1.8 Расстояние L между зарядами Q = ± 2 нКл равно 20 см. Определить напряженность E поля, созданного этими зарядами в точке, находящейся на расстоянии R1 = 15 см от первого и R2 = 10 см от второго заряда. Дано: q1 =210-9 Кл q2 =-210-9 Кл R1=0.15 м R2=0.1 м L=0,2 м Е=? Е1 O R1 Е R2 Е2 q1 + L - q2 Напряженность, создаваемая зарядом q в точке О на расстоянии r от него: Е 1 q 40 r 2 Для зарядов 1 и 2 запишем модули напряженности : Е 1 | q1 | 40 R 12 E2 1 | q2 | 40 R 22 По принципу суперпозиции полей : Е Е1 Е 2 По теореме косинусов определим косинус угла : cos R12 R 22 L2 0.152 0.12 0.22 -0,25 2R1R 2 2 0.15 0.10 Тогда cos 0.25 E E1 E 2 2E1E 2 cos 2 2 2 2 1 q1 1 q 2 1 | q1 | 1 | q2 | 2 E cos 2 2 2 40 R 1 40 R 22 40 R 1 40 R 2 |q| 1 1 2 cos 1 1 2 0.25 4 2 2 2 10 9 8,9875 109 4 4 4 40 R 1 R 2 R 1 R 2 0.15 0.1 0.152 0.12 =2.14103 В/м Ответ: 2,14 кВ/м 1.25 На кольце с внутренним радиусом 80 см и внешним 1 м равномерно распределен заряд 10 нКл. Определить потенциал в центре кольца. Дано: R1=0.8 Кл R2=0.1 м Q=10-8 Кл =? R1 R2 Разобьем кольцо на малые бесконечно тонкие концентрические кольца площадью dS и радиусом r Площадь такого кольца dS=2rdr Каждый из таких элементов несет заряд 2rdr и создает потенциал, численное значение которого равно: d dS 2r dr dr 40 r 40 r 2 0 где – поверхностная плотность заряда dr R 2 R1 R r R2 1 2 0 2 0 2 0 R1 R2 Площадь всего кольца R 22 R12 R 22 R12 Тогда Q R 22 R12 Q R R12 2 2 Подставляя в формулу потенциала, получим QR 2 R1 Q 108 104 100 В 2 0 R 22 R12 2 0 R 2 R1 2 8.85 3.14 1012 1 0.8 2 8.85 3.14 1 0.8 Проверка размерности: [Кл] [Кл] [B] [Ф/м] [м] [Ф] ОТВЕТ: 100 В 1.42 Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено парафином (ε = 2). Расстояние между пластинами d = 8,85 мм. Какую разность потенциалов необходимо подать на пластины, чтобы поверхностная плотность связанных зарядов на парафине составляла 0,1 нКл/см2? Дано: СИ: d=8,85 мм d=8,8510-3 м =2 =10-6 Кл/м2 /=0,1 нКл/см2 U =? Напряженность поля конденсатора E=U/d, откуда разность потенциалов равна U=Ed Поверхностная плотность связанных зарядов определяется по формуле /=0Е Где - диэлектрическая восприимчивость вещества Таким образом, Е=//0, подставив в формулу напряженности получим: U / d / d 106 8.85 103 1000 В =1 кВ 0 ( 1)0 (2 1) 8.85 1012 Ответ: 1 кВ. 1.61Две концентрические проводящие сферы радиусами R1 = 20 см и R2 = 50 см заряжены соответственно одинаковыми зарядами Q = 100 нКл. Определить энергию электростатического поля, заключенного между этими сферами. Дано: R1 = 0,2 м R2 = 0,5 м Q=10-7 Кл W =? R1 R2 Определим энергию W поля между сферами . Выделим в сфере элементарный сферический слой радиусом r (R1<r<R2) и толщиной dr. В этом слое сосредоточена энергия dW=wdV, где w – объемная плотность энергии. Объем слоя равен: dV=4r2dr. Тогда dW=4r2wdr Объемная плотность энергии электрического поля в шаре w=0.50E2, где Е – напряженность поля, - диэлектрическая проницаемость среды. Напряженность поля, создаваемого заряженным шаром в точке на расстоянии r от центра шара определяется выражением Е Получаем: Q 40 r 2 2 1 Q Q2 w 0 2 40 r 2 3220 r 4 dW 4r 2 Q2 Q2 dr dr 3220 r 4 80 r 2 R2 2 Q2 Q2 Q2 Q2 10 7 1 1 W dr 2 12 80 r 80 r R 80 R 2 80 R1 8 8.85 10 0.2 0.5 R1 R2 1 1.349 10 4 Дж 135 мкДж Ответ: 135 мкДж 2.8 Электрическая плитка мощностью 1 кВт с нихромовой