ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики Межрегиональный центр переподготовки специалистов Контрольная работа по дисциплине «Математические основы ЦОС» Выполнил: Паньков Д.П. Группа: СДЗ-02 Вариант: 07 Проверил: Дежина Е.В. Новосибирск, 2013 Задана структурная схема рекурсивной цепи второго порядка. 1. В соответствии с заданными коэффициентами ai , i 0,2 ; b j , j 1,2 постройте схему дискретной цепи. Период дискретизации T 0,1 mc . 2. Определите передаточную функцию цепи H (z ) и проверьте устойчивость цепи. Если цепь окажется неустойчивой, измените коэффициенты b j , добившись устойчивости. 3. Рассчитайте амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) и фазочастотную характеристику (ФЧХ) цепи ( 8 10 точек), постройте графики АЧХ и ФЧХ (предварительно определив f д ). 4. Определите разностное уравнение цепи по передаточной функции H (z ) 5. Определите импульсную характеристику цепи: а) по передаточной функции H (z ) (первые пять отсчетов); б) по разностному уравнению; в) по формуле обратного ДПФ в точке t=0. 6. Определите сигнал на выходе цепи: а) по разностному уравнению; б) по формуле свертки (линейной и круговой); в) по Z-изображению выходного сигнала 7. Определите разрядность коэффициентов аi и b j , если допуск на отклонение системных характеристик составляет 1% 8. Рассчитайте шумы квантования на выходе цепи, полагая разрядность АЦП равной 8: а) для исходной цепи; б) для цепи в виде каскадного соединения простых звеньев. 9. Рассчитайте масштабный множитель на выходе цепи: а) по условию ограничения максимума сигнала; б) по условию ограничения энергии сигнала; в) по условию ограничения максимума усиления цепи. a0 a1 a2 b1 b2 x(nT ) 0 -0,7 0,5 0,5 0,2 0,8; 0,9; 1,0 Решение 1. 1 2. H ( z ) ( a0 a1 z 1 a 2 z 2 ) 1 b1 z 1 b2 z 2 нерекурсивная часть рекурсивная часть H ( z ) H1 ( z ) H 2 ( z ) H1 ( z ) 0, 7 z 1 0,5 z 2 передаточная функция нерекурсивной части цепи H 2 ( z) H ( z) 1 1 1 0,5 z 0, 2 z 2 передаточная функция рекурсивной части цепи 0, 7 z 1 0,5 z 2 1 0,5 z 1 0, 2 z 2 Для проверки устойчивости цепи полином знаменателя H (z ) приравнивают к нулю и находят полюса функции z k . Для устойчивой цепи z k 1 . 1 0,5 z 1 0, 2 z 2 0 Избавимся от отрицательных степеней, умножив обе части уравнения на z 2 и после этого определим корни. z 2 0,5z 0, 2 0 0,5 0, 25 0,8 0, 25 0,512; z1 0, 762; z2 0, 262 2 Условие z k 1 выполняется, значит цепь устойчива. z1,2 3. При нахождении частотной характеристики: 1) 0,7e jn 0,5e j 2n n jn заменить z e . H ( jw) j n j 2n 2) j разложить e cos j sin . 1 0,5e H ( jw) 0, 2e 0,7(cos j sin ) 0,5(cos 2 j sin 2 ) 1 0,5cos j sin ) 0, 2(cos 2 j sin 2 ) сгруппировать вещественные и мнимые части. 