.
3. Поскольку кинематический анализ связан с рассмотрением системы абсолютно
твердых тел, он мог бы изучаться в курсе теоретической, а не как традиционно – строительной механики. Кстати, в 5 на стр. 26-28 можно найти несколько МИС, ошибочно включенных в задание, где требуется определить опорные реакции составной конструкции.
1.2.4. Способы образования и структурный анализ
Рассмотрим два способа образования стержневых систем, которые будут
неизменяемыми и статически определимыми. Другими словами, выясним, при
каких условиях соотношение:
W* = 3Д 2Ш СО = 0
(1.5)
будет не только необходимым, но и достаточным для образования таких систем.
1. Соединение диска с землей (соединение двух дисков). Диск прикреплен к
земле при помощи шарнира и линейной связи, линия действия реакции которой
не проходит через этот шарнир (рис. 1.15, а).
Шарнир А можно заменить двумя линейными связями, линии действия
которых пересекаются в точке, через которую не должна проходить линия
действия реакции третьей линейной связи (рис. 1.15, б).
- 14 -
Рис.1.15
Если диск Д2 присоединяется не к земле, а к диску Д1, получим систему,
которую можно принять за новый диск, имеющий ту же степень свободы, что и
диск Д1.
Этот способ образования систем называется диадным – от названия простейшей фермы, образованной из двух стержней, соединенных шарниром В.
Роль первого стержня выполняет незагруженный диск АВ (рис. 1.15, а).
2. Соединение двух дисков с землей (соединение трех дисков). Два диска соединены друг с другом и с землей при помощи трех шарниров, не лежащих на
одной прямой (рис. 1.16, а).
Аналогично соединяются три диска, при этом каждый шарнир можно заменить двумя линейными связями, у которых точки пересечения линий действия реакций также не должны лежать на одной прямой (рис. 1.16, б).
Рис.1.16
Этот способ образования систем называется способом трехшарнирной
арки. Очевидно, что он является более общим и сводится к диадному, если
диски Д1 и Д2 незагружены и , значит, их можно заменить стержнями АС и ВС,
соединенными в точке С (рис. 1.16, а).
Нетрудно заметить, что ограничения, налагаемые на способы образования
системы, нужны для того, чтобы избежать появления МИС.
Структурный анализ. Заключается в исследовании уже существующей
системы с точки зрения возможности ее образования двумя рассмотренными
способами.
- 15 -
При этом:
– системы, образованные из нескольких дисков, образуют один новый
диск;
– при условии (1.5) ни один из присоединенных дисков не должен иметь
лишних связей;
– вновь образованная система будет неподвижной (НС) и статически
определимой (СОС).
Пример 1.3. Выполнить структурный анализ рамы (рис. 1.17).
Рис.1.17
Решение. Система состоит из пяти дисков, соединенных простыми шарнирами E, G, F и кратным шарниром D, эквивалентным двум простым.
Условная степень свободы по формуле (1.5):
W* = 3 5 2 5 5 = 0.
Диски Д1 и Д2 образуют по способу трехшарнирной арки новый диск Д1-2,
жестко связанный с землей. К диску Д1-2 диадным способом при помощи шарнира D и линейной связи C присоединяется диск Д3, который образует новый и
неподвижный относительно земли диск Д1-3. Наконец, к диску Д1-3 присоединяется диада Д4, Д5, образуя диск Д1-5. Таким образом, заданная система является
СОС и НС.
Следует отметить, что системы могут быть образованы и другими способами – отличными от диадного и способа трехшарнирной арки, поэтому основанный на них структурный анализ не является универсальным методом исследования системы. Например, с его помощью нельзя дать ответ на вопрос об
изменяемости рамы на рис. 1.18, поскольку ее нельзя образовать двумя указанными способами.
- 16 1.2.5. Аналитическое исследование системы
Как уже отмечалось, этот метод исследования систем является самым
общим.
Суть метода. Уравнения равновесия для определения опорных реакций
исследуемой системы можно представить в виде:
[A] {X} = {B},
(1.6)
где
[A] – матрица коэффициентов при неизвестных;
{X} – вектор-столбец неизвестных опорных реакций;
{B} – вектор-столбец нагрузки.
При этом для СОС любому вектору {B} однозначно соответствует единственный вектор {X}, что возможно только при условии: det [A] 0.
Учитывая, что в силу (1.5) СОС одновременно являются НС, можно сделать вывод, что необходимым и достаточным условием неподвижной системы
будет:
det [A] 0.
(1.7)
Наоборот, необходимым и достаточным условием подвижной системы
является:
det [A] = 0.
(1.8)
Таким образом, для кинематического анализа системы достаточно вычислить определитель матрицы соответствующей системы алгебраических уравнений. Но можно избежать даже этой процедуры, учитывая некоторые сложности
которые она вызывает уже при четвертом порядке определителя.
Метод нулевой нагрузки. Рассмотрим однородную систему уравнений, соответствующую (1.6):
[A] {X} = {0}.
(1.9)
Известно, что она имеет только нулевое решение, если det [A] 0, и
наоборот – условием ненулевого решения будет: det [A] = 0.
Отсюда – следующее правило:
1) Если система (1.9) имеет решение {X} = {0}, то соответствующая
механическая система является неподвижной;
2) Если система (1.9) имеет решение {X} {0}, то соответствующая
механическая система является подвижной.
Пример 1.4. Выполнить кинематический анализ рамы (рис. 1.18).
Решение. Воспользуемся методом нулевой нагрузки, применив графический способ решения (рис. 1.19).
Из условия равновесия диска АЕ следует, что реакции RA и RE направлены
по прямой АЕ (аксиома 2).
- 17 -
Рис.1.18
Рис.1.19
Из условия равновесия диска EBF следует, что реакция RF проходит через
точку K, где пересекаются линии действия RE = RE и RB (теорема о трех силах).
Из условия равновесия диска FCG аналогично находим линию действия
реакции RG, проходящей вдоль прямой GL.
Наконец, рассмотрим диск DG . По аксиоме 2 реакция RG = RD должна
быть направлена вдоль прямой GD, соединяющей точки их приложения. С
другой стороны, RG = RG действует по прямой GL. Одновременно удовлетворить этим требованиям можно, лишь полагая RG = 0, откуда следует, что все
реакции равны нулю, а, значит, {X} = {0} и система будет неподвижной.
Примечания:
1. Подобно тому, как СНС, которые мы рассмотрим в 4 главе, могут быть статически
неопределимыми внешним и внутренним образом, можно говорить о системах, изменяемых
аналогично. Поэтому в общем случае вектор {X} в системе (1.6) должен содержать компоненты реакций не только внешних, но и внутренних связей.
2. Отметим, что в последнем примере 1.4 мы остаемся в рамках аналитического
метода анализа геометрической изменяемости системы, несмотря на то, что при реализации
метода нулевой нагрузки применялся графический способ определения реакций связей.
Такой прием вполне оправдан, поскольку формальный подход потребовал бы вычисления
определителя десятого порядка.
- 18 3. Анализ системы уравнений (1.6), независимо от условия (1.5), позволяет получить
полную характеристику механической системы, включая степени ее свободы и статической
неопределимости.
4. При построении модели сооружения ее параметры определяются с некоторой
степенью точности, поэтому опасность на практике представляют не только МИС, но и
близкие к ним – у которых det [A] 0.
1.3. Основные уравнения строительной механики
Математическая сторона основной задачи строительной механики основана на зависимостях, полученных в сопромате. Напомним их на примере
напряженно-деформированного состояния элемента рамы, для которого – в
отличие от балки – поперечный изгиб сопровождается дополнительным растяжением или сжатием.
Пусть такой элемент длиной dx расположен в локальной системе координат Oxy, где ось Ox направлена по оси стержня, и загружен распределенной
нагрузкой интенсивностью qx и qy вдоль Ox и Oy соответственно (рис. 1.20).
Напряженно-деформированное состояние стержня определяется девятью
компонентами:
– внутренними усилиями (M, Q, N,);
– перемещениями (u, v, );
– деформациями (κ, , ).
Уравнения для определения этих функций можно разделить на три группы:
Статические уравнения – связывают внутренние усилия (рис. 1.20, б) с
заданной нагрузкой:
dN/dx = – qx;
dQ/dx = qy;
(1.10)
dM/dx = Q .
Геометрические уравнения – выражают деформации через перемещения,
показанные на рис. 1.20, б, в:
κ = d/dx;
= dv/dx;
= du/dx.
(1.11)
Физические уравнения – представляют собой зависимости между внутренними усилиями и деформациями:
κ = M/EJ;
= Q/GF;
= N/EF;
где
E – модуль Юнга;
(1.12)
- 19 -
G – модуль сдвига;
F – площадь поперечного сечения стержня;
J – момент его инерции;
– коэффициент, учитывающий неравномерность распределения касательных напряжений в поперечном сечении стержня.
Рис.1.20
Отметим, что выражения EJ и EF в (1.12) называются жесткостями
стержня при изгибе и растяжении (сжатии) соответственно.
При решении системы уравнений (1.10) – (1.12) возможны два варианта:
1) внутренние усилия M, Q, N, удается найти из системы уравнений
(1.10), не обращаясь к остальным уравнениям – это СОС;
2) внутренние усилия можно найти только путем совместного решения
всех девяти уравнений – это СНС.
В последнем случае при решении этих уравнений возможны два подхода:
– в качестве основных неизвестных выбирают усилия M, Q, N, выражая
все остальные через них – это решение в форме метода сил;
– в качестве основных неизвестных выбирают перемещения u, v, – это
решение в форме метода перемещений.
- 20 -
Системы, описываемые линейными уравнениями (1.10) (1.12), называются линейно деформируемыми. Для них справедлив принцип суперпозиции, в
соответствии с которым:
Внутренние усилия, перемещения и деформации от заданной нагрузки
(или иного воздействия) можно найти как сумму соответствующих величин
от каждой нагрузки в отдельности.
Примечания:
1. Первое из статических уравнений (1.10) получается из условия равновесия рассматриваемого элемента рамы. Полагая в его пределах qx = const, и составляя уравнение X = 0,
получим:
– N + qxdx + (N +dN) = 0,
откуда и следует искомая зависимость. Два других уравнения из (1.10) – это дифференциальные зависимости Журавского.
2. Первое из физических уравнений (1.12) представляет собой дифференциальное
уравнение изогнутой оси балки:
κ = d/dx = d 2v/dx 2 = M /EJ.
Второе уравнение в предпосылке равномерного распределения касательных напряжений в поперечном сечении стержня ( =1) выражает закон Гука при сдвиге:
= Q/F = G.
При этом мы не уточняем смысл коэффициента по причине, которая будет указана в § 3.5.
Последнее из физических уравнений (1.12) – это закон Гука при ЦРС:
= N/F = E.
3. В дальнейшем, если не будет оговорено особо, мы будет по-прежнему применять
обозначение Oxy для глобальной системы координат, связанной с конструкцией в целом.
- 21 -
ГЛАВА 2.
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ
СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
2.1. Свойства статически определимых систем
Эти свойства определяются тем обстоятельством, что для нахождения
внутренних усилий в таких системах достаточно рассмотреть только уравнения
статики (1.10), не обращаясь к геометрическим (1.11) или физическим (1.12)
уравнениям.
1) Внутренние усилия не зависят от геометрии поперечных сечений и
материала стержней.
Действительно, физические константы E, G, и геометрические характеристики сечений F, J не входят в уравнения равновесия (1.10).
2) Температурные и кинематические воздействия не вызывают появления реакций и внутренних усилий в СОС.
В самом деле, эти воздействия не входят в правую часть системы алгебраических уравнений для определения опорных реакций (1.6), поэтому они
примут вид:
[A] {X} = {0},
откуда следует, что {X} = {0}, так как для СОС det [A] 0.
3) Если нагрузку, приложенную к какому-либо диску составной системы
заменить статически эквивалентной, то реакции и внутренние усилия в
остальных дисках не изменятся.
4) Если изменить конфигурацию какого-либо диска составной системы,
сохранив расположение опор и соединительных шарниров, то реакции и внутренние усилия в остальных дисках не изменятся.
5) Устранение в СОС любой связи, усилие в которой отлично от нуля,
приводит к разрушению всей системы.
Напомним, что неподвижные СОС имеют минимальное число связей,
необходимых для их образования, поэтому устранение любой такой связи превращает систему в механизм.
2.2. Внутренние усилия в рамах
2.2.1. Определения и порядок построения эпюр
Удобные для применения на практике определения внутренних усилий в
рамах – впрочем, они будут справедливы для любых плоских стержневых систем – можно получить естественным обобщением соответствующих определений из сопромата.
Изгибающий момент M в поперечном сечении стержня рамы равен
сумме моментов всех сил, взятых по одну сторону от сечения, которое делит
раму на две части и вычисленных относительно точки, где сечение пересекает
ось стержня.
- 22 -
Поперечная сила Q в поперечном сечении стержня равна сумме проекций на нормаль n к оси стержня всех сил, взятых по одну сторону от сечения,
которое делит раму на две части.
Продольная сила N в поперечном сечении стержня равна сумме проекций на касательную к оси стержня всех сил, взятых по одну сторону от
сечения, которое делит раму на две части.
Правило знаков – в соответствии с рис. 2.1, где показан вырезанный двумя сечениями узел рамы.
Рис.2.1
Как и в сопромате, положительные значения N соответствуют растяжению стержней, а Q > 0 – вращению рассматриваемого элемента по ходу
часовой стрелки. В каждом сечении введена локальная система координат с
началом в центре тяжести сечения, орты которой (аналогичные обычным ортам
i, j декартовой системы координат) коллинеарны этим усилиям: N, nQ.
При этом орт n получается из орта путем его поворота по ходу часовой стрелки на угол 90, а положительный изгибающий момент M соответствует
повороту от вектора к вектору n, то есть также направлен по ходу часовой стрелки.
Отметим, что необходимость введения такой локальной системы координат вызвана тем, что для вертикальных стержней рамы становится неопределенным понятие «верхние» и «нижние» волокна. Рассмотренная система отсчета вносит здесь полную ясность: на каждом рассеченном стержне рамы «верх»
будет определяться направлением орта n. Нетрудно убедиться, что при этом
положительные моменты в сопромате и в строительной механике совпадают и
соответствуют растянутым «нижним» волокнам.
Порядок построения эпюр. При построении эпюр внутренних усилий целесообразно придерживаться следующего порядка:
1) определяем опорные реакции;
2) делим раму на участки (i, j), границами которых являются:
естественные границы рамы, шарниры и угловые точки;
точки приложения сосредоточенных сил, моментов и границы
участков распределенной нагрузки;
- 23 -
3) в пределах каждого участка проводим сечение на расстоянии zi от его
начала и вычисляем значения M, Q, N, рассматривая равновесие отсеченной
части рамы;
4) строим эпюры, откладывая положительные значения Q и N на верхних
(или левых для вертикальных стержней) волокнах, а M > 0 – на «нижних», то
есть в направлении, противоположном нормали n.
5) проверяем правильность построения эпюр:
рассматривая равновесие вырезанных узлов или других частей
рамы;
контролируя, как и для балок, соблюдение дифференциальных зависимостей Журавского на каждом из ее участков.
Примечания:
1. Поскольку знаки эпюр Q и N привязаны не к локальной, а к глобальной системе координат, ставить знаки у эпюры M не имеет смысла – достаточно знать, что она построена на
растянутых волокнах.
2. В строительной механике, в отличие от сопромата, эпюры принято строить именно
в такой последовательности: M, Q, N.
2.2.2. Построение эпюр в простых рамах
Рассмотрим пример построения эпюр внутренних усилий в соответствии
с планом, приведенным в предыдущем параграфе.
Пример 2.1. Построить эпюры M,Q,N (рис. 2.2, а).
