Лекция № 10 Алгоритмизация исследования на ЭВМ устойчивости систем автоматизации технологиче-

Лекция № 10
Алгоритмизация исследования на ЭВМ устойчивости систем автоматизации технологических процессов.
Устойчивость является одним из главных требований, предъявляемых к автоматическим системам. Понятие устойчивости системы автоматического управления связано с
ее поведением после прекращения внешнего воздействия, то есть со свободным движением под влиянием начальных условий. Другими словами, устойчивость обеспечивает затухание переходных процессов в системе. Строгая математическая теория устойчивости
была создана Ляпуновым, который определил понятие устойчивости и разработал методы
оценки устойчивости нелинейных систем.
Понятие устойчивости и ее критерии для линейных и нелинейных систем вы изучали в курсе ТАУ. Изложение материала сегодняшней лекции неразрывно связано с этими
знаниями.
Необходимым и достаточным условием устойчивости линейной (линеаризованной) системы является следующее: все корни ее характеристического уравнения
должны иметь отрицательную вещественную часть. Если хотя бы один корень имеет
положительную вещественную часть, то система неустойчива.
Характеристическое уравнение системы может быть получено как из дифференциального уравнения системы относительно выходной величины, так и из любой передаточной функции замкнутой системы, методы получения которых мы рассматривали на прошлых лекциях. Все передаточные функции замкнутой системы относительно выходной
величины, ошибки и возмущения имеют общий знаменатель - Фi ( p ) 
Bi ( p )
, который
D( p)
является характеристическим полиномом системы, а уравнение D(p)=0 – есть характеристическое уравнение системы.
На практике оценку устойчивости систем удобнее осуществлять с помощью критериев устойчивости, под которыми подразумевают правила выяснения устойчивости систем без прямого вычисления корней характеристического уравнения. Применительно к
линейным (линеаризованным) системам критерии устойчивости разделяют на алгебраические (критерии Гурвица и Рауса) и частотные (критерии Михайлова и Найквиста). Рассмотрим особенности алгоритмической реализации наиболее удобных для использования
на ЭВМ критериев.
Применение критерия Рауса требует составления специальной таблицы (таблицы
Рауса). Пусть задано характеристическое уравнение системы:
D(p)= anpn +an-1pn-1+ ...a1p+a0=0.
Тогда таблица Рауса будет иметь следующий вид:
l3 =c11 /c21
l4 =c21 /c31
l5 =c31 /c41
c11=an
c21 =an-1
c31 =c12 -l3 c22
c41 =c22 -l4 c32
c51 =c32 -l5 c42
c12
c22
c32
c42
c52
=an-2
=an-3
=c13 -l3 c23
=c23 -l4 c33
=c33 -l5 c43
c13
c23
c33
c43
c53
=an-4
=an-5
=c14 -l3 c24
=c24 -l4 c34
=c34 -l5 c44
c14
c24
c34
c44
c54
=an-6
=an-7
=c15 -l3 c25
=c25 -l4 c35
=c35 -l5 c45
Правила ее построения следующие:
- первые две строки образуют коэффициенты характеристического уравнения (четные и нечетные соответственно);
-
элементы
последующих
строк
вычисляются
по
формуле
–
c
, где i - номер строки, k - номер столбца
cik  ci 2,k 1  li  ci 1,k 1 , l i  i  2,1 c
i 1,1
(правый дополнительный столбец не учитывается).
При этом целесообразно начинать вычисления со вспомогательных коэффициентов, формулы для расчета которых приведены в левом дополнительном столбце таблицы.
Всего в таблице заполняют (n+1) строку. При этом если i<0, то соответствующий коэффициент ai=0.
Критерий Рауса формулируется следующим образом: для того, чтобы система
была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты первого столбца таблицы Рауса имели одинаковый знак. Обычно an>0, следовательно указанные коэффициенты
должны быть положительны - c11>0; c21>0; c31>0;.. cn+1,1>0.
При наличии отрицательных элементов в первом столбце система неустойчива.
Число таких элементов равно числу корней характеристического уравнения с положительной вещественной частью. Если один из элементов первого столбца таблицы равен
нулю, а остальные элементы положительны, то система на границе устойчивости – характеристическое уравнение имеет пару чисто мнимых корней. При равенстве нулю последнего (n+1)-го элемента первого столбца система также на границе устойчивости - характеристическое уравнение имеет один нулевой корень. В общем случае, составляя таблицу
Рауса, расчет можно закончить сразу же после появления нулевого или отрицательного
элемента в первом столбце.
