Лабораторная работа 1-26

Лабораторная работа 1-26
Изучение свободных колебаний маятника с массивной пружиной
Цель работы: Определение жесткости пружины, определение периода
свободных колебаний маятника с массивной пружиной.
Теоретическое введение
Модель 1
Пружинный маятник с безмассовой пружиной
Рассмотрим свободные гармонические колебания на примере
пружинного маятника – груза массой m, подвешенного на пружине с
коэффициентом жёсткости k. Массой самой пружины обычно пренебрегают
(см. лабораторную работу 1.18).
Рис.26.1
Пусть длина недеформированной пружины (без груза) равна l 0 ; с грузом
массой m длина пружины в состоянии равновесия равна l, то есть
увеличивается на x0  l  l0 (рис.26.1). Сила упругости уравновешивается
силой тяжести:
kx0  mg .
(26.1)
1
Груз, выведенный из положения равновесия и предоставленный сам
себе, начинает колебаться вдоль вертикальной оси. За начало отсчёта удобно
принять равновесное положение груза, а ось OX направить вниз, то есть, x –
это смещение груза из положения равновесия,  – его скорость. Изменение
длины пружины от первоначального недеформированного состояния будет
равно x  x0  . Энергия системы складывается из потенциальной энергии
упругой деформации пружины:
k  x  x0 
,
2
2
E УПР. 
(26.2)
потенциальной энергии груза в поле силы тяжести:
EПОТ.  mgx
(26.3)
и кинетической энергии груза:
E КИН. 
m 2
.
2
(26.4)
Полная механическая энергия системы при отсутствии сил трения
(сопротивления среды) сохраняется:
k  x  x0 
m 2
 mgx 
 const .
2
2
2
(26.5)
Продифференцируем (26.5) по времени:
k  2   x  x0  d
dx m  2   d
(26.6)
 x  x0   mg 

 0.
2
dt
dt
2
dt
d
x  x0   dx   , то после сокращения на  получим из
Поскольку
dt
dt
(26.6):
так как
k  2   x  x0 
m  2 d
 mg 

 0 , или
2
2 dt
d 2x
k x  x0   mg  m  2  0 ,
dt
d d 2 x
 2 . С учётом (26.1) получим из (26.7):
dt
dt
d 2x
kx  m  2  0 .
dt
Разделив (26.8) на
гармонических колебаний:
m,
получим
дифференциальное
d 2x k
  x  0.
dt 2 m
(26.7)
(26.8)
уравнение
(26.9)
Решением этого дифференциального уравнения является функция:
x  A  cos1  t   0  ,
(26.10)
где 1 
k
m
– частота собственных колебаний маятника с безмассовой
пружиной. Период колебаний такого маятника
T1  2 
m
.
k
(26.11)
2
Заметим, что наличие поля силы тяжести не влияет на частоту колебаний
пружинного маятника; изменяется лишь равновесное положение груза. Так
что в дальнейшем потенциальную энергию в поле силы тяжести можно не
учитывать.
Модель 2
Пружинный маятник с массивной пружиной
В некоторых случаях массой пружины
пренебрегать нельзя. Найдём кинетическую
энергию колеблющейся пружины. Пусть один
конец однородной пружины массой M закреплен, а
другой движется со скоростью υ (рис.26.2). Если
растяжение равномерное, то скорость υ1 малого
участка пружины длиной dx1 с координатой x1
равна:
1 
x1
 ,
l
(26.12)
M
 dx1 ,
l
(26.13)
где l – длина пружины в состоянии равновесия.
Масса участка равна
dM 
а кинетическая энергия
dM  12
M   2  x12
M
 x1 
dE1 

 dx1      
dx1 . (26.14)
2
2l
2l3
 l

2
Рис.26.2
Проинтегрируем (14) по длине пружины:
l
M   x
M 2
M 2
2
E1   dE1  
dx1 
 x1 dx1 
2l3
2l3
2  l 3 0
0
0
l
l
2
2
1
E1 
M 2
.
6
l
 x13 
M 2 l 3 M 2


  
 
;
3
6
 3  0 2l 3
(26.15)
Теперь при выводе дифференциального уравнения колебаний маятника
учтём энергию E1. Полная механическая энергия пружинного маятника с
массивной пружиной равна E  E УПР.  EКИН.  E1 :
E
kx2 m 2 M 2


