08-08-02. Сложение векторов 1. Для удобства векторы, связанные с фиксированной точкой, иногда будем обозначать с помощью одной буквы: a , b , x , и тому подобное. Для векторов вводят операцию сложения, причем сумма векторов a и b обозначается a b . В этом пункте рассмотрим случай, когда векторы a и b имеют одинаковое направление. Суммой одинаково направленных векторов a и b называется вектор c , имеющий такое же направление, как векторы a и b , длину, равную сумме длин векторов a и b . Например, на рисунке 1 вектор OC является суммой векторов OA и OB , то есть OA OB OC . Докажем, что при сложении одинаково направленных векторов выполняются следующее правило: в прямоугольной системе координат xOy координаты суммы двух одинаково направленных векторов, связанных с точкой O , равны сумме соответствующих координат слагаемых. Доказательство. Пусть вектор сонаправленный с ним вектор OB OA длиной длиной n m имеет координаты имеет координаты ( x1 y1 ) , ( x2 y2 ) , а сонаправленный с ними вектор OC OA OB длины m n имеет координаты ( x3 y3 ) (рисунок 2). Из пункта 1.6. следует, что координаты вектора OB пропорциональны координатам вектора OA с коэффициентом mn , то есть n n x2 x1 y2 y1 m m Аналогично, координаты вектора OC пропорциональны координатам вектора OA с коэффициентом mn n , то есть mn mn x3 x1 y3 y1 m n Отсюда следует, что x3 mn n n x1 1 x1 x1 x1 x1 x2 n m m mn n n y1 1 y1 y1 y1 y1 y2 n m m 2. В общем случае сумма двух связанных векторов определяется таким образом, чтобы сохранялось правило, установленное в предыдущем пункте: y3 координаты суммы двух векторов равны сумме соответствующих координат слагаемых. По этому правилу в прямоугольной системе координат можно сложить любые два вектора a и b с известными координатами. Пример 1. Пусть a OA (3 2) , b OB (13) (рисунок 3). Тогда по правилу сложения векторов [15]52.06mm62.56mmg8-08-14.pcx a b c (3 1 2 3) (41) Этот вектор изображен на рисунке 3 как вектор OC . Пример 2. Пусть a OM (2 0) , b ON (03) (рисунок 4). Тогда по правилу сложения векторов a b c (2 0 0 3) (23) Этот вектор изображен на рисунке 4 как вектор OK . Пример 3. Пусть a OP (3 4) , b OQ (34) (рисунок 5). Тогда по правилу сложения векторов a b c (3 3 4 4) (0 0) O Следовательно, в этом примере сумма векторов a и b равна нулевому вектору. Пример 4. Пусть a OC (12) , b O (00) . Тогда по правилу сложения векторов a O c (1 02 0) (12) a Ясно, что для любого вектора a a O a В самом деле, если вектор a имеет координаты (m n) , то по правилу сложения векторов a O (m 0 n 0) (m n) a 3. «Правило параллелограмма» сложения связанных векторов. Возьмем в прямоугольной системе координат xOy векторы OA (a b) и OM (m n) . Тогда OA OM (a m b n) rlineOF . Рассмотрим параллельный перенос, определяемый парой чисел (a b) . При этом параллельном переносе точка O(0 0) перейдет в точку с координатами (0 a 0 b) (a b) , а точка M (m n) перейдет в точку с координатами (m a n b) . Следовательно, точка O переходит в точку A , а точка M переходит в точку F . Если точки O , A , M не лежат на одной прямой, то из свойств параллельного переноса получаем, что четырехугольник OAFM – параллелограмм (рисунок 6). Следовательно, в этом случае сумма векторов a OA и b OM изображается как диагональ OF параллелограмма OAFM , построенного со сторонами OA и OM . Учитывая это свойство, иногда говорят, что связанные векторы складываются по правилу параллелограмма. 4.** Сложение двух одинаково направленных векторов имеет легко воспринимаемый смысл. Сложение двух векторов OA и OB , не лежащих на одной прямой, нетрудно осуществить с помощью геометрических построений. Действительно, если через точку A проведем прямую m , параллельную OB , через точку B проведем прямую n , параллельную OA , и найдем точку P пересечения прямых m и n , то OA OB OP (рисунок 7). Правило сложения двух противоположно направленных векторов геометрически формулируется сложнее. Пусть векторы a длиной m и b длиной n противоположно направлены. Тогда вектор a b : при m n равен нулевому вектору; при m n имеет направление вектора a и его длина равна m n ; при m n имеет направление вектора a и его длина равна n m . 