Пример выполнения контрольного задания №2 ,

Пример выполнения контрольного задания №2
Определить опорные реакции и усилия в стержнях фермы если
F1  12 кН , F2  4 кН .
F2
3м
F1
4м
4м
4м
Решение.
Прежде, чем приступить к расчету, обозначим латинскими буквами узлы
фермы и пронумеруем ее стержни. Опоры фермы заменим их реакциями X A ,
YA , RB Рекомендуется также предварительно заготовить таблицу в форме
Таб.1, в которую будут заноситься искомые усилия по мере их вычисления.
E
2
XA
G
6
5
3
F2
9
7

А
1
YA
4
C
D
B
8
F1
RB
Расчет фермы в большинстве случаев целесообразно начинать с
определения опорных реакций. Для этого рассмотрим равновесие фермы в
целом, которая, являясь жесткой конструкцией, находится под действием
произвольной плоской системы сил. Составим три уравнения равновесия:
n
 Fkx  0 :
k 1
n
X A  F2  0 , откуда X A  F2  4 кН ;
 М А Fk   0 :
k 1
n
 Fky  0 :
k 1
 F1  4  F2  3  RВ  12  0 , откуда RВ 
YA  RB  F1  0 , откуда YA  F1  RB  9 кН .
F1  4  F2  3
 3 кН ;
12
На этом этапе рекомендуется выполнить проверку, т.к. ошибка,
допущенная при определении опорных реакций, неизбежно повлияет на
дальнейший расчет. Составим уравнение моментов относительно точки Е:
 М F   X
n
E
k
A
 3  YA  4  RB  8  4  3  9  4  3  8  0 .
k 1
Опорные реакции вычислены верно.
Определение усилий в стержнях фермы методом вырезания узлов.
При использовании метода вырезания узлов последовательно
рассматривается равновесие каждого из узлов фермы. При этом стержни,
примыкающие к рассматриваемому узлу, отбрасываются и заменяются
соответствующими усилиями. Очевидно, что система сил, действующих на
узел (в нее, помимо указанных усилий, могут входить активные силы,
действующие на рассматриваемый узел, а также – для опорных узлов – реакции
опор) является сходящейся и для нее на плоскости можно составить два
уравнения равновесия. Таким образом, расчет фермы желательно начинать с
узла, к которому примыкают только два стержня, а при дальнейшем выборе
узлов руководствоваться тем, чтобы каждый последующий узел содержал не
более двух неизвестных усилий.
Изначально усилия в стержнях фермы предполагаются положительными,
и направляются от узла (стержень растянут). Тогда знак “минус” в ответе будет
указывать на то, что стержень на самом деле сжат.
Начнем расчет с узла В.
n
S9
y

 Fkx  0 :
 S 8  S 9  cos   0 ,
 Fky  0 :
S 9  sin   RB  0 .
k 1
n
B
x
k 1
S8
RB
cos 
DB
4
4

  0.8 ,
GB
32  4 2 5
Значения тригонометрических функций угла 
найдем из треугольника BDG:
sin  
GD
3
3

  0.6 .
GB
32  4 2 5
Тогда из уравнений равновесия получим:
S9  
RB
3

 5кН  ,
sin 
0.6
S 8   S 9  cos    5  0.8  4кН .
Перейдем к узлу G.
n
F2

S6
S7
 S 6  F2  S 9  cos   0 ,
 Fky  0 :
 S 7  S 9  sin   0 .
k 1
n
y
G
 Fkx  0 :
k 1
x
Отсюда
S9
S 6   F2  S 9  cos   4  (5)  0.8  8 кН  ,
S 7   S 9  sin   RB  (5)  0.6  3 кН  .
Заметим, что усилие S 9 , найденное при рассмотрении узла А, оказалось
отрицательным, т.е. сжимающим. Однако в узле G оно все равно изображается
положительным (направленным от узла), а при подстановке в уравнения
равновесия численных значений, величина S 9 сохраняет знак “-”. Этого
правила рекомендуется придерживаться и в дальнейшем.
Рассмотрим узел D.
n
S5
y
S7
 S 4  S 5  cos   S 8  0 ,
 Fky  0 :
S 7  S 5  sin   0 .
k 1