Решение. В этой задаче можно не определять опорные реакции, если
рассматривать равновесие части рамы, не содержащей опору.
Делим раму на участки, проводим сечения в пределах каждого из них
(рис. 2.2, б) и находим искомые усилия, рассматривая равновесие соответствующих частей рамы.
На первом участке (рис. 2.2, в):
MC = 0; qz1 z1/2 – M(z1) = 0; M(z1) = qz12/2 ;
= 0; N (z1) = 0 ;
n = 0; qz1+Q(z1) = 0; Q(z1) = qz1.
Для определения внутренних усилий на втором участке (2-3) рассмотрим
равновесие части рамы выше соответствующего сечения (рис. 2.2, г):
MC = 0; ql 2/2-M (z2) = 0; M (z2) = ql 2/2;
= 0; ql +N(z2) = 0; N(z2) = ql;
n = 0; Q(z1) = 0 .
Переходя к последнему участку (3-4), будем, для определенности считать,
что на рис. 2.2, д z3 < l/2. Тогда:
MC = 0; ql (l/2–z3) –M (z3)=0; M (z3) = ql (l/2 – z3);
= 0; N(z3) = 0 ;
n = 0; ql + Q(z3)= 0; Q(z3) = ql .
- 24 -
Рис.2.2
- 25 -
По найденным для каждого участка выражениям внутренних усилий
строим соответствующие эпюры, показанные на рис. 2.2, е 2.2, з.
Для проверки правильности построения эпюр можно рассмотреть равновесие вырезанных узлов рамы (рис. 2.2, и, к) и рамы в целом (рис. 2.2, л).
Контроль правильности построения эпюр на отдельных участках не отличается от соответствующей процедуры для балок.
Обратим внимание на следующие особенности построенных эпюр:
– при переходе через узел 2 с участка (1-2) на участок (2-3) эпюра M
остается на внешних волокнах, то есть M(z1 = l) = M(z2 = 0);
– на участке (2-3) эпюра M = const , поскольку равнодействующая односторонних сил параллельна этому участку;
– в середине участка (3-4) эпюра M имеет нулевую точку, через которую
проходит равнодействующая распределенной нагрузки.
Построение эпюр в рамах можно упростить, если воспользоваться стандартными эпюрами для консольной и двухопорной балок.
Например, в рассмотренном примере эпюры M и Q на участке (1-2) не
будут, в соответствии с определением, отличаться от соответствующих эпюр в
консольной балке, защемленной на правом конце – в точке 2.
Пример 2.2. Построить эпюры M, Q, N (рис. 2.3, а).
Решение. Определяем опорные реакции:
X = 0; XA = ql;
MA = 0; RB = ql/2;
MB = 0; YA = ql/2
и делим раму на участки (рис. 2.3, б).
Эпюры M, Q, N на стойке 1-2 рамы не отличаются от соответствующих
эпюр в консоли, загруженной на свободном конце найденными реакциями (рис.
2.3, в). При этом вертикальная составляющая вызывает сжатие стойки, а горизонтальная – ее поперечный изгиб.
Для построения эпюр на участке 4-3 (именно так, а не 3-4) нужно рассмотреть стойку, загруженную распределенной нагрузкой и реакцией RB (рис.
2.3, г).
Переходим к построению эпюр на ригеле 2-3. Значения моментов на его
концах известны – они находятся из условий равновесия узлов 2 и 3 и соответственно равны ql2 и ql2/2, а поскольку ригель не загружен, то эпюра на нем
будет линейной (рис. 2.3, д).
Поперечную силу можно найти как тангенс угла наклона касательной к
эпюре моментов: Q23 = ql/2, либо – по определению, как сумму проекций на
вертикаль всех сил, взятых слева или справа от сечения, проведенного на этом
участке (рис. 2.3, е).
- 26 -
Аналогично находим продольную силу N23 – как сумму проекций на
горизонталь всех сил, взятых по одну сторону от проведенного здесь сечения
(рис. 2.3, ж).
Рис.2.3
Для проверки правильности построения эпюр можно рассмотреть равновесие ригеля (рис. 2.3, з):
X = ql – ql = 0;
Y = ql/2 – ql/2=0;
M2 = ql2 – ql2/2 – (ql/2)·l = 0.
- 27 Пример 2.3. Построить эпюры M, Q, N (рис. 2.4, а).
Решение. Определяем опорные реакции и делим раму на участки (рис.
2.4, б).
Рис.2.4
- 28 -
Эпюры на участках 1-2 и 4-3 строятся по аналогии с эпюрами на участках
4-3 и 1-2 в примере 2.2.
Эпюры на участке 2-3 заданной рамы не отличаются от соответствующих
эпюр в Г-образной консольной раме на рис. 2.4, в. При этом эпюру M легко
построить методом суперпозиции: к эпюре от распределенной нагрузки (показана пунктиром), которая аналогична эпюре M на участке 2-3 в примере 2.1,
добавляется стандартная треугольная эпюра от RA = ql/2.
Эпюру M на участке 5-3, совпадающую с эпюрой в консоли на рис. 2.4, г,
также удобно представить как сумму двух эпюр, показанных пунктиром, – от
распределенной нагрузки и от реакции RB = 2ql.
Для проверки правильности построения эпюр (рис. 2.4, д – ж) достаточно
рассмотреть равновесие узла 3 (рис. 2.4, з, и).
2.2.3. Построение эпюр в составных рамах
Эпюры внутренних усилий в составных рамах можно построить так же,
как и в простых, однако часто эту процедуру удается упростить, если:
– предварительно найти реакции в соединительных шарнирах;
– учесть, что при переходе через соединительный шарнир характер эпюр
не меняется, если при этом не меняется характер нагрузки.
Пример 2.4. Построить эпюры M, Q, N (рис. 2.5, а).
Решение. Делим раму на участки (рис. 2.5, а). Для построения эпюр достаточно знать только одну опорную реакцию – RB, которую можно найти из
условий равновесия части BC:
MC(BC) = 0; RB = ql/2.
Находим реакции в соединительном шарнире:
X (BC) = 0; XC = ql/2.
Y (BC) = 0; YC = ql.
Теперь построение эпюр на участке 3-2 заданной рамы можно свести к
построению эпюр в консоли, защемленной на правом конце – в точке 2 и загруженной распределенной нагрузкой и найденными реакциями XC, YC (аналогично участку 5-3 в примере 2.3 на рис. 2.4, в).
Переходя к рассмотрению левой части рамы – AC можно отбросить правую часть – BC, заменив ее действие найденными реакциями отброшенной
части: XC = XC ; YC = YC . При этом эпюры на участках 3-4 и 4-5 заданной рамы
строятся так же, как на участках 1-2 и 2-3 в примере 2.3 (рис. 2.4, в).
Отметим, что при переходе через соединительный шарнир C от участка 23 к участку 3-4 меняется характер нагрузки qy, а вместе с ней и характер эпюр
M и Q , но не меняется нагрузка qx, поэтому на всем ригеле N = const.
- 29 -
Рис.2.5
Правильность построения эпюр (рис. 2.5, в-д) можно проверить, рассматривая равновесие рамы в целом или ее ригеля (рис. 2.5, е).
Нетрудно догадаться, что для рамы, состоящей из двух дисков, рассмотренная выше схема решения будет целесообразной, если один из дисков присоединен к земле только одной связью – как в примере 2.4. В тех же случаях,
когда диски имеют по две опорные связи, часто удается построить эпюры без
определения реакций в соединительном шарнире.
Пример 2.5. Построить эпюры внутренних усилий в трехшарнирной раме
(рис. 2.6, а).
Решение. Делим раму на участки и определяем опорные реакции (рис.
2.6, б):
MB = 0;
MC(AС) = 0;
X = 0;
Y = 0;
YA = ql/4;
XA = ql/4;
XB = 3ql/4;
YB = ql/4.
Проверка:
MC(ВС) = XBl – YBl – qll/2 = 3ql2/4 – ql2/4 – ql2/2 = 0.
- 30 -
Рис.2.6
Эпюры на участке 1-2 строим как в консоли соответствующей длины,
закрепленной в точке 2. Момент на левом конце ригеля находим из условий
равновесия второго узла. Поскольку ригель незагружен и эпюра M здесь должна быть линейной, проводим прямую через найденную ординату эпюры M =
ql2/4 и шарнир C, а затем продолжаем ее до 4 узла.
На правой стойке эпюру M можно построить как в консоли, закрепленной в 4 узле и загруженной распределенной нагрузкой и найденными реакциями XB, YB. Однако проще рассмотреть этот участок как простую двухопорную
балку, загруженную концевым моментом в 4 узле (соответствующая эпюра
показана пунктиром – рис. 2.6, в) и распределенной нагрузкой.
Эпюры Q и N в этом примере нетрудно построить в соответствии с определением (рис. 2.6, г, д).
Для контроля правильности построения эпюр можно рассмотреть равновесие ригеля (рис. 2.6, д).
- 31 -
2.3. Расчет плоских ферм
2.3.1. Основные понятия
Фермой называется строительная конструкция, образованная из прямолинейных стержней, соединенных идеальными (то есть без трения) шарнирами.
Если нагрузка, приложена только в узлах фермы, образованных этими
шарнирами, все стержни будут находиться в условиях центрального растяжения или сжатия.
Напомним, что из внутренних усилий для этого вида напряженнодеформированного состояния отличной от нуля может быть только продольная
сила: M = 0, Q = 0, N 0.
В рамках строительной механики расчет фермы сводится к определению
усилий в ее стержнях, и в дальнейшем, при необходимости, к построению
эпюры N.
Рассмотрим два простейших метода определения этих усилий.
2.3.2. Метод сечений
Суть этого метода заключается в следующем: проводят сечение, разбивающее ферму на две части и рассматривают равновесие одной из частей под
действием: активных сил, опорных реакций и усилий в разрезанных стержнях
как произвольной плоской системы сил.
Для такой системы можно составить три уравнения равновесия, поэтому
метод удобен, когда сечение пересекает не более трех стержней.
Если все рассеченные стержни при этом непараллельны, то для определения усилий целесообразно составить уравнения:
M1 = 0; M2 = 0; M3 = 0,
взяв в качестве моментных точки, где пересекаются линии действия реакций
двух разрезанных стержней из трех, а если два стержня параллельны, то уравнения:
M1 = 0; M2 = 0; Y = 0,
где ось Oy перпендикулярна этим стержням.
Рассмотренный способ определения усилий можно применять и в том
случае, если сечение пересекает более трех стержней, однако при этом каждое
из усилий уже не удается найти независимо от остальных, поскольку приходится рассматривать равновесие обеих частей фермы, а иногда проводить дополнительные сечения.
При решении все стержни фермы рекомендуется считать растянутыми,
направляя усилия от узлов.
- 32 Пример 2.6. Найти усилия в указанных стержнях фермы (рис. 2.7, а).
Рис.2.7
Решение. Определяем опорные реакции:
MА = 0;
MB = 0;
RB = 2P;
RA = P;
Проверка:
Y = RA + RB 3P = 0.
Для определения усилий N2-3 и N2-4 проведем сечение I-I (рис. 2.7, б) и
рассмотрим равновесие части фермы, взятой слева от этого сечения. Помимо
опорной реакции RA к ней будут приложены неизвестные усилия в разрезанных
стержнях: N2-4, N2-3 и N1-3 (рис. 2.7, в).
Чтобы найти усилие N2-4 составим уравнение M3(лев) =0, выбрав в качестве моментной точку, где пересекаются линии действия N2-3 и N1-3:
RA d N2-4 d = 0;
N2-4 = RA = P.
- 33 -
Поскольку стержни 2-4 и 3-5 параллельны и перпендикулярны оси Оу,
для нахождения N2-3 составляем уравнение:
Y ( лев) = RA N2-3 = 0;
N2-3 = RA = P.
Для определения усилия в стержне 3-4 проводим дополнительно сечение
II-II, пересекающее этот стержень (рис. 2.7, б) и рассматриваем равновесие
части фермы, расположенной слева от этого сечения (рис. 2.7, г):
Y ( лев) = RA + N3-4sin45 = 0;
N3-4 = RA / sin45 = P 2 .
То же самое усилие можно найти, рассматривая равновесие части фермы
не слева, а справа от этого сечения:
Y ( пр) = RВ 3P + N4-3sin45 = 0; N4-3 = N3-4 = P 2 .
2.3.3. Метод вырезания узлов
Суть этого метода заключается в следующем: рассматривается равновесие вырезанного узла фермы под действием: активных сил, опорных реакций и
усилий в разрезанных стержнях как системы сходящихся сил.
Для такой системы сил можно составить только два уравнения равновесия:
X = 0, Y = 0,
поэтому решение целесообразно начинать с рассмотрения узла, где не более
двух неизвестных.
При решении, как и в предыдущем случае, рекомендуется все стержни
считать растянутыми, направляя усилия от узлов.
Пример 2.7. Найти усилия в указанных стержнях фермы (рис. 2.7, а), пред-
полагая опорные реакции известными.
Решение. Рассматривая равновесие 1 узла, к которому приложены силы
RA, N1-2 и N1-3 , получим (рис. 2.7, б, д):
Y = RA + N1-2 sin45 = 0; N1-2 = P 2 ;
X = N1-2 cos45 + N1-3 = 0; N1-3 = P.
Следующим можно рассмотреть узел 2, загруженный неизвестными усилиями N2-4 и N2-3 и уже найденным усилием N2-1 = N1-2 (рис. 2.7, е):
X = N2-1 cos45 + N2-4 = 0; N2-4 = P;
Y = N2-1 sin45 N2-3 = 0; N2-3 = P.
Рассматривая, наконец, равновесие третьего узла, загруженного уже
найденными усилиями N3-1 = N1-3 и N3-2 = N2-3, а также неизвестными N3-4 и N3-5
(рис. 2.7, е), получим:
- 34 -
Y = N3-2 + N3-4sin45 = 0; N3-4 = P 2 .
Найденные значения N2-4, N2-3 и N3-4 естественно совпадают с результатами, полученным ранее в примере 2.6. Из второго уравнения находим N3-5:
X = N3-1 + N3-4cos45+ N3-5 = 0;
N3-5 = 2P.
Эту процедуру можно продолжить и, последовательно рассматривая узлы
4 и 5, определить усилия N4-5, N4-6 и N5-6.
Отметим, что уравнения равновесия для 5 узла будут содержать только
одно неизвестное усилие N5-6, а в уравнения, составленные для последнего 6
узла, вообще войдут только известные величины, поэтому их можно использовать для проверки правильности решения:
X = N6-4 cos45 N6-5 = 0;
Y = N6-4 sin45 + RВ = 0.
Таким образом, при определении усилий в стержнях фермы методом
вырезания узлов три уравнения оказались «лишними».
Полученный результат не является случайным. Мы рассматриваем фермы, которые являются статически определимыми и геометрически неизменяемыми. Для таких ферм выполняется соотношение (1.3):
W* = 2У– С – СО = 0,
где У число узлов, С – число стержней фермы, а СО число опорных связей,
равное трем.
Но поскольку число уравнений для определения усилий в стержнях ферм
равняется удвоенному числу узлов, а число неизвестных – числу стержней, то
действительно число уравнений всегда на три будет превышать число неизвестных.
Примечания:
1. Метод вырезания узлов в отличие от метода сечений является рекуррентным, поэтому ошибка при определении усилия в одном из стержней неизбежно скажется на правильности результата для всех остальных.
2. Рассмотренный метод вырезания узлов можно и целесообразно использовать совместно с методом сечений.
3. Метод можно рассматривать как в аналитической, так и в графической форме.
4. Правильность решения, как и при расчете рам, проверяют, рассматривая равновесие
тех узлов или частей фермы, которые не использовались для определения усилий.