3) H ( jw) H ( ) (0, 65cos 0,5cos 2 ) j (0, 65sin 0,5sin 2 ) ????? (1 0,5cos 0, 2cos 2 ) j (0,5sin 0, 2sin 2 ) (0,7 cos 0,5cos 2 ) 2 (0,7sin 0,5sin 2 ) 2 - АЧХ (1 0,5cos 0, 2cos 2 ) 2 (0,5sin 0, 2sin 2 ) 2 0,5sin 0, 2sin 2 0, 7sin 0,5sin 2 - ФЧХ arctg 1 0,5cos 0, 2cos 2 0, 7 cos 0,5cos 2 arctg 4) Расчет необходимо вести подробно, оформляя таблицу. 0 Т 0 H ( ) ( ) 0,667 0 -180 4. H ( z ) д д 8 4 0,582 -0,698 4 2 0,662 -1,345 3д 8 3 4 0,816 0,996 д 2 0,923 0 5 д 8 5 4 0,816 -0,996 0, 7 z 1 0,5 z 2 - передаточная функция системы 1 0,5 z 1 0, 2 z 2 Перейдем от нее к разностному уравнению: 0, 7 z 1 0,5 z 2 Y ( z) 1 2 1 0,5 z 0, 2 z Х ( z) Y ( z )(1 0,5 z 1 0, 2 z 2 ) (0, 7 z 1 0,5 z 2 ) Х ( z) H ( z) Y ( z ) 0, 7 z 1 Х ( z ) 0,5 z 2 Х ( z ) 0,5 z 1Y ( z ) 0, 2 z 2Y ( z ) Этому уравнению соответствует разностное уравнение: у (n) 0, 7 x(n 1) 0,5 x(n 2) 0,5 у( n 1) 0, 2 у( n 2) 3 д 4 3 2 0,662 1,345 7д 8 7 4 0,582 0,698 д 2 0,667 0 180 5. а)Импульсную характеристику можно получить по передаточной функции H (z ) путем деления полинома числителя на знаменатель. H ( z) 0, 7 z 1 0,5 z 2 0, 7 z 1 0,15 z 2 0, 065 z 3 0, 0025 z 4 0, 01435 1 2 1 0,5 z 0, 2 z h(n) 0; 0, 7; 0,15; 0, 065; 0, 0025; 0, 0143; .. б) Импульсную характеристику можно определить непосредственно по схеме как реакцию цепи на - функцию, или решением разностного уравнения цепи, полагая, x(nT) = (t). Решение разностного уравнения в численном виде при условии, что x(nT)=(t). n=0; y(0) = - 0,7 x(-1)+0,5x(-2)+0,5y(-1)+0,2у(-2)= 0; n=1; y(1T)=- 0,7 x(0)+0,5x(-1)+0,5y(0)+0,2у(-1)=-0,7; n=2; y(2T) = - 0,7 x(1)+0,5x(0)+0,5y(1)+0,2у(0)= 0,5+ 0,5*(-0,7)= 0,15; n=3; y(3T) = - 0,7 x(2)+0,5x(1)+0,5y(2)+0,2у(1)=-0,065; n=4; y(4T) = - 0,7 x(3)+0,5x(2)+0,5y(3)+0,2у(2)=-0,0025; n=5; y(5T) = - 0,7 x(4)+0,5x(3)+0,5y(4)+0,2у(3)=-0,0143; и т.д. ... Отсюда h(n) 0; 0, 7; 0,15; 0, 065; 0, 0025; 0, 0143; .. в) по формуле обратного ДПФ в точке t=0. Импульсную характеристику получим использованием обратного преобразования от H(jω). 1 h(nT ) N N 1 H ( jk ) e k 0 j 2nk N j 1 7 H ( jk ) e 8 k 0 j 2nk N 2nk 8 Так как n=0, то сомножитель e 1 при всех k. Рассчитаем h(0), используя найденные ранее АЧХ и ФЧХ цепи: h 0 (3) 0.582 ei 0.698 0.582 e i 0.698 0.667 0.923 0.662 ei 1.345 0.662 e i 1.345 0.816 ei 0.996 0.816 e i 0.996 0.458 8 6. а) по разностному уравнению у(n) 0, 7 x(n 1) 0,5 x(n 2) 0,5 у(n 1) 0, 2 у( n 2) x(n)= 0,8; 0,9; 1,0 n=0 : y(0) =0; n=1 : y(1) =-0,7 x(0)+0,5у(0)=-0,7*0,8=-0,56; n=2 : y(2) =-0,7 x(1)+0,5х(0)+0,5у(1)+ 0,2у(0)=-0,51; n=3 : y(3)= …….-0,7 x(2)+0,5х(1)+0,5у(2) +0,2у(1)=-0,0617; n=4 : y(4)= …….