1. Глоссарий

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
имени ШАКАРИМА ГОРОДА СЕМЕЙ
Документ СМК 3 уровня
УМКД
УМКД
УМКД 042-39.1.28/03-2013
Учебно-методические
Редакция №1 от
материалы дисциплины
18.09.2013
«Численные методы»
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
ДИСЦИПЛИНЫ
«Численные методы»
для специальности: 5В060200 – «Информатика»
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Семей
2013
УМКД 042-39.1.28/03-2013
Ред. № 1 от 18.09.2013г.
СОДЕРЖАНИЕ
1. Глоссарий
2. Лекции
3. Практические занятия
4. Самостоятельная работа студента
Страница 2 из 60
УМКД 042-39.1.28/03-2013
Ред. № 1 от 18.09.2013г.
Страница 3 из 60
1. ГЛОССАРИЙ
Анализ – изучение свойств функционирования системы.
Аналитическое моделирование – процессы функционирования элементов записываются в виде
математических соотношений (алгебраических, интегральных, дифференциальных, логических и
т.д.). Аналитическая модель м.б. исследована методами: а) аналитическим (устанавливаются
явные зависимости, получаются, в основном, аналитические решения); б) численным (получаются
приближенные решения); в) качественным (в явном виде можно найти некоторые свойства
решения).
Большая система – состоящая из большого числа однотипных элементов с однотипными
связями.
Детерминированной называется модель,которая не содержит случайных элементов
Имитационное моделирование – воспроизведение на ЭВМ (имитация) процесса
функционирования исследуемой системы, соблюдая логическую и временную последовательность
протекания процессов, что позволяет узнать данные о состоянии системы или отдельных ее
элементов в определенные моменты времени.
Компьютерное моделирование – ММ формулируется в виде алгоритма (программы для ЭВМ),
что позволяет проводить над ней вычислительные эксперименты.
Математическое моделирование – процесс установления соответствия реальной системе S
математической модели M и исследование этой модели, позволяющее получить характеристики
реальной системы.
Независимость – каждое событие наступает независимо от того, наступали ли другие.
Ординарность – в один момент времени может произойти не более одного события.
Псевдослучайные базовые датчики – строятся на основе детерминированного алгоритма, но
полученные результаты неотличимы от случайных.
Процесс (динамика) – множество значений состояний системы, изменяющихся во времени.
Синтез – выбор структуры и параметров по заданным свойствам системы.
Система S – совокупность элементов со связями и целью функционирования F.
Сложная система – состоящая из разнотипных элементов с разнотипными связями.
Состояние – множество характеристик элементов системы, изменяющихся во времени и важных
для целей функционирования.
Статистическое моделирование – обработка данных о системе (модели) с целью получения
статистических характеристик системы.
Стационарность – вероятность наступления определенного количества событий на некотором
интервале времени зависит только от его длины и не зависит от его положения на временной оси.
Структура системы – ее расчленение (декомпозиция) на элементы или группы элементов с
указанием связей между ними, неизменное во время функционирования системы.
Физическое моделирование – используется сама система, либо подобная ей (летательный
аппарат в аэродинамической трубе).
Цель функционирования – задача получения желаемого состояния системы. Достижение цели
обычно влечет целенаправленное вмешательство в процесс функционирования системы, которое
называется управлением.
Цепь Маркова.Основное свойство: состояние, в котором система окажется в следующий момент
времени зависит только от ее текущего состояния и не зависит от всех предыдущих.
Численное моделирование – используются методы вычислительной математики (отличается от
численного аналитического тем, что возможно задание различных параметров модели).
2. ЛЕКЦИИ
Лекция № 1.
Корни систем нелинейных уравнений.
Содержание лекционного занятия:
1. Требования к вычислительным методам.
2. Источники и классификация погрешностей
УМКД 042-39.1.28/03-2013
Ред. № 1 от 18.09.2013г.
Страница 4 из 60
3. Погрешности данных, метода и вычислений
4. Абсолютная и относительная погрешности вычисления
Появление и непрерывное совершенствование быстродействующих электронных
вычислительных машин (ЭВМ) привело к подлинно революционному преобразованию науки
вообще и математики в особенности. Изменилась технология научных исследований, колоссально
увеличились возможности теоретического изучения, прогноза сложных процессов,
проектирования инженерных конструкций. Решение крупных научно-технических проблем,
примерами которых могут служить проблемы овладения ядерной энергией и освоения космоса,
стало возможным лишь благодаря применению математического моделирования и новых
численных методов, предназначенных для ЭВМ.
В настоящее время можно говорить, что появился новый способ теоретического
исследования сложных процессов, допускающих математического описание, - вычислительный
эксперимент, т. е. исследование естественно–научных проблем средствами вычислительной
математики.
Следует отметить, что вычислительный эксперимент- это, как правило, не разовый счет по
стандартным формулам, а прежде всего расчет серии вариантов для различных математических
моделей.
Вычислительную математику определяют в широком смысле этого термина как раздел
математики, включающий круг вопросов, связанных с использованием ЭВМ, и в узком смысле –
как теорию численных методов и алгоритмов решения поставленных математических задач.
Общим для всех численных методов является сведение математической задачи к
конечномерной. Это чаще всего достигается дискретизацией исходной задачи, т.е. переходом от
функций непрерывного аргумента к функциям дискретного аргумента.
Выбирая численный метод среди известных методов или разрабатывая новый, мы должны,
естественно, учитывать специфику машины, на которой предполагается решать задачу.
Требования к вычислительным методам.
Можно выделить две группы требований к численным методам. Первая группа связана с
адекватностью дискретной модели исходной математической задаче, и вторая группа – с
реализуемостью численного метода на ЭВМ. К первой группе относятся такие требования, как
сходимость численного метода, выполнение дискретных аналогов законов сохранения,
качественно правильное поведение решения дискретной задачи.
Поясним эти требования. Предположим, что дискретная модель математической задачи
представляет собой систему большого, но конечного числа алгебраических уравнений. Обычно,
чем точнее мы хотим получить решение, тем больше уравнений приходится брать. Говорят, что
численный метод сходится, если при неограниченном увеличении числа уравнений решение
дискретной задачи стремится к решению исходной задачи.
Например, дискретной моделью задачи математической физики может быть разностная
схема. Для ее построения область изменения независимых переменных заменяется дискретным
множеством точек – сеткой, а входящие в исходное уравнение производные заменяются на сетке
конечно - разностными отношениями. В результате получаем систему алгебраических уравнений
относительно значений искомой функции в точках сетки. Число уравнений этой системы равно
числу точек сетки. Известно, что дифференциальные уравнения математической физики являются
следствиями интегральных законов сохранения. Поэтому естественно требовать, чтобы для
УМКД 042-39.1.28/03-2013
Ред. № 1 от 18.09.2013г.
Страница 5 из 60
разностной схемы выполнялись аналоги таких законов сохранения. Разностные схемы,
удовлетворяющие этому требованию, называются консервативными. Оказалось, что при одном и
том же числе точек сетки консервативные разностные схемы более правильно отражают
поведение решения исходной задачи, чем консервативные схемы.
Сходимость численного метода тесно связана с его корректностью. Предположим, что
исходная математическая задача поставлена корректно, т. е. ее решение существует, единственно
и непрерывно зависит от входных данных. Тогда дискретная модель этой задачи должна быть
построена таким образом, чтобы свойство корректности сохранилось. Таким образом, в понятие
корректности численного метода
включаются свойства однозначной разрешимости
соответствующей системы уравнений и ее устойчивости по входным данным. Под устойчивостью
понимается непрерывная зависимость решения от входных данных, равномерная относительно
числа уравнений, составляющих дискретную модель.
Вторая группа требований, предъявляемых к численным методам, связана с
возможностью реализации данной дискретной модели на данной ЭВМ, т.е. с возможностью
получить на ЭВМ решение соответствующей системы алгебраических уравнений за приемлемое
время. Основным препятствием для реализации корректно поставленного алгоритма является
ограниченный объем оперативной памяти ЭВМ и ограниченные ресурсы времени счета. Реальные
вычислительные алгоритмы должны учитывать эти обстоятельства, т.е. они должны быть
экономичными как по числу арифметических действий, так и по требуемому объему памяти.
1.2. Источники и классификация погрешностей
1.2.1. Погрешности данных, метода и вычислений
Почти всегда используемые на практике решения математических задач имеют некоторые
погрешности.
Погрешность решения задачи обуславливается следующими причинами:
1. Математическое описание задачи является неточным, в частности, неточно заданы исходные
данные описания.
2. Применяемый для решения метод часто не является точным: получение точного решения задачи
требует неограниченного или неприемлемо большого числа арифметических операций, и поэтому
вместо получения точного решения приходится прибегать к приближенному.
3. При выполнении арифметических операций на ЭВМ или любым другим образом, как правило,
производятся округления. (Это же относится к вводу чисел в память ЭВМ и выводу полученных
результатов.)
Погрешности, соответствующие этим причинам, называются:
 неустранимая погрешность,
 погрешность метода,
 вычислительная погрешность.
1.3. Абсолютная и относительная погрешности вычисления
УМКД 042-39.1.28/03-2013
Если
Ред. № 1 от 18.09.2013г.
- точное значение некоторой величины, а
Страница 6 из 60
- известное приближение к нему, то
абсолютной погрешностью приближения
называют обычно некоторую величину
про которую известно, что она удовлетворяет неравенству:
Относительной погрешностью называют некоторую величину
что она удовлетворяет неравенству:
,
, про которую известно,
Относительную погрешность часто выражают в процентах. Она дает более точное представление
о величине ошибки, содержащейся в некоторой величине.
1.
2.
Вопросы для самоконтроля:
Численные методы решения нелинейных уравнений с одним неизвестным
Сходимость метода половинного деления отрезка
Рекомендуемая литература:
1. В.М. Завырыкин, В.Г. Житомирский. «Численные методы» Москва «Просвещение» 1990
2. Н.И. Данилина, Н.С. Дубровская. «Численные методы» Москва «Высшая школа» 1976
3. Б.П. Демидович, И.А. Марон «Численные методы анализа» М-1967
4. Н.Н. Калиткин «Численные методы» –учебное пособие. М.:Наука,1978
5. «Вычислительная математика»/ учебное пособие. Данилина Н.И. и др. М.: Высшая школа, 1985
6. Демидович Б.П., Марон И.А., Основы выичслительной математики, Наука, 1970.
7. Данилина Н.И., Дубровская Н.С., Численные методы, Москва, Высшая школа, 1976.
8. Калиткин Н.Н., Численные методы, учебное пособие, -М.Наука, 1978.
9. Турчак Л.И., Основы численных методов, -М.Наука,1987.
Лекция № 2. Распространение
метода Ньютона на системы n уравнений с n неизвестными.
Распространение метода итераций на системы n уравнений с n неизвестными.
Содержание лекционного занятия:
1.
2.
3.
4.
5.
