08-08-02

Реклама
08-08-02. Сложение векторов
1. Для удобства векторы, связанные с фиксированной точкой, иногда будем
обозначать с помощью одной буквы: a , b , x , и тому подобное.
Для векторов вводят операцию сложения, причем сумма векторов a и b
обозначается a  b .
В этом пункте рассмотрим случай, когда векторы a и b имеют одинаковое
направление.
Суммой одинаково направленных векторов a и b называется вектор c ,
имеющий такое же направление, как векторы a и b , длину, равную сумме длин
векторов a и b .
Например, на рисунке 1 вектор OC является суммой векторов OA и OB , то есть
OA  OB  OC .
Докажем, что при сложении одинаково направленных векторов выполняются
следующее правило:
в прямоугольной системе координат xOy координаты суммы двух одинаково
направленных векторов, связанных с точкой O , равны сумме соответствующих
координат слагаемых.
Доказательство. Пусть вектор
сонаправленный с ним вектор
OB
OA
длиной
длиной
n
m
имеет координаты
имеет координаты
( x1  y1 ) ,
( x2  y2 ) , а
сонаправленный с ними вектор OC  OA  OB длины m  n имеет координаты ( x3  y3 )
(рисунок 2). Из пункта 1.6. следует, что координаты вектора OB пропорциональны
координатам вектора OA с коэффициентом mn , то есть
n
n
x2  x1  y2  y1 
m
m
Аналогично, координаты вектора OC пропорциональны координатам вектора OA с
коэффициентом mn n , то есть
mn
mn
x3 
x1  y3 
y1 
m
n
Отсюда следует, что
x3 
mn
n
n

x1  1   x1  x1  x1  x1  x2 
n
m
 m
mn
n
n

y1  1   y1  y1  y1  y1  y2 
n
m
 m
2. В общем случае сумма двух связанных векторов определяется таким образом,
чтобы сохранялось правило, установленное в предыдущем пункте:
y3 
координаты суммы двух векторов равны сумме соответствующих координат
слагаемых.
По этому правилу в прямоугольной системе координат можно сложить любые два
вектора a и b с известными координатами.
Пример 1. Пусть a  OA  (3 2) , b  OB  (13) (рисунок 3). Тогда по правилу
сложения векторов [15]52.06mm62.56mmg8-08-14.pcx
a  b  c  (3  1 2  3)  (41)
Этот вектор изображен на рисунке 3 как вектор OC .
Пример 2. Пусть a  OM  (2 0) , b  ON  (03) (рисунок 4). Тогда по правилу
сложения векторов
a  b  c  (2  0 0  3)  (23)
Этот вектор изображен на рисунке 4 как вектор OK .
Пример 3. Пусть a  OP  (3 4) , b  OQ  (34) (рисунок 5). Тогда по правилу
сложения векторов
a  b  c  (3  3 4  4)  (0 0)  O
Следовательно, в этом примере сумма векторов a и b равна нулевому вектору.
Пример 4. Пусть a  OC  (12) , b  O  (00) . Тогда по правилу сложения
векторов
a  O  c  (1  02  0)  (12)  a 
Ясно, что для любого вектора a
a  O  a
В самом деле, если вектор a имеет координаты (m n) , то по правилу сложения
векторов
a  O  (m  0 n  0)  (m n)  a 
3. «Правило параллелограмма» сложения связанных векторов.
Возьмем в прямоугольной системе координат xOy векторы
OA  (a  b)
и
OM  (m  n) . Тогда OA  OM  (a  m b  n)  rlineOF .
Рассмотрим параллельный перенос, определяемый парой чисел (a b) . При этом
параллельном переносе точка O(0 0)
перейдет в точку с координатами
(0  a 0  b)  (a b) , а точка M (m n) перейдет в точку с координатами (m  a n  b) .