+0,5х(2)+0,5у(3) +0,2у(2)=0,0895; Таким образом y(nT) = {0; -0,56; -0,51; -0,617; 0,0895... }. б) по формуле линейной свертки Свертка входного сигнала с импульсной характеристикой дает сигнал на n n k 0 k 0 выходе цепи y(nT) = x(kT)h(nT - kT) = h(kT)x(nT - kT). Здесь h(n) 0; 0, 7; 0,15; 0, 065; 0, 0025; 0, 0143; .. x(kT)= 0,8; 0,9; 1,0 n=0 : y(0T) =h(0T)x(0T)= 0; n=1 : y(1T) =h(0T)x(1T)+h(1T) x(0T)= 0-0,7*0,8=-0,56; n=2 : y(2T)=h(0T)x(2T)+h(1T)x(1T)+h(2T)x(0T)=-0,51; n=3 : y(3T)=h(0T)x(3T)+h(1T)x(2T)+h(2T)x(1T)+h(3T)x(0T)=-0,617; n=4 : y(4T)=h(0T)x(4T)+h(1T)x(3T)+h(2T)x(2T)+h(3T)x(1T)+h(4T)x(0T)=0,0895; Таким образом y(nT) = {0; -0,56; -0,51; -0,617; 0,0895... }. по формуле круговой свертки n=0: y(0T) = x(0T)h(0T) + x(1T)h(-1T) + x(2T)h(-2T) + x(3T)h(-3T) + x(4T)h(-4T) + x(5T)h(5T) + x(6T)h(-6T) + x(7T)h(-7T) = 0; n=1: y(1T) = x(0T)h(1T) + x(1T)h(0T) + x(2T)h(-1T) + x(3T)h(-2T) + x(4T)h(-3T) + x(5T)h(4T) + x(6T)h(-5T) + x(7T)h(-6T) = -0,56; n=2: y(2T) = x(0T)h(2T) + x(1T)h(1T) + x(2T)h(0T) + x(3T)h(-1T) + x(4T)h(-2T) + x(5T)h(3T) + x(6T)h(-4T) + x(7T)h(-5T) = -0,51; n=3: y(3T) = x(0T)h(3T) + x(1T)h(2T) + x(2T)h(1T) + x(3T)h(0T) + x(4T)h(-1T) + x(5T)h(-2T) + x(6T)h(-3T) + x(7T)h(-4T) = -0,617; n=4 : y(4T)= x(0T)h(4T) + x(1T)h(3T) + x(2T)h(2T) + x(3T)h(1T) + x(4T)h(0T) + x(5T)h(-1T) + x(6T)h(-2T) + x(7T)h(-3T) =0,0895; Таким образом y(nT) = {0; -0,56; -0,51; -0,617; 0,0895... }. в) по Z-изображению выходного сигнала Запишем z-преобразование последовательности x(n)= 0,7; 0,8; 0,9 X ( z ) 0,8 0,9 z 1 1,0 z 2 Y ( z) X ( z)H ( z) , Y ( z) 0, 7 z 1 0,5 z 2 (0,8 0,9 z 1 1, 0 z 2 ) 1 0,5 z 1 0, 2 z 2 0,56 z 1 0,51z 2 0, 617 z 3 0, 0895 z 4 ....... Таким образом y(nT) = {0; -0,56; -0,51; -0,617; 0,0895... }. 7. Существуют различные способы расчета разрядности коэффициентов по допускам на системные характеристики. Самый простой способ - метод проб. Расчет по методу проб начинается с выбора разрядности коэффициентов ориентировочно, субъективно. Затем следует расчет системных характеристик с новыми - приближенными - значениями коэффициентов, оценка искажений характеристик и соответствующая коррекция разрядности коэффициентов в ту или иную сторону. Расчет повторяется столько раз, сколько потребуется для удовлетворительного решения задачи по выбору разрядности коэффициентов. Выберем разрядность 12. 0,2 0,4 0 0,8 0 1,6 1 1,2 1 0,4 0 0,8 0 1,6 1 1,2 1 0,4 0 0,8 0 1,6 1 1,2 1 0,4 0 Запишем b2 0, 2 в двоичном коде и выполним операцию округления. Для этого к полученному числу прибавим единицу в дополнительном разряде, а затем дополнительный разряд отбросим. 0,0011001100110 0,0011001100111 – после округления 0,001100110011 – отбросили дополнительный разряд. Восстановление этого коэффициента в десятичной системе b2 1 23 1 24 1 27 1 28 1 211 1 212 0,19995 Для остальных коэффициентов: b1(2) 0,1 b1 0,5 a0(2) 0 a0 0 a1(2) 1,101100110011 a1 0, 69995 a2(2) 0,1 a2 0,5 Относительная погрешность при записи в 12-и разрядном двоичном коде составит: a0 0% 0, 69995 0, 7 100% 0, 0071% 1% 0, 7 0,5 0,5 a2 100% 0% 0,5 0,5 0,5 b1 100% 0% 0,5 0,19995 0, 2 b2 100% 0, 025% 1% 0, 2 a1 Оценка влияния ошибки квантования на импульсную характеристику цепи. Для функции, реализованной 12-ти разрядным кодом H ( z) 0, 69995 z 1 0,5 z 2 0, 69995 z 1 0,150025 z 2 0, 06494 z 3 1 2 1 0,5 z 0,19995 z 0, 00248 z 4 0, 01422 z 5 h(n) 0; 0, 69995; 0,150025; 0, 06494; 0, 00248; 0, 01422;.. Сравнивая отсчеты импульсных характеристик, устанавливаем величины погрешности для каждого из отсчетов. 