Пусть
Погрешность вычисления значений функции.
Погрешность суммы
Погрешность разности
Погрешность произведения
Погрешность частного
непрерывно дифференцируемая функция,
- приближенные значения ее аргументов, для которых
УМКД 042-39.1.28/03-2013
Ред. № 1 от 18.09.2013г.
Страница 7 из 60
- известные абсолютные погрешности.
Для погрешности приближенного значения функции
Лагранжа получаем
по формуле
, где
Заменяя
, получаем
Оценка погрешности соответственно:
, где
или
, где
2.2. Погрешность суммы
Пусть задана функция
Тогда
,
.
Для абсолютной погрешности получаем
.
Относительная погрешность
.
УМКД 042-39.1.28/03-2013
Ред. № 1 от 18.09.2013г.
Страница 8 из 60
Пусть
,
, тогда
приближенных величин относительная погрешность не возрастает.
, т.е. при сложении
2.3. Погрешность разности
Пусть задана функция
Тогда аналогично предыдущему абсолютная погрешность
.
Для относительной погрешности имеем формулу
.
Отсюда следует, что если приближенные значения
погрешность их разности
и
близки друг к другу, то относительная
может оказаться намного больше
и
2.4. Погрешность произведения
Пусть задана функция
Тогда абсолютная погрешность
.
Относительная погрешность
.
2.5. Погрешность частного
Пусть задана функция
Тогда абсолютная погрешность
.
УМКД 042-39.1.28/03-2013
Ред. № 1 от 18.09.2013г.
Страница 9 из 60
.
Относительная погрешность
2.6. Обратная задача оценки погрешности
Иногда возникает задача определения допустимой погрешности аргументов, при которой
погрешность значений функции будет не более заданной величины
.
Используем ранее полученное неравенство
.
Должно быть
.
При n=1 вопрос решается однозначно:
При n>1 возможны разные подходы:
1. Считать погрешности всех аргументов одинаковыми
Тогда получаем
2.
Считать,
одинаков.
что
, следовательно
вклад
погрешности
каждого
аргумента
, тогда
в
погрешность
результата
УМКД 042-39.1.28/03-2013
Ред. № 1 от 18.09.2013г.
Страница 10 из 60
Если для разных аргументов достижение определенной точности их задания существенно
различается, то можно ввести функцию стоимости
затрат на задание
точки
с заданными абсолютными погрешностями
минимум в области
и искать ее
Вопросы для самоконтроля:
1. Сходимость метода простой итерации решения нелинейных уравнений
3. Приведение нелиных уравнений к итерационному виду
Рекомендуемая литература:
1. В.М. Завырыкин, В.Г. Житомирский. «Численные методы» Москва «Просвещение» 1990
2. Н.И. Данилина, Н.С. Дубровская. «Численные методы» Москва «Высшая школа» 1976
3. Б.П. Демидович, И.А. Марон «Численные методы анализа» М-1967
4. Н.Н. Калиткин «Численные методы» –учебное пособие. М.:Наука,1978
5. «Вычислительная математика»/ учебное пособие. Данилина Н.И. и др. М.: Высшая школа, 1985
6. Демидович Б.П., Марон И.А., Основы выичслительной математики, Наука, 1970.
7. Данилина Н.И., Дубровская Н.С., Численные методы, Москва, Высшая школа, 1976.
8. Калиткин Н.Н., Численные методы, учебное пособие, -М.Наука, 1978.
9. Турчак Л.И., Основы численных методов, -М.Наука,1987.
Лекция №3. Интерполирование функции.
Постановка задачи интерполирования.
Интерполирование для случая равноотстоящих узлов. Первая и вторая интерполяционная формула
Ньютона.
Интерполяционная формула Лагранжа.
Содержание лекционного занятия:
1. Основные понятия
2. Метод Гауса
Рассмотрим задачу решения системы уравнений вида:
(11)
(
или
, где
правых частей.
)
- матрица коэффициентов системы,
- вектор неизвестных,
- вектор
Известно, что система (11) имеет единственное решение, если ее матрица невырожденная (т. е.
определитель матрицы
отличен от нуля). В случае вырожденности матрицы система может
иметь бесконечное число решений (если ранг матрицы
и ранг расширенной матрицы,
полученной добавлением к столбца свободных членов равны) или не иметь решений вовсе (если
ранг матрицы и расширенной матрицы не совпадают)
УМКД 042-39.1.28/03-2013
Ред. № 1 от 18.09.2013г.
Страница 11 из 60
Известно, что решение системы линейных уравнений можно выразить по формулам Крамера
через отношение определителей. Но вычисление определителя не проще, чем решение исходной
системы. Для решения системы порядка n необходимо вычислить (n+1) определитель, т. е.
вычисление решения по формулам Крамера в (n+1) раз более трудоемко, чем решение системы
другим методом, например методом Гаусса.
Метод Гаусса основан на приведении путем эквивалентных преобразований исходной системы
(11) к виду с верхней треугольной матрицей.
(12)
Тогда из последнего уравнения сразу определяем
.
Подставляя его в предпоследнее уравнение, находим
и т. д.
Общие формулы имеют вид
, k=n, n-1,..., 1. (13)
При вычислениях по формулам (13) потребуется выполнить примерно 1/2n2 арифметических
действий.
Приведение системы (11) к виду (12) можно выполнить, последовательно заменяя строки
матрицы системы их линейными комбинациями.
Первое уравнение не меняется. Вычтем из второго уравнения системы (11) первое,
умноженное на такое число, чтобы обратился в нуль коэффициент при . Затем таким же образом
вычтем первое уравнение из третьего, четвертого и т. д. Тогда исключатся все коэффициенты
первого столбца, лежащие ниже главной диагонали.
Затем при помощи второго уравнения исключим из третьего, четвертого и т. д. уравнений
коэффициенты второго столбца. Последовательно продолжая этот процесс, исключим из матрицы
все коэффициенты, лежащие ниже главной диагонали.
Запишем общие формулы процесса. Пусть проведено исключение коэффициентов из k-1
УМКД 042-39.1.28/03-2013
Ред. № 1 от 18.09.2013г.
Страница 12 из 60
столбца. Тогда остались такие уравнения с ненулевыми элементами ниже главной диагонали:
(14)
Умножим k-ю строку на число
(15)
и вычтем из m-й строки. Первый ненулевой элемент этой строки обратится в нуль, а остальные
изменятся по формулам
(16)
Производя вычисления по этим формулам при всех указанных индексах, исключим элементы
k-го столбца. Будем называть такое исключение циклом процесса. Выполнение всех циклов
называется прямым ходом исключения.
Запишем треугольную систему, получающуюся после выполнения всех циклов. При
приведении системы к треугольному виду освободятся клетки в нижней половине матрицы
системы (11). Получим
(17)
Треугольная система (17) легко решается обратным ходом по формулам (13).
Исключение по формулам (15) нельзя проводить, если в ходе расчета на главной диагонали
оказался нулевой элемент
Но в первом столбце промежуточной системы (14) все
элементы не могут быть нулями: это означало бы, что det A = 0. Перестановкой строк можно
переместить ненулевой элемент на главную диагональ и продолжить расчет.
Для уменьшения вычислительной погрешности можно каждое повторение внешнего цикла
начинать с выбора максимального по модулю элемента в k-том столбце (главного элемента) и
перестановки уравнения с главным элементом так, чтобы он оказался на главной диагонали. Этот
вариант называется методом Гаусса с выбором главного элемента.
В качестве одной из характеристик эффективности того или иного алгоритма используют
вычислительные затраты, измеряемые количеством элементарных операций, которые необходимо
выполнить для получения решения.
Для прямого хода метода Гаусса число арифметических операций, в соответствии с
УМКД 042-39.1.28/03-2013
Ред. № 1 от 18.09.2013г.
Страница 13 из 60
формулами (15), (16), равно
Для обратного хода по формулам (13) число арифметических операций равно
Общие вычислительные затраты метода Гаусса:
Таким образом,
Выполнение прямого хода метода Гаусса позволяет также вычислить значение определителя
матрицы системы.
При замене строк матрицы их линейными комбинациями значение определителя не меняется.
Знак меняется при каждой перестановке строк. Для треугольной матрицы величина определителя
равна произведению элементов, стоящих на главной диагонали. Поэтому определитель
вычисляется по формуле:
Метод Гаусса может быть использован для нахождения обратной матрицы. Обозначим ее
элементы через
. Тогда соотношение
можно записать так:
Видно, что если рассматривать j-й столбец обратной матрицы как вектор, то он является
решением линейной системы вида (11) с матрицей и специальной правой частью (в которой
на
месте стоит единица, а на остальных нули).
Таким образом, для обращения матрицы надо решить
систем линейных уравнений с
одинаковой матрицей
и разными правыми частями. Приведение матрицы
к треугольной
делается при этом только один раз, а правые части преобразуются по формулам (15)-(16).
УМКД 042-39.1.28/03-2013
Ред. № 1 от 18.09.2013г.
Страница 14 из 60
Преобразование матрицы требует порядка
операций. Действия по преобразованию правых
частей систем и обратный ход метода Гаусса повторяются раз, а однократное преобразование
правых частей и обратный ход требуют порядка
операций. Следовательно, суммарные
вычислительные затраты на обращение матрицы составляют:
.
Таким образом, преобразование матрицы требуется порядка 2/3n3 операций. Для
преобразования правых частей и для обратного хода требуется порядка 3/2n2 операций. Всего
таких преобразований n, получаем суммарные затраты
2/3n3 + 3/2n2n = 13/6n3.
Обращение матрицы сводится к решению систем линейных уравнений, но требует лишь
примерно втрое больше действий, чем решение одной системы уравнений. Это объясняется тем,
что при решении линейной системы большая часть вычислений связана с приведением матрицы к
треугольному виду, а это при обращении матрицы делается только один раз. Обратный ход и
преобразование правых частей выполняются много быстрее.
Вообще говоря, метод Гаусса применим для решения любых систем линейных уравнений, так
как он позволяет получить решение системы, если оно существует (включая случай, когда часть
неизвестных является свободной и решений бесконечно много) и обнаружить отсутствие решения
(когда система несовместна). В последнем случае после очередного k-го шага прямого хода
обнаруживается ситуация, когда все элементы матрицы системы ниже k-ой строки равны нулю, а
среди соответствующих компонент вектора есть ненулевые значения.
4.
5.
6.
Вопросы для самоконтроля:
Метод хорд и сходимость метода
Сходимость метода касательных
Решение систем нелинейных уравнений
Рекомендуемая литература:
1. В.М. Завырыкин, В.Г. Житомирский. «Численные методы» Москва «Просвещение» 1990
2. Н.И. Данилина, Н.С. Дубровская. «Численные методы» Москва «Высшая школа» 1976
3. Б.П. Демидович, И.А. Марон «Численные методы анализа» М-1967
4. Н.Н. Калиткин «Численные методы» –учебное пособие. М.:Наука,1978
5. «Вычислительная математика»/ учебное пособие. Данилина Н.И. и др. М.: Высшая школа, 1985
6. Демидович Б.П., Марон И.А., Основы выичслительной математики, Наука, 1970.
7. Данилина Н.И., Дубровская Н.С., Численные методы, Москва, Высшая школа, 1976.
8. Калиткин Н.Н., Численные методы, учебное пособие, -М.Наука, 1978.
9. Турчак Л.И., Основы численных методов, -М.Наука,1987.
Лекция №4. Интерполяционные формулы Гаусса, Стирлинга, Бесселя.
Обратное интерполирование.
Линейная интерполяция.
Содержание лекционного занятия:
1. Прямой ход
УМКД 042-39.1.28/03-2013
Ред. № 1 от 18.09.2013г.
Страница 15 из 60
2. Обратный ход
В вышеизложенных схемах метода исключения Гаусса можно сделать ряд
упрощений, если исходная матрица симметрическая. Однако в случае симметрической матрицы
удобным методом решения системы является метод квадратного корня.
Идея: пусть дана система уравнений (3), где А - симметрическая квадратная матрица.
Решение проводится в два этапа: 1 этап (прямой ход). Согласно теореме представим матрицу в
виде: А  G * GT
T
Где G- нижняя треугольная матрица, G
- транспонированная по отношению к ней
матрица. Тогда, производя перемножение матриц, получим следующие формулы для определения
элементов
a1 j