Следовательно, точка O переходит в точку A , а точка M переходит в точку F . Если
точки O , A , M не лежат на одной прямой, то из свойств параллельного переноса
получаем, что четырехугольник OAFM – параллелограмм (рисунок 6). Следовательно, в
этом случае сумма векторов a  OA и b  OM изображается как диагональ OF
параллелограмма OAFM , построенного со сторонами OA и OM .
Учитывая это свойство, иногда говорят, что связанные векторы складываются по
правилу параллелограмма.
4.** Сложение двух одинаково направленных векторов имеет легко воспринимаемый
смысл. Сложение двух векторов OA и OB , не лежащих на одной прямой, нетрудно
осуществить с помощью геометрических построений. Действительно, если через точку A
проведем прямую m , параллельную OB , через точку B проведем прямую n ,
параллельную OA , и найдем точку P пересечения прямых m и n , то OA  OB  OP
(рисунок 7).
Правило сложения двух противоположно направленных векторов геометрически
формулируется сложнее.
Пусть векторы a длиной m и b длиной n противоположно направлены. Тогда
вектор a  b :
при m  n равен нулевому вектору;
при m  n имеет направление вектора a и его длина равна m  n ;
при m  n имеет направление вектора a и его длина равна n  m .
5. Противоположный вектор.
Вектор x называется противоположным вектору a , если
a  x  O
В прямоугольной системе координат для вектора a  (m n) противоположным
вектором является вектор x  (mn) .
Действительно, вектор O имеет координаты (0;0), а поэтому
a  x  (m n)  (mn)  (0 0)  O
Вектор x противоположный вектору a обозначается как a .
Таким образом, по определению сложения векторов
a  (a )  O
6. Разность векторов.
С помощью противоположных векторов определяется операция вычитания из
одного вектора другого вектора.
Пусть a и b — векторы, связанные с одной точкой O . Тогда разностью a  b
называется вектор, равный сумме векторов a и b .
Таким образом, по определению имеет место равенство
a  b  a  (b )
Пример 5. Найдем разность OA  OB для векторов, изображенных на рисунке 8. Для
этого найдем точку C , симметричную точке B относительно начала, и построим
параллелограмм OAFC (рисунок 9). Тогда OC  OB , OF  OA  OC , а поэтому
OF  OA  OC  OA  (OB)  OA  OB
Заметим, что на рисунке 9 четырехугольник OBAF — параллелограмм.
7. Свойства операций над векторами, связанными с фиксированной точкой.
В этом параграфе мы определили операции сложения и вычитания связанных
векторов.
Эти операции удовлетворяют следующим основным свойствам.
1. a  b  b  a
2. a  (b  c )  (a  b )  c
3. a  O  a
Для каждого вектора a есть единственный вектор x , такой, что
a  x  O
При этом x  a и
a  (a )  O
a  (b )  a  b .
Опираясь на эти свойства, можно получать другие свойства суммы и разности
векторов.
Пример 6. Докажем, что (a  b )  a  b .
Доказательство. По определению (a  b )  ((a  b ))  O . Теперь рассмотрим сумму
(a  b )  (a  b ) . Основные свойства позволяют выполнить следующие преобразования:
a  b  ( a  b )  a  b  (a )  (b )  (a  ( a ))  (b  ( b ))  O  O  O
Так как вектор имеет единственный противоположный, то из равенств
(a  b )  ((a  b ))  0
и
( a  b )  ( a  b )  0
следует, что (a  b )  a  b .
8. Перечисленные в предыдущем пункте свойства суммы и разности векторов
нетрудно доказать с помощью координат.
Например, докажем свойство 4.
Пусть a  (m n) . Обозначим через ( x y ) координаты вектора z , удовлетворяющего
равенству a  z  O .
Тогда по определению
a  z  (m n)  ( x y )  (m  x n  y )  (0 0)
Отсюда m  x  0, n  y  0 . Поэтому x  m и y   n — это единственная пара
чисел таких, что вектор с координатами ( x y ) в сумме с векторами a  (m n) дает
нулевой вектор.
