Санкт-Петербург, 2015 РАБОТА 18

Санкт-Петербургский государственный
электротехнический университет
«ЛЭТИ»
кафедра физики
И. Л. Шейнман
ИССЛЕДОВАНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПОТЕНЦИАЛА
ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ ДВУХПРОВОДНОЙ ЛИНИИ
Лабораторная работа № 18
(учебное пособие)
Санкт-Петербург, 2015
РАБОТА 18
ИССЛЕДОВАНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПОТЕНЦИАЛА
ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ ДВУХПРОВОДНОЙ ЛИНИИ
Цель работы: Ознакомление с методикой моделирования электростатического поля в
токопроводящей среде, исследование электростатического поля, созданного системой
проводящих тел.
Приборы и принадлежности: лабораторный макет установки для моделирования
электростатического поля (рис. 1).
В работе используется планшет (1), покрытый проводящей бумагой, с нанесенными на
него металлическими электродами (2). На планшете установлены две подвижные линейки
(3), с помощью которых определяются координаты щупа (4), подключенного к вольтметру
(pV). Помещая щуп в различные точки планшета, и, измеряя потенциал данной точки, можно
построить картину исследуемого поля.
Исследуемые закономерности
Модель электростатического поля. В проводящей среде под действием приложенной
к электродам постоянной разности потенциалов происходит направленное движение
заряженных
частиц,
в
результате которого в среде,
окружающей
электроды,
устанавливается стационарное
распределение
потенциала,
подобное
распределению
потенциала в диэлектрической
среде
вокруг
заряженных
проводящих тел, если форма и
взаимное
расположение
последних
аналогичны
соответствующим параметрам
электродов
проводящей
модели.
В электростатическом поле на помещенный в поле заряд действует сила F  qE , в
проводящей среде вектор плотности тока подчиняется вполне симметричному соотношению
j  E , где  – электропроводность среды (величина, обратная удельному сопротивлению).
Сопоставление свойств электростатического поля и поля электрического тока в
проводящей среде показывает, что оба поля потенциальны, т.е. не образуют вихрей в
пространстве, окружающем электроды.
Связь между потенциалом и напряженностью электростатического поля. Для
потенциальных полей справедливо дифференциальное соотношение между энергетической и
силовой характеристиками поля. Для электростатического поля это соотношение имеет вид
E  grad ,
(1)
т.е. проекции вектора напряженности на оси декартовой системы координат определяются
следующим образом



Ex   ; E y   ; Ez  
,
(2)
x
y
z
Физический смысл градиента легко понять, если учесть, что линии (или поверхности
для объемной картины) равного потенциала и линии напряженности электростатического
поля взаимно перпендикулярны. Тогда, рассматривая в произвольной точке
эквипотенциальной поверхности систему декартовых координат из двух касательных и
нормали к поверхности, легко видеть, что результирующий вектор напряженности поля
располагается в направлении максимального изменения потенциала (в данном случае по
нормали к поверхности).
Поэтому выражение (1) часто заменяют эквивалентным ему соотношением
d
E
n ,
(3)
dn
где n – единичный вектор в направлении максимального изменения потенциала. Выражение
(3) часто бывает предпочтительнее в экспериментальных исследованиях электрических
полей. Из него следует, в частности, что как линии напряженности электростатического
поля, так и линии тока перпендикулярны линиям или поверхностям равного потенциала.
Поле двух длинных заряженных нитей. На планшете моделируются так называемые
плоские поля, т.е. такие поля, картина которых остается неизменной при параллельном
переносе плоскости, в которой производится исследование поля. Как правило, это
электростатические поля объектов, бесконечно протяженных в направлении,
перпендикулярном секущей плоскости.
Рассмотрим сначала две бесконечно тонкие заряженные нити. Если абсолютная
величина линейной плотности заряда на нитях  (Кл/м), для каждой нити путем
интегрирования закона Кулона или из теоремы Гаусса может быть найдена абсолютная
величина напряженности поля

E
,
(4)
E1
y
20 r
Напряженность электростатического поля в
произвольной точке секущей плоскости будет
определяться
геометрической
суммой
E2
напряженностей полей, создаваемых каждой нитью
(принцип
суперпозиции),
а
величина
и
направление
результирующего
вектора
напряженности поля может быть найдена по
отношению к системе координат x0y (рис. 2),
заданной экспериментатором.
Рис. 2
Из соотношения (3) для одной нити имеем