g

a
,
g

, j 1
11
1j
 11
g
1j


i 1
2
 g i1  ai1   g ki , 1  i  n

k 1
g ij матрицы G: 
i 1

aij   g ki g kj

k 1
,i  j
 g i1 
g ii

 g ij  0, i  J
(15)
Если g ii  0, то det( A)  det( G ) det( D )  ( g11 g 22 ,..., g nn )  0
И система имеет единственное решение.
Заметим, что при действительных aij могут получиться чисто мнимые g ij . Формально
T
2
метод применим и в этом случае. Если же матрица А является положительно определенной, то
мнимых g ij не будет.
2 этап (обратный ход). В силу соотношения (14) система эквивалентна двум системам с
треугольной матрицей G y  b, G
или в развернутом виде:
T
x y
(16)
 g11 y1  b1 ,
g y  g y  b ,
 12 1
22 2
2
(17)

..........
..........
........

 g1n y1  g 2 n y 2  ...  g nn y n  bn
 g11 x1  g 12 x1  ...  g1n xn  y1 ,

g 22 x2  ...  g 2 n xn  y2 ,

(18)

..........
..........
..........
..........
.........


g nn xn  yn
7.
Вопросы для самоконтроля:
Сходимость метода итерации решения систем нелинейных уравнений
УМКД 042-39.1.28/03-2013
8.
Ред. № 1 от 18.09.2013г.
Страница 16 из 60
Сходимость метода Ньютона решения систем нелинейных уравнений
Рекомендуемая литература:
1. В.М. Завырыкин, В.Г. Житомирский. «Численные методы» Москва «Просвещение» 1990
2. Н.И. Данилина, Н.С. Дубровская. «Численные методы» Москва «Высшая школа» 1976
3. Б.П. Демидович, И.А. Марон «Численные методы анализа» М-1967
4. Н.Н. Калиткин «Численные методы» –учебное пособие. М.:Наука,1978
5. «Вычислительная математика»/ учебное пособие. Данилина Н.И. и др. М.: Высшая школа, 1985
6. Демидович Б.П., Марон И.А., Основы выичслительной математики, Наука, 1970.
7. Данилина Н.И., Дубровская Н.С., Численные методы, Москва, Высшая школа, 1976.
8. Калиткин Н.Н., Численные методы, учебное пособие, -М.Наука, 1978.
9. Турчак Л.И., Основы численных методов, -М.Наука,1987.
Лекция №5. Прилиженное решение обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ).
Задача Коши. Общие замечания.
Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов.
Метод последовательных приближений.
Содержание лекционного занятия:
1. Первый способ
2. Второй способ
3. Метод простых итераций
В качестве первого примера рассмотрим явный стационарный итерационный метод,
каноническая форма которого:
(26)
Выясним достаточные условия сходимости этого метода. В соответствии с теоремой 2 для
этого достаточно, чтобы матрица системы A была симметричной и положительной и выполнялось
неравенство
Учитывая, что
, имеем
.
Это неравенство выполнено при
. Следовательно, метод простых итераций сходится
при всех значениях , удовлетворяющих неравенству
С учетом неравенства
сходимости можно записать в виде
, где
.
- собственные числа матрицы A, достаточное условие
УМКД 042-39.1.28/03-2013
Ред. № 1 от 18.09.2013г.
Страница 17 из 60
Условие (26) является также и необходимым для сходимости метода простых итераций.
Пусть
- максимальное по модулю собственное число,
вектор. При начальном приближении
- соответствующий собственный
для погрешности k-го приближения имеем:
.
Тогда
.
Если
, то
и
при
Если
, то
не стремится к нулю при
.
.
Вопросы для самоконтроля:
9. Разностные отношения. Аппроксимация производных разностными отношениями.
10. Разделенные и конечные разности.
Рекомендуемая литература:
1. В.М. Завырыкин, В.Г. Житомирский. «Численные методы» Москва «Просвещение» 1990
2. Н.И. Данилина, Н.С. Дубровская. «Численные методы» Москва «Высшая школа» 1976
3. Б.П. Демидович, И.А. Марон «Численные методы анализа» М-1967
4. Н.Н. Калиткин «Численные методы» –учебное пособие. М.:Наука,1978
5. «Вычислительная математика»/ учебное пособие. Данилина Н.И. и др. М.: Высшая школа, 1985
6. Демидович Б.П., Марон И.А., Основы выичслительной математики, Наука, 1970.
7. Данилина Н.И., Дубровская Н.С., Численные методы, Москва, Высшая школа, 1976.
8. Калиткин Н.Н., Численные методы, учебное пособие, -М.Наука, 1978.
9. Турчак Л.И., Основы численных методов, -М.Наука,1987.
Лекция №6. Одношаговые методы решения ОДУ. Метод Эйлера, модификация метода
Эйлера. Метод Эйлера с последующей итерационной обработкой
Содержание лекционного занятия:
1. Модификация метода
2. Особенности метода
3. Оценка погрешности и мера обусловленности
Весьма широко на практике применяется итерационный метод Зейделя:
УМКД 042-39.1.28/03-2013
Компоненты
Ред. № 1 от 18.09.2013г.
Страница 18 из 60
находятся последовательно по формулам:
Запишем этот метод в матричной форме. Для этого представим матрицу A в виде суммы
,
где
,
- нижняя треугольная матрица,
,
- верхняя треугольная матрица.
В этих обозначениях метод Зейделя записывается следующим образом:
(28)
Применим теорему 2 для исследования сходимости метода Зейделя.
. В этом случае
,
,
если
. Следовательно, метод Зейделя сходится, если
Неравенство
следует из условия
.
.
Таким образом, метод Зейделя всегда сходится, если A - положительная матрица.
Оценка погрешности и мера обусловленности
Предположим, что матрица системы линейных уравнений и вектор правых частей заданы
неточно и вместо предъявленной к решению системы
(30)
в действительности решается некоторая система
УМКД 042-39.1.28/03-2013
Ред. № 1 от 18.09.2013г.
, где
Страница 19 из 60
(31)
Обозначим решения (30) и (31) через
и
Оценим погрешность решения
.
Подставим выражения
и
,
в (31)
Вычитая (30), получим
(32)
Если малы
и
, то следует ожидать и малости
высокий порядок малости.
. Тогда слагаемое
имеет более
Отсюда следует оценка погрешности
. (33)
Довольно распространен случай, когда погрешность матрицы системы существенно меньше
погрешности правой части; в качестве модели этой ситуации будем рассматривать случай точного
задания матрицы системы. Тогда, полагая
в (33) имеем
(34)
Для качественной характеристики связи между погрешностями правой части и решения
вводится понятие обусловленности матрицы системы. Абсолютные погрешности правой части и
решения системы зависят от масштабов, которыми измеряется эти величины и матрица системы.
Поэтому правильнее характеризовать свойства системы через связь между относительными
погрешностями правой части и решения.
Для относительной погрешности решения из (34) имеем
(35)
отсюда
.
УМКД 042-39.1.28/03-2013
Подставляя оценку для
Ред. № 1 от 18.09.2013г.
Страница 20 из 60
в (35) имеем
(36)
Величину
называют мерой обусловленности матрицы.
Величина относительной погрешности решения при фиксированной величине относительной
погрешности правой части может стать сколь угодно большой при достаточно большой мере
обусловленности матрицы. Число обусловленности зависит от выбора нормы матрицы. Любая
норма матрицы не меньше ее наибольшего по модулю собственного значения, т. е.
Собственные значения матрицы
и
взаимно обратны; поэтому
.
.
Таким образом,
Системы уравнений и матрицы с большими значениями мер обусловленности принято
называть
плохо
обусловленными,
а
с
малыми
хорошо
обусловленными.
Вопросы для самоконтроля:
11. Разностные уравнения. Виды разностных уравнений.
12. Задача Коши. Решение задачи коши численными методами. Сходимость методов.
Рекомендуемая литература:
1. В.М. Завырыкин, В.Г. Житомирский. «Численные методы» Москва «Просвещение» 1990
2. Н.И. Данилина, Н.С. Дубровская. «Численные методы» Москва «Высшая школа» 1976
3. Б.П. Демидович, И.А. Марон «Численные методы анализа» М-1967
4. Н.Н. Калиткин «Численные методы» –учебное пособие. М.:Наука,1978
5. «Вычислительная математика»/ учебное пособие. Данилина Н.И. и др. М.: Высшая школа, 1985
6. Демидович Б.П., Марон И.А., Основы выичслительной математики, Наука, 1970.
7. Данилина Н.И., Дубровская Н.С., Численные методы, Москва, Высшая школа, 1976.
8. Калиткин Н.Н., Численные методы, учебное пособие, -М.Наука, 1978.
9. Турчак Л.И., Основы численных методов, -М.Наука,1987.
Лекция №7. Прилиженное решение обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ).
Многошаговые методы решения ОДУ. Метод Рунге- Кутта. Методы Адамса и Милна.
Содержание лекционного занятия:
1. Методы решения алгебраических уравнений
2. Метод деления отрезка пополам
В данном разделе рассматриваются методы решения следующих алгебраических задач:
нахождение
корней
конечного
уравнения
;
решение
системы
линейных
алгебраических
уравнений;
решение
нелинейной
системы
конечных
уравнений;
- нахождение собственных чисел и собственных векторов матрицы.
УМКД 042-39.1.28/03-2013
Ред. № 1 от 18.09.2013г.
Страница 21 из 60
7.1. Методы решения алгебраических уравнений
Пусть дана непрерывная на некотором промежутке функция
принадлежащие этому промежутку корни уравнения
. Необходимо найти
(1)
Как правило, алгоритм приближенного метода состоит из двух этапов:
- поиск приближенного значения корня или содержащего его отрезка;
- уточнение приближенного значения до некоторой заданной степени точности.
Иногда ограничиваются только первым этапом. При этом могут использоваться решения
близких задач, графические методы, физические соображения и т.д. На втором этапе для
уточнения приближенного значения обычно строится последовательность, элементы которой в
пределе сходятся к точному значению корня. Сам метод решения при этом называется
итерационным или методом последовательных приближений.
7.2. Метод деления отрезка пополам
Одним из итерационных методов является метод деления отрезка пополам (дихотомии,
бисекции).
На первом этапе должен быть найден отрезка
Тогда отрезок
такой, что
содержит нечетное число корней уравнения (1) нечетной кратности (
корень кратности p, если
Начальное приближение x0 =
-
, ).
.
На втором этапе выбирается тот из двух отрезков
функция
< 0.
имеет значения разных знаков и за
,
, на концах которого
принимается середина этого отрезка, и т. д..
Таким образом, строится последовательность
, сходящаяся при
к . После
каждой итерации отрезок, содержащий корень уменьшается вдвое. Инерционный процесс
продолжается до тех пор, пока длина полученного отрезка не станет меньше заданной
величины
. За приближенное решение принимается средняя точка последнего промежутка.
Другой вариант условия окончания итерационного процесса
( по величине невязки
).
Вопросы для самоконтроля:
13. Приведение краевой задачи к решению задачи Коши.
14. Численное интегрирование. Оценка погрешностей численных методов.
Рекомендуемая литература:
УМКД 042-39.1.28/03-2013
Ред. № 1 от 18.09.2013г.
Страница 22 из 60
1. В.М. Завырыкин, В.Г. Житомирский. «Численные методы» Москва «Просвещение» 1990
2. Н.И. Данилина, Н.С. Дубровская. «Численные методы» Москва «Высшая школа» 1976
3. Б.П. Демидович, И.А. Марон «Численные методы анализа» М-1967
4. Н.Н. Калиткин «Численные методы» –учебное пособие. М.:Наука,1978
5. «Вычислительная математика»/ учебное пособие. Данилина Н.И. и др. М.: Высшая школа, 1985
6. Демидович Б.П., Марон И.А., Основы выичслительной математики, Наука, 1970.
7. Данилина Н.И., Дубровская Н.С., Численные методы, Москва, Высшая школа, 1976.
8. Калиткин Н.Н., Численные методы, учебное пособие, -М.Наука, 1978.
9. Турчак Л.И., Основы численных методов, -М.Наука,1987.
Лекция №8. Краевые задачи для ОДУ.
Постановка задачи.
Метод конечных разностей для линейных ДУ 2-го порядка
Метод конечных разностей для нелинейных ДУ 2-го порядка
Метод прогонки.
Метод Галеркина и коллокации.
Содержание лекционного занятия:
1. Метод Ньютона
2. Оценка погрешности и мера обусловленности
В некоторых случаях несколько большей скоростью сходимости обладает метод хорд, у
которого на втором этапе при выборе очередного приближения внутри отрезка, содержащего
корень, учитывается величина невязки на концах отрезка: точка выбирается ближе к тому концу,
где невязка меньше ( но в некоторых случаях это может замедлить сходимость по сравнению с
методом дихотомии ).
Геометрический смысл заключается в замене кривой
находится как точка пересечения хорды с осью абсцисс.
Если
хордой. Очередное приближение
- отрезок содержащий корень, то уравнение хорды
. (2)
Для точки пересечения хорды с осью абсцисс
имеем
.
принимается за очередное приближение к корню. Далее выбирается тот из
промежутков
этом, если
,
на концах которого функция имеет значения разных знаков и т. д.. При
дважды непрерывно дифференцируемая функция и знак
сохраняется на
УМКД 042-39.1.28/03-2013
Ред. № 1 от 18.09.2013г.
Страница 23 из 60
рассматриваемом промежутке, то полученные приближения будут сходиться к корню монотонно.