,
2
2
6
или
M 2

 m  
kx
3 
E

.
2
2
2
(26.16)
Производная (26.16) по времени равна нулю, так как полная энергия
сохраняется:
3
dE
dx 
M
d
 kx    m     
dt
dt 
3 
dt
2
d d x
замены
 2 и деления на
dt
dt
 0 , или после сокращения на скорость
M

m   :
3 

M  d

kx   m   
 0;
3  dt

d 2x
k

x  0.
2
M
dt

m  
3 

dx
 ,
dt
(26.17)
Дифференциальное уравнение (26.17) подобно полученному выше
(26.9). Это позволяет упростить модель, считая массу пружины равной нулю,
но к массе груза добавив
M
. Это поправочное слагаемое называется
3
присоединенной массой пружины в рассматриваемой задаче.
Запишем решением дифференциального уравнения (26.17):
x  A  cos  t   0  ,
где
k

m
M
3
.
(26.18)
(26.19)
Период колебаний равен:
T  2 
m
k
M
3 .
(26.20)
Недостаточность модели 2
При выводе формулы (26.20) предполагали, что растяжение пружины
равномерное. При каком условии это допущение приемлемо? Естественно
считать, что это можно сделать, если характерное время τ, связанное с
собственными продольными колебаниями пружины, существенно меньше
характерного времени, связанного с колебаниями груза (например, периода
колебаний T):
(26.21)
  T .
В этом случае неравномерность растяжения пружины будет успевать
выравниваться за период колебаний. За τ можно принять время прохождения
возмущения вперед и назад вдоль пружины:
 
2l
В
,
(26.22)
где  В – скорость распространения упругих волн по пружине. Для её оценки
воспользуемся выражением, определяющим скорость распространения
продольных звуковых волн в твердых телах:
4
В 
E

,
(26.23)
где E – модуль Юнга, ρ – плотность среды. Для твёрдого тела, например,
стержня длиной l и сечением S (см. лаб. работы 1.16 и 1.17):
F

k  l
k l
,
E  S 
l 
 l S  l
S
l
(26.24)
а плотность

M
M

,
V
S l
(26.25)
тогда
В 
E


k l
S 
M
S l
k l2
k
.
l
M
M
(26.26)
Таким образом, допущение о равномерном растяжении пружины можно
считать приемлемым, если
2l
k
l
M
 2 
m
k
M
3 , или
M    m 
M
.
3
(26.27)
Допустив, что «значительно меньше» означает «меньше по крайней мере в 10
раз», получаем условие приемлемости допущения:
M
.
3
После возведения в квадрат и с учётом, что  2  10 :
M
10  M  m 
. Далее, учитывая приблизительность
3
10  M    m 
(26.28)
выкладок, вторым
слагаемым в правой части пренебрежём и получим:
(26.29)
M  0.1 m .
Требование (26.29) устраняет и ещё одно упрощение модели 2: если
масса пружины велика, то она под действием собственного веса будет
растягиваться неравномерно (вверху растянута больше, чем внизу), и
соотношения (26.12) и (26.13) неверны. Однако можно предположить, что
наличие поля силы тяжести не будет влиять на период колебаний, так же как
и для маятника с безмассовой пружиной, а всего лишь изменится
равновесное положение груза.
Следующий шаг в решении вопроса – это решение задачи на поиск
частот нормальных колебаний (см. лаб. работу 2.10) системы, состоящей из
точечного груза и пружины с непрерывно распределённой массой. Эта задача
сложна, однако в простейшем частном случае её легко можно решить. Этот
частный случай – колебания пружины массой M без груза (m=0).
5
Модель 3
Колебания массивной пружины без груза
Предполагаем, что масса пружины распределена непрерывно, тогда
задача сводится к вычислению основной частоты упругих продольных
колебаний стержня длиной l с одним закреплённым концом. Второй конец
свободен, и на нём будет пучность стоячей волны, а на закреплённом конце
будет узел. Рис. 26.3 даёт представление о возможных нормальных
колебаниях стержня.
Рис.26.3
На длине стержня должно укладываться полуцелое число длин стоячих
волн:
l  СТ.  n 
СТ .
2
,
n=0, 1, 2, 3, …
(26.30)
где длина стоячей волны равна половине длины волны бегущей:
СТ. 

2
.
(26.31)
Воспользуемся (26.26), тогда с учётом (26.32):
(26.32)
  B  T ,
а также (26.30) и (26.31) получим выражение для периода T0 основного тона
колебаний (n=0) стержня:
T0 
 2  СТ.