Контрольные вопросы
1. Как определить сумму двух связанных векторов?
2. Пусть координаты вектора a равны ( x1  y1 ) , координаты вектора b ( x2  y2 ) . Чему
равны координаты вектора a  b ?
3. Что означает фраза: два связанных вектора складываются по правилу
параллелограмма?
4. Как с помощью параллельного переноса получить сумму двух одинаково
направленных векторов?
5. В каком случае сумма двух векторов равна нулю?
6. Определите вектор, противоположный вектору a .
7. Как определить разность двух векторов?
8. Каким свойствам удовлетворяют операции сложения и вычитания векторов?
Задачи и упражнения
1. Нарисуйте вектор a . Постройте по вектору a вектор 2a  a  a .
2. Нарисуйте два вектора a и b , связанных с одной точкой. Постройте векторы:
а) 2a  a  a б) ; 2b  b  b в) ; 3a  2a  a г) ; 3b  2b  b ;
д) a  b е) ; a  2b ж) ; 2a  b з) ; 2a  2b .
3. Нарисуйте три произвольных попарно несонаправленных вектора a , b , c , связанных с
одной точкой. Постройте вектор:
а) a  b б) ; a  c в) ; b  c ;
г) a  b  c д) ; a  2b  c е) ; 2a  2b  c .
4. Нарисуйте два произвольных вектора a и b , связанных с одной точкой. Постройте
векторы:
а) a  b б) ; b  a в) ; 2a  b ;
г) 2b  a д) ;  a  b е) ; 2a  2b .
5. Нарисуйте в тетради три попарно несонаправленных вектора a , b , c , связанных с одной
точкой. Постройте векторы:
а) a  b  c б) ; a  b  c в) ;  a  b  c г) ; a  b  c ;
д)  a  b  c е) ;  a  b  c ж) ; a  2b  c .
6. Даны точки O , A и вектор a  OB . Постройте точку M так, чтобы OM  OA  a .
7. В координатной плоскости заданы векторы a и b с координатами:
а) a  (21) , b  (4 6) б) ; a   12  0 , b  (2 4) ;
в) a   32   12  , b    52 1 г) ; a    12  2 , b  (3 4) .
Найдите координаты векторов a  b ; a  b ;  a  b .
8. В координатной плоскости заданы векторы a и b с координатами:
а) a (11) , b (1 2) б) ; a (11) , b (2 2) ;
в) a (1 1) , b (2 2) г) ; a (3 2) , b (1 3) .
Найдите координаты векторов a  b ; a  b ;  a  b ;  a  b .
9. В координатной плоскости заданы векторы a и b с координатами:
а) a (41) , b (2 0) б) ; a (1 3) , b  12  4 ;
в) a  14  13  , b (1 1) г) ; a  12  32  , b  13  54  .
Найдите координаты векторов: a  b ;  a  b ; a  b ;  a  b .
10. В координатной плоскости заданы векторы a , b , c с координатами:
а) a  12  12  , b (1 2) , c  53  2  б) ; a 1 34  , b  56 1 , c (1 2) ;
в) a (1 2) , b (3 4) , c (2 1) г) ; a (2 4) , b  12  53  , c  2  32  .
Найдите координаты векторов: a  b  c ; a  b  c ;  a  b  c ; a  b  c ;  a  b  c .
в) OM t  (t  2t  t 2 t ) г) ; OM t  (t 2  2t  t  t ) .
Ответы и указания к решению наиболее трудных задач.
Задача 3. Указания. д) Пусть a  OA , b  OB , c  OC . Вектор OM  b строится
так, как указано на рис. 2. После этого вектор ON  a  b находится, если построить
параллелограмм OANM , а тогда вектор OK  a  b  c можно получить, построив
параллелограмм ONKC . Аналогично решается задача 3е).
Скачать