Если знаки
и
сохраняются на исходном промежутке, содержащем корень, то у
всех получаемых промежутков один конец будет общим, а именно тот, на котором совпадают
знаки функции и второй производной. Например, если , то последовательные приближения к
корню вычисляются по формуле
(3)
и корень принадлежит последовательности вложенных отрезков
Если оставить неподвижным тот конец промежутка, где знаки
и
противоположны,
то после вычисления
получаем промежуток не содержащий корень уравнения. Дальнейшее
развитие событий зависит от поведения конкретной функции и величины промежутка. Возможна
как сходимость метода ( при этом соседние приближения находятся по разные стороны от корня).
Рассмотрим сходимость метода хорд и оценки погрешности приближенных решений.
Пусть на исходном промежутке
и
функция
дважды дифференцируема, знаки
сохраняются и
Из формулы (3) получаем
.
Прибавляя слева
и применяя к разности
и
формулу конечных приращений (формулу Лагранжа), далее получаем
(4)
Из формулы (4) добавляя справа в скобке
* и группируя члены, получаем
.
Так как знаки разностей
,
и
совпадают,
УМКД 042-39.1.28/03-2013
Причем
и
Ред. № 1 от 18.09.2013г.
Страница 24 из 60
одного знака. Тогда
Следовательно,
(5)
где
Из (5) получаем
Отсюда следует, что погрешность приближенного решения
стремится к нулю
при
. В этом случае говорят, что метод сходится. И когда убывание погрешности
приближенного решения характеризуется неравенством вида (5) говорят также, что метод имеет
линейную скорость сходимости. (Сходится со скоростью геометрической прогрессии.)
Из формулы (4) также следует неравенство, в котором погрешность приближенного решения
оценивается через разность двух последовательных приближений
(6)
Здесь
и
на рассматриваемом отрезке.
Другой вариант оценки погрешности приближенного решения через невязку дает сама
формула конечных приращений
Отсюда (с учетом, что
) получаем
(7)
Фомы (6) и (7) позволяют установить, что для получения приближенного решения с заданной
точностью (т.е. такого , для которого
выполнить такое количество итераций
условий
или
будет меньше заданного числа ) достаточно
, после которого будет выполнено хотя-бы одно из
УМКД 042-39.1.28/03-2013
Ред. № 1 от 18.09.2013г.
Страница 25 из 60
Метод Ньютона
Геометрический смысл метода Ньютона (метода касательных) заключается в том, что на
отрезке
содержащем корень уравнения (1) график функции
заменяется отрезком
касательной, проведенной к графику
при
или
. (Предполагая что функция
дифференцируема на
.)
При этом используется только одна точка, поэтому не обязательно задавать отрезок
содержащий корень, достаточно задать некоторое приближение
,
.
Уравнение касательной в точке
.
Для точки пересечения с осью 0x получаем
, и т. д.
(8)
Объем вычислений в методе Ньютона на каждом шаге выше, чем в предыдущих методах, т. к.
в точке
вычисляются значения функции и ее производной, что компенсируется более высокой
скоростью сходимости этого метода.
Но в отличие от предыдущих методов метод Ньютона сходится не при всяком выборе
начального приближения на отрезке, содержащем корень уравнения.
Легко проверить, что примером достаточных условий сходимости метода будет сохранение
знака второй производной f(x) на некотором промежутке, содержащем корень, и выбор начального
приближения с той стороны от корня, где знак функции совпадает со знаком второй производной.
При этом последовательные приближения будут сходится к корню монотонно.
Другой вариант достаточного условия сходимости получается при исследовании скорости
сходимости вблизи корня
Перепишем формулу (8) в виде
УМКД 042-39.1.28/03-2013
Ред. № 1 от 18.09.2013г.
Используя для разности
порядка, получим
Страница 26 из 60
разложение по формуле Тейлора до членов второго
.
Отсюда
, (9)
где
.
Из неравенства (9) следует, что
при
(10)
Условие (10) можно рассматривать как ограничение на выбор начального приближения:
выполнение неравенства
достаточно для сходимости метод.
Если погрешности приближенных решений, полученных некоторым методом, удовлетворяют
неравенству вида (9) (где
), то говорят, что метод имеет квадратичную скорость сходимости.
Наличие показателя степени 2 в правой части неравенства (9) определяет большее убывание
погрешности приближенных решений, полученных методом Ньютона, по сравню, например, с
методом хорд.
Оценки погрешности приближенных решений могут быть получены в аналогичном методу
хорд виде. Из формулы (8) следует
-f(xn) = (xn+1 - xn )f'(xn),
отсюда получается формула, аналогичная (4)
( x* - xn )
= ( xn+1 - xn )f'(xn).
Из этой формулы вытекает оценка (6)
.
Для погрешности приближенного решения также справедлива и оценка (7)
УМКД 042-39.1.28/03-2013
Ред. № 1 от 18.09.2013г.
Страница 27 из 60
Вопросы для самоконтроля:
15. Квадратурные и составные формулы интегрирования
16. Метод трапеции и прямоугольников. Погрешность методов.
Рекомендуемая литература:
1. В.М. Завырыкин, В.Г. Житомирский. «Численные методы» Москва «Просвещение» 1990
2. Н.И. Данилина, Н.С. Дубровская. «Численные методы» Москва «Высшая школа» 1976
3. Б.П. Демидович, И.А. Марон «Численные методы анализа» М-1967
4. Н.Н. Калиткин «Численные методы» –учебное пособие. М.:Наука,1978
5. «Вычислительная математика»/ учебное пособие. Данилина Н.И. и др. М.: Высшая школа, 1985
6. Демидович Б.П., Марон И.А., Основы выичслительной математики, Наука, 1970.
7. Данилина Н.И., Дубровская Н.С., Численные методы, Москва, Высшая школа, 1976.
8. Калиткин Н.Н., Численные методы, учебное пособие, -М.Наука, 1978.
9. Турчак Л.И., Основы численных методов, -М.Наука,1987.
Лекция №9. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений. (СЛАУ)
Основные понятия. Единственность и существование решения СЛАУ.
Точные методы решения СЛАУ. Метод Гаусса, Жордана – Гаусса. Метод квадратных корней.
Содержание лекционного занятия:
1. Основные понятия
2. Оценка погрешности и мера обусловленности
Рассмотрим общее описание метода итераций для системы линейных алгебраических
уравнений с квадратной матрицей В этом случае по некоторому алгоритму, начиная с выбранного
вектора
строится последовательность векторов
.
При этом вектор
выражается через известные предыдущие вектора
при вычислении
используется только вектор
одношаговым (или двухслойным) методом.
, то итерационный метод называется
Общий вид линейного одношагового метода
(18)
Важную роль играет запись итерационных методов в единой (канонической) форме.
Она имеет вид:
, (19)
где A - матрица исходной системы уравнений (1),
- некоторая последовательность невырожденных матриц,
- итерационные параметры,
Если
УМКД 042-39.1.28/03-2013
Ред. № 1 от 18.09.2013г.
Страница 28 из 60
Связь между записью итерационного метода в виде (18) и в виде (19) выражается формулами:
Выбирая различным образом
и , можно получить разные варианты итерационных
методов, которые различаются скоростью сходимости, сложностью реализации.
Если
формуле
- единичная матрица, то метод называют явным:
находится по явной
(20)
В общем случае, при
определения
, метод называют неявным итерационным методом: для
надо решать систему уравнений
(21)
Естественно требовать, чтобы объем вычислений для решения системы (21) был меньше, чем
объем вычислений для исходной системы (1).
Точность метода характеризуется величиной погрешности
между решением
уравнения (19) и точным решением
алгебраических уравнений. Подстановка
погрешности:
, т.е. разностью
исходной системы линейных
в (19) приводит к системе уравнений для
(22)
Говорят, что итерационный метод сходится, если
при
.
В случае, когда
и
(
и
- соответственно) не зависят от номера итерации k,
итерационный метод называется стационарным (иначе - нестационарным).
Критерий сходимости стационарного линейного одношагового итерационного метода
(23)
формулируется в теореме 1.
Теореме 1. Метод (23) сходится для любого начального приближения
тогда и только тогда,
когда все собственные числа матрицы перехода S по модулю меньше единицы.
Доказательство.
Необходимость. Пусть некоторое собственное число матрицы перехода по модулю больше
единицы. Возьмем в качестве начального приближения вектор
, где s - собственный
УМКД 042-39.1.28/03-2013
Ред. № 1 от 18.09.2013г.
вектор, соответствующий собственному числу
Тогда
.
,
при
Если
Страница 29 из 60
, то
.
при
.
Достаточность. Пусть матрица S имеет n линейно независимых собственных векторов (т.е.
является матрицей простой структуры):
, соответствующих собственным числам
, каждое из которых по модулю меньше единицы. Разложим погрешность начального
приближения
по базису из собственных векторов.
Тогда
где
сходится.
(спектральный радиус). Так как
, то
при
, т.е. метод
Замечание. В общем случае, когда система собственных векторов матрицы S не является
полной, доказательство достаточности проводится с использованием жордановой формы матрицы.
В качестве следствия из теоремы 1 можно получить легко проверяемые на практике
достаточные условия. Норма матрицы S, согласованная с векторной нормой удовлетворяет
неравенству
для любого вектора x. Так как для максимального по модулю
собственного числа матрицы S и соответствующего собственного вектора y выполняется
равенство
, то для любой согласованной нормы матрицы
.
Примерами легко вычисляемых согласованных норм являются:
,
.
Таким образом, выполнение любого из неравенств
,
достаточно
УМКД 042-39.1.28/03-2013
Ред. № 1 от 18.09.2013г.
Страница 30 из 60
для сходимости итерационного метода.
Достаточные условия сходимости для итерационного метода, записанного в канонической
форме, содержатся в следующей теореме, которая приводится без доказательства.
Теорема 2. Пусть A - симметричная положительная матрица и выполнено условие
(24)
Тогда метод итераций
(25)
сходится.
Напомним, что матрица положительная, если для любого ненулевого вектора x (Ax,x)>0.
Неравенство (24) означает, что для любого ненулевого вектора x матрица
положительна.
не
стремится
к
нулю
при
Вопросы для самоконтроля:
17. Метод Симпсона. Погрешность метода.
18. Выбор шага интегрирования
Рекомендуемая литература:
1. В.М. Завырыкин, В.Г. Житомирский. «Численные методы» Москва «Просвещение» 1990
2. Н.И. Данилина, Н.С. Дубровская. «Численные методы» Москва «Высшая школа» 1976
3. Б.П. Демидович, И.А. Марон «Численные методы анализа» М-1967
4. Н.Н. Калиткин «Численные методы» –учебное пособие. М.:Наука,1978
5. «Вычислительная математика»/ учебное пособие. Данилина Н.И. и др. М.: Высшая школа, 1985
6. Демидович Б.П., Марон И.А., Основы выичслительной математики, Наука, 1970.
7. Данилина Н.И., Дубровская Н.С., Численные методы, Москва, Высшая школа, 1976.
8. Калиткин Н.Н., Численные методы, учебное пособие, -М.Наука, 1978.
9. Турчак Л.И., Основы численных методов, -М.Наука,1987.
Лекция №10. Итерационные методы решения СЛАУ.
Метод простой итераций.
Метод Зейделя.
Оценка погрешности итерационных методов.
Содержание лекционного занятия:
.
УМКД 042-39.1.28/03-2013
1.
2.
3.
4.
Ред. № 1 от 18.09.2013г.
Страница 31 из 60
Задача интерполяции. Многочлен Лагранжа
Постановка задачи
Построение интерполяционного многочлена Лагранжа
Остаточный член
Содержание этого раздела составляют некоторые численные методы, связанные с тремя
классическими
темами
математического
анализа:
приближение
заданной
функции
функцией
из
некоторого
класса;
дифференцирование;
- интегрирование.
Большую
часть
главы
занимают
параграфы,
посвященные
первой
теме:
Пусть
заданная
(непрерывная)
функция
на
отрезке
.
Необходимо приблизить (аппроксимировать, заменить) ее функцией из заданного класса вида
, где
- произвольные параметры.
Рассматриваются далее три варианта аппроксимации:
1) Интерполирование (точечное):
параметры
выбираются так, чтобы в ряде точек промежутка
принимала те же значения, что и в
.
функция
2) Среднеквадратичные приближения (квадратичная интерполяция):
параметры
выбираются
так,
чтобы
минимизировать
величину
. (
- заданная положительная функция). В случае
системы дискретных точек, в которых только рассматриваются значения f(x), интеграл заменяется
суммой по этим точкам.
3) Равномерные (наилучшие) приближения:
параметры
подчинены условию минимума выражения:
Основным классом, которому будут принадлежать
является множество многочленов.
в наших рассмотрениях,