спиралью предназначена для включения в сеть с напряжением 220 В. Сколько метров проволоки диаметром 0,5 мм надо взять для изготовления спирали, если температура нити составляет 900° С? Удельное сопротивление нихрома при 0° С ρ0 = 1 мкОм·м, а температурный коэффициент сопротивления α = 0,4·10-3 К-1. Дано: Р =103 Вт U= 220 В d=0.510-3 м t=9000C ρ0 = 1 мкОм·м α = 0,4·10-3 К-1 =? Сопротивление проводника находится по формуле: R c S Зависимость удельного сопротивления от температуры: с= 0(1+t) где 0 – удельное сопротивление при 00С, для никелина 0=10-6 Омм, - температурный коэффициент t – температура по шкале Цельсия Получаем: Площадь поперечного сечения проводника S r 2 d 2 4 Полезная мощность электрической цепи (мощность, выделяемая на внешнем сопротивлении) равна P IU U2 R Подставим все найденные величины в формулу мощности: 2 U2 U 2 d 2 U 2 d 2 2202 0.5 103 P 6.99 м 6 3 3 4 4 1 t P 4 10 1 900 0 . 4 10 10 c 0 c 2 d / 4 Ответ: 6,99 м. 2.15В цепь, состоящую из батареи и резистора сопротивлением R = 8 Ом, включают вольтметр, сопротивление которого RV = 800 Ом, один раз последовательно резистору, другой раз — параллельно. Определить внутреннее сопротивление батареи, если показания вольтметра в обоих случаях одинаковы. Дано: R=8 Ом RV = 800 Ом Uv1=Uv2 r=? R V При последовательном соединении сопротивление вольтметра и резистора Rобщ =RV+R При параллельном соединении: Rобщ = Напряжение на вольтметре: UV1 R VR RV R R v R V R общ r R V R r R VR R общ RV R R R общ r VR r RV R UV2 R VR R V RV R R VR r RV R r RV R R 1 R V R r R V R R V R r 8 1 800 8 r 800 8 800 8 r 8808 r 6400 808r r 0.08 Ответ: 0,08 Ом 3.6 Определить температуру, соответствующую средней кинетической энергии поступательного движения электронов, равной работе выхода из вольфрама, если поверхностный скачок потенциала для вольфрама 4,5 В. Дано: =4.5 В Т=? Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы: 3 n kT 2 Работа выхода электронов определяется по формуле: А=е Где - поверхностный скачок потенциала е - заряд электрона Приравнивая выражения, получим: 3 kT е 2 2е 2 4,5 1,6 1019 T 34783 К 34,8 кК 3k 3 1,38 10 23 Ответ: 34,8 кК. 4.3 В однородном магнитном поле с индукцией B = Tл находится квадратная рамка со стороной d = 10 см, по которой течет ток I = 4 А. Плоскость рамки перпендикулярна линиям магнитной индукции. Определить работу A, которую необходимо затратить для поворота рамки относительно оси, проходящей через середину ее противоположных сторон: 1) на 90°; 2) на 180°; 3) на 360°. n2 Дано: n1 В I=4 A В=1 Тл d=10 см=0,1 м 1=900 2=1800 3=3600 A=? Работа внешних сил по перемещению (в рассматриваемом случае - по повороту на угол ) контура с током в магнитном поле равна произведению силы тока в контуре на изменение магнитного потока через контур: А = -I Ф = I(Ф1-Ф2), где Ф1 —магнитный поток, пронизывающий контур до перемещения; Ф2 —то же, после перемещения. По определению магнитный поток равен: Ф ВS cos . Если контур свободно установился в магнитном поле, то угол между его нормалью n 1 и вектором магнитной индукции =00 Если контур повернули на =900, то угол между нормалью n 2 к нему и вектором магнитной индукции 1=900 А1 = I(BScos0-BScos900)=IBd2(1-cos900)= 410.12(1-0) = 0.04 Дж Если контур повернули на 2=1800, то А2 =IBd2(cos0-cos1800)= 410.12(1+1) = 0.08 Дж Если контур повернули на 3=3600, то работа равна сумме работ при изменении угла от 0 до 1800 и при изменении угла от 1800 до 3600 А 3= А2+ IBd2(cos180-cos3600)= 0.08 -0,08=Дж Ответ: 1) 0,04 Дж; 2) 0,08 Дж; 3) 0. 