5. Во многих случаях расчет фермы удается упростить, если предварительно определить незагруженные или нулевые стержни. Для нахождения таких стержней можно воспользоваться следующими признаками нулевых стержней, справедливость которых легко доказать с помощью метода вырезания узлов:
Признак 1. Усилия в стержнях фермы, образующих незагруженный двухстержневой
узел, равны нулю;
- 35 Признак 2. Если в загруженном двухстержневом узле линия действия силы совпадает
с одним из стержней, усилие во втором стержне равно нулю;
Признак 3. Если в незагруженном трехстержневом узле два стержня расположены
вдоль одной прямой, то усилие в третьем стержне равно нулю.
Найденные нулевые стержни можно исключить из фермы вместе с соответствующими
шарнирами, упростив тем самым расчетную схему.
Пример 2.7. Найти усилия в указанных стержнях фермы (рис. 2.8, а).
Рис.2.8
Решение. Данная ферма относится к категории арочных, то есть, она
образована из двух дисков АС и ВС способом трехшарнирной арки (§1.2.4). Для
определения опорных реакций можно воспользоваться уравнениями:
MА = 0;
MB = 0;
MC(AC) = 0;
X = 0;
VA = Р/2;
VВ = Р/2;
HA = Р/2;
HB = – Р/2.
Однако в данном примере усилия в указанных стержнях фермы можно
найти и без определения опорных реакций, если воспользоваться упомянутыми
выше признаками нулевых стержней.
В самом деле, рассматривая равновесие 3 узла фермы, найдем, что N2-3 = 0
(признак 3), поэтому этот стержень можно исключить из фермы вместе с шарниром 3. Тогда N2-1 = N2-4 = 0 (признак 1) и эти стержни из фермы также можно
исключить.
Аналогично, рассматривая равновесие 5 узла фермы, найдем, что N5-6 = 0
(признак 3), поэтому этот стержень также можно исключить из фермы вместе с
шарниром 5. Тогда, согласно второму признаку, N6-7 = 0, то есть стержень 4-6
фактически передает нагрузку от 6 узла к узлу 4. Поэтому расчетной схемой
фермы служит диада, образованная из двух стержней 1-4 и 4-7, соединенных
шарниром 4, к которому приложена сила Р (рис. 2.8, б). Из условий равновесия
узла 4, получим:
N4-1 = (Р 2 )/2;
N4-7 = (Р 2 )/2.
Итак, N4-2 = N2-4 = 0, N4-3 = N4-1 = (Р 2 )/2.
- 36 -
2.4. Расчет трехшарнирных арок
2.4.1. Основные понятия
Трехшарнирная арка представляет собой составную систему, образованную из двух дисков, прикрепленных к земле опорными шарнирами А и В и
соединенных друг с другом ключевым шарниром С (рис. 2.9, а).
В дальнейшем ограничимся рассмотрением арок, загруженных вертикальной нагрузкой, у которых опорные шарниры находятся на одной горизонтали, а ключевой шарнир расположен симметрично относительно опор.
Расстояние l между опорами арки называется ее пролетом, а высота fС, на
которой расположен соединительный шарнир С – стрелой подъема арки.
Арка является типичным представителем распорных систем, у которых
под действием приложенной вертикальной нагрузки появляются не только
вертикальные, но и горизонтальные составляющие опорных реакций, называемые распором (рис. 2.9, б).
Определение опорных реакций арки не отличается от определения опорных реакций трехшарнирной рамы (пример 2.5) или арочной фермы (пример
2.7):
MА = 0;
VВ = (1/l) Pi ai ;
MВ = 0;
VА = (1/l) Pi (l ai);
X = 0;
HA = HB = H;
(AB)
MC = 0; H = HA = (1/fС)[VА(l/2) Pi ( l/2 ai)].
Каждой арке можно поставить в соответствие балку с пролетом, равным
пролету арки, которая загружена той же нагрузкой, что и арка (рис. 2.9, в).
Очевидно, что реакции такой балки будут равны вертикальным реакциям арки:
VАБ = VА; VВБ = VВ,
поэтому последнее выражение для распора арки можно записать в виде:
H = MСБ/fС ,
(2.1)
где MСБ = [VА(l/2) Pi(l/2 ai)] балочный изгибающий момент под шарниром
С, то есть изгибающий момент в сечении x = l/2 соответствующей балки.
Чтобы выяснить, в чем состоит преимущество арки перед соответствующей ей балкой, перейдем к определению внутренних усилий в арке.
2.4.2. Внутренние усилия в арке
Рассмотрим арку в системе координат Оху, где начало отсчета связано с
опорой А (рис. 2.9, г) и обозначим через y = f(x) функцию, описывающую очертание оси арки. Проведем сечение на расстоянии х от этой опоры и рассмотрим
часть арки слева от сечения.
- 37 -
Рис.2.9
Введем локальную систему отсчета с ортами N и nQ, и обозначим через угол, который орт составляет с осью Ох. В отличие от принятого
ранее правила (§ 2.2.1) положительным будем считать момент, соответствующий растянутым нижним волокнам арки, то есть так, как принято в сопромате.
Это сделано для удобства сравнения изгибающего момента в арке с изгибающим моментом в соответствующей балке.
Из условия равновесия левой части арки получим:
M (лев) = 0; M(x) = [VАx Pi ( x ai)] H f(x),
или, иначе:
M(x) = M(х)Б Hf(x) ,
где M(х)Б = [VАxPi(x ai)] балочный изгибающий момент в сечении x.
(2.2)
- 38 -
Последняя формула означает, что при одинаковой нагрузке изгибающие
моменты в арке меньше изгибающих моментов в балке соответствующего
пролета на величину H f(x), что наглядно показано на рис. 2.9, д, е.
Это обстоятельство позволяет применять арки для перекрытия больших
пролетов – порядка десятков метров. При этом отношение высоты сечения
такой арки к длине перекрываемого пролета, как правило, не превышает 1/100.
Ни фермы, ни балки не позволяют достичь такого результата.
Для определения поперечной силы в арке составим уравнение:
n(лев) = 0;
Q(x) = (VА Pi)cos Hsin,
или, иначе
Q(x) = Q Б (x)cos Hsin ,
(2.3)
где QБ (x) = VА Pi поперечная сила в соответствующей балке.
Таким образом, при одинаковой нагрузке поперечная сила в арке меньше
поперечной силы в балке соответствующего пролета.
Чтобы определить продольную силу составим уравнение:
(лев) = 0; N(x) = [(VА Pi) sin + Hcos].
Найденную продольную силу также можно представить в виде:
N(x) = [QБ (x)sin + Hcos].
(2.4)
Последняя формула показывает, что уменьшение изгибающего момента и
поперечной силы в арке по сравнению с соответствующей балкой достигается
за счет появления продольной силы, которая, как следует из (2.1) будет особенно значительной для арок с небольшим отношением fC /l.
Таким образом, в арке, как и в раме, в общем случае появляются все три
составляющих внутренних усилий: M, Q и N .
2.4.3. Рациональная ось арки
Формула (2.2) показывает, что при заданной нагрузке изгибающие моменты в арке можно уменьшить вплоть до нуля, если соответствующим образом подобрать очертание ее оси.
Определение. Рациональной называется такая арка, изгибающие моменты в которой равны нулю.
Пусть арка с пролетом l и стрелой подъема fC загружена равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q(x).
Определим очертание рациональной оси такой арки, воспользовавшись
соотношением (2.2). Полагая в нем M(x) = 0 , получим:
M(х)Б Hf(x) = 0,
- 39 -
откуда найдем искомое уравнение:
y = f(x) = M(х)Б/ H.
Подставляя сюда выражение изгибающего момента в простой двухопорной балке, загруженной равномерно распределенной нагрузкой:
M(х)Б = (ql/2)x qx2/2
и учитывая, что в силу (2.1) H = МСБ/fС = (ql2)/(8fС), получим уравнение рациональной оси арки, загруженной равномерно распределенной нагрузкой:
y = f(x) = (4fС/l2)(xl x2).
Как видим, такая арка имеет параболическое очертание.
Примечания:
1. Глобальная система координат Оху, в которой мы рассматриваем арку, не совпадает
с локальной системой координат, введенной в § 1.3, поэтому приведенные там основные
уравнения строительной механики, включая дифференциальные зависимости Журавского
(1.10), в нашем случае выполняться не будут. В частности у рассмотренной арки рационального очертания поперечная сила будет отлична от нуля, несмотря на равенство нулю изгибающего момента.
Это обстоятельство не препятствует определению внутренних усилий и расчету данного класса статически определимых систем на прочность.
2. Что касается перемещений, то в следующей главе будет показано, как перемещения
в арке и в других стержневых системах можно найти, не обращаясь непосредственно к
основным уравнениям строительной механики.
3. В этом пособии мы ограничимся рассмотрением эпюр внутренних усилий в арке
как функций абсциссы х, а не длины дуги s. Отметим, что при этом, в отличие от рам, ось
эпюры не совпадает с осью арки.
- 40 -
ГЛАВА 3.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В
СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМАХ
Если для расчета на прочность достаточно знания внутренних усилий, то
расчет на жесткость требует умения определять перемещения системы. Это
необходимо и для расчета на прочность статически неопределимых систем.
Напомним, что в сопромате мы находили линейные v и угловые перемещения балок с помощью интегрирования дифференциального уравнения
изогнутой оси балки. Применить этот метод для определения перемещений в
рамах практически невозможно: даже для простейшей П-образной рамы, показанной на рис. 2.6, это потребует решения трех дифференциальных уравнений –
по одному для каждого участка рамы и последующей стыковки полученных
решений с учетом условий сопряжения в ее узлах. С увеличением числа стержней у рамы трудности будут быстро нарастать.
К счастью, для решения большинства задач в механике есть два подхода:
первый основан на решении дифференциального уравнения, а второй – часто
более эффективный – связан с использованием понятий работа и энергия, к
рассмотрению которых мы сейчас и приступаем.
3.1. Работа сил, приложенных к твердому телу
Рассмотрим точку M, которая перемещается по кривой АВ. Пусть P – сила, приложенная к точке, а ds – вектор элементарного перемещения, направленный по касательной к ее траектории (рис. 3.1).
Рис.3.1
Определение. Элементарной работой силы P называется скалярное произведение вектора силы и вектора элементарного перемещения:
dA(P) = (P ds) = Pcos ds,
(3.1)
где – угол между векторами P и ds.
Работа силы на конечном перемещении определяется как интеграл от
элементарной работы силы:
В
A(P) =
А
В
(P ds) =
А
Pcos ds .
(3.2)
- 41 -
Рассмотрим частные случаи применения этих формул.
Работа постоянной силы на прямолинейном перемещении. Пусть
вектор силы P остается постоянным по модулю и по направлению и приложен к
телу, перемещающемуся поступательно на расстояние S (рис. 3.2).
Рис.3.2
В соответствии с формулой (3.2) работа силы будет равна:
S
A (P) = Pcos ds = PS cos .
(3.3)
0
Очевидно, что:
A (P)
> 0, если 0 < /2;
= 0, если = /2;
< 0, если /2 < .
Отметим, что работа силы равна нулю, если сила перпендикулярна к перемещению точки ее приложения.
Работа силы при вращении тела. Рассмотрим тело, закрепленное на
оси, перпендикулярной к плоскости чертежа и проходящей через центр О.
Элементарная работа силы P, приложенной в точке А этого тела, при его повороте на угол d (рис. 3.3) будет равна:
dA(P) = Pcos ds = PcosOAd = M0 (P) d.
Если вместо силы P к вращающемуся телу приложить момент M, результат не изменится. В самом деле, этот момент можно заменить парой сил (P, P)
с плечом h = OA cos, равных по модулю P = P= M/h, где сила P приложена в
точке A, а P– в центре О. Итак, элементарная работа сил при вращении тела
равна:
dA = M0 d,
где M0 – главный момент сил, приложенных к этому телу.
(3.4)
- 42 -
Рис.3.3
Примечания:
1. В самом общем случае можно рассмотреть движение в плоскости чертежа незакрепленного тела, загруженного произвольной системой сил. Приводя эти силы к произвольному центру O этого тела, то есть, заменяя их главным вектором R0 и главным моментом M0,
мы получим, что элементарная работа сил, приложенных к диску, при его перемещении
будет равна:
dA = ( R0ds0) + M0 d,
где ds0 – элементарное перемещение центра О, а d – элементарный поворот тела.
2. Работа момента (или пары сил), приложенных к твердому телу, движущемуся
поступательно, то есть без вращения, равна нулю.
3. Размерность работы в соответствии с (3.3) равна произведению размерности силы
на размерность перемещения:
A = P S = Н м = Дж.
3.2. Работа сил, приложенных к деформируемому телу
Работа упругой силы. Простейшей моделью деформируемого тела является обыкновенная пружина. Пусть ее левый конец закреплен, а правый – совпадает с началом системы координат Ox (рис. 3.4, а). Чтобы растянуть пружину
с жесткостью c на величину x, надо приложить внешнюю упругую силу P = cx ,
которая равна по модулю и направлена противоположно внутренней упругой
силе пружины FУПР = P (рис. 3.4, б).
Вообще, в механике упругой называется сила, модуль которой пропорционален величине смещения точки ее приложения.
В нашем случае работа упругой силы P будет равна:
x
A (P) =
0
x
Pdx =
cxdx = cx2/2 = Px/2.
0
Итак, работа упругой силы равна половине произведения максимального
значения силы на величину вызванного ею перемещения:
A (P) = Px/2.
(3.5)
- 43 -
Рис.3.4
Отметим, что работа внешней упругой силы положительна, а работа
внутренней упругой силы FУПР = P отрицательна: A (FУПР) = A (P).
В дальнейшем работу внутренних сил деформируемого тела будем обозначать буквой W, а букву A сохраним для обозначения работы приложенных к
нему внешних сил. При этом A = W.
Работа сил при деформации упругого тела. Рассмотрим в качестве
такого тела простую двухопорную балку с зафиксированными на ней точками i
и j (рис. 3.5, а).
Рис.3.5
Приложим в точке i упруго или статически силу Pi – эти термины означают, что в процессе загружения балки сила изменяет свою величину от нуля
до максимального значения, которому соответствует изогнутая ось балки, показанная на рис. 3.5, а пунктиром. Обозначим через ii и ji перемещения точек i
и j , вызванные силой Pi.
- 44 -
Зафиксируем силу Pi и дополнительно приложим к балке в точке j – также статически силу Pj. Под действием последней точка i получит дополнительное перемещение ij, а точка j – дополнительное перемещение jj (рис. 3.5, б).
Подсчитаем работу, совершенную этими силами при деформации балки:
A (Pi) =1/2 Piii+ Piij;
(3.6)
A (Pj) =1/2 Pjjj.
(3.7)
Отметим, что на первом этапе загружения сила Pi является упругой, а
балка играет роль пружины, поэтому первое слагаемое в (3.6) вычисляется по
формуле (3.5). На втором этапе загружения Pi = const и ее работа вычисляется
по формуле (3.3).
Таким образом, работа постоянной силы Pi на перемещении ij , вызванном «чужой» силой Pj вычисляется без коэффициента 1/2.
Примечания:
1. При деформации балки точки, лежащие на ее оси, получают не только линейные
перемещения i (совпадающие с прогибами vi), но угловые i, поэтому если вместо упругой
силы Pi в этой точке приложить упругий момент Mi, формула (3.6) примет вид:
A(Mi) = 1/2Miii +Miij ,
где ii – угол поворота сечения в точке i, вызванного упругим моментом Mi, а ij – угол
поворота сечения в точке i, вызванного силой Pj.