При подробном рассмотрении критерия Рауса установлено еще одно необходимое
условие устойчивости: все коэффициенты характеристического полинома должны быть
положительны ai>0 (i=0,1... n).
Число столбцов таблицы Рауса можно определить по формуле - m=ЦЧ(n/2)+1.
Алгоритм, реализующий критерий Рауса, достаточно прост – он заключается в последовательной организации двух циклов:
в первом цикле осуществляется проверка на положительность всех коэффициентов
характеристического полинома;
во втором цикле осуществляется расчет и проверка на положительность всех коэффициентов первого столбца таблицы Рауса.
Остановка расчетов производится в зависимости от поставленной задачи исследования. Если необходимо только определить устойчива система или нет, то алгоритм должен предусматривать остановку расчетов при первом не прохождении проверки на положительность указанных коэффициентов таблицы Рауса. Если инженера интересуют частные аспекты неустойчивости системы, то расчеты могут быть проведены до конца. При
этом подсчитываются количество отрицательных или равных нулю элементов в первом
столбце таблицы Рауса.
Данный алгоритм может быть легко запрограммирован на любом из современных
языков программирования.
При использовании универсальных математических программ (например,
Mathcard) алгоритм исследования устойчивости системы по критерию Рауса сводится к
следующей последовательности действий:
- определение характеристического уравнения замкнутой системы; (осуществляется вручную)
- расчет, по приведенным выше правилам, коэффициентов cik и построение таблицы Рауса; (осуществляется автоматически по разработанной в среде Mathcard программе)
- анализ полученной таблицы и принятие решения об устойчивости или неустойчивости системы.
Критерий устойчивости Михайлова предполагает построение и анализ так называемого годографа Михайлова, под которым понимается кривая, которую описывает на
комплексной плоскости конец вектора D( j ) , получаемый из характеристического полинома замкнутой системы.
D( j )  a n p n  a n1 p n1  ...  a1 p  a 0  Re( )  j Im( ) ,
2
4
где Re( )  a 0   a 2   a 4  ... - вещественная часть полинома;
Im( )  a1   3 a3   5 a5  ... - мнимая часть полинома.
Критерий Михайлова формулируется следующим образом: для устойчивости
системы n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова при изменении  от 0 до  обошел в положительном направлении (против часовой стрелки) последовательно n квадрантов, нигде не обращаясь в 0.
Численный алгоритм, реализующий критерий Михайлова, состоит в последовательном вычислении значений Re( ) и Im( ) для   0, ,2,... (  - шаг квантования). В процессе вычислений подсчитывается изменение аргумента функции D( j )
-  arg D( j ) . При этом приращение  arg D( j ) рассчитывается через сумму
arctg
Im( )
с проверкой изменения знака одной из координат годографа при накоплеRe( )
нии  arg D( j ) свыше
 arg D( j )  n

2

.
2
В конце проверяется условие критерия Михайлова -
. Данный алгоритм может быть легко запрограммирован на любом из
современных языков программирования.
При использовании программной среды Mathcard алгоритм исследования устойчивости системы по критерию Михайлова сводится к следующей последовательности действий:
- определение характеристического полинома замкнутой системы и вывод формул
для вещественной и мнимой частей характеристического полинома; (осуществляется
вручную)
- задание диапазона и шага изменения частоты  , расчет и построение в виде графика годографа Михайлова; (осуществляется автоматически по разработанной в среде
Mathcard программе)
- анализ полученного годографа и принятие решения об устойчивости или неустойчивости системы.
Критерий устойчивости Найквиста – это графоаналитический критерий, в котором вывод об устойчивости замкнутой системы делается на основе анализа вида амплитудно-фазовой или логарифмических частотных характеристик разомкнутой системы. Он
является наиболее универсальным критерием, нашедшим широкое применение в практике
исследования САУ. Критерий применим к системам, у которых степень числителя передаточной функции разомкнутой цепи не выше степени знаменателя. Как правило, при правильном математическом описании реальных САУ это условие выполняется. Поэтому при
   модуль частотной передаточной функции стремиться к нулю.
Различают три случая применения критерия Найквиста.