E
, откуда
r
dr

    Edr   

ln(r )  A .
20r
20
Где A – произвольная константа. Для пары нитей:
r 



(5)
      
ln(r1) 
ln(r2 )  A 
ln  2   A
20
20
20  r1 
Если принять ( x  0)  0 , т.е. равенство нулю потенциала на оси симметрии,
то константа A  0 . Теперь определим уравнение эквипотенциальных поверхностей. На этих
поверхностях r2 r1  k  e20   const . Здесь k – параметр семейства эквипотенциальных
линий в плоскости рисунка. Выведем уравнение эквипотенциали в декартовых
координатах х и у. Тогда
r2 
 x  a 2  y 2
; r1 
 x  a 2  y 2
Подставляя найденные выражения в равенство
окружности в канонической форме:

  k 2  1
где s  a k 2  1
 x  s 2  y 2  R 2
r2  kr1 , получим уравнение
(6)

– координата центра окружности, R  s 2  a 2  a 2k 1 k 2

–
радиус окружности.
В соответствии с (6) линии равного потенциала представляют собой окружности, а
поверхности равного потенциала – круговые цилиндры, геометрические оси которых
смещены относительно заряженных нитей. Одна из этих поверхностей вырождается в
плоскость с нулевым значением потенциала (при k = 1: s  ; r   ).
Линии напряженности представляют собой дуги окружности, начинающиеся на нити
с положительным зарядом и кончающиеся на нити с отрицательным зарядом.
Поле и ёмкость двухпроводной линии
В данной работе исследуется поле двух длинных, параллельных, равномерно и
разноименно заряженных проводящих цилиндров (двухпроводной линии).
Рис. 3.
Пусть R – радиус цилиндров (проводов); d – расстояние между геометрическими
осями цилиндров; U  1  2 – напряжение между проводами (рис. 3).
Поверхности проводников в двухпроводной линии представляют собой
цилиндрические эквипотенциальные поверхности, для которых должно быть выполнено
соотношение (6). Тогда
a  s2  R2 , s  d 2 ,
Из пояснений к (6) следует, что ( s  a) / R  R / ( s  a )  k
при
( s  a) / R  R / ( s  a)  k при k  1 . Тогда из (5) потенциалы проводников:



sa
 R 
1 
ln  k  
ln 
ln 
 ; 2 
  1;
20
20  R 
20  s  a 
Значит


2
 d  R2 d 
d 2   d 2  R2 



U  1  2 
ln

ln 
.
 0 

0 
R
R




k  1,
Электроемкость определяют как отношение заряда, находящегося на проводящем
теле к возникающему при этом потенциалу этого тела C  Q  . Или, если речь идет о
системе заряженных тел, например, конденсаторе, то электроемкость равна отношению
заряда, переносимого с одного из тел на другое, к напряжению, возникающему между этими
телами
C Q U.
В конденсаторе электрическое поле локализовано в объеме конденсатора.
Электроемкость измеряют в Фарадах (Ф). В двухпроводной линии цилиндры представляют
собой бесконечно протяженные объекты, поэтому для характеристики системы
рассматривают емкость на единицу длины
0
C 
,   cU .
c  
l U ln  (s  a) R 
Если расстояние между проводами значительно больше их радиуса d  R , то a  s
(смещением электрических осей относительно геометрических осей цилиндров можно
пренебречь) и емкость линии на единицу длины можно определить по формуле
c   U  0 ln  d R  .
Результирующую напряженность электрического поля можно определить по формуле
  r1 r2 
E   grad  
  ,
20  r12 r22 
где r1 и r2 – расстояния до осей наведенных зарядов.
Для определения приближенных значений проекций напряженности в некоторой
точке по измеренным значениям потенциала вблизи этой точки можно воспользоваться
  2 x
следующим из (2) соотношением E x  1x
и т.д., где в числителе указана разность
x2  x1
потенциалов, измеренных в точках с соответствующими координатами, а в знаменателе
разность координат этих точек.
Энергия электрического поля. Конденсаторы, по сути, являются накопителями
электрической энергии. Известно, что энергия заряженного конденсатора определяется
эквивалентными соотношениями
Q Q 2 C   
W


.
2
2C
2
Для объемной плотности энергии электрического поля используют выражение
2
ED 0 E 2
D2
.
w


