Ващенко Михаил Петрович ВЦ РАН г. Москва Модель инвестиций в условиях ожидания кризиса1 В докладе обсуждается проблема оценки доходности инвестионных проектов в ситуации, когда момент завершения инвестиционной деятельности заранее не известен и связан с кризисным явлением, точного момента наступления которого инвестор не знает. Для оценки исследуется уравнение Беллмана в модифицированной модели Кантора – Липмана ([1]). Обсуждаются эффективность осторожной стратегии инвестирования, гарантирующей неразорение инвестора, оценки доходности инвестиционных проектов для осторожного инвестора. Описание модели Финансовое состояние инвестора описывается вектором s (t ) r 1 , i -ая компонента которого равна денежным остаткам в момент времени (t i) при условии, что начиная с момента времени t , новые проекты не начинались. Если обозначить через u (t ) – интенсивность реализации проекта в момент времени t , то динамика финансовых состояний будет описываться уравнением: s (t 1) = A( s (t ) u (t )b ), (1) где b = {b0 , b1 ,.., br }, bi = i a j , j =0 0 1 0 0 0 0 1 0 . A( r 1)( r 1) = 0 0 0 1 0 0 0 1 Предполагается, что инвестиционная деятельность ведется в условиях самофинансирования. Это означает, что денежные остатки у инвестора должны быть неотрицательны в любой момент времени: si (t ) 0, i = 0,, r . В каждый момент времени возможны два события: проект либо остается попрежнему доступным для инвестиций, либо проект «закрывается» (исчезает спрос на инвестиции) и тогда инвестор должен завершить все уже начатые инвестиционные проекты, не начиная новые. При этом делается предположение, что вероятность наступления второго события постоянна и и равна . Обозначим через ( s ) r компоненту вектора s с номером r , считая, что нумерация начинается с нуля. Тогда можно записать задачу инвестора: Работа поддержана грантами РФФИ (08-07-00158, 09-01-13534 офи-ц), РГНФ N 08-02-00347, программой поддержки ведущих научных школ НШ 2982.2008.01, ПФИ ОМН РАН N3, ПФИ президиума РАН N2, ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2009-2013 годы (проект П949). 1 1 1 t 1 (s (t ))r max, t =1 s (t 1) = A( s (t ) u (t )b ), t = 0,1, , s (t ) 0 t = 0,1, , u (t ) 0 t = 0,1, , s (0) = s 0 . (2) Обозначим через V (s ) функцию Беллмана, которая будет оценивать наилучший результат инвестирования в описанных условиях при начальном финансовом состоянии s . Тогда V (s ) = max [( s ub ) r (1 )V ( A( s ub ))]. {u|u 0,s ub 0} Этому уравнению соответствует оператор Беллмана: BW ( s ) = max [( s ub ) r (1 )W ( A( s ub ))]. {u|u 0,s ub 0} Стратегию, соответствующую решению уравнения Беллмана, u ( s ) = argmax{u|u 0,s ub 0}[( s ub ) r (1 )V ( A( s ub ))], назовем оптимальной стратегией инвестирования. Теорема 1 ([2]). Обозначим: B1 = max | bt | B2 = min | bt | . Если > 1 1t r:bt <0 1t r B2 , то 4 B1 осторожная стратегия будет оптимальной, т.е.: u ( s) = si . 0i r:bi <0 bi (3) min Теорема 1 подтверждает гипотезу о том, что если риск превышает некую оценку эффективности проекта, то инвестор будет вести себя осторожно. В нашем случае характеристикой риска является вероятность наступления кризиса , а оценкой доходности проекта - выражение 4 B1 B2 , где B2 – минимальные необходимые для 4 B1 реализации проекта вложения, B1 – максимальные чистые поступления от проекта за все время его реализации . Оценка темпа роста капитала Будем далее рассматривать систему (1) при > 1 B2 . Как было показано 4 B1 (Теорема 1), при таком условии оптимальной стратегией инвестирования является (s ) = si 0i r:bi < 0 bi min . Таким образом мы приходим к динамической системе: s (t 1) = s (t ) = A s (t ) ( s (t ))b , t = 0,1,2, , s (0) = s0 . (4) Т.