1-й случай – разомкнутая система устойчива (это значит, что в характеристическом
полиноме разомкнутой системы, представляющем собой знаменатель передаточной функции разомкнутой системы C(p), нет нулевых корней, а остальные корни имеют отрицательные вещественные части – для этого необходимо, чтобы в полином C(p) входили
2 2
только сомножители первого и второго порядков (Tp  1), (T p  2Tp  1),   0 с
положительными коэффициентами).
В этом случае для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно,
чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении  от 0 до  не охватывала точку с
координатами (-1,j0).
2-й случай – разомкнутая система на границе устойчивости (характеристический
полином такой системы имеет нулевые или чисто мнимые корни, а у остальных корней
отрицательные вещественные части – то есть в характеристическом полиноме есть мно2 2
жители j или (T p  1) ). При наличии нулевых корней происходит перемещение
АФЧХ при   0 по часовой стрелке на число квадрантов, соответствующее количеству
нулевых корней. При наличии пары чисто мнимых корней при частоте  i  1 происхоTi
0
дит перенос АФЧХ на 180 по часовой стрелке (образуется разрыв АФЧХ).
В этом случае для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно,
чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении  от 0 до  , дополненная на участке разрыва дугой бесконечно большого радиуса, не охватывала точку с координатами (1,j0).
3-й случай – разомкнутая система неустойчивая (характеристический полином такой системы имеет корни с положительной вещественной частью).
В этом случае для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно,
чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении  от 0 до  охватывала точку с координатами (-1,j0) l
2
раз в положительном направлении (против часовой стрелки). l –
число корней с положительной вещественной частью.
Алгоритмы, реализующие критерий Найквиста, сводятся к построению и анализу
АФЧХ. Существуют алгоритмы, реализующие критерий Найквиста без построения АФЧХ
(Д.А.Белова, Р.Е.Кузин «Применение ЭВМ для анализа и синтеза автоматических систем
управления»), однако они охватывают только 1-й и 2-й случаи. Наиболее удобно применять критерий Найквиста с использованием универсальных математических программ.
При этом последовательность выполняемых действий по аналогии с вышеприведенными
алгоритмами будет включать:
- определение математического выражения АФЧХ разомкнутой системы в виде
суммы вещественной и мнимой частей; (осуществляется вручную)
- анализ вида характеристического полинома разомкнутой системы на предмет
наличия корней с положительной вещественной частью и принятие решения об ее устойчивости, неустойчивости или нахождении на границе устойчивости;
- задание диапазона и шага изменения частоты  , расчет и построение графика
АФЧХ в прямоугольной системе координат; (осуществляется автоматически по разработанной в среде Mathcard программе)
- анализ полученного графика АФЧХ и принятие решения об устойчивости или неустойчивости замкнутой системы по соответствующему критерию, зависящему от состояния устойчивости разомкнутой системы.
Мы рассмотрели алгоритмы исследования устойчивости непрерывных линейных и
линеаризованных систем. Применение рассмотренных критериев устойчивости для импульсных систем осуществляется аналогичным образом, но с учетом необходимости соответствующих преобразований характеристических уравнений и АФЧХ системы.
Например, применение алгоритма, реализующего критерий Рауса, основано на следующих математических выкладках. Характеристический полином импульсной системы
может быть записан в виде:
(1)
G( z )  a n z n  a n1 z n1  ...  a1 z  a0 , z  e pT .
Импульсная система является устойчивой, если все корни характеристического
уравнения лежат внутри круга единичного радиуса z i  1 . Если мы введем замену
z
1 
, то характеристический полином примет вид:
1
G ( )  bn n  bn1 n1  ...  b1  b0 ,
n
n
i 0
i 0
n
(2)
j
где b0   a i , b n   (1)i a i , b j    CilCnjli (1)la i , j  1,2,..., (n `1) .
i  0l  0
Такое преобразование трансформирует условие устойчивости относительно z в соответствующее критерию Рауса условие устойчивости относительно  - все корни нового
характеристического полинома должны иметь отрицательную вещественную часть. Тогда
алгоритм оценки устойчивости импульсной системы будет заключаться в следующем:
- определение характеристического уравнения системы в виде (1) и его преобразование в вид (2);
- расчет и построение таблицы Рауса (вместо ai используются bi);
- анализ полученной таблицы и принятие решения об устойчивости или неустойчивости системы.