10.1 Задача интерполяции. Многочлен Лагранжа
10.1.1. Постановка задачи
Пусть задана функция
. Часто нахождение значений этой функции может оказаться
трудоемкой задачей. Например, - параметр в некоторой сложной задаче, после решения которой
определяется значение f(x), или f(x) измеряется в дорогостоящем эксперименте. В этих случаях
УМКД 042-39.1.28/03-2013
Ред. № 1 от 18.09.2013г.
Страница 32 из 60
можно получить небольшую таблицу значений функции, но прямое нахождение ее значений при
большом количестве значений аргумента нереально. В такой ситуации f(x) заменяется
приближенной формулой
, которая в определенном смысле близка к функции f(x). Близость
обеспечивается введением
соответствующим выбором.
в
функцию
свободных
параметров
и
их
Итак, известны значения функции f(x) в точках
. Потребуем, чтобы для некоторой функции
,
выполнялись равенства:
(1)
Если (1) рассматривать как систему для определения
интерполяцией (Лагранжевой).
, то этот способ называется
Если зависит от нелинейно, то интерполяция нелинейная, иначе интерполяция линейная. В
случае линейной интерполяции можно записать
(2)
(где
- система линейно-независимых функций)
Подставим (2) в (1). Относительно
,
получаем линейную систему уравнений:
(3)
Для однозначной разрешимости системы должно быть
.
Для того, чтобы задача нтерполирования имела единственное решение, система функций
должна для любых несовпадающих
удовлетворять условию:
(4)
Система функций, удовлетворяющая условию (4), называется чебышевской.
10.1.2. Построение интерполяционного многочлена Лагранжа
УМКД 042-39.1.28/03-2013
Ред. № 1 от 18.09.2013г.
Страница 33 из 60
Наиболее простой и (для многих случаев) удобной является система функций
. Функция
,
при этом представляет собой многочлен степени
(интерполяционный многочлен) с коэффициентами
.
Система уравнений (3) в этом случае имеет вид:
,
(5)
Определителем этой системы является отличный от нуля определитель Вандермонда:
Отсюда следует, что интерполяционный многочлен существует и единственен.
Непосредственное решение системы (5) для нахождения aj уже при небольших n приводит к
сильному искажению значений aj. Получим явный вид нтерполяционного многочлена
решая систему (5).
Если
многочлен степени n такой что
интерполяционный многочлен степени , т.к.
Так как
при
, то
. Так как
, то
, не
- искомый
.
делится на
для любых
, то
, то есть
.
Таким
образом,
(6)
Такая форма записи интерполяционного многочлена называется многочленом Лагранжа и
обозначается, как правило,
.
Существуют и другие формы записи того же самого интерполяционного многочлена.
Если обозначить
, то
УМКД 042-39.1.28/03-2013
Ред. № 1 от 18.09.2013г.
Страница 34 из 60
.
Тогда (6) можно записать в виде
10.1.3. Остаточный член
В узлах
многочлен Лагранжа совпадает с заданной функцией, в остальных точках в
общем случае
Разность
не совпадает с
-
(кроме случая, когда
многочлен степени не выше ).
- остаточный член. Запишем ее в виде
.
При
. Найдем постоянную такую, чтобы
фиксированной точке , в которой мы рассматриваем погрешность.
Относительно
будем предполагать
Значение c, при котором
кратную дифференцируемость.
существует и равно
равна нулю по крайней мере в
По теореме Ролля производная
. Далее,
Для
в некоторой
. Тогда функция
точках
.
равна нулю по крайней мере в
точках
равна нулю по крайней мере в n точках и т.д.
- производной получаем, что существует по крайней мере одна точка
такая, что
.
Отсюда получаем при
член в точке имеет вид:
Значение зависит от
. В этом случае в точке
- точки, в которой рассматривается погрешность.
Оценка остаточного члена:
,
где
, т.е. остаточный
УМКД 042-39.1.28/03-2013
Ред. № 1 от 18.09.2013г.
Страница 35 из 60
Вопросы для самоконтроля:
19. Выделение особенностей подынтегральных функций
20. Интегрирование разрывных функций
Рекомендуемая литература:
1. В.М. Завырыкин, В.Г. Житомирский. «Численные методы» Москва «Просвещение» 1990
2. Н.И. Данилина, Н.С. Дубровская. «Численные методы» Москва «Высшая школа» 1976
3. Б.П. Демидович, И.А. Марон «Численные методы анализа» М-1967
4. Н.Н. Калиткин «Численные методы» –учебное пособие. М.:Наука,1978
5. «Вычислительная математика»/ учебное пособие. Данилина Н.И. и др. М.: Высшая школа, 1985
6. Демидович Б.П., Марон И.А., Основы выичслительной математики, Наука, 1970.
7. Данилина Н.И., Дубровская Н.С., Численные методы, Москва, Высшая школа, 1976.
8. Калиткин Н.Н., Численные методы, учебное пособие, -М.Наука, 1978.
9. Турчак Л.И., Основы численных методов, -М.Наука,1987.
Лекция №11.
Приближенное вычисление интегралов.
Постановка задачи численного интегрирования.
Квадратурные формулы с равноотстоящими узлами.
Выбор шага интегрирования.
Квадратурные формулы Гаусса.
Содержание лекционного занятия:
1. Применение метода
2. Остаточный член
Пусть имеется табулированная функция
. Введем понятие разделенной разности.
Разделенные разности нулевого порядка совпадают со значениями самой функции.
Разделенные разности первого порядка
Разделенные разности второго порядка
Разделенные разности
и т.д.
- го порядка :
(14)
Пусть
следовательно,
многочлен степени
она
делится
на
. Разность
.
обращается в нуль при
Тогда
- многочлен степени
разделенная
относительно
разность
первого
(и относительно
,
порядка
, так как
УМКД 042-39.1.28/03-2013
Ред. № 1 от 18.09.2013г.
выражение симметрично относительно
Разность
второго порядка
и
).
обращается в нуль при
, поэтому, разделенная разность
- многочлен степени
Аналогично,
Страница 36 из 60
- многочлен степени
Разделенная разность порядка n:
.
и т.д.
- многочлен нулевой степени.
Разделенные разности более высокого порядка обращаются в нуль.
Значение
от
не зависит, тогда
Из определения разделенных разностей следует:
и т.д.
Отсюда получаем формулу для
:
(15)
Разделенные разности в соответствии с рекуррентной формулой (14) выражаются через
значения многочлена в узлах
значения интерполируемой функции
. Если
в этих
интерполяционный многочлен степени
, значения которого в узлах совпадают с
узлах,
- узлы интерполяции,
то они однозначно определяют
. Тогда
разделенные разности многочлена
совпадают с разделенными разностями функции
Поэтому интерполяционный многочлен можно записать в форме:
.
(16)
Эта форма называется интерполяционным многочленом Ньютона с разделенными разностями.
Формула (17) более удобна для вычисления, чем запись интерполяционного многочлена в
форме Лагранжа, т.к. добавление новых узлов интерполяции влечет вычисление только новых
слагаемых, добавляемых к тому, что было вычислено с меньшим числом узлов. При
использовании формы Лагранжа в этой ситуации требуется выполнять все вычисления заново.
УМКД 042-39.1.28/03-2013
Ред. № 1 от 18.09.2013г.
Страница 37 из 60
Вопросы для самоконтроля:
21. Интегрирование с помощью степенных рядов.
1. Особенности матриц систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и их свойства.
Рекомендуемая литература:
1. В.М. Завырыкин, В.Г. Житомирский. «Численные методы» Москва «Просвещение» 1990
2. Н.И. Данилина, Н.С. Дубровская. «Численные методы» Москва «Высшая школа» 1976
3. Б.П. Демидович, И.А. Марон «Численные методы анализа» М-1967
4. Н.Н. Калиткин «Численные методы» –учебное пособие. М.:Наука,1978
5. «Вычислительная математика»/ учебное пособие. Данилина Н.И. и др. М.: Высшая школа, 1985
6. Демидович Б.П., Марон И.А., Основы выичслительной математики, Наука, 1970.
7. Данилина Н.И., Дубровская Н.С., Численные методы, Москва, Высшая школа, 1976.
8. Калиткин Н.Н., Численные методы, учебное пособие, -М.Наука, 1978.
9. Турчак Л.И., Основы численных методов, -М.Наука,1987.
Лекция №12. Интегрирование с помощью степенных рядов.
Интегралы от разрывных функций.
Метод Канторовича выделения особенностей подынтегральной функции.
Содержание лекционного занятия:
1. Использование интерполяционных многочленов с разделенными разностями.
2. Применение метода
3. Остаточный член
Каждая из рассмотренных ранее интерполяционных формул может быть использована для
приближенного нахождения значений производных функции
.
Использование интерполяционных многочленов с разделенными разностями.
Пусть
(18)
Дифференцируя формулу (18) m раз, получаем:
(19)
(20)
Рассматривая интерполяционный многочлен в форме Ньютона и используя обозначения
, имеем
Тогда
УМКД 042-39.1.28/03-2013
Ред. № 1 от 18.09.2013г.
Страница 38 из 60
...
Оставляя в правых частях полученных формул только первые слагаемые, можно записать
следующие простые приближенные выражения для производных :
................................................
Пусть
- достаточно гладкая функция.
Исследуем погрешность приближенных формул для производных первого и второго порядка.
Пусть
(21)
где
,
- погрешность.
Заменяя значение функции в точке
по формуле Тейлора
, где
,
получаем
.
Еще раз применяя формулу Тейлора, получаем
, где
Таким образом, если функция
.
имеет ограниченную производную второго порядка, то
погрешность в формуле (21) для любого
оценивается неравенством
(22)
где
, и при
.
УМКД 042-39.1.28/03-2013
В случае, когда
Ред. № 1 от 18.09.2013г.
совпадает с одним из узлов интерполяции
информации о погрешности приближенного решения. Пусть
Страница 39 из 60
или
, можно получить больше
. Используя формулу Тейлора
из (21) получаем
.
При
величина
(если третья производная функции
малая величина порядка
ограничена) бесконечно
, т.е.
(23)
где
.
Формулу приближенного вычисления второй производной функции
важного частного случая, когда
в виде
. Возьмем
рассмотрим для
. Тогда ее можно записать
(24)
По формуле Тейлора
,
,
Подставляя эти выражения, получаем
Таким образом, если функция
имеет ограниченную производную третьего порядка, то
погрешность формулы (24) для произвольной точки оценивается следующим образом:
(25)
УМКД 042-39.1.28/03-2013
где
Ред. № 1 от 18.09.2013г.
Страница 40 из 60
.
Если
, то используя для значений
и
формулу Тейлора, заканчивающуюся
членом с производной 4 - го порядка, получаем для погрешности выражение
.
Таким образом, если функция имеет ограниченную производную 6-го порядка, то
(26)
2.
3.
4.
Вопросы для самоконтроля:
Устойчивость и сходимость численных методов решения СЛАУ.
Численное дифференцирование функций
Численное интегрирование определенных интегралов.
Рекомендуемая литература:
1. В.М. Завырыкин, В.Г. Житомирский. «Численные методы» Москва «Просвещение» 1990
2. Н.И. Данилина, Н.С. Дубровская. «Численные методы» Москва «Высшая школа» 1976
3. Б.П. Демидович, И.А. Марон «Численные методы анализа» М-1967
4. Н.Н. Калиткин «Численные методы» –учебное пособие. М.:Наука,1978
5. «Вычислительная математика»/ учебное пособие. Данилина Н.И. и др. М.: Высшая школа, 1985
6. Демидович Б.П., Марон И.А., Основы выичслительной математики, Наука, 1970.
7. Данилина Н.И., Дубровская Н.С., Численные методы, Москва, Высшая школа, 1976.
8. Калиткин Н.Н., Численные методы, учебное пособие, -М.Наука, 1978.
9. Турчак Л.И., Основы численных методов, -М.Наука,1987.
Лекция №13. Численное дифференцирование.
Формулы численного дифференцирования.
Погрешности и выбор оптимального шага численного дифференцирования.
Содержание лекционного занятия:
1. Формула прямоугольников.
2. Построение.
Постановка задачи численного интегрирования.
Пусть требуется вычислить
(57)
УМКД 042-39.1.28/03-2013
Ред. № 1 от 18.09.2013г.
Страница 41 из 60
Если
- первообразная для
, то
. Часто получить выражение для
первообразной не удается. Подинтегральная функция может быть задана в табличном виде. В этих
случаях подинтегральную функцию заменяют на некоторую аппроксимирующую функцию,
интеграл от которой легко вычисляется в элементарных функциях. Для аппроксимации
подинтегральной функции часто используют интерполяцию. Во многих случаях формулы для
приближенного вычисления интегралов (57) можно записать в виде
(58)
Формулы такого вида называются квадратурными.
- узлы квадратурной формулы.
- коэффициенты.
- погрешность (остаточный член ) квадратурной формулы.
Формула прямоугольников.
Построение.
Простейшая квадратурная формула получается при использовании интерполяционного
многочлена нулевой степени.
Фиксируем
и
заменяем
подинтегральную
функцию
многочленом нулевой степени, который совпадает со значением
Тогда
(59)
Частные случаи:
- формула левых прямоугольников
- формула правых прямоугольников