2. Напомним, что в общем случае перемещение всякой точки стержневой системы
определяется тремя компонентами: ui, vi, i – смотри уравнения 1.11 в §1.3. Обозначения i ,
введенные в этом параграфе являются традиционными в строительной механике и применяются как для линейных, так и для угловых перемещений. Таким обобщенным перемещениям
i соответствуют обобщенные силы: обычные P для линейных перемещений и моменты M –
для угловых. При этом произведение обобщенной силы на обобщенное перемещение имеет
размерность работы.
3. Как известно из курса физики, работа, совершенная внешними силами при деформировании упругого тела, равна потенциальной энергии, приобретенной этим телом.
3.3. Общие теоремы строительной механики
Теорема Бетти (о взаимности работ). Рассмотрим два состояния упругой системы (рис. 3.6). Соответствующие им силы назовем силами первой и
второй группы. Представим себе два варианта загружения балки:
1) Вначале статически приложим силы первой группы, затем их зафиксируем и добавим – также статически – силы второй группы. Очевидно, что процедура, показанная на рис. 3.5, является частным случаем рассматриваемой,
поэтому по аналогии с формулами (3.6) и (3.7) суммарную работу нагрузки
можно представить в следующем виде:
- 45 -
AI = A11 + A12 + A22,
где A11 – работа первой группы сил на вызванных ими перемещениях;
A12 – работа первой группы сил на перемещениях, вызванных силами второй группы;
A22 – работа второй группы сил на вызванных ими перемещениях.
Рис.3.6
2) Во втором варианте загружения вначале статически приложим силы
второй группы, затем их зафиксируем и добавим силы первой группы. В этом
случае суммарная работа сил будет равна:
AII = A22 + A21 + A11.
Работа сил, приложенных к идеально упругому телу, не зависит от истории загружения и определяется только начальным и конечным состоянием
системы, поэтому, приравнивая AI и AII, получим:
A12 = A21 .
(3.8)
Итак, теорема Бетти утверждает, что работа первой группы сил на перемещениях, вызванных силами второй группы, равна работе второй группы
сил на перемещениях, вызванных силами первой группы.
Поскольку работа внешних сил равна и противоположна по знаку работе
внутренних сил: A = W, теорема Бетти справедлива и для них:
W12 = W21 .
Отметим, что эта теорема является основной среди общих теорем строительной механики – две другие можно рассматривать как следствия теоремы
Бетти.
Теорема Максвелла (о взаимности удельных перемещений). Рассмотрим два состояния упругой системы. Пусть первое из них представлено силой
- 46 -
Pi = 1 , приложенной в точке i , а второе – силой Pj = 1, приложенной в точке j
(рис. 3.7).
Рис.3.7
Здесь и в дальнейшем удельные перемещения мы будем обозначать не заглавными буквами i, а строчными – i .
Поскольку перемещение всякой точки упругой системы, пропорционально приложенной силе, между ji на рис. 3.5, а и ji на рис. 3.7 существует зависимость: ji = Piji или, сменив последовательность индексов на более привычную:
ij = Pj ij.
(3.9)
Воспользуемся теоремой Бетти, записав формулу (3.8) в виде:
Pi ij = Pjji .
Учитывая, что в последнем выражении Pi = Pj = 1, получим:
ji = ij
(3.10)
Итак, теорема Максвелла утверждает, что перемещение точки i от
единичной силы, приложенной в точке j , равно перемещению точки j от
единичной силы, приложенной в точке i.
Теорема Релея (о взаимности удельных реакций). Для СНС в качестве
внешних сил, фигурирующих в теореме Бетти, могут выступать реакции, вызванные кинематическими воздействиями.
Рассмотрим два состояния упругой системы, где первое соответствует
единичному смещению i – ой моментной связи на левом конце балки, а второе
– единичному смещению j – ой линейной связи на ее правом конце. Обозначим
через ij и ij линейное перемещение и угол поворота i – ой связи от единичного смещения j – ой связи (рис. 3.8).
- 47 -
Рис.3.8
Работа первой группы сил на перемещениях второго состояния системы
будет равна:
A12 = riiij + rjijj = rii 0 + rji 1 = rji.
Аналогично находим работу второй группы сил на перемещениях первого
состояния:
A21 = rij ii + rjj ji = rij 1 + rjj 0 = rij.
Подставляя полученные выражения в (3.8), получим:
rij = rji .
(3.11)
Таким образом, теорема Релея утверждает, что реакция i-ой связи от
единичного смещения j-ой связи равна реакции j-ой связи от единичного
смещения i-ой связи.
Примечания:
1. Если вместо единичной силы в точке i приложить единичный момент, зависимость
(3.10) примет вид:
ij = ij .
Как видим, удельные перемещения ij могут иметь различную размерность. Проще
всего ее найти из (3.9), принимая в этом выражении ij за обобщенное перемещение, а Pj - за
обобщенную силу. Тогда ij = ij / Pj и мы получим:
а) для силы, приложенной в точке j:
– ij = м/Н, если ij - линейное перемещение;
– ij = 1/Н, если ij - угловое перемещение.
б) для момента, приложенного в точке j:
– ij = м/(Нм) = 1/Н, если ij - линейное перемещение;
– ij = 1/(Нм), если ij - угловое перемещение.
2. Приведенное доказательство теоремы Релея может показаться неубедительным. В
самом деле, мы ссылаемся в нем на теорему Бетти, в которой рассматриваются два состояния одной и той же системы, загруженной различной нагрузкой. Можно ли это утверждать
в отношении двух балок, изображенных на рис. 3.8, а и 3.8, б? Ответ на этот вопрос будет
положительным, если учесть следующее:
а) принцип освобождаемости от связей справедлив в отношении как СОС, так и СНС;
- 48 б) если реакции связей СОС вторичны, то есть появляются только в ответ на действие
активных сил и образуют с ними уравновешенную систему, то реакции связей СНС, вызванные кинематическими воздействиями, образуют самоуравновешенную систему сил;
в) напряженно-деформированное состояние в заданной СНС, вызванное смещением iой связи, тождественно НДС в эквивалентной упругой системе, полученной из заданной
путем устранения этой i-ой связи и загруженной активной силой, равной ее реакции.
Поскольку в нашем примере на рис. 3.8 речь идет о двух связях, для получения одной
и той же системы нужно удалить обе. Если при этом число лишних связей заданной СНС
будет меньше или равно двум, полученная система будет, очевидно, статически определимой
или даже подвижной.
Итак, действительно две балки на рис. 3.8, а и 3.8, б можно интерпретировать как два
состояния одной и той же системы (рис. 3.9, а, б).
Рис.3.9
3.4. Работа внутренних сил плоской стержневой системы
Рассмотрим два состояния плоской стержневой системы, в качестве представителя которой выберем раму.
Обозначим через M1, Q1, N1 внутренние силы первого, а через M2, Q2, N2 –
внутренние силы второго состояния. Последним будут соответствовать деформации κ2, 2, 2 и перемещения u2, v2, 2 , связанные зависимостями из §1.3:
dN2/dx = – qx;
dQ2/dx = qy;
dM2/dx = Q2 .
κ 2 = d2/dx;
2 = 2 – dv2/dx;
2 = du2/dx .
κ 2 = M2/EJ;
2 = Q2/GF;
2 = N2/EF.
(1.10)
(1.11)
(1.12)
Напомним, что по отношению к элементу рамы длиной dx внутренние
силы, несмотря на название, являются такими же внешними, как и равнодействующая распределенной нагрузки (рис. 3.10, а).
Вычислим работу внутренних сил M1, Q1, N1 на перемещениях второго
состояния системы (рис. 3.10, б):
- 49 -
dA12 = N1u2 + (N1+ dN1)(u2 + du2) + Q1v2 (Q1+ dQ1)(v2 + dv2) M12 +
+(M1+ dM1)( 2+d2) +qxdx(u2 + du2/2) + qydx(v2 + dv2/2) = N1u2 + N1u2 +
+ N1du2 + dN1u2 + dN1du2 + Q1v2 Q1v2 Q1dv2 dQ1v2 dQ1dv2 M12+
+ M12 + M1d2 + dM12 +dM1 d2 + qxdx(u2+du2/2) + qydx(v2+dv2/2).
(3.12)
Рис.3.10
Пренебрегая в (3.12) слагаемыми, подчеркнутыми сплошной чертой, как
бесконечно малыми второго порядка и воспользовавшись (1.10) для членов,
подчеркнутых волнистой линией, получим:
dA12 = N1du2 - Q1dv2 + M1d2 – qxdxu2 + qxdxu2 + qxdxdu2/2 – qydxv2 +
+ qydxv2 + qydxdu2/2 + Q1dx2.
(3.13)
Снова, отбрасывая в последнем выражении слагаемые подчеркнутые
сплошной чертой как бесконечно малые второго порядка и используя (1.11)
для второго члена, подчеркнутого волнистой линией, будем иметь:
dA12 = N12dx + M1κ 2dx - Q1(2-2)dx + Q1dx2 =
= (M1κ 2 + Q12 + N12)dx.
(3.14)
Наконец, выражая в (3.14) деформации через внутренние усилия с помощью (1.12), найдем для элемента рамы длиной ds:
dA12 = ( M1M2/EJ + Q1Q2/GF + N1N2/EF ) ds.
Полная работа получается интегрированием по длине стержня и суммированием по всем участкам рамы. С учетом знака получим окончательное выражение работы внутренних сил первого состояния на перемещениях второго
состояния:
W12 = A12 = ( M1M2/EJ + Q1Q2/GF + N1N2/EF ) ds.
(3.15)
- 50 -
3.5. Интеграл Мора-Максвелла
С помощью (3.15) нетрудно получить формулу для определения перемещения i-ой точки упругой системы от приложенной нагрузки.
Рассмотрим два состояния системы: первое – от заданной нагрузки и
второе – от единичной силы или единичного момента, приложенных в точке i в
направлении искомого линейного или, соответственно, углового перемещения
– (рис. 3.11). Обычно первое из этих состояний называют действительным, а
второе – возможным или виртуальным.
Рис.3.11
Обозначим через ip искомое перемещение точки i – в нашем примере на
рис. 3.11, а – это вертикальное линейное перемещение.
Пусть Mp, Qp, Np – внутренние усилия первого состояния, аMi, Qi, Ni –
внутренние силы второго состояния.
Воспользовавшись теоремой Бетти:
A12 = A21,
где
A21 = Piip = 1ip = ip,
а
A12 = – W12,
получим с помощью (3.15) искомую формулу для определения перемещений,
которая называется интегралом Мора-Максвелла:
ip = ( MpMi /EJ + QpQi /GF + NpNi /EF )ds.
(3.16)
Таким образом, для определения линейного (углового) перемещения точки i упругой системы в заданном направлении от заданной нагрузки необходимо:
– построить эпюры Mp, Qp, Np в заданной системе от заданной нагрузки;
- 51 -
– построить эпюры Mi, Qi, Ni от единичной силы (единичного момента), приложенной в точке i в направлении искомого перемещения;
– вычислить интеграл (3.16).
Отметим, что перемещения в балках и рамах определяются в основном
изгибными деформациями, поэтому для таких систем вместо (3.16) можно
воспользоваться формулой:
ip = ( MpMi /EJ)ds .
(3.17)
Наоборот, в фермах отсутствуют изгибающие моменты и поперечные
силы, поэтому перемещения здесь полностью определяются продольными
деформациями:
ip = (NpNi /EF ) ds=(Npk Nik /EFk)lk,
(3.18)
где lk и EFk – соответственно длина и продольная жесткость k-го стержня фермы.
Примечания:
1. Вычисление интеграла (3.17) условно называют перемножением эпюр Mp иMi и
записывают это в виде: ip = (Mp Mi).
2. При вычислении перемещений, как правило, пренебрегают деформациями сдвига.
3. При выводе формулы (3.16) нигде не предполагалось, что заданная система является статически определимой, поэтому эта формула верна как для СОС, так и для СНС. Тем не
менее, в названии главы фигурируют только СОС поскольку, во-первых, пока в нашем
распоряжении нет удобного метода определения внутренних усилий в СНС, а во-вторых, для
последних систем формулу (3.16) можно упростить.
3.6. Формула Верещагина
Интеграл (3.17) можно вычислить аналитически, однако если жесткости
стержней постоянны, удобнее воспользоваться другим способом, который
обычно и применяют на практике.
Учитывая, что эпюраMi от единичного силового фактора является кусочно-линейной, можно выбрать промежутки a,b, где она будет просто линейной. Тогда выбирая начало локальной системы отсчета так, как показано на
рис. 3.12, б, ее уравнение можно записать в виде: Mi(x) = tgx. При этом интеграл в (3.17) примет вид:
b
b
a
( MpMi /EJ)dx = (tg/EJ)
a
x Mp dx.
(3.19)
- 52 -
Рис.3.12
Обозначая через площадь эпюры Mp:
=
b
d =
Mp dx ,
a
и учитывая, что ее статический момент относительно оси Oy равен:
Sy = xd = xc,
представим (3.19) в виде:
b
(tg/EJ)
a
x Mp dx = (tg/EJ)
xd= (tg/EJ) xc = (yc)/EJ,
где yc = tgxc.
Возвращаясь к формуле (3.17), получим:
ip = (kyck)/(EJk).
(3.20)
Таким образом, чтобы перемножить две эпюры, из которых хотя бы
одна является линейной, нужно вычислить площадь криволинейной эпюры –
и умножить ее на ординату yc в линейной эпюре, вычисленную под центром
тяжести криволинейной.
Для реализации формулы (3.20) остается рассмотреть геометрические
характеристики стандартных эпюр (рис. 3.13), где две последние – соответствуют эпюрам от равномерно распределенной нагрузки. Поскольку любую
- 53 -
нестандартную эпюру можно представить комбинацией стандартных, с помощью последних можно перемножить произвольные эпюры.
Рис.3.13
Примечания:
1. При выводе формулы (3.20) криволинейная эпюра Mp с площадью предполагается однозначной. Если это условие не выполнено, ее представляют комбинацией двух или
большего числа стандартных эпюр.
2. Для вычисления интеграла (3.17) можно применять формулы численного интегрирования, в том числе – формулу Симпсона:
b
f ( x)dx = (b – a)/6 f(a) + 4f (a + b)/2 + f(b),
a
которая позволяет получить точный результат, если функция f (x) является многочленом до
третьей степени включительно.
- 54 Таким образом, если на всем промежутке a,b эпюра Mi линейна, а эпюра Mp
является квадратичной параболой, интеграл (3.17) можно вычислить по формуле:
ip=(lk/6EJk) Mp(ak) Mi(ak) +4 Mp (ak +bk)/2 Mi (ak+bk)/2+Mp(bk) Mi(bk) . (3.21)
При этом однозначности эпюры Mp на промежутке a,b не требуется, а формулу можно,
конечно, применять и для линейной функции Mp(x).
3.7. Примеры определения перемещений
Рассмотрим примеры определения перемещений в СОС от действующей
нагрузки. Во всех случаях изгибная жесткость элементов системы – EJ и их
продольная жесткость – EF предполагаются известными.
Пример 3.1. Определить максимальные прогибы балки (рис. 3.14, а).
Рис.3.14
Решение. В соответствии с формулой (3.17) строим эпюру Mp от заданной
нагрузки (рис. 3.14, б) и эпюру Mi от единичной силы, приложенной в середине балки (рис. 3.14, в).
Вычислим интеграл (3.17) по формуле Верещагина. На всем промежутке
0,l эпюра Mp является однозначной, то есть отвечает предъявляемым к ней
требованиям, а эпюраMi на всем промежутке 0,l будет нелинейной. Поэтому
область интегрирования делим на два участка: 0, l/2 и l/2, l, на каждом из
которых Mi(x) будет линейной. С учетом симметрии получим:
vmax = ip = 2 (1 yc1)/EJ = 2 (2/3)( l/2)(ql2/8)(5/8)(l/4) = 5ql4/384EJ.