0 0%, 1 0, 69995 0, 7 100% 0, 0071% 0, 7 2 0, 0167%, 3 0, 092%, 4 0,8%, 5 0,56% Погрешность отсчетов импульсной характеристики не превысила допуск в 1% . Оценка влияния ошибки квантования на частотную характеристику цепи. Относительная величина чувствительности H (z ) к каждому из коэффициентов определяется по формуле S акH ( z ) a d ln H ( z ) dH ( z ) / H ( z ) H ( z ) k d ln a H ( z ) ak dak / ak и показывает во сколько раз относительное уменьшение передаточной функции цепи больше относительного изменения параметра (коэффициента). SaH0( z ) а0 H ( z ) a0 ( z 2 b1 z b2 ) z 2 ( z 2 b1 z b2 ) a 0 z2 0 0 2 2 2 2 H ( z ) a0 a0 z a1 z a2 ( z b1 z b2 ) a0 z a1 z a2 0,19995 SaH1 ( z ) a1 H ( z ) a1 ( z 2 b1 z b2 ) z ( z 2 b1 z b2 ) a1z 0, 69995 2 3,5 2 2 2 H ( z ) a1 a0 z a1 z a2 ( z b1 z b2 ) a0 z a1 z a2 0,19995 SaH2( z ) a2 H ( z ) a2 0,5 2,5 2 H ( z ) a2 a0 z a1 z a2 0,19995 b1 H ( z ) b1 ( z 2 b1 z b2 ) z (a0 z 2 a1 z a2 ) b z 0,5 2 1 1, 666 2 2 2 H ( z ) b1 a0 z a1 z a2 ( z b1 z b2 ) z b1 z b2 0,30005 b b2 H ( z ) 0,19995 2 2 0, 666 H ( z ) b2 z b1 z b2 0,30005 SbH1 ( z ) SbH2( z ) j Максимальная чувствительность АЧХ имеет в точке z е е Погрешности в записи коэффициентов мы получили выше: j 2 g е j 2 0 1 a 0 0%, a1 0,0071%, a 2 0%, b1 0%, b 2 0,025% Погрешность АЧХ от неточного задания каждого из коэффициентов составит Sa 0 а 0 0% Sa1 а1 0, 0071 3,5 0, 02485% Sa 2 a 2 0% Sb1 b1 0% Sb 2 b 2 0, 025 0, 666 0, 01665% Среднеквадратическая погрешность АЧХ цепи составит АЧХ 0, 024852 0, 016652 0, 0299 1% 8. а) Импульсная характеристика цепи h(n) 0; 0, 7; 0,15; 0, 065; 0, 0025; 0, 0143; .. Дисперсия шума АЦП (8 разрядов) 2 (от входа (28 )2 216 1, 27 106 12 12 до выхода) Дисперсия i2 шума на выходе 12-разрядных умножителей 12 2 (2 ) 0, 497 108 12 Шумы АЦП e0 , а также e1 , e2 проходят на вход через всю цепь (как и входной сигнал), поэтому для вычисления дисперсии шума от них необходимо найти h(n) 2 (0, 7) 2 (0,15) 2 (0, 065) 2 ( 0, 0025) 2 ( 0, 0143) 2 0,532 n 0 Сигнал от источников шума e3 , e4 попадает на выход через сумматор, а импульсная характеристика этой части h(n) 1 . Поэтому «шумовое уравнение» - формула, описывающая алгоритм формирования шума на выходе, имеет вид: 2 вых 1, 27 106 1, 223 2 0, 08 106 1, 223 3 0, 08 106 1,989 106 ошибка в шумовом уравнениии В этом результате 0, 6756 106 - шум от АЦП и 0,153 106 - шум умножителей. б) H ( z) 0, 7 z 1 0,5 z 2 1 0,5 z 1 0, 2 z 2 Корни полинома числителя 0,7 