- формула средних прямоугольников.
Оценка погрешности.
Пусть существует
По формуле Тейлора:
Интегрируя, получаем:
, непрерывная на
.
.
интерполяционным
:
.
УМКД 042-39.1.28/03-2013
Ред. № 1 от 18.09.2013г.
Страница 42 из 60
(60)
Обозначим
.
Используем вариант теоремы о среднем, который имеет вид:
если
Пусть
непрерывна и
- интегрируема, то
. Имеем
, где
.
.
(61)
Пусть
. Имеем
и оценка для
будет того же вида (61).
Таким образом, (61) - оценка погрешности формул правых и левых прямоугольников.
Оценим погрешность для формулы средних прямоугольников.
Пусть существует
. По формуле Тейлора имеем:
.
Интегрируя, получаем
Так как,
, то
. Отсюда следует оценка
(62)
Для повышения точности квадратурных формул можно промежуток
разбить точками
УМКД 042-39.1.28/03-2013
Ред. № 1 от 18.09.2013г.
на частичные промежутки, к каждому из которых применяется
,
,
формула прямоугольников
,
Суммируя по
Страница 43 из 60
,
(63)
, получаем обобщенную формулу прямоугольников.
(64)
при
- формула левых прямоугольников,
при
- формула правых прямоугольников,
при
- формула средних прямоугольников.
Оценка остаточного члена для обобщенной формулы получается на основе оценок (61) или
(62) соответственно.
При
,
:
(65)
При
:
Из оценок (65) следует, что выбирая достаточно большое число точек разбиения (т.е. делая
достаточно малым) можно получить результат с необходимой точностью.
Вопросы для самоконтроля:
1. Особенности метода
2. Погрешность
Рекомендуемая литература:
1. В.М. Завырыкин, В.Г. Житомирский. «Численные методы» Москва «Просвещение» 1990
2. Н.И. Данилина, Н.С. Дубровская. «Численные методы» Москва «Высшая школа» 1976
3. Б.П. Демидович, И.А. Марон «Численные методы анализа» М-1967
4. Н.Н. Калиткин «Численные методы» –учебное пособие. М.:Наука,1978
5. «Вычислительная математика»/ учебное пособие. Данилина Н.И. и др. М.: Высшая школа, 1985
6. Демидович Б.П., Марон И.А., Основы выичслительной математики, Наука, 1970.
7. Данилина Н.И., Дубровская Н.С., Численные методы, Москва, Высшая школа, 1976.
8. Калиткин Н.Н., Численные методы, учебное пособие, -М.Наука, 1978.
9. Турчак Л.И., Основы численных методов, -М.Наука,1987.
УМКД 042-39.1.28/03-2013
Ред. № 1 от 18.09.2013г.
Страница 44 из 60
Лекция №14. Разностные уравнения.
Понятие сетки и сеточных функций. Шаблоны сетки.
Аппроксимация дифференциальных уравнений разностными уравнениями.
Конечно- разностные уравнения.
Разностные схемы.
Методы построения разностных схем.
Устойчивость разностных схем.
Сходимость разностных схем.
Содержание лекционного занятия:
1. Построение.
2. Оценка погрешности.
Аппроксимируем подинтегральную функцию интерполяционным многочленом 1-й степени
Тогда
(66)
Геометрический смысл этой формулы - площадь трапеции, у которой одна из сторон это хорда,
соединяющая точки графика
, соответствующие
и
.
Оценка погрешности.
Обозначим
. Тогда
,
.
Дифференцируя по , получаем:
,
Теперь интегрируя по , находим:
.
УМКД 042-39.1.28/03-2013
Ред. № 1 от 18.09.2013г.
Используя теорему о среднем получаем:
Страница 45 из 60
, где
.
Еще раз интегрируя и применяя теорему о среднем, получаем
Отсюда следует оценка погрешности квадратурной формулы трапеций:
(67)
При разбиении отрезка
на
обобщенную формулу трапеций:
промежутков
(
) длины
, получаем
(68)
Из (67) следует оценка погрешности обобщенной формулы
(69)
Вопросы для самоконтроля:
1. Область применения
2. Оценка
Рекомендуемая литература:
1. В.М. Завырыкин, В.Г. Житомирский. «Численные методы» Москва «Просвещение» 1990
2. Н.И. Данилина, Н.С. Дубровская. «Численные методы» Москва «Высшая школа» 1976
3. Б.П. Демидович, И.А. Марон «Численные методы анализа» М-1967
4. Н.Н. Калиткин «Численные методы» –учебное пособие. М.:Наука,1978
5. «Вычислительная математика»/ учебное пособие. Данилина Н.И. и др. М.: Высшая школа, 1985
6. Демидович Б.П., Марон И.А., Основы выичслительной математики, Наука, 1970.
7. Данилина Н.И., Дубровская Н.С., Численные методы, Москва, Высшая школа, 1976.
8. Калиткин Н.Н., Численные методы, учебное пособие, -М.Наука, 1978.
9. Турчак Л.И., Основы численных методов, -М.Наука,1987.
Лекция №15. Численное решение уравнений с частными производными.
Постановка задачи. Классификация дифференциальных уравнений (ДУ) в частных производных.
Типы ДУ в частных производных.
Численные методы решения ДУ в частных производных.
Метод сеток.
Метод сеток для задачи Дирихле.
Содержание лекционного занятия:
УМКД 042-39.1.28/03-2013
Ред. № 1 от 18.09.2013г.
Страница 46 из 60
1. Оценка погрешности .
2. Построение.
3. Оценка погрешности численного интегрирования.
Аппроксимируем подинтегральную функцию
степени, совпадающим с
в точках
интерполяционным многочленом 2-й
.
(70)
Заменяя Ошибка! Закладка не определена., где
и интегрируя (70), получаем
Таким образом, квадратурная формула имеет вид:
(71)
Она называется квадратурной формулой Симпсона или формулой парабол (т. к. дуга кривой
заменяется на дугу кривой второго порядка).
Оценка погрешности .
Для получения выражения остаточного члена, которое позволяет установить оценку
погрешности, используется тот же прием последовательного дифференцирования, а затем
интегрирования, что применялся в предыдущем случае. Введем обозначение
Последовательно получаем:
,
.
УМКД 042-39.1.28/03-2013
Ред. № 1 от 18.09.2013г.
Теперь интегрируем по , учитывая что
о среднем:
Страница 47 из 60
и применяя каждый раз теорему
,
Наконец
(72)
Отсюда, кстати, следует, что
для многочленов до 3 - й степени включительно. Из (72)
получаем оценку погрешности формулы Симпсона:
, где
Разбивая промежуток
(73)
на
равных частей точками
формулу (71) к каждому из частичных промежутков
обобщенную формулу Симпсона:
Оценка погрешности этой формулы следует из (72):
длины
,
,
и применяя
получаем
УМКД 042-39.1.28/03-2013
Ред. № 1 от 18.09.2013г.
Страница 48 из 60
(74)
Оценка погрешности численного интегрирования. Оценки погрешности квадратурных
формул, полученные в предыдущем разделе, дают представление о влиянии исходных данных
задачи (подинтегральной функции, длины промежутка интегрирования) на величину погрешности.
В случае обобщенных квадратурных формул эти оценки содержат параметр - длину каждого
из равных частичных промежутков, на которые разбивается отрезок
. При
(т.е. когда
число частичных промежутков
) погрешность каждой из этих квадратурных формул
стремится к нулю. Причем скорость стремления к нулю (порядок малости относительно ) для
разных квадратурных формул у этих оценок разная: от
у обобщенных формул левых (правых)
прямоугольников до
у оценки погрешности обобщенной формулы Симпсона. Показатель
степени в этих оценках еще называют порядком точности квадратурной формулы.
Практически использование оценок (65) , (69), (74) затруднено, а иногда и не возможно из-за
наличия в них величин
,
,
- верхних границ абсолютных значений соответствующих
производных подинтегральной функции.
Исходя из формул, выражающих остаточные члены квадратурных формул через значения
производных подинтегральных функций, можно получить представление для остаточных членов
вида (31), которые позволяют использовать для оценки погрешности интегрирования метод Рунге.
Например, выражение для остаточного члена формулы трапеций имеет вид:
.
Для остаточного члена обобщенной формулы трапеций получаем:
, где
- это интегральная сумма для
, т.е.
, где - это величина, стремящаяся к нулю при
Таким образом, для погрешности обобщенной формулы трапеций имеем формулу вида:
, где
(
).
(75)
Аналогично, для погрешности обобщенной формулы Симпсона выводится формула
, где
выражается через интеграл от производной четвертого порядка
УМКД 042-39.1.28/03-2013
Ред. № 1 от 18.09.2013г.
Страница 49 из 60
подинтегральной функции. Тогда первая формула Рунге (31) дает оценку погрешности значения
интеграла, вычисленного о обобщенной квадратурной формуле с шагом
приближение и приближение, вычисленное с шагом
для формулы трапеций
для формулы Симпсона
(
(
) через это
):
,
.
Вопросы для самоконтроля:
1. Рабочие формулы
2. Оценка
Рекомендуемая литература:
1. В.М. Завырыкин, В.Г. Житомирский. «Численные методы» Москва «Просвещение» 1990
2. Н.И. Данилина, Н.С. Дубровская. «Численные методы» Москва «Высшая школа» 1976
3. Б.П. Демидович, И.А. Марон «Численные методы анализа» М-1967
4. Н.Н. Калиткин «Численные методы» –учебное пособие. М.:Наука,1978
5. «Вычислительная математика»/ учебное пособие. Данилина Н.И. и др. М.: Высшая школа, 1985
6. Демидович Б.П., Марон И.А., Основы выичслительной математики, Наука, 1970.
7. Данилина Н.И., Дубровская Н.С., Численные методы, Москва, Высшая школа, 1976.
8. Калиткин Н.Н., Численные методы, учебное пособие, -М.Наука, 1978.
9. Турчак Л.И., Основы численных методов, -М.Наука,1987.
2. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ
Практическое занятие 1. Метод Ньютона для решения систем линейных уравнений
Практическое занятие 2. Метод простой итерации для решения систем нелинейных уравнений
с одним или несколькими неизвестными.
Практическое занятие 3. Задача интерполирования. Многочлены Лагранжа и Ньютона.
Конечные разности
Практическое занятие 4. Интерполяционные многочлены Гаусса, Стирлинга, Бесселя.
Практическое занятие 5. Численное интегрирование.
Методы прямоугольников, трапеции, парабол для решения определенных интегралов.
Практическое занятие 6. Оценка погрешности и выбор шага интегрирования.
Практическое занятие 7. Квадратурные формулы Гаусса для интегрирования. Оценка
погрешности.
Практическое занятие 8. Метод Канторовича и оценка погрешности.
Практическое занятие 9 Интегрирование с помощью степенных рядов
Практическое занятие 10. Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ). Метод Эйлера,
Эйлера-Коши, Рунге-Кутта.
Практическое занятие 11. Методы Адамса и Милна для решения ОДУ.
Практическое занятие 12. Метод конечных разностей для линейных ДУ 2-го порядка.
Практическое занятие 13. Метод Галеркина и коллокации.
Практическое занятие 14. Метод конечных разностей для нелинейных ДУ 2-го порядка
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТА
СРСП №1.
УМКД 042-39.1.28/03-2013
Ред. № 1 от 18.09.2013г.
Страница 50 из 60
Численные методы решения нелинейных уравнений с одним неизвестным
СРСП №2.
Сходимость метода половинного деления отрезка
СРСП №3.
Сходимость метода простой итерации решения нелинейных уравнений
СРСП №4. Решение систем нелинейных уравнений
СРСП №5. Разностные отношения. Аппроксимация производных разностными
отношениями.
СРСП №6. Разделенные и конечные разности.
СРСП №7. Разностные уравнения. Виды разностных уравнений.
СРСП №8. Задача Коши. Решение задачи коши численными методами. Сходимость методов.
СРСП №9. Приведение краевой задачи к решению задачи Коши.
СРСП №10 Численное интегрирование. Оценка погрешностей численных методов.
СРСП №11 Квадратурные и составные формулы интегрирования
СРСП №12 Метод трапеции и прямоугольников. Погрешность методов.
СРСП №13 Метод Симпсона. Погрешность метода.
СРСП №14 Выбор шага интегрирования
СРСП №15 Выделение особенностей подынтегральных функций
ЗАДАНИЯ НА СРС
СРС 1. Интегрирование разрывных функций
СРС 2. Интегрирование с помощью степенных рядов.
СРС 3. Особенности матриц систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и их свойства.
СРС 4. Устойчивость и сходимость численных методов решения СЛАУ.
СРС 5. Численное дифференцирование функций
СРС 6. Численное интегрирование определенных интегралов
СРС 7. Алгоритмы эффективного принятия оперативных решений
Тема 9. Итерационные методы.
Задание №9.
1) Отделить корни.
2) Уточнить один из них простой итераций с точностью до 0,01.
№
Уравнения
1
(0,2x)3=cos(x)
2
x-10sin(x)=0
3
2-x=sin(x)
X<10
4
2x-2cos(x)=0
x>-10
5
Lg(x+5)=cos(x)
X<5
6
4 x  7  3 cos( x)
7
xsin(x)-1=0
8
8cos(x)-x=6
УМКД 042-39.1.28/03-2013
9
Sin(x)-0,2x=0
10
10cos(x)-0,1x2
Ред. № 1 от 18.09.2013г.
Страница 51 из 60
Практическое занятие №10.
Тема 10. Задача интерполяции. Многочлен Лагранжа. Построение интерполяционного
многочлена Лагранжа
ПРИМЕР 1.
Написать интерполяционный многочлен Лагранжа для функции, значения которой даны
таблицей
I
0
1
2
3
xi
0
0.1
0.3
0.5
yi
-0.5
0
0.2
1
(1)
Решение: По формуле при n=3 получим выражения при i=0,1,2,3
L30 ( x) 
( x  0.1)  ( x  0.3)  ( x  0.5)
x 3  0.9 x 2  0.23x  0.015