В
В
4l
k
l
M
,
или
T0  4 
M
.
k
(26.33)
Сравним (26.20) и (26.33). При малом значении массы груза (m→0)
(26.20) даёт:
6
T  2 
M
3  2  M  3.6  M .
k
k
k
3
0
Таким образом, в пределах погрешности 10% (26.20) и (26.33) дают
одинаковый результат. Можно предположить, что область применимости
(26.20) всё-таки шире, чем при M  0.1 m . Это предположение предлагается
проверить на опыте.
Экспериментальная часть
Приборы и оборудование: три пружины на штативе, набор грузов,
линейка, секундомер.
Описание установки
Схема лабораторной установки изображена на рис. 26.4. Пружины 1, 2 и
3 прикреплены к штативу 4. Удлинение пружины измеряется линейкой 5.
Рис.26.4
Порядок выполнения работы.
Задание 1. Определение жесткости пружины
7
1. Вставьте линейку внутрь пружины 1 так, чтобы прорезь линейки
опиралась на её нижний виток. При этом нижний виток пружины должен
совпадать с нулём отсчёта линейки. Измерьте длину ненагруженной
пружины l0.
2. Подвесьте к пружине груз массой m, запишите l – длину пружины с
грузом.
3. Вычислите удлинение пружины l  l  l0 и вычислите её жёсткость k по
закону Гука (26.34):
k
mg
.
l
(26.34)
4. Повторите опыт ещё с двумя грузами.
5. Рассчитайте среднее значение коэффициента жёсткости kср.. Повторите
измерения с пружинами 2 и 3. Все результаты занесите в таблицу 26.1.
Таблица 26.1.
Пружина 1
№
l0, м
m, кг
l, м
k, Н/м
kср., Н/м
l , м
1
1.0
2
1.5
3
2.0
Пружина 2
№
l0, м
m, кг
l, м
k, Н/м
kср., Н/м
l , м
1
1.0
2
1.5
3
2.0
Пружина 3
№
l0, м
m, кг
l, м
k, Н/м
kср., Н/м
l , м
1
0.1
2
0.5
3
0.6
Задание 2. Определение периода свободных колебаний
1. Уберите линейку. Подвесьте к пружине 1 груз m=1 кг.
2. Приготовьте к работе секундомер, оттяните груз вниз. Отпустите маятник
вместе с пуском секундомера и отсчитайте N (N=20÷30) полных
колебаний (считать число полных колебаний по моментам возвращения
маятника в нижнее положение максимального отклонения). Запишите в
табл. 26.2 время t.
8
3. Вычислите период колебаний: T  t / N .
4. Повторите опыт (пункты 2 и 3) ещё 2 раза, рассчитайте среднее значение
периода колебаний TСР.ЭКСП..
5. Найдите теоретическое значение периода по формуле (26.19):
TТЕОР.  2 
m
k
M
3 .
(26.20)
Таблица 26.2
№
1
2
3
№
1
2
3
№
1
2
3
m,
кг
N
2
20
m,
кг
N
2
20
t,
с
t,
с
T,
с
Пружина 1
M=0.94 кг
Е,
TТЕОР , ,
TЭКСП.СР. ,
%
с
с
T,
с
Пружина 2
M=0.53 кг
Е,
TЭКСП.СР. ,
TТЕОР , ,
%
с
с
T,
с
Пружина 3
M=0.09 кг
Е,
TЭКСП.СР. ,
TТЕОР , ,
%
с
с
T1 ,
TЭКСП.  T1 ,
с
с
T1 ,
TЭКСП.  T1 ,
с
с
T1 ,
TЭКСП.  T1 ,
с
с
Е1,
%
Е1,
%
30
m,
кг
N
0.5
20
t,
с
Е1,
%
30
6. Оцените относительную погрешность, допускаемую при вычислении
периода по формуле (26.20) с учётом массы пружины:
E
TТЕОР.  TЭКСП.СР.
 100% .
TЭКСП.СР.
7. Найдите теоретическое значение периода колебаний маятника без учёта
массы пружины по формуле (26.11):
9
T1  2 
8. Вычислите разность
TЭКСП.  T1
m
.
k
(26.11)
, оцените относительную погрешность Е1,
допускаемую при вычислении периода колебаний по формуле (26.11) без
учёта массы пружины:
E1 
TЭКСП.  T1
 100% .
TЭКСП.
9. Повторите измерения и вычисления по пунктам 1-8 второго задания для
пружин 2 и 3. Все полученные данные запишите в табл. 26.2.
10. Сделайте выводы о приемлемости модели 1 или 2 для каждой из
исследованных пружин.
Контрольные вопросы
1. Какие колебания называются гармоническими? Дайте определение
периода колебаний, частоты. Получите выражения для скорости и ускорения
при механических гармонических колебаниях.
2. Запишите закон сохранения энергии для пружинного маятника в
предположении, что массой пружины можно пренебречь.
3. Получите дифференциальное уравнение гармонических колебаний
пружинного маятника (26.9).
4. Запишите решение уравнения (26.9), получите формулу для периода
колебаний.
5. Выведите формулу для кинетической энергии колеблющейся
пружины (26.15).
6. Получите и решите дифференциальное уравнение колебаний
маятника с массивной пружиной.
7. Чему равен период колебаний маятника с массивной пружиной?
8. В каких случаях применима модель 2 маятника с массивной
пружиной?
Используемая литература
[5] § 19.1, 19.2; [3] § 27.1, 27.2; [6] § 3.3; 3.6, 3.7.
10