z 1 0,5z 2 0 Нули функции z1 0, 714 Полином числителя: 0, 7 z 0,5 0, 7( z 0, 714) Для знаменателя z1 0, 762; z2 0, 262 При составлении передаточной функции 1-го порядка следует объединять в дроби ближайшие друг к другу нули и полюсы. Передаточные функции следует располагать в порядки возрастания добротности полюсов. Условие не выполнено! Исправьте и рассчитайте заново. H ( z) z 0, 714 0, 7 z 0, 762 z 0, 262 Схема при каскадном соединении звеньев: В этой схеме 3 разных пути прохождения шумов на выход цепи: 0, 7 z 1 0,5 z 2 для источников е0, е1. 1 0,5 z 1 0, 2 z 2 0, 7 через 2-е звено с H ( z ) для источников е2, е3. z 0, 262 через всю цепь с H ( z ) напрямую через сумматор для источника е4. Соответствующие им импульсные характеристики h0 (n) 0; 0, 7; 0,15; 0, 065; 0, 0025; 0, 0143; .. h1 (n) 0, 7; 0,1834; 0, 481; 0, 0126; 0, 0033;... h ( n) 0,532 n0 2 0 h ( n) 0, 755 n 0 2 1 h2 (n) 1; 0; 0; 0; .. h ( n) 1 n 0 2 2 Сейчас, как и ранее, разрядность АЦП равна 8, 82 1, 27 106 , а разрядность всех умножителей равна 12, 122 0, 497 108 . Запишем шумовые уравнения n 0 n 0 n 0 n 0 2 вых 82 h02 (n) 122 h02 (n) 2 122 h12 (n) 122 h22 (n) 6 8 1, 27 10 0,532 0, 497 10 0,532 2 0, 497 10 8 0, 755 0, 497 108 1 6,839 107 9. а) Расчет ведется на наихудший случай – ни при каких условиях (наиболее неблагоприятный сигнал x(n) 1;1;1;1;... ) не должно произойти переполнение сумматоров. 1 h( n) n 0 На сумматор подается сигнал, сформированный рекурсивной частью цепи, У Вас в схеме 2 сумматора. Где расчет для второго? имеющей H ( z ) 1 1 1 0,5 z 0, 2 z 2 Этой передаточной функции соответствует импульсная характеристика h1 (n) 1; 0,5; 0, 45; 0,325; 0, 2525; 0,19125;... Рассчитаем коэффициент передачи масштабного усилителя для защиты выхода сумматора: 1 1 h ( n) n 0 1 1 0,368 1 0,5 0, 45 0,325 0, 2525 0,19125... 2, 719 1 Целесообразно принять 0.5 ,что реализуется как смещение числового кода на входе цепи на 1 разряд вправо. б) Мы можем сделать переполнение маловероятным, ограничив уровень мощности сигнала на выходе сумматора. 1 h 2 ( n) n 0 h (n) 1, 658, n 0 2 1 1 1 0, 777 1, 658 Реализуем 0.5 , как более простой вариант. в) Мы можем уменьшить вероятность частных искажений (за счет резонанса), потребовав, чтобы максимальное значение АЧХ цепи с учетом масштабного усилителя не превышало 1. 1 H mах ( ) Частотная характеристика рекурсивной части цепи, формирующая сигнал на выходе сумматора: H1 ( z ) z2 z 2 0,5 z1 0, 2 e j 2n , получим H1 ( j ) j 2n e 0,5e jn 0, 2 Полюсы функций H1 ( z) : z1 0, 762; z2 0, 262 n Заменим z e jn Максимум АЧХ определяется частотой полюса, имеющего мах добротность z1 0, 762 и соответствует частоте 0 . На этой частоте H1 ( j 0, д ) e j 2n 1 1 3,333 j 2 n jn e 0,5e 0, 2 1 0,5 0, 2 0,3 1 0,3 3,333 Реализуем 0.3 или 0.5 , как более простой вариант. Следовательно 1