D
S4
 Fkx  0 :
k 1
n
S8
x
Отсюда
S5  
S7
 5 кН  ,
sin 
S 4   S 5  cos   S 8  (5)  0.8  4  8 кН  .
Далее можно рассмотреть любой из трех оставшихся узлов С, Е или А,
т.к. все они содержат по два неизвестных усилия. Рассмотрим узел С.
n
y
 Fkx  0 :
 S1  S 4  0 ,
 Fky  0 :
S 3  F1  0 .
k 1
n
S3
k 1
S1
D
S4
F1
x
Отсюда
S1  S 4  8 кН  ,
S 3  F1  12 кН  .
На данном этапе осталось только одно неизвестное усилие, а
нерассмотренных узлов – два, т.е. четыре неиспользованных уравнения. Одно
из них используем для определения усилия S 2 , а три оставшихся – для
проверки правильности расчета. Рассмотрим узел А.
n
y
 Fky  0 :
S2

A
S1 x
R AX
R AY  S 2 sin   0 .
k 1
Отсюда S 2  
R AY
R AY
9

 15 кН  .
sin 
0.6
Проверка.
Узел А:
n
 Fkx  R AX
k 1
 S1  S 2 cos  4  8  (15)  0.8  0 .
Узел Е:
n
 Fkx  S 2 cos S 5 cos  S 6  (15  5)  0.8  8  0 ,
y

S 2 S3
k 1
S6
E
x
n
 Fky  S 2 sin  S 5 sin   S 3  (15  5)  0.6  12  0 .
k 1
S5
№ стержня
1
2
3
4
5
6
7
Таблица 1
8
9
Усилие, кН
8
-15
12
8
-5
-8
3
4
-5
Определение усилий методом сквозных сечений.
При использовании метода сквозных сечений ферму разделяют на две
части сечением, проходящим через стержни, усилия в которых (или в одном из
которых) требуется определить, и рассматривают равновесие одной из частей.
Действие другой части фермы заменяют усилиями, возникающими в
“перерезанных” стержнях (изначально они также считаются положительными,
т.е. направлены от узлов). Рассматриваемая часть фермы находится под
действием произвольной плоской системы сил, состоящей, в общем случае, из
активных сил, опорных реакций и искомых усилий в “перерезанных” стержнях,
следовательно, для нее можно составить три уравнения равновесия. Поэтому
сечение, по возможности, выбирается таким образом, чтобы оно пересекало
только три стержня.
Определим усилия в стержнях 4, 5 и 6 рассмотренной выше фермы.
Проведем через эти стержни сечение и рассмотрим равновесие правой части.
Наиболее рациональным (особенно когда требуется определить усилие в
каком-либо одном стержне) представляется составление таких уравнений,
каждое из которых содержит только
S6
G F2
E
одно неизвестное усилие.
Так, для определения усилия S 6
S5
составим
уравнение
моментов
относительно точки
пересечения
B

линий действия усилий S 4 и S 5
D
S4
(точки D):
R
B
 М D Fk   0 :
n
k 1
S 6  3  F2  3  RB  4  0 ,
F2  3  RB  4
4 3  3 4

 8 кН  .
3
3
Составив уравнение моментов относительно точки пересечения линий
действия усилий S 5 и S 6 (точки Е), найдем S 4 :
n
R 8 38
 М E Fk   0 :  S 4  3  RB  8  0  S 4  B3  3  8 кН .
k 1
откуда
S6  
Линии действия усилий S 4 и S 6 в нашем случае параллельны и не имеют
точки пересечения. Для определения усилия S 5 составим уравнение проекций
на ось, перпендикулярную S 4 и S6 :
n
 Fky  0 :
k 1
S 5  sin   RB  0 ,
RB
3

 5 кН .
sin 
0.6
Рассмотренный способ составления независимых уравнений для каждого
усилия носит название способа моментных точек или способа Риттера. Точки
пересечения линий действия двух из трех неизвестных усилий называются
точками Риттера. При определении усилий во всех стержнях сечения
результат может быть легко проверен уравнением, не использованным при
расчете. Для нашего случая составим уравнение проекций на ось ОХ:
откуда
n
S5 
 Fkx  S 6  S 4 S 5 cos  F2  8  8  5  0.8  4  0
k 1