Для использования критерия Найквиста вводят следующее преобразование -
z  e pT  e jT  cosT  j sin T 
стемы как функцию W (e
Найквисту.
jT
1  jtg
T
2 и строят АФЧХ разомкнутой сиT
1  jtg
2
) , на которую распространяются условия устойчивости по
Рассмотренные алгоритмы основаны на исследовании свойств корней характеристического уравнения в предположении, что коэффициенты характеристического уравнения постоянны. На практике эти коэффициенты зависят от параметров динамических звеньев системы. В этой связи актуальной становится задача исследования области возможных значений тех или иных параметров, в которых система устойчива или неустойчива.
Для решения данной задачи используют разнообразные алгоритмы, все множество которых можно условно разделить на три группы:
- алгоритмы, основанные на последовательном анализе устойчивости системы при
переборе возможных значений исследуемых параметров;
- алгоритмы, основанные на непосредственном аналитическом определении границ
области устойчивости системы;
- алгоритмы, реализующие D-разбиение.
Как правило, наиболее наглядным и чаще используемым на практике является построение областей устойчивости в плоскости двух параметров.
Алгоритмы первого типа состоят в следующем:
- параметры системы (обычно настройки регулятора) X и Y изменяются в пределах
прямоугольной области x min  X  x max , y min  Y  y max ;
- отрезки изменения параметров системы делятся соответственно на nx и ny интервалов, что приводит к делению области исследования на nxny прямоугольников площадью
(в единицах параметров) dx*dy , где dx= (Xmax
-Xmin)/nx , dy=(Ymax -Ymin)/ny ;
- последовательно (начиная с любого крайнего прямоугольника) для значений параметров, соответствующих середине прямоугольника, проводится оценка устойчивости
системы по одному из вышеприведенных алгоритмов, а результат оценки в виде условного символа устойчивости (например, 0) или неустойчивости (например, 1) системы выводится на плоскость координат исследуемых параметров;
- полученная таблица из нулей и единиц, привязанная к координатным осям исследуемых параметров, дает наглядное представление о значениях параметров, обеспечивающих устойчивость системы.
Очевидно, что практическая ценность полученных результатов тем выше, чем
меньше dx и dy. Так как вычисления, необходимые для реализации данного алгоритма,
достаточно просты, то мощности современных ЭВМ дают возможность сделать dx и dy
достаточно малыми без существенного увеличения затрат машинного времени.
Алгоритмы второго типа заключаются в составлении уравнений границ области
устойчивости и нахождении по ним граничных значений параметров. Наибольшее применение алгоритмы данного типа нашли для определения граничных значений передаточного коэффициента разомкнутой САР. В САР до четвертого порядка включительно необходимые уравнения наиболее удобно составлять на основе критерия устойчивости Гурвица.
По данному критерию для устойчивости систем первого и второго порядков необходимо и
достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения замкнутой системы
n
n1
( a n p  a n1 p
 ...  a1 p  a 0  0 ) были положительными, а для систем более
высокого порядка, кроме того, выполнялись следующие неравенства:
- для третьего порядка - a 2 a1  a 3 a 0 ;
2
2
- для четвертого порядка - a3 a 2 a1  a 4 a  a a0 .
1
3
Указанные неравенства записывают как равенства и те из них, которые содержат k,
рассматривают как уравнения для kгр.
Алгоритмы третьего типа реализуют в той или иной степени метод D-разбиения –
выделения в пространстве параметров системы областей, для которых характеристическое
уравнение имеет определенное количество корней с положительной вещественной частью. Классическое решение задачи D-разбиения плоскости одного или двух параметров
предполагает построение специальных кривых, особых прямых и применение их правил
штриховки. Поэтому он достаточно труден для алгоритмизации. Более простым вариантом является применение алгоритма, использующего критерий Рауса, который позволяет
определить число корней характеристического уравнения системы в правой полуплоскости на основе анализа числа перемен знака элементов первого столбца таблицы Рауса. Такой алгоритм по своей реализации аналогичен алгоритмам первого типа. При этом результатом его работы является таблица из нулей (частных областей устойчивости) и других
цифр (характеризующих число корней с положительной вещественной частью для частных областей неустойчивости), привязанная к координатным осям исследуемых параметров.
Д.А.Белова, Р.Е.Кузин Применение ЭВМ для анализа и синтеза автоматических систем управления» - М.: Энергия, 1979. – 264с.
Болнокин В.Е., Чинаев П.И. Анализ и синтез систем автоматического управления
на ЭВМ. Алгоритмы и программы. – М.: Радио и связь, 1986. – 248с.