е. на каждом шаге t = 1,2,... применяется один из операторов 2 st Ai : Ai s (t ) = A( s (t ) i bi Каждый из операторов i задается матрицей 0 0 Ai = 0 0 0 i 1 0 b 0 1 0 bi 0 0 1 0 b2 0 bi 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 br 0 bi 0 0 0 0 br 0 bi 0 b ), ãäå i : bi < 0. (5) 0 0 0}i 1 . 1 1 Оценки сверху на темп роста капитала Определение 1. Совместным спектральным радиусом операторов 1 ,, d L( r 1 ) называется число ˆ (A1 , , Ad ) = lim max( A (1) m A ( m) 1 m ), где максимум берется по всевозможным функциям (x) , где :1,, m 1,, d . A В системе (4) оценкой сверху на максимальный темп роста капитала будет совместный спектральный радиус операторов (5). Далее будем рассматривать матрицы { Ak : k = 1,, d } , соответствующие операторам (9). Вычисление совместного спектрального радиуса – достаточно сложная процедура. В [3] показано, что вычисление совместного спектрального радиуса с произвольной точностью – NP полная задача. Следующие факты позволяют реализовать достаточно затратную (с точки зрения времени) процедуру расчета совместного спектрального радиуса с заданной точностью. Теорема 2 ([4]). Пусть { Ak ( r 1)( r 1) : k = 1,, d } , и M A - матрица линейного оператора X AXAT : S S , где S - симметрическая матрица. Тогда 1 1/2 ( M A1 M Ad ) ˆ ( A1 , , Ad ) 1/2 ( M A1 M Ad ), d где - спектральный радиус опреатора. 3 На основе последней теоремы в среде MatLab был реализованы расчеты совместного спектрального радиуса, произведено сравнение оценки Кантора–Липмана и совместного спектрального радиуса. Пример 1. Был взят инвестиционный проект, заданный следующим вектором a = [1,2,3, 7,5, 5,7]. Для него вектор b выглядит следующим образом: b = [1,1,4, 3,2, 3,4]. Пример 2. Был взят инвестиционный проект, заданный следующим вектором a = [1,2,3, 7,6, 5,4]. Для него вектор b выглядит следующим образом: b = [1,1,4, 3,3, 2,2]. На рисунках (1), (2) показаны совместный спектральный радиус операторов (5), доходность проектов к моменту времени t – ( f (t ) = ([s (t )]r )1/t ) и оценка Кантора–Липмана для проектов. Из примеров видно, что возможны ситуации, когда более качественную оценку сверху на темп роста капитала в системе (4) дает IRR, возможны ситуации, когда наблюдается обратная картина. Также следует заметить, что ожидание кризиса существенным образом влияет на оценку доходности проекта: в примерах традиционная оценка Кантора–Липмана оказывается выше фактической доходности более чем в два раза. Рис. 1: Оценки на темп роста капитала в примере 1 4 Рис. 2: Оценки на темп роста капитала в примере 2 Оценки снизу на темп роста капитала При расчетах для сравнения верхних оценок оказалось, что на практике траектория системы (4), как правило, оказывается периодической в смысле применяемых операторов из набора (5). Т.е. t 0 , j1 , j2 ,, jT : b jk < 0 , t t0 s (t T ) = A jT A jT 1 A j1 s (t ) . Поэтому имеет смысл брать в качестве оценки снизу темп роста капитала, который реализуется на такой периодической в смысле применяемого в силу системы набора операторов траектории. Определение 2. Будем говорить, что у системы (4) существует траектория сбалансированного роста с темпом на периоде длины T , задаваемая операторами j , j , ..., j , если t0 : s (t T ) = j j j s (t ) = s (t ), t t0 . 