Document 989488

Федеральное агентство по образованию
___________________
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКАЯ
АКАДЕМИЯ имени С. М. Кирова
Физика
Молекулярная физика
Лабораторная работа № 16
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ
ТЕПЛОЕМКОСТЕЙ ВОЗДУХА
Методические указания
к лабораторному практикуму по физике
Санкт-Петербург
2010
Рассмотрены и рекомендованы к изданию
методической комиссией факультета химической технологии и биотехнологии
Санкт-Петербургской государственной лесотехнической академии
22 декабря 2010 года
Составители
кандидат физико-математических наук, доцент
А.М. Анненкова
кандидат физико-математических наук, доцент
Е.Е. Мацкевич
О т в. р е д а к т о р
доктор физико-математических наук, профессор
С.М. Герасюта
Рецензент
кафедра физики СПбГЛТА
Аннотация
Методические указания предназначены для студентов, обучающихся на
дневном и заочном отделениях по направлениям 240100, 280200, 200500,
220200, 250300, 150400, 190500, 230200, 250100 и специальностям 240406,
280201, 250403, 200503, 220301, 250401, 150405, 190603, 280101, 250201,
250203, 230201, 080502, изучающих курс физики.
Физика
Молекулярная физика
Лабораторная работа № 16
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ
ТЕПЛОЕМКОСТЕЙ ВОЗДУХА
Методические указания
к лабораторному практикуму по физике
Санкт-Петербург
2010
К Р АТ К И Е Т Е О Р Е Т И Ч Е СК И Е С В Е Д Е Н И Я
Для исследования процессов в макроскопических системах, т.е.
системах, состоящих из огромного количества микрочастиц, применяют
два качественно различных и взаимно дополняющих друг друга метода:
статистический (молекулярно-кинетический) и термодинамический.
Первый лежит в основе молекулярной физики, другой – термодинамики. В
молекулярно-кинетическом подходе мы используем законы механики для
описания движения отдельных частиц, т.е. элементов микромира, а затем
усредняем полученные результаты по всем молекулам системы. Эти
усредненные значения мы связываем с макроскопическими параметрами
системы – давлением, температурой и т.д. Таким образом, в нашем
описании возникает мостик между микромиром и макромиром.
В отличие от молекулярно-кинетической теории, термодинамика не
рассматривает никакие величины, связанные с молекулярной структурой
вещества (размеры молекул, их массу и т. д.), а устанавливает связи между
непосредственно наблюдаемыми в макроскопических опытах величинами,
такими как давление, объем, температура и т.д. Термодинамика базируется
на двух началах. Первым из фундаментальных законов термодинамики,
называемым также первым началом термодинамики, является закон
сохранения энергии, который говорит о том, что энергия не создается и не
уничтожается, а только переходит из одного вида в другой.
Изменения энергии системы, которые вызывает приток тепла к
газу, можно написать в общем виде, согласно первому закону
термодинамики, следующим образом:
Q  A  U
(1)
т. е. сообщенная газу теплота Q вызвала увеличение внутренней
энергии системы на U и при этом была совершена работа A .
Напомним, что внутренней энергией U системы называется сумма
кинетических и потенциальных энергий частиц системы.
Количество теплоты Q представляет собой энергию, которая передается
от одного тела к другому при их контакте или путем излучения. Механизм
передачи энергии в «контактном» способе заключается в том, что частицы
соприкасающихся тел при взаимных столкновениях обмениваются
энергией, так что частицы сильнее нагретого тела теряют энергию,
передавая ее частицам менее нагретого партнера.
Выражение (1) для малых изменений состояния системы будет иметь
вид
dQ  dA  dU ,
(2)
или в более корректной форме
 Q   A  dU ,
(3)
где dU – бесконечно малое изменение внутренней энергии,  A –
бесконечно малая работа,  Q – бесконечно малое количество теплоты. В
этом выражении dU является полным дифференциалом (т.к. U есть
функция состояния), а  A и  Q таковыми не являются (т.к. A и Q не
функции состояния). В дальнейшем будем использовать более простое
соотношение (2) вместо более точного и корректного соотношения (3).
Применим первое начало термодинамики к системе «идеальный газ». В
модели идеального газа предполагается, что
1) межмолекулярные силы на расстоянии отсутствуют;
2) собственный объем молекул пренебрежимо мал по сравнению с
объемом сосуда;
3) столкновения молекул между собой и со стенками сосуда
абсолютно упругие.
Таким образом, внутренняя энергия U идеального газа представляет
собой сумму только кинетических энергий отдельных молекул
(потенциальными энергиями мы пренебрегаем).
Как следует из молекулярно-кинетической теории, для идеального
газа
U
m i
  RT ,
M 2
(4)
где m – масса газа;
M – молярная масса газа;
T – абсолютная температура;
R
– универсальная газовая постоянная; в системе СИ
R  8.31 Дж /( моль  К ) ;
i – число степеней свободы молекул газа, т. е. число независимых
координат, которые необходимо ввести для однозначного
определения положения системы в пространстве.
Уравнение состояния идеального газа есть уравнение КлапейронаМенделеева
pV 
m
RT .
M
(5)
Пусть идеальный газ, масса которого m , занимает объем V . Что
произойдет с газом, если к нему извне подвести некоторое
количество тепла dQ ? Следует предположить, что это тепло может
пойти на увеличение кинетической энергии молекул газа, и, кроме
того, газ может расшириться, увеличив свой объем. При увеличении
объема газ будет совершать работу против сил внешнего давления.
Изменения энергии системы, которые вызывают приток тепла к
газу, можно написать в общем виде, согласно первому закону
термодинамики, следующим образом:
dQ  dA  dU ,
т. е. сообщенная газу теплота dQ вызвала увеличение внутренней
энергии газа на dU и газом была совершена работа dA ,которая равна
произведению давления на изменение объема:
dA  p  dV .
(6)
Введем понятие теплоемкости C системы. Теплоемкостью системы
называется количество тепла, которое требуется подвести к системе
для того, чтобы повысить ее температуру на один градус.
Теплоемкость системы зависит от ее массы. Теплоемкость,
отнесенная к единице массы вещества, называется удельной
теплоемкостью. Теплоемкость, отнесенная к одному молю вещества,
называется молярной теплоемкостью.
Теплоемкость C системы может быть написана в форме
C
dQ
,
dT
(7)
где dQ – количество тепла, сообщаемого газу; dT – разность
температур.
Удельная c и молярная C теплоемкости выражаются формулами:
dQ
;
mdT
c
C
Связь между
формулой
удельной
c
(8)
dQ
.
m
dT
M
и
молярной
C
.
M
(9)
теплоемкостями
дается
(10)
Обратимся к первому началу термодинамики и посмотрим, как,
исходя из него, выражается молярная теплоемкость газа.
Подставляя dQ в (9) из первого начала термодинамики (2),
получаем:
C
dQ
dU
dA