2
2
20
Задание на подготовку к работе (оформить на отдельном листе)
1. Сформулируйте цель работы.
2. Дайте определение потенциала электростатического поля.
3. Каким правилом следует руководствоваться при построении силовых и
эквипотенциальных линий поля в точке их пересечения? Объяснить.
4. Как силовые линии электростатического поля могут характеризовать величину
напряженности?
5. Напишите и прокомментируйте формулу для потенциальной энергии системы из N
точечных зарядов.
6. Выведите выражение (4).
7. Для данной модели двухпроводной линии выведите выражение для электроемкости
единицы длины линии и найдите ее численное значение.
8. Можно ли двухпроводную линию назвать конденсатором? Пояснить.
9. Если соединить одноименные обкладки двух заряженных плоских конденсаторов, то
как изменится их общая энергия? Пояснить.
Задание на подготовку к проведению работы:
1. Изучите описание лабораторной работы.
2. Подготовьте лист миллиметровой бумаги формата А4 для изображения электродов
исследуемой модели, координатных осей и основных характеристик поля.
3. Подготовьте таблицы для записи результатов измерений, описанных в пунктах 1; 2; а
также 3, 4 и 5 раздела «Указания по проведению наблюдений».
4. Выведите формулы для определения значений величин проекций и модуля
напряженности поля, ориентируясь на подготовленные таблицы.
5. Выведите формулы для определения погрешностей величин проекций и модуля
напряженности поля, основываясь на величинах инструментальных погрешностей
измерения потенциала и координат.
6. Подготовьте бланк Протокола наблюдений с соответствующими таблицами.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Указания по выполнению наблюдений
Выполнить эскиз модели. Для этого, пользуясь подвижными линейками планшета,
определить координаты и размеры электродов модели. Далее, нанести изображения
электродов и оси координат на подготовленный бланк (лист миллиметровой бумаги
формата А4), определить масштаб, в котором будет изображена исследуемая модель,
провести оцифровку координатных осей.
Установить одну из линеек таким образом, чтобы щуп перемещался вдоль линии,
соединяющей центры электродов. Выбрать на этой линии не менее 10 точек,
равномерно распределенных между электродами, а также по 5 точек вне электродов с
обеих сторон. Перемещая другую линейку, измерить потенциал в выбранных точках
модели вдоль этой линии.
Измерить разность потенциалов между электродами.
Сместить линейку с линии, соединяющей электроды примерно на 6 – 8 см.
Установить вторую линейку так, чтобы она проходила между электродами, измерить
потенциал в выбранной таким образом точке. Поочередно смещая линейки, измерить
потенциалы на расстоянии примерно 0.5 см от выбранной точки вдоль каждой из осей
координатной системы.
Выполнить аналогичные измерения в точке, расположенной симметрично
относительно точки, выбранной в п. 3.
Выполнить аналогичные измерения еще для двух точек, расположенных за
электродами.
Задание по обработке результатов:
Полагая диэлектрическую проницаемость моделируемой области =1, из
экспериментальных данных определите по одной из точек, находящейся примерно
посередине между электродами (п. 2 Указания по выполнению наблюдений),
величину линейной плотности моделируемого заряда.
Рассчитайте теоретическую кривую изменения потенциала электрического поля вдоль
линии, соединяющей центры электродов, и нанесите на график экспериментальные
точки. Сравните результаты.
Используя значения разности потенциалов, измеренное в п. 3 Указания по
выполнению наблюдений, рассчитайте электроемкость.
Полагая диэлектрическую проницаемость моделируемой области =1, определите
электроемкость исходя из геометрических размеров системы.
Определите погонную энергию, накопленную в двухпроводной линии.
Определите экспериментальные значения величин проекций на оси координат и
значения модулей величин напряженности поля в точках, где проводились измерения,
по потенциалам, измеренным в п. 4, 5 и 6 раздела «Указания по проведению
наблюдений».
Рассчитайте напряженность поля в данных точках по найденной в п. 1 линейной
плотности заряда и расстоянию до точек от осей наведенных зарядов. Сравните
результаты.
8. Нанесите на эскиз модели (см. п. 1 раздела «Указания по проведению наблюдений»)
изображения нескольких векторов напряженности поля (1 точку на линии,
соединяющей электроды, между ними, 1 точку за электродом и во всех точках в
стороне от этой линии).
9. Сформулируйте выводы по проведенному исследованию.