1 T T 1 2 T Теорема 3 ([5]). Система (4) имеет траекторию сбалансированного роста с темпом на периоде длины T , тогда и только тогда, когда имеет решение следующая система: p 0, B j 1 A j B j p 0, k2 k1 k1 B j 1 A j A j B j p 0, k3 k2 k1 k1 (6) B j 1 A j A j A j B j p 0, kT kT 1 k2 k1 k1 B j 1 A j A j A j B j p = p. k1 kT k2 k1 k1 где Bj k jk jk t = z0 , z1 ,, z r , zt = 00 1 00 bt 00 , t jk , z j = 00 b j 00. k k 5 Утверждение теоремы 3 сводит проблему поиска траекторий сбалансированного роста к решению системы (6). Это позволяет эффективно решать поставленную задачу проверки существования у системы (4) траектории сбалансированного роста на периоде длины T , задаваемой некоторым заданной функцией j : {1,2,, T } {i | bi < 0} . Для этого достаточно решить задачу на поиск собственных чисел и собственных векторов оператора (последнее равенство системы (6)), после чего проверить, B jk1 A jk A jk A jk B jk 1 T 2 1 1 удовлетворяет ли хотя бы она пара , p неравенствам системы (6). Среди тех пар, которые будут удовлетворять этому условию, можно взять пару с максимальным значением . Это и будет оценка снизу на темп роста капитала в системе (4). Пример 3. Возьмем инвестиционный проект, заданный следующим вектором a = [4, 1,7, 2,3] . Для него вектор b выглядит следующим образом: b = [4, 5,2,0,3] , а система (8): s0 (t ) = s1 (t ) ( s (t )), s1 (t ) = s2 (t ) 7 ( s (t )), s2 (t ) = s3 (t ) 2 ( s (t )), (7) s3 (t ) = s4 (t ) 3 ( s (t )), s4 (t ) = s4 (t ) 3 ( s (t )), s (0) = [1,1,1,1,1]. В силу Теоремы 3 у системы (7) существует траектория сбалансированного роста с = 1.422 темпом на периоде длины где 2, jk = 2 , jk = 1 , 1 2 p = [0.1912, 0.0794, 0.5648, 0.5648, 0.5648 ] . Матрицы из системы (6) выглядят следующим образом: 0 0 1 B1 A2 B2 = 0 0 0 0 2 0 3 3 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 1 0 , B2 A1 A2 B2 = 0 3 1 0 3 0 3 1 1 0.8 0 0.2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 . 1 1 Можно сравнить темп роста, реализующийся на траектории, IRR и оценку Кантора–Липмана для этого проекта . Оценка Кантора–Липмана и IRR имеют смысл годовой доходности проекта, а показатель , который мы рассчитали, имеет смысл доходности проекта за период, соответствующий длине траектории, на которой реализуется рост, – два года. Поэтому, для сравнения показателей, их необходимо привести к одинаковой размерности, например, извлечь соответствующий корень из показателя , т.е. рассматривать 1/2 . На рисунке 3 показаны средняя доходность проекта за период [1;t ] в годовом выражении – f (t ) = sr (t ) 1/t , годовая доходность проекта, реализующаяся на траектории сбалансированного роста – 1/2 , и оценка Кантора–Липамана. 6 Рис. 3: Оценки на темп роста капитала в примере 3 Литература 1. Л.И. Биккинина, Шананин А.А. К теории доходности инвестиционных проектов в условиях несовершенного финансового рынка // Сб. трудов XLVI конф. МФТИ. Москва–Долгопрудный: МФТИ, 2003. C.136–137. 2. Ващенко М.П. Исследование уравнения Беллмана в одной задаче оптимального инвестирования // Сб. статей молодых ученых факультета ВМиК МГУ. М.: Изд. отдел ф-та ВМиК МГУ, 2006. Вып. №3. C.32–43. 3. Tsitsiklisy J., Blondel V. The Lyapunov exponent and joint spectral radius of pairs of matrices are hard – when not impossible – to compute and to approximate)// Mathematics of Control, Signals, and Systems, 10, 1997. P.31–40. 4. Blondel V., Nesterov Y. Computationally efficient approximations of the joint spectral radius// SIAM Journal of Matrix Analysis, 27:1, 2005. P.256–272. 5. Ващенко М.П. Оценка доходности инвестиционных проектов условиях неопределенности // Математическое моделирование, 2009. Т 21. №3. с.18–30. 6. Ващенко М.П. Оценка доходности инвестиционных проектов в модифицированной модели Кантора-Липмана // Вест. Моск. Ун-та Сер. 15 Вычисл. матем. и киберн., 2009. №2. с.29–37. 7