Для того чтобы получить тот же результат с помощью интегрирования
дифференциального уравнения изогнутой оси балки, нужно затратить пример-
- 55 -
но втрое больше усилий – хотя бы потому, что придется находить угол поворота балки в ее начальном сечении – 0.
Формально воспользовавшись для всего промежутка 0,l формулой
Симпсона (3.21), и учитывая, что значения Mp иMi на его концах равны нулю,
получим:
vmax = (l/6EJ)4(ql2/8)(l/4) = ql4/48EJ.
Найденный результат оказался неверным, поскольку на всем промежутке
0,l подынтегральная функция f(x) = Mp(x) Mi (x) не отвечает требованиям,
предъявляемым к ней этой формулой.
Пример 3.2. Найти линейное и угловое перемещения точки A на конце Гобразной консольной рамы, у которой жесткость стойки вдвое больше жесткости ригеля (рис. 3.15, а).
Рис.3.15
Решение. Строим эпюру Mp от заданной нагрузки и эпюрыMi от единичных сил и моментов, приложенных в точке A (рис. 3.15, б-д).
Определяем вертикальное перемещение точки А, перемножая эпюры Mp
в
иM :
в = (Mp M в) = (1/EJ) 1 y1 + (1/2EJ) 2 y2 = (1/EJ)(1/3)l (ql2/2)(3/4)l +
+ (1/2EJ) l(ql2/2)l = (3/8)(ql4/EJ).
- 56 -
Находим горизонтальное перемещение точки А:
г = (Mp M г) = (1/2EJ) l(ql2/2)(l/2) = (1/8)(ql4/EJ).
Полное перемещение точки А составит:
___________
__
в 2
г 2
А = ( ) + ( ) = (10 ql4)/8EJ.
Угол поворота сечения в точке А будет равен:
А = (Mp M у) = (1/EJ) 11 + + (1/2EJ) 21 = (1/EJ)(1/3)l (ql2/2)1 +
+ (1/2EJ) l(ql2/2)1 = (5ql3/12EJ ).
Рассмотренный пример наглядно показывает, почему при определении
перемещений в рамах мы пренебрегаем продольными деформациями. Вертикальное перемещение точки А от заданной нагрузки в основном определяется
изгибом ригеля, изгибом стойки и только в очень незначительной степени – ее
сжатием.
Пример 3.3. Найти угол поворота сечения на правой опоре рамы, рассмотренной в примере 2.5, полагая EJ = const (рис. 2.9, а).
Рис.3.16
Решение. Воспользуемся уже построенной ранее эпюрой Mp от заданной
нагрузки (рис. 2.9, б) и (рис. 3.16, а), и умножим ее на эпюруMi от единичного
момента (рис. 3.16, б). На левой стойке и ригеле эпюра Mp представлена тремя
- 57 -
треугольниками с равной площадью тр = (1/2)l (ql2/4), которые умножаются
на три одинаковых треугольника в эпюре Mi.
Нестандартную эпюру Mp на правой стойке с площадью пар представим
суммой стандартных эпюр: параболы с площадью 1 и треугольника с площадью 2 (рис. 3.16, в).
Поскольку перемножаемые эпюры расположены на разных волокнах,
результат получится со знаком минус. Как и при определении опорных реакций, это означает, что действительное направление угла поворота будет противоположно направлению, указанному на рисунке:
В = (Mp Mi) = (1/EJ) (–3) тр yтр - пар yпар = – (1/EJ) 3тр yтр+1 y1+
+2 y2 = – (1/EJ) 3 (1/2) l (ql2/4) (2/3)(1/2) + (2/3) l (ql2/8)
(1/2)(1/2+1) + (1/2) l (ql2/4) (2/3)(1/2) + (1/3)1 = – (11ql3) / (48EJ).
- 58 -
ГЛАВА 4.
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ
БАЛОК И РАМ МЕТОДОМ СИЛ
4.1. Свойства статически неопределимых систем
Напомним, что статически неопределимыми называются системы, у
которых внутренние усилия нельзя найти, используя лишь уравнения равновесия (1.10). Если при этом указанные уравнения позволяют определить опорные
реакции, система называется статически неопределимой внутренним образом.
Отличительной особенностью СНС является наличие дополнительных
или лишних связей – внешних или внутренних, число которых для произвольной стержневой системы можно найти по формуле:
Л = СО + 2Ш – 3Д,
(1.2)
где
СО – число опорных связей,
Ш – число простых шарниров, соединяющих диски друг с другом,
Д – число дисков.
Число лишних связей фермы, как уже отмечалось в § 1.2.2., удобнее определять
по формуле:
Л = СО + С – 2У,
(1.4)
где
СО – число опорных связей,
С – число стержней фермы,
У – число ее узлов.
Нетрудно убедиться, что для рам вместо формулы (1.2) удобнее использовать формулу:
Л = 3К – Ш ,
(4.1)
где
Л – число лишних связей,
К – число замкнутых контуров, образованных стержнями рамы и поверхностью земли,
Ш – суммарное, в отличие от приведенных в формуле (1.2), число простых шарниров (включая опорные).
В самом деле, число лишних связей П-образной рамы, не содержащей
шарниров и образующей один контур (рис. 4.1, а), можно найти по формуле
(1.2):
Л = 6 + 0 – 31 = 3.
Введение в контур рамы простого шарнира уменьшает на единицу число
связей системы, откуда и следует (4.1).
При определении числа шарниров по формуле (4.1) кратный шарнир,
соединяющий n стержней, заменяют (n – 1) простым.
- 59 -
Рис.4.1
Подвижную опору рекомендуется изображать на схеме так, как показано
на рис. 4.1, б, то есть считать ее эквивалентной двум простым шарнирам, включенным в контур. При этом для рассматриваемой схемы получим:
Л = 33 – 5 = 4.
Наличие лишних связей повышает стойкость системы к разрушению и
позволяет проектировать более экономичные конструкции.
Переходя к перечислению свойств СНС можно отметить следующее:
1. Устранение ненулевых связей СНС не обязательно приводит к ее разрушению – в отличие от СОС, рассмотренных в §2.1. Например, при достаточном запасе прочности статически неопределимой фермы (рис. 4.2, а) удаление
стержня нижнего пояса (рис. 4.2, б) вызовет перераспределение усилий в
остальных стержнях, приведет к увеличению прогибов, но не будет иметь катастрофических последствий.
Рис.4.2
2. Опорные реакции и внутренние усилия в СНС возникают не только под
действием силовых, но также вследствие кинематических и температурных
воздействий.
3. В отличие от СОС опорные реакции и внутренние усилия в СНС зависят от физических свойств материала и геометрии поперечных сечений элементов системы.
- 60 -
Теория расчета СНС появилась в конце 19 – начале 20 столетия. Основными методами расчета таких систем являются метод сил (МС) и метод перемещений (МП).
4.2. Суть метода сил. Канонические уравнения МС
Основная идея метода сил очень проста и может быть рассмотрена на
следующем примере.
Пример 4.1. Определить реакцию RB статически неопределимой балки от
заданной нагрузки, полагая ее жесткость равной EJ (рис. 4.3, а).
Рис.4.3
Решение. В соответствии с принципом освобождаемости от связей отбросим опору B , заменив ее неизвестной реакцией RB (рис. 4.3, б).
В полученной системе, которая называется основной (ОС) и может рассматриваться как статически определимая, если считать RB известной, точка B
может перемещаться – как от заданной нагрузки, так и от силы RB (рис. 4.3, в –
г).
Перемещение точки B под действием силы Р найдем с помощью процедуры, рассмотренной в предыдущей главе: В = (Mp0 MB0), где Mp0 – эпюра от
заданной нагрузки в основной системе, а MB0 – соответствующая эпюра от
единичной силы, приложенной в точке B (рис. 4.3, д – е). Перемножая их по
правилу Верещагина, получим:
- 61 -
В(P) = (1/EJ)(1/2)(l/2)(Pl/2)(5/6)l = 5Pl3/48EJ.
При определении перемещения В(RB) в качестве нагрузки выступает
реакция RB. Поскольку соответствующая эпюра отличается от эпюрыMB0 только множителем (рис. 4.3, ж), это перемещение можно представить в виде:
В(RB) = (MRB0MB0) = ( RB) (MB0MB0) = ( RB)BB ,
где BB перемещение точки B от единичной силы, приложенной в этой точке:
BB = (MB0MB0) = (1/EJ) (1/2) ll(2/3)l = l3/(3EJ).
Поскольку в заданной системе точка B закреплена и не может перемещаться в вертикальном направлении, потребуем, чтобы и в основной системе
перемещение точки В от одновременного действия силы P и реакции RB или,
что то же самое, алгебраическая сумма ее перемещений от каждого из этих
воздействий равнялась нулю:
В(P,RB) = В(P) +В(RB) =5Pl3/48EJ + ( RB)(l3)/(3EJ) = 0,
откуда и получим искомую реакцию: RB = (5/16) P.
В общем случае СНС имеет не одну, а n дополнительных связей, реакции
которых выступают в качестве равноправных неизвестных МС и обозначаются
X1, X2, …, Xn.
Например, статически неопределимая рама на рис. 4.4, а имеет 3 лишние
связи, в качестве которых можно выбрать 2 линейных и 1 моментную связь,
соответствующие жесткому защемлению в точке В.
Отбрасывая эту опору и заменяя ее действие реакциями X1, X2, X3, получим основную систему, показанную на рис. 4.4, б. Требование, чтобы она вела
себя как заданная, означает, что
1 (X1, X2, X3, P) = 0,
2 (X1, X2, X3, P) = 0,
3 (X1, X2, X3, P) = 0,
(4.2)
где i (X1, X2, X3, P) – перемещение точки приложения Xi в направлении Xi от
всех перечисленных факторов: X1, X2, X3 и от заданной нагрузки. На основании
принципа суперпозиции запишем последние уравнения в виде:
11 X1 + 12 X2 + 13 X3 + 1p0 = 0,
21 X1 + 22 X2 + 23 X3 + 2p0 = 0,
31 X1 + 32 X2 + 33 X3 + 3p0 = 0,
(4.3)
- 62 -
ij – перемещение точки приложения Xi в направлении Xi от Xj = 1, а
ip0– перемещение точки приложения Xi в направлении Xi от заданной
нагрузки в основной системе.
где
Рис.4.4
Напомним, что для балок и рам эти перемещения определяются по формулам:
ij = (Mi0 Mj0) = (Mi0Mj0 /EJ)ds,
(4.4)
- 63 -
ip0= (Mi0 Mp0)= (Mi0Mp0 /EJ)ds,
(4.5)
где Mi0 иMp0 – эпюры от Xi = 1 и от заданной нагрузки в основной системе
метода сил.
При этом, как в силу теоремы Максвелла – (3.10), так и непосредственно
из выражения (4.4) следует, что удельные перемещения симметричны:
ij = ji .
Уравнения (4.3) называются каноническими уравнениями метода сил.
Они справедливы не только для рам, но и для любых статически неопределимых стержневых систем. Каждое из уравнений этой системы имеет геометрический смысл – оно выражает отсутствие перемещения в основной системе в
направлении отброшенной лишней связи. В качестве неизвестных выступают
силы: X1, X2, X3, откуда – название метода.
Для n неизвестных систему канонических уравнений МС можно записать
в следующем виде:
ij Xj + ip0= 0; (i = 1,2,…, n).
(4.6)
Решив эту систему уравнений и определив неизвестные X1, X2, …, Xn, мы
сведем дальнейший расчет СНС к расчету статически определимой основной
системы, загруженной заданной нагрузкой и найденными реакциями дополнительных связей.
Рассмотрим еще один пример определения опорных реакций статически
неопределимой рамы. Здесь и в дальнейшем изгибные жесткости элементов
системы будем считать известными и равными EJ, если в условии не оговаривается иное.
Пример 4.2. Определить опорные реакции рамы (рис. 4.5, а), полагая
жесткость EJ постоянной.
Решение.
1) Определяем число лишних связей системы: Л = 3К – Ш = 31 – 1 = 2 и
выбираем основную систему, отбрасывая две линейные связи шарнира В и
заменяя их неизвестными реакциями X1 и X2 (рис. 4.5, б).
Система канонических уравнений (4.4) для данной системы примет вид:
11 X1 + 12 X2 + 1p0 = 0,
21 X1 + 22 X2 + 2p0 = 0.
(а)
2) Строим эпюры изгибающих моментов от единичных значений неизвестных и от заданной нагрузки в основной системе (рис. 4.5, в-д).
3) Вычисляем коэффициенты и свободные члены системы (а):
- 64 -
11 = 8/3EJ;
12 = 4/EJ;
22 = 32/3EJ;
1p0= 2/EJ;
2p0 = 8/3EJ.
4) Решая систему уравнений (а):
(8/3)X1 – 4X2 = 2;
4 X1 + (32/3) X2 = 8/3;
находим: X1 = (12/14) кН; X2 = (1/14) кН.
5) Определяем опорные реакции основной системы от одновременного
действия распределенной нагрузки и найденных неизвестных:
MA = 0;
X = 0;
Y = 0;
MA = 3/7кНм;
XA = 8/7кН;
YA = 2/7кН.
Одновременно эти реакции вместе с найденными ранее X1 и X2 дают ответ
на вопрос, чему равны опорные реакции заданной статически неопределимой
рамы (рис. 4.5, е):
MA = 3/7кНм; XA = 8/7кН; YA = 2/7кН; XB = 6/7кН; YB = 1/14кН.
Примечания:
1.Термин «основная система» применяют как в отношении системы, полученной из
заданной устранением лишних связей и заменой их неизвестными реакциями, так и для
системы, полученной формальным отбрасыванием этих связей.
2. Из формул (4.4) и (4.5) следует, что ij при i j и ip0 могут быть меньше, больше
или равными нулю. Коэффициенты ii, лежащие на главной диагонали матрицы системы
(4.3), должны быть неотрицательными.
3. Строго говоря, основную систему можно называть статически определимой только
после того, как найдены реакции дополнительных связей.
4. При расчете на силовые воздействия решение задачи зависит от соотношения
жесткостей отдельных участков рамы, но не от конкретного значения EJ это следует
непосредственно из формулы (4.6).
4.3. Определение внутренних усилий
После решения системы канонических уравнений (4.6) и определения
реакций лишних связей X1, X2, …, Xn, внутренние усилия можно найти как в
любой статически определимой системе, загруженной заданной нагрузкой и
найденными реакциями этих связей. Однако, учитывая, что в процессе решения
задачи мы построили эпюры M10, M20,…, Mn0 – от единичных значений
неизвестных и эпюру Mp0 – от заданной нагрузки, удобнее воспользоваться
принципом суперпозиции и вычислить эти внутренние усилия по формулам:
- 65 -
Mp = Mp0 + Mi0Xi;
Qp = Qp0 + Qi0Xi ;
Np = Np0 + Ni0Xi;
(4.7)
где Mp, Qp, Np – соответствующие эпюры в заданной СНС от заданной
нагрузки; Mp0, Qp0, Np0– те же эпюры в ОС МС от заданной нагрузки; Mi0, Qi0,
Ni0 – эпюры тех же усилий в ОС МС от Xi = 1.
Рис.4.5
- 66 -
Поскольку при расчете рам учитываются только изгибные деформации,
которым соответствуют изгибающие моменты, по формулам (4.7) определяют
лишь первое из внутренних усилий – Mp. Эпюру Qp удобнее построить по эпюре Mp, используя дифференциальную зависимость Qp = dMp/dx, а эпюру Np – по
эпюре Qp, рассматривая равновесие вырезанных узлов рамы.
Рассмотрим такую процедуру на примере фрагмента рамы, приведенного
на рис. 4.6, а.