4.31 Электрон, обладая скоростью υ = 1 мм/с, влетает в однородное магнитное поле под углом α = 60° к направлению поля и начинает двигаться по спирали. Напряженность магнитного поля H = 1,5 кА/м. Определить: 1) шаг спирали; 2) радиус витка спирали. Дано: СИ υ = 1 Mм/с v=106 м/с H = 1,5 кА/м Н=1,5103 А α = 60° h=0,1 м r,x=? На заряженную частицу, влетевшую в однородное магнитное поле, действует сила Лоренца, перпендикулярная векторам магнитной индукции B и скорости v частицы. Ее модуль равен, по определению: FЛ qvB sin , где q - заряд частицы. Электрон, влетевший в магнитное поле, будет двигаться по окружности в плоскости, перпендикулярной линиям индукции, со скоростью, равной поперечной составляющей скорости V ; одновременно он будет двигаться и вдоль поля со скоростью Vll : V V sin , Vll V cos . В результате одновременного участия в движениях по окружности и по прямой электрон будет двигаться по винтовой линии. Определим скорость движения электрона. Сила Лоренца FЛ сообщает электрону нормальное ускорение а n . По второму закону Ньютона: F man , где a n V2 / r , а F qV B - сила Лоренца . Тогда : qV B mV2 , r откуда после сокращения на V получаем: mV sin r mV sin mV sin 9.11 10 31 10 6 sin 60 0 r 2.616 10 3 м 19 3 7 qB qН 0 1.6 10 1.5 10 4 10 qB Шаг винтовой линии равен пути, пройденному электроном вдоль поля со скоростью Vll за время, которое понадобится электрону для того, чтобы совершить один оборот: х VllТ, где Т – период обращения электрона T х х VII V cos C другой стороны T 2r 2r V V sin 2r х V sin V cos 2r 2 2.616 10 3 х 9.49 10 3 tg tg 60 Ответ: 1) 9,49 мм; 2) 2,62 мм. 4.55 Квадратный проводящий контур со стороной l = 20 см и током I = 10 А свободно подвешен в однородном магнитном поле с магнитной индукцией В = 0,2 Тл. Определить работу, которую необходимо совершить, чтобы повернуть контур на 180° вокруг оси, перпендикулярной направлению магнитного поля. n Дано: В I=10 A В=0,2 Тл l = 20 см=0,2 м =1800 A=? Работа внешних сил по перемещению (в рассматриваемом случае - по повороту на угол ) контура с током в магнитном поле равна произведению силы тока в контуре на изменение магнитного потока через контур: А = -I Ф = I(Ф1-Ф2), где Ф1 —магнитный поток, пронизывающий контур до перемещения; Ф2 —то же, после перемещения. По определению магнитный поток равен: Ф ВS cos . Если контур свободно установился в магнитном поле, то угол между его нормалью n и вектором магнитной индукции 00 Если контур повернули на =1800, то А1 = I(BScos0-BScos1800)=IB l 2(1-cos1800)= 2 IB l 2 =2100,20.22 = 0.15 Дж Ответ: 0,16 Дж 5.6 В катушке длиной l = 0,5 м, диаметром d = 5 см и числом витков N = 1500 ток равномерно увеличивается на 0,2 А за одну секунду. На катушку надето кольцо из медной проволоки (ρ = 17 нОм·м) площадью сечения SK = 3 мм2. Определить силу тока в кольце. Дано: l = 0,5 м d = 0,05 м N = 1500 I/t=0.2A/c ρ = 17 нОм·м=1710-9Ом·м SK = 3 мм2=310-6 м2 IK=? Электродвижущая сила самоиндукции s возникающая в замкнутом контуре при изменении силы тока в нем: s=-LI/t Найдем индуктивность катушки d 2 0 N 0 N 2S 0 N 2 d 2 2 4 L 0 n V 2 4 2 Подставим в формулу ЭДС: s 0 