,
(0.1)  (0.3)  (0.5)
0.015
L32 ( x) 
x( x  0.1)  ( x  0.5)
x 3  0.6 x 2  0.05 x

,
0.3  0.2  (0.2)
0.012
L33 ( x) 
x( x  0.1)  ( x  0.3) x 3  0.4 x 2  0.03x

.
0.5  0.4  0.2
0.04
L13(x) в данном случае вычислять не следует, так как y1=0. Тогда искомый многочлен будет
иметь вид
L3 ( x)  L30 ( x)  y 0  L32 ( x)  y 2  L33 ( x)  y 3 
125 3
73
x  30 x 2 
x  0.5.
3
12
ПРИМЕР 2..
Функция f(x) задана таблицей. Найти f(0.45)
X
0.05
0.15
0.20
0.25
0.35
0.40
0.50
0.55
y
0.9512
0.8607
0.8187
0.7788
0.7047
0.6703
0.6065
0.5769
(2)
Решение:
Для упрощения вычислений полагаем x=0.05t
Тогда значения новой переменной t соответствующие узлам интерполирования, будут 1, 3, 4,
5, 7, 8, 10, 11. Кроме того, при x=0.45 будет t=9.
Воспользуемся инвариантностью лагранжевых коэффициентов и вместо
вычисления расположим в табл. болады.
вычислим . Все
УМКД 042-39.1.28/03-2013
Ред. № 1 от 18.09.2013г.
Табл.5. Вычисления лагранжевых коэффициентов
ti-tj
(i<>j)
Di
I
0
1
2
8
2
3
-2
6
1
-3
-1
5
3
4
5
6
7
4
6
7
9
10
2
4
5
7
8
1
3
4
6
7
-4
-2
-1
-6
-4
-3
4
-2
2
2
3
3
5
5
6
6
 (t )  3840
Страница 52 из 60
yi
-7
-5
-4
-8
-7
-6
-10
-8
-7
-725 760
26 880
-7 560
0.9512
0.8607
0.8187
yi
Di
-0.0131*10-4
0.3202*10-4
-1.0829*10-4
-3
-1
1
2
3
-5
-3
-2
-1
1
-6
-4
-3
-1
-2
5 760
-3 456
2 520
11 340
-80 640
0.7788
0.7047
0.6703
0.6065
0.5769
1.3520*10-4
-2.0390*10-4
2.6599*10-4
0.5348*10-4
-0.0715*10-4
7
s
i 0
Таким образом, получаем y(0.45)=
7
yi
 1.6604 *10 4
Di
yi
 (t )  D   (t ) s  3840*1.6604*10-4=0.6376.
i 0
i
Задание №10.
1. Дана таблица значений функции.
Х
1,50
1,54
1,56
У
3,873
3,924
3,950
1,60
4,000
1,63
4,037
1,70
4,123
Пользуясь формулой Лагранжа, найти значения функции в указанных точках:
a) 1,52 b) 1,55 c) 1,58 d) 1,61 e) 1,67.
2. Дана таблица значений функции.
Х
У
2,0
5,848
2,3
6,127
2,5
6,300
3,0
6,694
3,5
7,047
3,8
7,243
4,0
7,368
Пользуясь формулой Лагранжа, найти значения функции в указанных точках:
a) 2,22 b) 2,41 c) 2,78 d) 3,34 e) 3,75, f) 3,88.
3. Зная значения sin(x) при x=0,  /6,  /4  /3  /2 , найти sin(x)
порешность.
при x=  /12 и оценить
4. Зная значения Cos(x) при x=0,  /6,  /4  /3  /2 найти Cos(x) при x=  /5 и оценить
погрешность.
5. y=ex задана таблицей. Пользуясь формулой Лагранжа, найти значения функции в указанных
точках
УМКД 042-39.1.28/03-2013
Ред. № 1 от 18.09.2013г.
Страница 53 из 60
X
0.5
0
0.51
0.52
0.53
0.54
0.55
0.56
0.57
0.58
0.
59
0.60
e
1.6
487
1.6653
1.6820
1.698
9
1.716
0
1.733
3
1.750
7
1.768
3
1.786
0
1.
80
40
1.822
1
x
a)
0,507; b) 0,512; c) 0,523; d) 0,535; e) 0,541;
f) 0,556; i) 0,568; j) 0,571; k) 0,589; l) 0,594.
Практическое занятие №11.
Тема 11. Интерполяционная формула Ньютона с разделенными разностями
ПРИМЕР.
Пользуясь таблицей значений функции y=ex найти значение при X=1.17, x=1.13 .
РЕШЕНИЕ:
Составляем таблицу разностей и замечаем, что третьи разности практически постоянны.
Поэтому в формулах достаточно взять n=3
Таб.9 . Значения и разности функции y=ex
i
xi
yi
y
2 y
-3
1.00
2.7183
1394
71
-2
1.05
2.8577
1465
75
-1
1.10
3.0042
1540
79
0
1.15
3.1582
1619
83
1
1.20
3.3201
1702
88
2
1.25
3.4903
1790
3
1.30
3.6693
3 y
4
4
4
5
Для вычисления е1,17 используем первую интерполяционную формулу Гаусса
q(q  1) 2
(q  1)q(q  1) 3
 y 1 
 y 1  3.1582  0.4  0.1619 
2!
3!
0.4  (0.6)
0.4  (0.6)  1.4