Пусть на вертикально расположенных участках k-i и j-l эпюра Mp линейна и знакопостоянна, а на горизонтальном участке i-j, загруженном равномерно
распределенной нагрузкой, представляет собой параболу.
Очевидно, что на последнем участке рамы эпюра Mp не отличается от
эпюры моментов в простой двухопорной балке соответствующего пролета,
загруженной равномерно распределенной нагрузкой и концевыми моментами
(рис. 4.6, б) и ее в общем случае можно представить в виде суммы:
Mp (x) = Mp0 (x) + Mpк(x),
(4.8)
где Mp0 (x) – эпюра от собственной нагрузки внутри пролета, а Mpк(x) – эпюра
от концевых моментов, показанная пунктиром на рис. 4.6, в.
Рис.4.6
Дифференцируя (4.8), и рассматривая полученное выражение на концах
участка, получим:
Qij = Qij0 + (M пр – M лев)/lij,
(4.9)
- 67 -
где Qij и Qij0 – поперечные силы от заданной и от местной нагрузки в i-ом узле
рамы на участке i-j (рис. 4.6, г-д), а М пр и М лев – значения моментов на концах
соответствующей балки, взятые с учетом знаков из сопромата. Аналогично под
Qji будем понимать поперечную силу в j-ом узле этого участка. Тогда в нашем
примере М пр = – Mj, а М лев = – Mi, поэтому
Qij = ql/2 + (Mi – Mj)/lij;
Qji = – ql/2 + (Mi – Mj)/lij.
Применяя соответствующие обозначения для продольных сил, и рассматривая равновесие i-го узла рамы, получим (рис. 4.6, е):
X = 0; Nij = – Qik;
Y = 0; Nik = – Qij.
Аналогичные уравнения, получаемые из условия равновесия рассматриваемого j-го узла рамы, или ригеля i-j в целом, можно использовать для проверки найденных результатов.
Вернемся теперь к рассмотрению рамы на рис. 4.5, а.
Пример 4.3. Построить эпюры внутренних усилий для заданной рамы
(рис. 4.5, а).
Решение.
1) Находим изгибающие моменты по формуле (4.7):
Mp = Mp0 + M10X1 + M20X2,
воспользовавшись найденными ранее значениями X1 и X2 – см. пример 4.2.
На ригеле эта эпюра совпадает с эпюройM10X1 (рис. 4.5, ж), поскольку на
этом участке эпюры Mp0 иM20 равны нулю. Для построения Mp на стойке
достаточно вычислить ее значения в 1-ом узле (рис. 4.5, и): M1 = 2 + (1/7) –
(12/7) = 3/7кНм.
2) При построении эпюры на стойке будем, для определенности, считать
первый узел – левым, а второй – правым. Тогда по формуле (4.9) получим:
Q12 = ql12/2 + (M пр – M лев)/l12 = (12)/2 + (–1/7) – (–3/7)/2 = 1 + 1/7 = 8/7;
Q21 = ql12/2 + (M пр – M лев)/l12 = 1 + 1/7 = 6/7кН.
На ригеле местная нагрузка отсутствует, поэтому (рис. 4.5, к):
Q23 = Q32 = (1/7)/2 = 1/14кН.
3) Для построения эпюры Np достаточно рассмотреть равновесие 2-го
узла рамы:
X = 0; N23 = – Q21 = – 6/7 кН;
- 68 -
Y = 0; N21 = – Q23 = – 1/14 кН.
Для проверки правильности построения эпюр можно рассмотреть равновесие части рамы (рис. 4.5, м), расположенной выше сечения, проведенного
вблизи опор A и B – где известны значения всех трех эпюр:
X = 2 – 6/7 – 8/7 = 0;
Y = 2/7 – 2/7 = 0;
MA= 3/7 – 21 + (6/7)2 – (1/14) 2 = 0.
4.4. Проверка правильности решения
При расчете статически неопределимых балок и рам эпюра Mp имеет
решающее значение. Чтобы убедиться, что реакции лишних связей X1, X2, …, Xn
найдены без ошибок и эпюра Mp построена правильно, выполняют кинематическую проверку.
На втором этапе расчета – при построении эпюр Qp и Np – выполняют
статическую проверку правильности построения этих эпюр.
Кинематическая проверка. Для проверки эпюры Mp ее надо умножить
на каждую из эпюр от единичных значений неизвестных –Mi0. Результат
должен быть равен нулю. Эта проверка имеет наглядный геометрический
смысл и означает, что мы определяем перемещение ip точки приложения Xi в
направлении Xi от заданной нагрузки, которое как это следует из сути метода
сил, должно равняться нулю. В самом деле, учитывая, что формулу (4.7), сменив индекс суммирования i на j, можно записать в виде
Mp = Mp0 + jMj0Xj,
(4.7)
и принимая во внимание формулы (4.4) – (4.6), получим:
ip = k(MpMi0/EJ)ds = k( Mp0 + jMj0Xj) (Mi0 /EJ) ds =
= k(Mp0Mi0/EJ)ds + jk (Mi0Mj0 /EJ)ds Xj =ip0 +jij Xj = 0.
Статическая проверка. Позволяет проверить правильность построения
эпюр Qp и Np по эпюре Mp и принципиально не отличается от такой же проверки эпюр, построенных для СОС. При этом рассматривается равновесие
части рамы, расположенной по одну сторону от сечения, проведенного через
точки, где известны значения всех трех эпюр – Mp , Qp и Np. Соответствующая
процедура для СНС уже была рассмотрена в примере 4.3.
Пример 4.4. Выполнить кинематическую проверку правильности построения эпюры Mp для рамы на рис. 4.5, а в примере 4.3.
- 69 -
Решение. Умножая эпюру Mp (рис. 4.5, и) на единичные эпюрыM10 иM20
(рис. 4.5, в, г) по правилу Верещагина, получим:
1p = (Mp M10) = (1/EJ)(1/2)2(1/7)(1/3)2+(1/2)2(3/7)(2/8)1 –
– (2/3)21 = 0;
0
2p = (Mp M2 ) = (1/EJ) – (1/2) 2(1/7) 2 – (1/2) 2(3/7) 2 +
+ (2/3)2(1/2)2 – (1/2) 2(1/7)(2/3)2 = 0.
Таким образом, кинематическая проверка выполняется.
Переходить к построению эпюр Qp и Np по эпюре Mp целесообразно лишь
после того, как выполнена кинематическая проверка и есть уверенность, что
эпюра Mp построена правильно.
Если ошибку найти не удается, можно попробовать решить задачу, выбрав другую основную систему.
Окончательно можно быть уверенным в правильности решения задачи
лишь при одновременном выполнении кинематической и статической проверок. Отметим, что при этом возможны следующие варианты:
1) Кинематическая проверка выполняется, а статическая – нет. Скорее
всего, это свидетельствует о правильности построения эпюры Mp и ошибке при
построении эпюр Qp или Np.
Гораздо реже, но встречается ситуация, когда эпюра Mp соответствует не
заданной, а какой-либо другой возможной нагрузке.
2) Кинематическая проверка не выполняется, а статическая – выполняется. Это возможно в случае, если правильно построены эпюры Mi0 и Mp0, но
неверно найдены реакции лишних связей Xi. Ошибка возможна при вычислении
коэффициентов, свободных членов системы канонических уравнений, ее решении или при построении эпюры Mp по формуле (4.7).
В студенческих работах нельзя исключать и варианта, когда все эпюры
построены правильно, а ошибка – в самой кинематической проверке.
3) Не выполняются как кинематическая, так и статическая проверки.
Ошибка может быть допущена уже на стадии построения эпюр Mi0 и Mp0 либо
– при построении эпюры Mp по формуле (4.7). При этом в последнем случае
реакции Xi могут быть найдены правильно.
Примечания:
1. В кинематической проверке речь идет о вычислении перемещения ip в системе,
полученной из заданной СНС удалением, по крайней мере, одной i-ой связи и заменой ее
соответствующей реакцией Xi .
2. Эпюру Mi0 для кинематической проверки можно взять в ОС, отличной от той,
которая применялась при построении эпюры Mp.
В системах с одной лишней связью все эпюрыM10, независимо от выбора ОС, с
точностью до множителя будут равны.
- 70 3. Очевидно, если для рамы с двумя лишними связями 1p = 0, а 2p 0, то, скорее
всего, неправильно найдено значение X2, поэтому ошибку следует искать в вычислении 2p0
или 22.
4. Вместо того чтобы умножать эпюру Mp на каждую из единичных эпюрMi0 , ее
можно умножить на их суммуMs0 = iMi0, однако в этом случае будет труднее локализовать ошибку, если окажется, что sp = (Mp Ms0) 0.
4.5. О выборе ОС МС. Признаки ортогональности эпюр
Напомним, что ОС МС получается из заданной СНС удалением лишних
связей и их заменой неизвестными реакциями. Выясним, насколько мы свободны в выборе ОС, и как оценить качество нашего выбора.
Отметим, прежде всего, следующие моменты:
1) ОС выбирается не единственным способом и более того, ее можно
выбрать бесчисленным множеством способов. Например, для рамы на рис. 4.4,
а в качестве ОС, помимо уже рассмотренной на рис. 4.4, б, могут быть выбраны системы, приведенные на рис. 4.4, в-д.
2) Главным и безусловным требованием, предъявляемым к ОС, является
требование ее неподвижности, то есть в качестве ОС нельзя выбрать геометрически изменяемую систему (рис. 4.4, е) или мгновенно изменяемые системы
(рис. 4.4, ж, з).
3) Надо стремиться к выбору рациональной основной системы, чтобы
соответствующая ей система канонических уравнений:
11 X1 + 12 X2 + 13 X3 + 1p0 = 0,
21 X1 + 22 X2 + 23 X3 + 2p0 = 0,
31 X1 + 32 X2 + 33 X3 + 3p0 = 0,
(4.3)
имела как можно более простую структуру.
Для рамы на рис. 4.4, а такой будет ОС, приведенная на рис. 4.4, в. Нетрудно убедиться, что для нее 12 = 21 = 0, 23 = 32 = 0 и система трех линейных
алгебраических уравнений (4.3) распадается на систему двух уравнений для
определения X1 и X3 и одно независимое от них уравнение для определения X2:
11 X1 + 13 X3 + 1p0 = 0,
22 X2 + 2p0 = 0,
31 X1 + 33 X3 + 3p0 = 0.
Чтобы выяснить, почему данная ОС оказалась удобнее остальных и почему для нее 12 = 23 = 0 , введем понятие ортогональности функций или ортогональности эпюр.
Термин «ортогональность» является обобщением понятия «перпендикулярность» и в отношении двух векторов a и b из трехмерного пространства
означает, что скалярное произведение этих векторов равно нулю:
- 71 i 3
(ab) = a b cos (a,b) = axbx + ayby + azbz = ai bi = 0.
i 1
Аналогично ортогональность двух векторов a и b из n-мерного пространства означает равенство нулю суммы произведений их одноименных компонент:
in
(ab) = ai bi = 0.
i 1
(4.8)
Определение. Две функции f(x) и g(x) ортогональны на промежутке 0,l ,
если выполняется соотношение:
l
f(x) g(x) dx = 0.
(4.9)
0
Классическим примером функций, ортогональных на промежутке 0,
являются функции sin x и cos x .
Понятие ортогональности функций является естественным обобщением
ортогональности векторов в n-мерном пространстве.
В самом деле, разбивая промежуток 0,l на n частей длиной x = l/n
узловыми точками xi = i(x), где i = 0,1, … , (n – 1), и переходя в (4.9) к численному интегрированию, получим:
n 1
l
0
f(x) g(x) dx = xlim
0
i0
f (xi) g (xi) x.
Полагая в (4.8) ai = f (xi), bi = g (xi) x и переходя к пределу при x 0, а
n , мы и придем к (4.9).
Наконец, подставляя в (4.9) f(x) = Mi0 и g(x) = Mj0/EJ или g(x) =Mp0/EJ
и обобщая на случай n участков рамы, мы получим условие ортогональности
этих эпюр в виде:
ij = (Mi0Mj0) = (Mi0Mj0 /EJ)ds = 0,
(4.10)
ip0= (Mi0 Mp0)= (Mi0 Mp0/EJ)ds = 0.
(4.11)
Из последних выражений можно получить признаки ортогональности
эпюр:
1) Две эпюры с взаимно нулевыми участками ортогональны. Примером
служат эпюры M10 иM20 на рис. 4.7, в, и 4.7, г, соответствующие выбранной
на рис. 4.7, б основной системе, для которой 12 = 0.
- 72 -
2) Две эпюры ортогональны, если центр тяжести нелинейной эпюры
лежит против нулевой точки линейной.
В качестве примера вернемся к раме на рис. 4.5, а (рис. 4.8, а). Выберем
вместо прежней ОС, показанной на рис. 4.5, б, новую ОС, в которой реакция X2
не перпендикулярна к X1, а направлена к ней под углом = arctg (2/3) (рис. 4.8,
б). На стойке рамы центр тяжести эпюрыM10 (рис. 4.8, в) расположен против
точки, где ордината эпюрыM20 равна нулю (рис. 4.8, г), поэтому по правилу
Верещагина на этом участке их произведение равно нулю. На ригеле наоборот
– эпюреM20 соответствует нулевой участок эпюрыM10, поэтому в целом для
выбранной основной системы 12 = 0.
Рис.4.7
Рис.4.8
- 73 -
3) Симметричная и обратносимметричная эпюры ортогональны. Возвращаясь к раме на рис. 4.4, а (рис. 4.9, а), видим, что для ОС, показанной на
рис. 4.4, в (рис. 4.9, б), эпюрыM10 иM30 будут симметричны (рис. 4.9, в, д), а
эпюраM20 – обратно симметрична (рис. 4.9, г). При этом на левой половине
рамы произведение эпюрM10 иM20 положительно, а на правой – отрицательно
и равно по модулю предыдущему значению, откуда и следует, что 12 = 0. Аналогичное замечание касается 23 = 32 = 0.
Рис.4.9
Примечания:
1. Напомним, что обратносимметричная (в литературе также встречается термин
кососимметричная) эпюра получается из симметричной, если сменить на противоположный
знак для части эпюры расположенной по одну сторону от оси симметрии.
Очевидно, что понятия симметричная и обратносимметричная эпюры являются
обобщением понятий четная и нечетная функции в математике. Для первых f (x) = f (–x), для
вторых f (x) = – f (–x).
2. О симметричных и обратносимметричных эпюрах можно говорить лишь в отношении систем, обладающих свойством симметрии. При этом симметричными должны быть не
только геометрические очертания, но и жесткости элементов конструкции.
3. Для системы с одной лишней связью вопрос о рациональном выборе основной
системы, с учетом примечания 2 из предыдущего параграфа, целиком определяется видом
эпюры Mp0.
4.6. Расчет симметричных систем
При расчете симметричных систем можно упростить структуру системы
канонических уравнений за счет обращения в ноль как коэффициентов ij, так и
свободных членов ip0.
В первом случае соответствующий прием носит название группировки
неизвестных, во втором – результат достигается с помощью разложения
нагрузки на симметричную и обратносимметричную.
- 74 -
Группировка неизвестных применяется для рам, у которых реакции
лишних связей представлены только симметричными неизвестными. Примером
служит рама на рис. 4.10, а для выбранной на рис. 4.10, б основной системы, где
в канонических уравнениях:
11 X1 + 12 X2 + 1p0 = 0;
21 X1 + 22 X2 + 2p0 = 0;
все коэффициенты отличны от нуля.