N 2 d 2 I 4 t s 0 Nd 2 I Для кольца эдс составит : K N 4 t Сила тока в кольце : I K R Споротивление кольца его длина К d : R c K d c SK SK 0 Nd 2SK I 0 NdSK I 4 10 7 1500 0.05 3 10 6 I 0.2 4 c d t 4 c t 4 0.5 17 10 9 1.663 10 4 A Ответ: 0,166 мА. Трансформатор с коэффициентом трансформации 0,15 понижает 5.29 напряжение с 220 до 6 В. При этом сила тока во вторичной обмотке равна 6 А. Пренебрегая потерями энергии в первичной обмотке, определить сопротивление вторичной обмотки трансформатора Дано: U1d=220 В U2d=6 В I2d=6 А k=0,15 k =? Коэффициент трансформации определяется как отношение как отношение числа витков N2 вторичной обмотки к числу витков N1 первичной обмотки k N 2 I 2d R 2 U 2d 6 R 6 =0,15 N1 U1d 220 R=4.5 Ом Ответ: 4,5 Ом. 6.3 В пространство между полюсами электромагнита подвешиваются поочередно висмутовый и алюминиевый стержни. Оказалось, что при включении электромагнита алюминиевый стержень располагается вдоль магнитного поля, а висмутовый — поперек магнитного поля. Объяснить различие в их поведении. ОТВЕТ: Различие в поведении вызвано тем, что алюминий парамагнетик, а висмут димагнетик. Образцы из пара- и диамагнетика, помещенные в неоднородное магнитное поле между полюсами электромагнита, ведут себя по-разному – парамагнетики втягиваются в область сильного поля, диамагнетики – выталкиваются . Парамагнетик (1) и диамагнетик (2) в неоднородном магнитном поле: 8.8 Колебательный контур содержит катушку индуктивностью L = 25 мГн, конденсатор емкостью С = 10 мкФ и резистор сопротивлением R = 1 Ом. Конденсатор заряжен количеством электричества Qm = 1 мКл. Определить: 1) период колебаний контура; 2) логарифмический декремент затухания колебаний; 3) уравнение зависимости изменения напряжения на обкладках конденсатора от времени. Дано: СИ: С=10 мкФ С=10-5 Ф L=25 мГн L=0,025 Гн R=1 Ом qm=1 мКл qm=10-3 Кл Т, , U(t) =? Разность потенциалов на обкладках конденсатора: U q q m t e cost C C Определим период колебаний Т=2 LC =2 25 10 3 10 5 =2510-5 =10-3 с= 3,14 мс Определим коэффициент затухания R 1 20 2L 2 0,025 Логарифмический декремент затухания колебаний = Т=2010-3 с =0,063 2 2 2000 с 1 3 Т 10 =0 10 3 20 t U 5 e cos 2000 t 100 e 20 t cos 2000 t 10 Ответ: 1) 3,14мс; 2) 0,063; 3) U = 100e-20tcos2000t, B 8.21 К зажимам генератора присоединен конденсатор емкостью С = 0,15 мкФ. Определить амплитудное значение напряжения на зажимах, если амплитудное значение силы тока равно 3,3 А, а частота тока составляет 5 кГц. Дано: СИ: С=0,15 мкФ С=1,510-7 Ф Im=3.3 A =5103 Гц =5 кГц Um=? Собственная циклическая частота колебания 0=2=25103 =104 рад/с Максимальная сила тока равна Im=0qm Тогда амплитудное значение заряда: q m Im I m 0 2 Максимальное значение заряда можно определить по формуле: qm=CUm Следовательно: Um qm I 3.3 m 700 B C 2C 2 5 10 3 1.5 10 7 Ответ: 0,7 кВ 9.8 Длина λ электромагнитной волны в вакууме, на которую настроен колебательный контур, равна 12 м. Пренебрегая активным сопротивлением контура, определить максимальный заряд Qm на обкладках конденсатора, если максимальная сила тока в контуре Im= 1 А. Дано: λ =12 м Im=1 A Qm=? Длина волны определяется по формуле λ=сТ где Т – период колебаний Максимальная сила тока равна Im=0qm циклическая частота равна Получаем: q m 2 Т Im ImT Im 1 12 0.637 10 8 6.37 10 9 Кл 8 0 2 2c 2 3 10 Ответ: 6,37 нКл.