.
m
m
m
dT
dT
dT
M
M
M
(11)
Поскольку при данном изменении температуры dT изменения
внутренней энергии dU и работы dA принимают совершенно
различные значения в зависимости от условий нагревания, то отсюда
видно, что молярная теплоемкость зависит не только от свойств
данного газа, но и от условий его нагревания. Покажем это на ряде
примеров.
П р и м е р № 1. Будем подводить к газу тепло при постоянном
объеме газа (процесс изохорический); в этом случае:
V  const ;
dV  0 .
Тогда dA , т. е. работа, совершаемая газом, будет тоже равна 0 (см.
уравнение (6)). Исходя из уравнения (2), получаем:
dQ  dU .
(12)
Следовательно, в случае изохорического процесса все подведенное
тепло идет на изменение внутренней энергии, т.е. на изменение
кинетической энергии молекул газа.
Молярная теплоемкость при постоянном объеме будет равна:
CV 
dQ
dU

.
m
m
dT
dT
M
M
(13)
Используя выражение (4) для внутренней энергии, получаем:
m i
RdT
dU
i
M
2
CV 

 R .
m
m
2
dT
dT
M
M
(14)
П р и м е р № 2. Будем подводить к газу тепло таким образом,
чтобы
давление
газа
оставалось
постоянным
(процесс
изобарический):
dp  0 .
p  const ;
В этом случае подводимое тепло будет идти на изменение
внутренней энергии и на совершение работы против внешнего
давления.
Используя (11), (4) и уравнение Клапейрона-Менделеева (5), для
молярной теплоемкости при постоянном давлении получаем:
m i
RdT  pdV
dQ
dU  dA M 2
i
CP 