Чтобы упростить эту систему, перейдем от неизвестных X1 и X2 к новым
неизвестным X1 и X2 по формулам:
X1 = (X1 + X2)/2;
X2 = (X1 X2)/2;
(4.12)
X1 = X1+ X2;
X2 = X1 X2;
(4.13)
где обратное преобразование:
имеет наглядный смысл. При этом неизвестные X1 и X2 соответствуют новой
основной системе (рис. 4.10, в), для которой эпюрыM10 иM20 ортогональны
(рис. 4.10, г, д), а 12 = 0, поэтому соответствующая система канонических
уравнений распадается на два независимых уравнения:
11 X1 + 1p0 = 0,
22 X2 + 2p0 = 0.
Определив групповые или обобщенные неизвестные X1и X2, можно с
помощью (4.13) вернуться к старым переменным X1 и X2.
Разложение нагрузки на симметричную и обратносимметричную
рассмотрим на следующем примере (рис. 4.11, а), где в соответствии с принципом суперпозиции в такой форме представлена заданная нагрузка (рис. 4.11, б,
в). Для выбранной основной системы (рис. 4.11, г) 12 = 0 и расчет от симметричной нагрузки приводит к системе канонических уравнений:
11 X1(1) + 1p0(1) = 0,
22 X2(1) = 0.
(4.14)
При этом 2p0(1) = (M20 Mp0(1)) = 0 в силу ортогональности обратносимметричной эпюры M20 и симметричной эпюры Mp0(1) от первого загружения
(рис. 4.11, б). Поэтому решением (4.14) будет X1(1) 0, X2(1) = 0.
Расчет рамы от второго варианта загружения (рис. 4.11, в) приводит к
системе канонических уравнений:
- 75 -
11 X1(2) = 0;
22 X2(2) + 2p0(2) = 0,
(4.15)
так как в этом случае равен нулю свободный член 1p0(2) = (M10 Mp0(2)). Ее
решением будет X1(2) = 0, X2(2) 0.
Рис.4.10
Искомые реакции от заданной первоначальной нагрузки равны сумме
соответствующих реакций от каждого варианта загружения:
X1 = X1(1) + X1(2) = X1(1);
X2 = X2(1) + X2(2) = X2(2).
Рис.4.11
(4.16)
- 76 -
Полученный результат можно сформулировать в виде следующей теоремы:
Теорема. В симметричных системах, загруженных симметричной
нагрузкой, обратносимметричные неизвестные равны нулю и, наоборот – в
симметричных системах, загруженных обратносимметричной нагрузкой
равны нулю симметричные неизвестные.
Примечания:
1. Очевидно, что суть рассмотренных методов одинакова: в первом случае суммой
симметричных и обратносиметричных сил представляют реакции, во втором – приложенную
нагрузку.
2. Рассмотренные приемы расчета удобны для сравнительно простых систем с небольшим числом неизвестных, когда они имеют наглядную интерпретацию. Однако такая
идея симметризации неизвестных может быть обобщена на решение произвольных систем
алгебраических уравнений.
3. Пример рамы на рис. 4.10, б носит иллюстративный характер – в данном случае
решение можно было упростить за счет выбора рациональной основной системы (рис. 4.10,
е), для которой 12 = (M10M20) = 0. Отметим, что основная система при этом остается
несимметричной.
4.7. Расчет неразрезных балок
Неразрезной балкой называется статически неопределимая система, образованная из простой двухопорной балки введением дополнительных промежуточных опор. Эти опоры добавляют в целях уменьшения изгибающих моментов
в пролете, и их число равняется степени статической неопределимости полученной системы (рис. 4.12, а).
В отличие от неразрезной балки разрезная или шарнирно-консольная
балка является статически определимой системой, она образована из первой
введением шарниров во всех пролетах кроме одного и расчет такой составной
системы принципиально не отличается от расчета статически определимых рам
рассмотренного во второй главе.
Для расчета неразрезных балок можно применить метод сил, выбрав в
качестве основной систему, полученную из заданной системы устранением
всех промежуточных опор (рис. 4.12, б). Однако такая система не является
рациональной, поскольку для нее каждая из эпюр Mi0 и эпюра Mp0 отличны от
нуля на всей длине балки, а значит, ни один из коэффициентов ij и свободных
членов ip0 не равен нулю.
Гораздо эффективнее будет основная система, которая получается из
заданной системы введением шарниров над каждой из промежуточных опор
(рис. 4.12, в). Она представляет собой цепочку простых двухопорных балок,
поэтому каждая из эпюр Mi0 не выходит за пределы двух смежных пролетов
(рис. 4.12, г-е). Аналогичное замечание можно сделать и в отношении эпюры
Mp0, которая также будет иметь локальную структуру (рис. 4.12, ж).
Нетрудно заметить, что независимо от числа промежуточных опор уравнение для i-ой опоры неразрезной балки будет иметь вид:
- 77 -
i1, i Xi1 + i,i Xi + i+1, i X i+1+ i p0 = 0.
(4.17)
Это уравнение называется «уравнением трех моментов», поскольку в
качестве неизвестных выступают изгибающие моменты над i-ой опорой неразрезной балки и еще над двумя опорами смежными с ней.
Рис.4.12
Примечание.
В качестве исходной балки для получения неразрезной помимо простой двухопорной
балки можно взять балку с одним или двумя жесткозащемленными концами.
- 78 -
ГЛАВА 5.
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ
АРОК И ФЕРМ МЕТОДОМ СИЛ
5.1. Расчет статически неопределимых ферм
Отметим, прежде всего, что фермы могут быть статически неопределимыми внешним и внутренним образом (рис. 5.1). У первых основная система
МС получается отбрасыванием внешних связей и заменой их неизвестными
опорными реакциями (рис. 5.1, а), у вторых – опорные реакции можно найти из
уравнений статики, а статическая неопределимость проявляется только при
определении внутренних усилий. В этом случае ОС получается путем введения
разрезов в стержнях фермы, образующих ее пояса или решетку (рис. 5.1, б).
Рис.5.1
Формально канонические уравнения метода сил для ферм не отличаются
от соответствующих уравнений для рам:
n
j 1
ij Xj + ip0= 0, (i = 1,2,…, n),
(5.1)
однако теперь в соответствии с замечанием из §3.5 коэффициенты и свободные
члены этих уравнений будут определяться только продольными силами:
ij = (Ni0 Nj0 /EF ) ds = (Nik0 Njk0/EFk)lk ,
ip0= (Ni0 Np0/EF ) ds = ( Nik0 Npk0/EFk)lk ,
(5.2)
(5.3)
где lk и EFk - соответственно длина и жесткость k–го стержня фермы, по которым проводится суммирование.
После того, как решена система уравнений (5.1), усилия во всех стержнях
заданной фермы можно найти по формуле (4.7):
Np = Np0 + Ni0Xi.
- 79 -
5.2. Расчет статически неопределимых арок
Простейшим примером таких систем является двухшарнирная арка, у
которой в отличие от рассмотренной в §2.4 трехшарнирной арки отсутствует
ключевой шарнир (рис. 5.2, а).
Рис.5.2
Основная система для ее расчета может быть получена введением ключевого шарнира, или устранением горизонтальной связи на одной из опор и заменой ее неизвестным распором H = X1 (рис. 5.2, б). Отметим при этом, что вертикальная связь является безусловно необходимой, поскольку ее устранение
приводит к мгновенно изменяемой ОС.
Коэффициент 11 и свободный член 1p0 в каноническом уравнении метода сил:
11 X1 + 1p0 = 0;
(5.4)
следует вычислять, учитывая изгибающие моменты и продольные силы и пренебрегая, как обычно, влиянием поперечных сил:
11 = (M10M10 /EJ) ds + (N10N10 /GF) ds,
1p0 = (M10 Mp0 /EJ) ds + (N10 Np0 /GF) ds .
(5.5)
(5.6)
Для определения соответствующих усилий надо рассмотреть взятую
слева от сечения с абсциссой x часть арки, загруженной вначале силой X1 = 1, а
затем заданной нагрузкой (рис. 5.2, в, г).
- 80 -
В первом случае, из условий равновесия арки в целом мы найдем опорные реакции: HA = 1, VA = 0, а затем, рассматривая равновесие ее отсеченной
части, так же, как в § 2.4.2 определим усилия:
M10(x) = 1f (x); Q 10 (x) = 1sin;N10(x) = 1cos.
(5.7)
Во втором случае опорные реакции арки, загруженной заданной нагрузкой, равны: HA = 0, VA = VAБ, а ее внутренние усилия:
Mp0(x) = M Б (x); Qp0(x) = Q Б(x) cos; Np0 = Q Б(x)sin.
(5.8)
Подставляя (5.5) (5.8) в (5.4) получим:
f ( x) M p 0 ( x) cos N p 0 ( x)
ds
0
EJ
EF
0
S
X1 = H = 1p /11 =
,
f 2 ( x) cos 2
ds
0 EJ
EF
после чего внутренние усилия в арке можно найти по формулам (4.7) :
S
(5.9)
Mp = Mp0 +M10X1;
Qp = Qp0 +Q10X1 ;
Np = Np0 +N10X1.
Если в последние формулы подставить соотношения (5.7) и (5.8), то нетрудно
убедиться, что мы придем к выражениям (2.2) (2.4) для определения внутренних усилий в статически определимой трехшарнирной арке:
Mp = M Б (x) Hf (x);
Qp= Q Б (x)cos Hsin;
Np= Q Б (x)sin Hcos.
Этим и определяется удобство основной системы, выбранной для расчета.
- 81 -
ГЛАВА 6.
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ
СИСТЕМ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
6.1. Суть метода перемещений. Основная система МП
Суть метода перемещений (МП) рассмотрим на примере расчета рамы.
Под действием приложенной нагрузки рама деформируется, а ее узлы получают линейные i и угловые i перемещения (рис. 6.1).
Идея МП заключается в том, чтобы выбрать эти перемещения i и i в
качестве неизвестных.
Для упрощения расчета будем, как обычно, пренебрегать влиянием продольных сил на деформации. Тогда в нашем примере все линейные перемещения узлов будут равны: i = .
В общем случае для определения числа неизвестных линейных перемещений nл нужно во все жесткие узлы рамы, включая опорные, ввести шарниры, а затем подсчитать число степеней свободы полученной шарнирностержневой системы по формуле (1.3):
nл = 2У С СО.
При этом число nл будет равняться числу дополнительных линейных связей,
необходимых для превращения полученной системы в геометрически неизменяемую.
Число неизвестных угловых перемещений i равняется, очевидно, числу
незакрепленных жестких узлов рамы nу .
Общее число неизвестных метода перемещений n = пу + nл. Таким образом, в рассматриваемом примере n = 3 + 1 = 4.
В дальнейшем все линейные i и угловые i перемещения будем обозначать одинаково Zi.
Рис. 6.1
Основная система МП образуется из заданной системы путем введения
дополнительных связей, препятствующих угловым и линейным смещениям ее
узлов.
- 82 -
Например, для рамы на рис. 6.2, а основная система получается наложением двух дополнительных связей (рис. 6.2, б). При этом первая связь является
моментной и не препятствует линейному смещению соответствующего узла
рамы. Для обозначения таких связей на схемах применяют также обозначения,
показанные на рис. 6.2, в.
Введение связей превращает раму в совокупность однотипных элементов
с одним или двумя жестко защемленными концами, для которых известны
готовые решения (рис. 6.2, г).
Рис. 6.2
6.2. Канонические уравнения метода перемещений
Если основную систему метода перемещений (ОС МП) загрузить нагрузкой, во введенных связях появятся реакции, которые отсутствовали в заданной
системе (поскольку не было самих связей).
Обозначим через R1 и R2 реакции во введенных связях и отметим, что
поскольку ОС МП является статически неопределимой, эти реакции могут
появляться не только под действием приложенной нагрузки, но и в ответ на
кинематические воздействия.
Сообщим введенным связям перемещения Z1 и Z2, равные смещениям
заданной системы и потребуем, чтобы ОС вела себя как заданная. Это означает,
что реакции во введенных связях от смещения этих связей и от заданной
нагрузки в сумме должны равняться нулю:
R1 (Z1, Z2, P) = 0;
R2 (Z1, Z2, P) = 0.
Воспользовавшись принципом суперпозиции, представим эти уравнения в виде:
- 83 -
r11 Z1+ r12 Z2 + R1p0 = 0;
r21 Z1+ r22 Z2 + R2p0 = 0,
где rij реакция во введенной i-ой связи от единичного смещения j-ой связи, а
Rip0 реакция в этой связи от заданной нагрузки.
Последние уравнения и называются каноническими уравнениями метода
перемещений. В отличие от соответствующих уравнений метода сил эти уравнения имеют не геометрический, а статический смысл.
В общем случае для n неизвестных система канонических уравнений
метода перемещений имеет вид:
rij Zj + Rip0 = 0; (i = 1, 2,…, n).
(6.1)
Решив эту систему и определив неизвестные Zj, можно найти внутренние
усилия по формуле, аналогичной формуле (4.7):
Mp = Mp0 + Mi0Zi.
(6.2)
Примечание.
В соответствии с принципом суперпозиции перемещение любой фиксированной
точки i заданной системы можно найти как сумму двух: перемещения этой точки в ОС МП
вследствие смещения введенных связей, и ее перемещения в той же системе под действием
заданной нагрузки (рис. 6.3):
Δip = Δ0ic + Δ0ip .
(6.3)
Последнее соотношение является аналогом формулы (6.2) для перемещений.
Рис.6.3
6.3. Вычисление коэффициентов канонических уравнений
Чтобы определить коэффициенты и свободные члены системы (6.1) нужно предварительно найти эти реакции для отдельных стержней. Соответствующие решения получаются интегрированием дифференциального уравнения
изогнутой оси балки или с помощью метода сил и приведены на рис. 6.4, где
через i = EJ/l обозначена приведенная жесткость балки.
- 84 -
Рис.6.4
С помощью этих стандартных решений нетрудно построить эпюры Mi0 и
Mp0 в заданной раме. После этого для определения искомых реакций rij и Rip0
достаточно рассмотреть равновесие ее вырезанных узлов или других элементов, включающих введенные связи.
Пример 6.1. Построить эпюру изгибающих моментов Mp для рамы, рассмотренной в примере 4.3. (рис. 6.5, а).
Решение.
1) Отметим, что заданная статически неопределимая система имеет две
лишние связи, и при ее расчете методом сил число неизвестных равнялось
двум. При решении той же задачи методом перемещений число неизвестных,
- 85 -
равное в данном случае числу незакрепленных жестких узлов, будет равно
только единице, поэтому в этом примере МП будет эффективнее метода сил.
2) Основную систему МП получаем, вводя моментную связь в этом свободном узле (рис. 6.5, б).
3) Каноническое уравнение метода перемещений имеет вид:
r11 Z1+ R1p0 = 0.
(а)
4) С помощью стандартных готовых решений (рис. 6.4) строим эпюры
изгибающих моментов от единичного значения Z1 и от заданной нагрузки (рис.
6.5, в, г):
5) Вычисляем r11 и R1p0 , рассматривая равновесие вырезанного второго
узла рамы:
r11 = 7i, R1p0 = ql2/12.
Полагая для удобства EJ = 2, получим i = EJ/l = 1, откуда r11 = 7, R1p0 = 1/3.
6) Решая (а) найдем
Z1 = R1p0/ r11 = – 1/ 21.
Рис.6.5
- 86 -
7) Искомую эпюру изгибающих моментов (рис. 6.5е) можно построить по
формуле (6.2):
Mp = Mp0 + Mi0Zi.
Нетрудно заметить, что она совпадает с эпюрой, полученной ранее в
примере (4.3) с помощью метода сил (рис. 4.5, и).
Примечания:
1. Метод перемещений в отличие от метода сил не требует проведения кинематической проверки – достаточно убедиться в равновесии узлов построенной эпюры Mp.
2. Основная система метода перемещений не требует специального выбора – как в
методе сил, поэтому МП легко формализуется и удобен для реализации в компьютерных
программах.