0.0079 
0.0004  3.2220.
2
6
e1.17  y 0  qy 0 
Для
вычисления e1.13 используем вторую интерполяционную
q (q  1) 2
(q  1)q (q  1) 3
e1.13  y 0  qy 1 
 y 1 
 y  2  3.1582  0.4  0.1540 
2!
3!
0.4  0.6
0.6  (0.4)  (1.4)

0.0079 
0.0004  3.0957.
2
6
Задание №11.
формулу
Гаусса
УМКД 042-39.1.28/03-2013
Ред. № 1 от 18.09.2013г.
Страница 54 из 60
1. Дана таблица значений функции y=sin(x).
X
Si
n(x)
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
0.8
9121
0.9
3204
0.9
6356
0.9
8545
0.9
9749
1.6
1.7
0.99
9957
0.9
9166
1.8
1.9
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
0.9
7385
0.9
4630
0.9
0930
0.8
6321
0.8
0850
0.7
4571
0.6
7546
0.5
9847
Пользуясь формулой Ньютона, найти значения функции в указанных точках:
a)
1,151; b)1,218; c)1,345; d)1,421; e)1,538; f)1,609; i)1,732; j) 1,849;
k) 1,929; l) 2,031; m) 2,173; n) 2,218; o) 2,313; p) 2,437; r) 2,478.
2. Дана таблица значений функции f(x).
X
1.50
1.51
1.52
1.53
1.54
1.55
1.56
1.57
1.58
1.59
1.60
F(x)
0.51183
0.50624
0.50064
0.49503
0.48940
0.48376
0.47811
0.47245
0.46678
0.46110
0.45540
Пользуясь формулой Ньютона, найти значения функции в указанных точках:
a)
1.50911; b) 1.50820; c) 1.50253; d) 1.50192; e) 1.59513; f) 1.59575; i) 1.59614; j) 1.59728.
3. Дана таблица значений функции g(x).
X
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
g(x)
0.5652
0.6375
0.7147
0.7973
0.8861
0.9817
1.0848
1.1964
1.3172
1.4482
1.5906
Пользуясь формулой Ньютона, найти значения функции в указанных точках:
a)
1.113; b) 1.219; c) 1.321; d) 1.428; e) 1.9592; f) 1.9675; i) 1.9728; j) 1.9819.
4. Дана таблица значений функции h(x).
УМКД 042-39.1.28/03-2013
Ред. № 1 от 18.09.2013г.
Страница 55 из 60
Пользуясь формулой Ньютона, найти значения функции в указанных точках:
X
h(
x)
0.00
0.280
81
a)
0.05
0.312
70
0.10
0.345
49
0.15
0.379
04
0.20
0.413
18
0.25
0.447
74
0.30
0.482
55
0.35
0.5174
5
0.40
0.55
226
0.45
0.586
82
0.50
0.62
096
0.01928; b) 0.01392; c) 0.02713; d) 0.47113; e) 0.47531; f) 0.48398; k) 0.48675
Практическое занятие №12.
Тема 12. Численное дифференцирование.
Задание №12.
С помощью интерполяционных формул Ньютона, Гаусса, Стирлинга и Бесселя найти
значение первой и второй производных при данных значениях аргумента для функции заданной
таблично.
Таблица 1
x
2.4
2.6
2.8
3.0
3.2
3.4
Y(x)
3.526
3.782
3.945
4.043
4.104
4.155
x
3.6
3.8
4.0
4.2
4.4
4.6
Y(x)
4.222
4.331
4.507
4.775
5.159
5.683
1) x  2.4  0.05n;
2) x  3.12  0.03n;
3) x  4.5  0.06n;
x  4.04  0.04n;
( n  1,3,5,7...,29).
Таблица 2
x
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
Y(x)
10.517
10.193
9.807
9.387
8.977
8.637
x
4.5
5.0
5.5
6.0
6.5
7.0
Y(x)
8.442
8.482
8.862
9.701
11.132
13.302
1) x  1.6  0.08n;
2) x  3.27  0.11n;
3) x  6.3  0.12n;
x  5.85  0.09n;
(n  2,4,6,8,...,30).
УМКД 042-39.1.28/03-2013
Ред. № 1 от 18.09.2013г.
Страница 56 из 60
Образец выполнения задания
X
0,8
1,2
1,6
2,0
Y(x)
2,857
3,946
4,938
5,801
x
2,4
2,8
3,2
3,6
Y(x)
6,503
7,010
7,288
7,301
Найти значение первой и
производных данных функций при:
второй
1) x1  1.2;
2) x 2  2.23;
3) x3  2.76;
4 ) x 4  3 .1 .
Составим диоганальную таблицу конечных разностей данной функии:
X
Y(x)
yi
2 y i
3 y i
0,8
1,2
1,6
2,0
2,4
2,8
3,8
3,6
2,857
3,946
4,938
5,801
6,503
7,010
7,288
7,301
1,089
0,992
0,863
0,702
0,507
0,278
0,013
-0,097
-0,129
-0,161
-0,195
-0,229
-0,265
-0,032
-0,032
-0,034
-0,034
-0,036
1) Положим x0  1.2; тогда t=(x-x0)/h=(1,2-1,2)/0,4=0. Воспользуемся для вычислений
формулами
1
1
1
(y 0  2 y 0  3 y 0  ...),
h
2
3
1
y II ( x0 )  2 (2 y 0  3 y 0 ),
h
y I ( x0 ) 
Палучающимися из первой интерполяционной формуы Ньютона.
Находим
1
1
1
(0.992  0.129  0.032)  2.5(0.992  0.0645  0.0107)  2.614,
0.4
2
3
1
y II (1.2) 
(0.129  0.32)  0.606.
0.4 2
y I (1.2) 
2) Положим
формулами
x0  2.8; тогда t=(2,76-2,8)/0,4=-0,1. Воспользуемся для вычислений
1 y 1  y 0
3t 2  1 3 y  2  3 y 1
2
y ( x)  (
 t *  y 1 
*
 ...),
h
2
6
2
3 y  2  3 y 1
1
y II ( x)  2 (3 y 1  t
 ...),
2
h
I
Получающимися из формулы Стирлинга.
Находим
УМКД 042-39.1.28/03-2013
Ред. № 1 от 18.09.2013г.
Страница 57 из 60
1 0.507  0.207
0.03  1  0.034  0.036
(
 0.1 * 0.229 
*
)  2.5 * (0.3925  0.0229  0.0057
04
6
6
2
1
 0.034  0.036
y II (2.76)  2 (0.0229  0.1 *
)  6.25(0.229)  0.035  1.409
2
04
4) Положим x0  2.8; тогда t=(3-2,8)/0,4=0,75. Воспользуемся для вычислений формулами
y I (2.76) 
1
2t  1 2
3t 2  1 3
(y 0 
 y 1 
*  y 1  ...),
h
2
6
1
y II ( x)  2 (2 y 1  t3 y 1  ...),
h
y I ( x) 
Получающимися из первой формулы Гаусса.
Находим
1
1.5  1
1.6875  1
y I (3.1) 
(0.278 
* (0.229) 
* (0.036)  2.5 * (0.278  0.0572  0.0041)  0.542;
0.4
2
6
1
y II (3.1) 
(0.229  0.75 * (0.036)  1.600.
0.4 2
Тема 13. Квадратурная формула прямоугольников.
ПРИМЕР.
1
Вычислить интеграл по формуле прямоугольников:
dx
 1  x;
n 5
0
h  0,2;
h
 0,1
2
3h
a
 0,3
2
5h
a
 0,5
2
7h
a
 0,7
2
9h
a
 0,9
2
a
f (0,1)  0.9091
f (0,3)  0.7692
f (0,5)  0.6667
f (0,7)  0.5882
f (0,9)  0.5263
1
dx
1
 1  x  5 [ f (0,1)  f (0,3)  f (0,5)  f (0,7)  f (0,9)]  R  0.6919  0.0033
0
УМКД 042-39.1.28/03-2013
Ред. № 1 от 18.09.2013г.
Страница 58 из 60
Тема 14. Квадратурная формула трапеций.
ПРИМЕР.
1
Вычислить интеграл по формуле трапеций:
dx
 1 x,
n  10;
0
h
1
ba
 0.1
n
dx
1 1
1
 1  x  10 [ 2  f (0.1)  f (0.2)  f (0.3)  ...  f (0.9)  2 f (1)],
n  10;
0
1
 0.9091
1  0 .1
(0,2)  0.8333
(0,3)  0.7692
(0,4)  0.7143
(0,5)  0.6667
(0,6)  0.6250
(0,7)  0.5882
(0,8)  0.5556
(0,9)  0.5263
(1)  0.5
f (0,1) 
f
f
f
f
f
f
f
f
f
1
dx
 1  x  0.69377  r
n
0
(1  0) 3
rn  
f ( ),
12  10 2
1
f (  ) 
2
 2,
(1  x)3
rn  
0.001  2
 0.00096
12
dx
 1  x  0.69377  0.00096
0
]Тема 15. Квадратурная формула Симпсона.
ПРИМЕР.
1
Вычислить интеграл по формуле Симпсона:
0
a=0; h=0.25; b=1;
dx
 1  x , n  4;
УМКД 042-39.1.28/03-2013
Ред. № 1 от 18.09.2013г.
Страница 59 из 60
1
; f(a  h)  0.8000;
4
1
a  2h  ; f(a  2h)  0.6667;
2
3
a  3h  ; f(a  3h)  0.5715;
4
1
b  1;
f(b)  ;
2
ah
1
dx
1
1
1
3
 1  x  12 [ f (0)  2 f ( 2 )  4  ( f ( 4 )  f ( 4 ))  f (1)]  R
n
 0.6932  Rn
0
f ( IV ) ( x) 
24
24
; f (IV) ( )  24; Rn  
 0.0020 .
5
180  256
(1  x)
Задание №13,14,15.
Вычислить интегралы по формуле прямоугольников, трапеции и Симпсона.
E=10-5
1.6
1.
dx

2x 2  1
0.8
;
lg( x  2)
dx
x
1.2
2

2.
2.7
3.

1.2
dx
x 2  3.2
2.4
4.
 x  1sin xdx
1.6
2
5.

1
dx
2x 2  1.3
1
lg( x 2 )
6.  2
dx
0.2 x  1
1.2
7.

0.2
1.4
8.
dx
x2 1
cos x
 x  1 dx
0.6
1.4
9.

0.8
dx
2x 2  3
УМКД 042-39.1.28/03-2013
Ред. № 1 от 18.09.2013г.
1.2
10.

x cos( x 2 )dx
0.4
1.2
11.

0.4
dx
2  0.5 x 2
1.2
12.
sin( 2 x)
dx
2
x
0.8

2.1
13.

1.4
dx
3x 2  1
lg( x 2  1)
 x dx
0.8
1.6
14.
1
15.

0
dx
x  4 (1  x) 3
4
1
16.
dx
 (1  x)
x
0
2
17.
18.

dx
 0.64041
x
2
x  (e  3)
1
x 2 dx
0
3
19.
 1.570796
0

1 x2
dx
 1  x;
 5.24426 , аралыќты 2-ге бµлу арќылы есептеу.
 0.785398
n4
1
1
20.

0
dt
(t  1)  (3t 2  4)
2
; n4
Страница 60 из 60