 R
m
m
m
2
dT
dT
dT
M
M
M
m
RdT
i
M
 RR ,
m
2
dT
M
(15)
П р и м е р № 3. При отсутствии теплообмена газа с окружающей
средой реализуется адиабатический процесс. В этом случае dQ  0 , и
тогда
(16)
dA  dU ,
т. е. работа газа совершается за счет его внутренней энергии.
Если же говорить о теплоемкости при адиабатическом процессе,
то она равна 0, так как dQ  0 .
Сравнивая (14) и (15), получаем связь между C P и C V ,
называемую уравнением Майера:
(17)
C P  CV  R .
Теплоемкость при постоянном давлении больше, чем при
постоянном объеме, так как часть тепла идет на совершение работы
и для нагревания системы до той же температуры нужно затратить
больше тепла.
Из (14) и (15) получаем отношение двух теплоемкостей:

CP
CV

i2
.
i
(18)
 для идеального газа полностью определяется числом степеней
свободы. Для одноатомных газов число степеней свободы i  3 и,
следовательно,   5 / 3  1.67 ; для двухатомных i  5 и   1.4 , для
трехатомных i  6 ,   4 / 3  1.33.
Описание прибора и метода определения
Целью данной работы является определение отношения
CP
CV
для
воздуха.
Одним из методов определения отношения
CP
CV
является метод,
основанный на законах адиабатического изменения состояния газа.
Этот метод и применен в настоящей работе.
При адиабатическом процессе давление и объем газа связаны
между собой следующим соотношением:
pV   const (формула Пуассона).
(19)
Вывод этого уравнения дается в теоретическом курсе. Это
уравнение и используется для определения величины коэффициента

CP
CV
.
Прибор Клемана и Дезорма (рисунок), при помощи которого
определяется это отношение, состоит из стеклянного сосуда А,
закрываемого пробкой D , соединенного с манометром В и с грушей
или с насосом С .
Способ Клемана и Дезорма состоит в следующем: с помощью
насоса или груши осторожно нагнетают через резиновую трубку
внутрь сосуда некоторое количество воздуха (необходимо следить,
чтобы при этом не выбрасывалась жидкость из манометра).
Уровень жидкости при этой операции одном колене манометра
начнет опускаться, а в другом подниматься. Следует увеличивать
давление воздуха в сосуде до тех пор, пока разность уровней в
манометре не достигнет 15 – 20 см.
При нагнетании воздуха в сосуд А , воздух в нем сжимается и
повышает свою температуру, так как вследствие малого промежутка
времени нагнетания этот процесс можно считать адиабатическим.
Закрыв краном Е трубку, идущую к насосу, дают воздуху в сосуде А
охладиться до окружающей температуры. При этом охлаждении
произойдет уменьшение разности уровней жидкости в коленах
манометра.
Когда охлаждение воздуха прекратится, в коленах манометра
установится некоторая определенная разность высот уровней h1 мм.
Воздух в сосуде А теперь, следовательно, находится под
давлением H  h1 где H атмосферное давление, выраженное в мм рт.
столба, при температуре t1 , равной температуре окружающей среды.
Затем быстрым движением открывают и тотчас же закрывают
большое отверстие прибора, закрытое резиновой пробкой D
(длительность около полусекунды); этим заставляют часть воздуха
выйти из сосуда А , вследствие чего давление в сосуде уравняется с
атмосферным ( H ). При расширении воздуха совершается работа,
которая потребует некоторого количества тепла.
Номер по
порядку
Так как этот процесс адиабатический, вследствие его быстроты и
плохой теплопроводности стенок сосуда, то совершаемая работа
произойдет за счет уменьшения внутренней энергии воздуха,
находящегося в сосуде, и температура воздуха в сосуде А понизится
до t 2 .
Через некоторое время воздух в сосуде А опять нагреется до
температуры окружающей среды, причем его давление несколько
увеличится, и по манометру можно будет отметить новую разность
высот h2 .
Обозначим объем той массы воздуха, которая осталась в сосуде
после удаления части воздуха, когда был открыт сосуд на некоторое
время, через V2 .
До открытия сосуда та же масса воздуха занимала какой-то
меньший объем V1 , так как, кроме этой массы воздуха, в сосуде
находилось еще некоторое количество воздуха, удаленного при
открывании сосуда. Таким образом, имеем три состояния воздуха:
1
2
3
При каких условиях
Объем
Давление
Температура
До открывания сосуда
V1
H  h1
t1
После открывания сосуда
V2
H
t2
После закрывания сосуда, когда установилась
постоянная температура
V2
H  h2
t1
Сравнивая первое и третье состояния воздуха одной и той же
массы, мы замечаем, что температура его не изменилась.
Следовательно, согласно закону Бойля-Мариотта имеем:
V1  ( H  h1 )  V2  ( H  h2 ) ;
V1 ( H  h2 )