6.4. Общий метод вычисление коэффициентов
Рассмотренный выше метод вычисления коэффициентов и свободных
членов канонических уравнений МП, основанный на рассмотрении равновесия
узлов рамы, приводит к затруднениям для рам с наклонными элементами. В
этом случае, а также при реализации МП в компьютерной программе целесообразно воспользоваться общим методом вычисления коэффициентов.
Пусть рама загружена произвольной нагрузкой (рис. 6.6, а), а соответствующая ей основная система МП, образована введением двух связей: моментной – i и линейной – j (рис. 6.6, б).
Рассмотрим два состояния этой системы, соответствующие единичным
смещениям введенных связей, и обозначим черезMi0 иMj0 соответствующие
им эпюры изгибающих моментов (рис. 6.6, в, г).
Вычислим работу внешних сил первого состояния системы на перемещениях второго состояния:
A12 = rii· θij + rji·δjj = rii· 0 + rji·1 = rji .
Учитывая, что с учетом (3.15):
A12 = – W12 = – (Mi0·Mj0/EJ ) ds,
получим отсюда искомое выражение для определения удельных реакций:
rij = rji = (Mi0·Mj0/EJ )ds .
(6.4)
Последнее выражение напоминает формулу (4.4) для вычисления коэффициентов канонических уравнений в методе сил:
ij = (Mi0 Mj0) = (Mi0Mj0 /EJ)ds,
- 87 -
и может показаться, что свободные члены системы канонических уравнений в
методе перемещений также можно вычислить по формуле, аналогичной (4.5):
ip0= (Mi0 Mp0) = (Mi0Mp0 /EJ)ds.
В действительности это не так: Rip0 ≠ (Mi0 Mp0), а (Mi0 Mp0) = 0.
Рассмотрим снова два состояния основной системы метода перемещений.
Пусть первое по-прежнему соответствует единичному смещению i-ой связи
(рис. 6.6, в), а второе – единичной силе, приложенной в k-ой точке этой системы (рис. 6.6, д).
Работа внешних сил первого состояния системы на перемещениях второго состояния равна нулю: A12 = rii · θip+ rji · δjp = rii · 0 + rji · 0 = 0, а поскольку
A12 = A21 , то
A21 = P · pi + rip· θii = 0,
откуда
rip = – pi .
То есть реакция в i-ой связи основной системы от единичной силы, приложенной в точке k , равна взятому со знаком минус перемещению точки
приложения силы от единичного смещения этой связи.
Это утверждение носит название второй теоремы Релея.
Рис. 6.6
Возвращаясь к традиционным обозначениям МП и обобщая последнее
соотношение на случай нескольких сил произвольной величины, получим:
- 88 -
Rip0 = – Pk · ki .
(6.5)
Таким образом, реакция в i-ой связи ОС МП от заданной нагрузки равна
взятой со знаком минус работе всех сил, приложенных к системе на перемещениях, вызванных единичным смещением этой связи.
Примечание.
Поскольку A12 = 0, а A12 = – W12 , то действительно: (Mi0 Mp0) = – W12 = 0. При этом
нетрудно доказать, что искомую реакцию можно вычислить по формуле:
Rip0 = (Mi0 Mp0) = – Σ(Mi0 Mp0/ EJ)ds,
где Mi0 – по-прежнему эпюра моментов в ОС МП от единичного смещения i-ой связи, а Mp0
– эпюра моментов в любой ОС МС от заданной нагрузки. Такой, например, является эпюра,
приведенная на рис. 6.6, е.
Легко убедиться, что в этом случае значение Rip0 = – 3Pl/16 совпадает с табличным
значением, указанным на рис. 6.4.
- 89 -
ГЛАВА 7.
ПОНЯТИЕ О РАСЧЕТЕ СНС МЕТОДОМ
КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
7.1. Суть метода конечных элементов
Метод конечных элементов (МКЭ) является обобщением рассмотренного
выше метода перемещений на двух- и трехмерные системы. Он успешно применяется для расчета самых разнообразных строительных конструкций и сооружений, в том числе – тонкостенных систем и массивов.
В отличие от классических форм МС и МП МКЭ является компьютерным
методом. Он появился в 60-е годы прошлого века и в настоящее время является
самым распространенным методом расчета, реализованным в большинстве
систем автоматизированного проектирования.
Особенность метода в том, что он позволяет решать задачи теории упругости методами строительной механики.
Реализация МКЭ включает следующие этапы:
1) Разбиение конструкции на конечные элементы с учетом ее геометрии,
физических свойств материала и нагрузки;
2) Анализ отдельного конечного элемента (КЭ), в ходе которого строится
матрица жесткости КЭ – [Rэ] и определяется вектор приведенной узловой
нагрузки – {Pэ};
3) Анализ всей конструкции и формирование системы конечноэлементных уравнений:
[R] {Z} = {P} ,
(7.1)
где [R], {Z} и {P} – соответственно матрица жесткости, вектор неизвестных и
вектор приведенной узловой нагрузки всей системы;
4) Решение системы уравнений и определение по вектору {Z} напряжений и усилий в отдельных конечных элементах.
Отметим, что под конечным элементом понимают часть конструкции,
которая обладает всеми ее физическими свойствами и имеет несколько фиксированных узловых точек с введенными в них связями, которыми КЭ связаны
друг с другом.
Уже к 70-м годам прошлого века была создана хорошо апробированная
система конечных элементов, приспособленных для решения самых разнообразных задач.
При решении плоской задачи и задачи изгиба для пластин и плит применяют треугольные и прямоугольные КЭ с различным числом степеней свободы.
Для решения трехмерных задач применяют КЭ в виде параллелепипеда или
тетраэдра. Разработаны конечные элементы для решения осесимметричных
задач и целое семейство плоских и криволинейных КЭ для расчета оболочек.
МКЭ прекрасно приспособлен для решения практических задач и позволяет с высокой степенью точности аппроксимировать границу области, занятой
- 90 -
телом. Помимо строительной механики и теории упругости МКЭ находит
применение в решении широкого круга задач математической физики.
7.2. Применение МКЭ для расчета стержневых систем
Расчет стержневых систем с помощью МКЭ приводит к тем же уравнениям, что и обычный метод перемещений, хотя подходы к их построению несколько отличаются по форме.
При этом КЭ рамы с 6 степенями свободы имеет на концах два узла, в
каждом из которых введено по три связи – две линейных и одной моментной.
Матрица жесткости такого КЭ имеет 6 порядок и ее элементами являются
реакции rij в шести введенных связях от единичных смещений этих связей.
Компонентами вектора приведенной узловой нагрузки являются взятые
со знаком минус реакции во введенных связях от приложенной к КЭ нагрузки,
которые, в отличие от МП будем обозначать не Rip0 , а rip0:
{Pэ}= – [r1p0, r2p0, … , r6p0]Т,
где индексом «т» обозначена операция транспонирования.
Балочный конечный элемент, на примере которого мы рассмотрим процедуру анализа, имеет только четыре степени свободы. В качестве неизвестных
такого КЭ выбирают неизвестные прогибы и углы поворотов в начальном и
конечном сечениях, как и в обычном методе перемещений (рис. 7.1, а).
Анализ КЭ заключается в определении реакций во введенных связях
{Sэ}= [S1, S2, S3, S4]Т от кинематических воздействий {Zэ}= [Z1, Z2, Z3, Z4]Т и от
действующей местной нагрузки. Первая зависимость имеет вид:
{Sэ} = [Rэ]{Zэ}.
Для построения матрицы жесткости [Rэ] рассмотрим КЭ при единичных кинематических воздействиях (рис. 7.1, б), объединив соответствующие им
функции формы в матрицу-строку:
[N] = [N1(x), N2(x), N3(x), N4(x)].
Этим функциям формы соответствуют уже известные эпюры моментов,
приведенные на рис. 6.4 и 7.1, в, которые также объединим в вектор:
{M} = [M1(x), M2(x), M3(x), M4(x)]Т.
Учитывая, что для принятой системы координат зависимость между изгибающими моментами и прогибами имеет вид
M(x) = – EJ v''(x),
- 91 -
можно записать:
{M} = – EJ [N'']Т.
(7.2)
Воспользовавшись соотношением (6.4):
rij = rji = (Mi0 ·Mj0/EJ )ds ,
получим с учетом (7.2):
[Rэ] = (1/ EJ) ∫{M}{M}Тdx = EJ ∫ [N'']Т[N''] dx.
(7.3)
Для построения вектора приведенной узловой нагрузки учтем, что на основании принципа суперпозиции уравнение изогнутой оси КЭ можно представить в виде:
v(x) = Σ Ni (x) · Zi = [N]{Zэ}.
(7.4)
Рис. 7.1
Поэтому, дополнив соотношение (6.5) работой распределенной нагрузки,
приложенной к КЭ, и сменив обозначения, получим:
- 92 -
rip0 = – [ Pk · Nik + ∫ q(x) · Ni (x) dx].
Таким образом, искомый вектор приведенной узловой нагрузки равен:
{Pэ}= Pk · [Nk]Т + ∫ q(x) [N]Т dx.
(7.5)
Как видим, анализ КЭ сводится в конечном итоге к построению матрицы
функций формы. Помимо методов, упомянутых в параграфе 6.3, эти функции
можно, например, построить следующим способом.
Представим уравнение изогнутой оси КЭ в виде полинома:
v (x) = [H] {a},
(7.6)
где [H] = [1, x, x2, x3], а {a} = [a1, a1, a1, a1]Т.
Приравнивая (7.4) и (7.6) в узловых точках КЭ, то есть x1 = 0 и x2 = l, получим:
Z1 = v (0) = 1 + a1x1+ a2x12+ a3x13 ;
Z2 = v'(0) = a1+2a2x1+ 3a3x12 ;
Z3 = v (l) = 1 + a1x2 + a2x22 + a3x23 ;
Z4 = v'(l) = a1 +2a2x2+ 3a3x22,
или иначе
{Zэ} = [L] {a},
где [L] = [[H(x1)]T, [H'(x1)]T, [H(x2)]T, [H'(x2)]T]Т.
Обратная зависимость
{a} = [L]–1{Zэ}
после подстановки в (7.6) приводит с учетом (7.4) к искомой формуле:
[N] = [H] [L]–1.
(7.7)
В скалярной форме последняя зависимость имеет вид:
N1(x) = 1 – 3ξ2 + 2 ξ3;
N2(x) = l (ξ – 2 ξ2 + ξ3);
N3(x) = 1 – 3η 2 + 2η 3;
N4(x) = l (– η + 2η 2 – η 3),
где ξ = x/l , η = (l – x)/l .
Подставляя (7.7) в (7.3), получим искомую матрицу жесткости КЭ балки:
- 93 -
6l
12
6l
4l 2
T
[Rэ] = EJ ∫ [N] [N]dx = (EJ/l) 12 6l
2l 2
6l
12 6l
6l 2l 2
.
12 6l
6l 4l 2
Вектор приведенной узловой нагрузки находим по формуле (7.5). Для постоянной равномерно распределенной нагрузки q(x) = q он имеет вид:
{Pэ} = [P1, P2, P3, P4]Т = (ql/12)[ 6, l, 6, –l ]Т.
Примечание.
Двумерным аналогом балочного КЭ является прямоугольный КЭ с 12 степенями
свободы для расчета плит, изогнутая поверхность которого аппроксимируют полиномом
w(x,y) = [H]{a},
где [H] = [1, x, y, x2, xy, y2, x3, x2y, xy2, y3, x3y, xy3].
В каждой из четырех узловых точек такого КЭ, расположенных в его вершинах,
вводят по три связи: линейную, препятствующую вертикальным перемещениям в направлении оси Oz, и две моментные в направлениях осей Ox и Oy.
Этот элемент, как показали проведенные исследования, можно с успехом применять
даже для расчета цилиндрических оболочек, если дополнительно ввести по две линейные
связи в каждом узле, препятствующие его смещениям вдоль осей Ox и Oy локальной системы координат.
ЛИТЕРАТУРА
1. Куликов И.С. Расчет конструкций на деформируемом основании:
Учебное пособие / И.С. Куликов. – Горький: Изд-во ГИСИ им. В.П.Чкалова,
1986. – 72 с.
2. Масленников А.М., Егоян А.Г. Основы строительной механики для
архитекторов: Учебное пособие / А.М.Масленников, А.Г.Егоян. – Ленинград:
Изд-во ЛГУ, 1988. – 264 с.
3. Оксанович Л.В. Невидимый конфликт / Л.В.Оксанович. – М.: Стройиздат, 1981. – 191с.
4. Розин Л.А., Константинов И.А., Смелов В.А. Расчет статически
определимых стержневых систем: Учебное пособие / Л.А.Розин,
И.А.Константинов, В.А.Смелов. Ленинград: Изд-во ЛГУ, 1983. 228 с.
5. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике:
Учебное пособие / Под ред. А.А.Яблонского. – М.: Высш.шк., 1985. – 367 с.
6. Смирнов В.А., Иванов С.А., Тихонов М.А. Строительная механика:
Учебник для вузов / В.А.Смирнов, С.А.Иванов, М.А.Тихонов. М.:Стройиздат,
1984. 208 с.
7. Rakowski G. Komputerowa mechanika konstrukcji / G. Rakowski. –
Warszawa: Wydawnictwa Politechniki Warszawskiej, 1977. – 279 с.
- 94 -
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие ................................................................................................................. 3
Глава 1. Введение ...................................................................................................... 4
1.1. Предмет строительной механики и ее задачи ......................................... 4
1.2. Кинематический анализ сооружений ....................................................... 5
1.3. Основные уравнения строительной механики ...................................... 18
Глава 2. Расчет статически определимых стержневых систем ..................... 21
2.1. Свойства статически определимых систем ........................................... 21
2.2. Внутренние усилия в рамах ..................................................................... 21
2.3. Расчет плоских ферм ................................................................................ 31
2.4. Расчет трехшарнирных арок.................................................................... 36
Глава 3. Определение перемещений в СОС....................................................... 40
3.1. Работа сил, приложенных к твердому телу ........................................... 40
3.2. Работа сил, приложенных к деформируемому телу ............................. 42
3.3. Общие теоремы строительной механики ............................................... 44
3.4. Работа внутренних сил плоской стержневой системы ......................... 48
3.5. Интеграл Мора-Максвелла ...................................................................... 50
3.6. Формула Верещагина ............................................................................... 51
3.7. Примеры определения перемещений ..................................................... 54
Глава 4. Расчет статически неопределимых балок и рам методом сил ....... 58
4.1. Свойства статически неопределимых систем ....................................... 58
4.2. Суть метода сил. Канонические уравнения МС .................................... 60
4.3. Определение внутренних усилий в МС ................................................. 65
4.4. Проверка правильности решения в МС ................................................. 68
4.5. О выборе ОС МС. Признаки ортогональности эпюр ........................... 70
4.6. Расчет симметричных систем в МС ....................................................... 73
4.7. Расчет неразрезных балок........................................................................ 76
Глава 5. Расчет статически неопределимых арок и ферм методом сил ...... 78
5.1. Расчет статически неопределимых ферм ............................................... 78
5.2. Расчет статически неопределимых арок ................................................ 79
Глава 6. Расчет СНС методом перемещений ..................................................... 81
6.1. Суть метода перемещений. Основная система МП .............................. 81
6.2. Канонические уравнения метода перемещений .................................... 82
6.3. Вычисление коэффициентов канонических уравнений ....................... 83
6.4. Общий метод вычисление коэффициентов ........................................... 86
Глава 7. Понятие о расчете СНС методом конечных элементов .................. 89
7.1. Суть метода конечных элементов ........................................................... 89
7.2. Применение МКЭ для расчета стержневых систем.............................. 90
Литература ................................................................................................................. 93