5. Противоположный вектор. Вектор x называется противоположным вектору a , если a x O В прямоугольной системе координат для вектора a (m n) противоположным вектором является вектор x (mn) . Действительно, вектор O имеет координаты (0;0), а поэтому a x (m n) (mn) (0 0) O Вектор x противоположный вектору a обозначается как a . Таким образом, по определению сложения векторов a (a ) O 6. Разность векторов. С помощью противоположных векторов определяется операция вычитания из одного вектора другого вектора. Пусть a и b — векторы, связанные с одной точкой O . Тогда разностью a b называется вектор, равный сумме векторов a и b . Таким образом, по определению имеет место равенство a b a (b ) Пример 5. Найдем разность OA OB для векторов, изображенных на рисунке 8. Для этого найдем точку C , симметричную точке B относительно начала, и построим параллелограмм OAFC (рисунок 9). Тогда OC OB , OF OA OC , а поэтому OF OA OC OA (OB) OA OB Заметим, что на рисунке 9 четырехугольник OBAF — параллелограмм. 7. Свойства операций над векторами, связанными с фиксированной точкой. В этом параграфе мы определили операции сложения и вычитания связанных векторов. Эти операции удовлетворяют следующим основным свойствам. 1. a b b a 2. a (b c ) (a b ) c 3. a O a Для каждого вектора a есть единственный вектор x , такой, что a x O При этом x a и a (a ) O a (b ) a b . Опираясь на эти свойства, можно получать другие свойства суммы и разности векторов. Пример 6. Докажем, что (a b ) a b . Доказательство. По определению (a b ) ((a b )) O . Теперь рассмотрим сумму (a b ) (a b ) . Основные свойства позволяют выполнить следующие преобразования: a b ( a b ) a b (a ) (b ) (a ( a )) (b ( b )) O O O Так как вектор имеет единственный противоположный, то из равенств (a b ) ((a b )) 0 и ( a b ) ( a b ) 0 следует, что (a b ) a b . 8. Перечисленные в предыдущем пункте свойства суммы и разности векторов нетрудно доказать с помощью координат. Например, докажем свойство 4. Пусть a (m n) . Обозначим через ( x y ) координаты вектора z , удовлетворяющего равенству a z O . Тогда по определению a z (m n) ( x y ) (m x n y ) (0 0) Отсюда m x 0, n y 0 . Поэтому x m и y n — это единственная пара чисел таких, что вектор с координатами ( x y ) в сумме с векторами a (m n) дает нулевой вектор. Контрольные вопросы 1. Как определить сумму двух связанных векторов? 2. Пусть координаты вектора a равны ( x1 y1 ) , координаты вектора b ( x2 y2 ) . Чему равны координаты вектора a b ? 3. Что означает фраза: два связанных вектора складываются по правилу параллелограмма? 4. Как с помощью параллельного переноса получить сумму двух одинаково направленных векторов? 5. В каком случае сумма двух векторов равна нулю? 6. Определите вектор, противоположный вектору a . 7. Как определить разность двух векторов? 8. Каким свойствам удовлетворяют операции сложения и вычитания векторов? Задачи и упражнения 1. Нарисуйте вектор a . Постройте по вектору a вектор 2a a a . 2. Нарисуйте два вектора a и b , связанных с одной точкой. Постройте векторы: а) 2a a a б) ; 2b b b в) ; 3a 2a a г) ; 3b 2b b ; д) a b е) ; a 2b ж) ; 2a b з) ; 2a 2b . 3. Нарисуйте три произвольных попарно несонаправленных вектора a , b , c , связанных с одной точкой. Постройте вектор: а) a b б) ; a c в) ; b c ; г) a b c д) ; a 2b c е) ; 2a 2b c . 4. Нарисуйте два произвольных вектора a и b , связанных с одной точкой. Постройте векторы: а) a b б) ; b a в) ; 2a b ; г) 2b a д) ; a b е) ; 2a 2b . 5. Нарисуйте в тетради три попарно несонаправленных вектора a , b , c , связанных с одной точкой. Постройте векторы: а) a b c б) ; a b c в) ; a b c г) ; a b c ; д) a b c е) ; a b c ж) ; a 2b c . 6. Даны точки O , A и вектор a OB . Постройте точку M так, чтобы OM OA a . 7. В координатной плоскости заданы векторы a и b с координатами: а) a (21) , b (4 6) б) ; a 12 0 , b (2 4) ; в) a 32 12 , b 52 1 г) ; a 12 2 , b (3 4) . Найдите координаты векторов a b ; a b ; a b . 8. В координатной плоскости заданы векторы a и b с координатами: а) a (11) , b (1 2) б) ; a (11) , b (2 2) ; в) a (1 1) , b (2 2) г) ; a (3 2) , b (1 3) . Найдите координаты векторов a b ; a b ; a b ; a b . 9. В координатной плоскости заданы векторы a и b с координатами: а) a (41) , b (2 0) б) ; a (1 3) , b 12 4 ; в) a 14 13 , b (1 1) г) ; a 12 32 , b 13 54 . Найдите координаты векторов: a b ; a b ; a b ; a b . 10. В координатной плоскости заданы векторы a , b , c с координатами: а) a 12 12 , b (1 2) , c 53 2 б) ; a 1 34 , b 56 1 , c (1 2) ; в) a (1 2) , b (3 4) , c (2 1) г) ; a (2 4) , b 12 53 , c 2 32 . Найдите координаты векторов: a b c ; a b c ; a b c ; a b c ; a b c . в) OM t (t 2t t 2 t ) г) ; OM t (t 2 2t t t ) . Ответы и указания к решению наиболее трудных задач. Задача 3. Указания. д) Пусть a OA , b OB , c OC . Вектор OM b строится так, как указано на рис. 2. После этого вектор ON a b находится, если построить параллелограмм OANM , а тогда вектор OK a b c можно получить, построив параллелограмм ONKC . Аналогично решается задача 3е).