.
V2 ( H  h1 )
(20)
Сравнивая же первое и второе состояния, когда температура
изменилась, мы можем происходящее изменение состояния воздуха
рассматривать как адиабатический процесс (без теплообмена с
окружающей средой) и применить закон Пуассона:
( H  h) V1  HV2 ,
(21)
где  – искомое отношение теплоемкостей
Из последнего уравнения находим:
CP
CV
.

 V1 
H
,
  
H  h1
 V2 
(22)
Возводя обе части равенства (20) в степень  , имеем:


 V1   H  h2 
  
 .
 V2   H  h1 
(23)
Сравнивая (22) и (23), получаем:

 H  h2 
H
.

 
H  h1
 H  h1 
(24)
Логарифмируя (24), находим
  ln
H  h2
H
 ln
.
H  h1
H  h1
(25)
Преобразуем выражение (25):
h2
1
.
  ln H  ln
h1
h1
1
1
H
H
1
(26)
И далее
 
 
Так как h1 и h2
  ln 1 

 h1  
 h1 
  ln 1      ln 1   .

 H 
 H
H , а при малых x ln(1  x)
h2
H
(27)
x , получим окончательное
выражение для искомой величины:

h1
.
h1  h2
(28)
Таким образом, весь опыт сводится к измерению h1 и h2 .
Порядок выполнения работы
1. С помощью груши C накачать внутрь сосуда A воздух так, чтобы
разность высот уровней жидкости в манометре B достигла 15–20 см. Эту
операцию надо производить осторожно, чтобы не выплеснуть жидкость из
манометра.
2. Закрыв краном E трубку, идущую к насосу, дать воздуху в
сосуде A охладиться до окружающей температуры. Измерить
разность высот уровней жидкости в манометре h1 .
3. Быстрым движением выдернуть пробку D из сосуда A и почти
сразу же (примерно через полсекунды) снова вставить ее на место.
При этом уровни в манометре выровняются.
4. Подождать, пока воздух в сосуде A нагреется до температуры
окружающей среды, и измерить по манометру новую разность
уровней h2 .
5. Повторить опыт 5 раз и для каждого случая по измеренным
значениям h1 и h2 вычислить искомое  .
Результаты измерений заносить в таблицу
Номер по порядку
h1 , мм

h2 , мм

1
2
3
4
5
Ср.
6. Вычислить теоретическое значение молярных теплоемкостей воздуха
при постоянном объеме и при постоянном давлении C V , C P (газ
двухатомный).
7. Приняв молекулярную массу воздуха равной 29 103 кг / моль ,
вычислить удельные теплоемкости воздуха при постоянном объеме и при
постоянном давлении, т.е. cV , c p .
8. Вычислить теоретическое значение отношения молярных
теплоемкостей
воздуха

Cp
CV
и
сравнить
с
экспериментальным
значением.
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте первое начало термодинамики.
2. Что называется внутренней энергией системы? Чему равна
внутренняя энергия идеального газа?
3. Что называется степенями свободы? Сколькими степенями
свободы обладают молекулы газов разной атомности?
4. Дайте определение понятий: теплоемкость системы, молярная
теплоемкость и удельная теплоемкость. Какая связь между ними?
5. Как зависит теплоемкость идеального газа от условий его
нагревания?
6. Какой процесс называется адиабатическим? Как реализуется
этот процесс в данной работе?
Рекомендуемая литература
1. Трофимова Т.И. Курс физики, учебное пособие для вузов. Москва:
Academia; 2004. -558 с.
2. Савельев И.В. Курс общей физики, учебное пособия для втузов. Кн.1:
Механика. Москва: Астрель: АСТ, 2005. -336с.
СОДЕРЖАНИЕ
Краткие теоретические сведения
Описание прибора и метода определения
Порядок выполнения работы
Контрольные вопросы
Литература
3
7
10
11
12