Гурий Васильевич Колосов Ю б и

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Математика. Механика. Информатика
2013
Вып. 3(22)
ИСТОРИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК
Юбилейные даты
УДК 531 (092)
Гурий Васильевич Колосов
( к 145-летию со дня рождения)
Н. Н. Макеев
Институт проблем точной механики и управления РАН
Россия, 410028, Саратов, ул. Рабочая, 24
[email protected]; (845) 272-35-33
Приводится краткое описание жизни и творческой деятельности выдающегося российского
учёного и педагога Гурия Васильевича Колосова (1867−1936).
Ключевые слова: история механики; динамика твёрдого тела; математическая теория
упругости; Г.В.Колосов.
Предисловие 
В августе 2012 г. исполнилось 145 лет
со дня рождения выдающегося российского
учёного, исследователя в области динамики
твёрдого тела и теории упругости, профессора
Санкт-Петербургского университета, основателя Петербургской научной школы теории
упругости, члена-корреспондента Академии
наук Гурия Васильевича Колосова.
© Макеев Н. Н., 2013
Он является представителем Петербургской научной школы классической механики,
традиции которой восходят к Л.Эйлеру (1707
−1783) и М.В.Остроградскому (1801−1862),
учеником выдающегося российского учёногомеханика Д.К.Бобылёва (1842−1917).
Основные научные достижения Г.В.Колосова относятся к двум разделам механики:
динамике твёрдого тела и математической теории упругости. Им был открыт новый случай
интегрируемости уравнений движения абсолютно твёрдого тела по гладкой плоскости.
Он впервые получил общее решение уравнений плоской статической задачи теории упругости в аналитических функциях комплексного переменного.
История точных наук показывает, что в
их развитии периодически наступают кризисные состояния, при которых применение существующего математического аппарата и методов исследований не приводит к качественно новым результатам, составляющим значительный прогресс в развитии этих наук. Это
означает, что методология научных исследований устарела и не соответствует современному запросу этих наук. В силу этого лишь
привнесение новых идей и методов может
привести к успеху в реализации прорывных
исследований крупного масштаба.
119
Н. Н. Макеев
Так было в XIX в. в динамике твёрдого
тела, когда С.В.Ковалевской в 1888 г. был открыт интегрируемый случай движения тяжёлого твёрдого тела вокруг неподвижного полюса. К решению этой задачи механики ею
впервые был привлечён аппарат теории функций комплексной переменной и новая оригинальная постановка задачи, характерная для
аналитической теории обыкновенных дифференциальных уравнений [1]. Идея С.В.Ковалевской о представлении времени как комплексной переменной знаменовало эпоху применения методов современного для того времени математического анализа в механике [2].
Другим подобным примером является
применение Н.Е.Жуковским аппарата теории
функций комплексной переменной для решения задач о течениях идеальной несжимаемой
жидкости с отрывом струй. Впоследствии
данный приём Н.Е.Жуковского получил дальнейшее развитие и этот аппарат широко применялся в плоских задачах аэрогидродинамики, в частности в теории крыла.
К этим фундаментальным научным достижениям двух предыдущих веков можно
отнести и выдающийся труд Г.В.Колосова по
математической теории упругости [3], изданный в 1909 г. Позже, в 1935 г., им была опубликована ещё одна работа в этой области [4].
В его основополагающей работе [3] аппарат теории аналитических функций комплексной переменной впервые был применён
для описания статического напряжённого состояния плоской области изотропного упругого тела. "[Эта] работа Г.В.Колосова опередила
западную науку на 50 лет … Имя Колосова
упоминается обычно без цитирования его работ – знак высшего признания как классика
науки" (Г.П.Черепанов. Member of the New
York Academy of Sciences. USA, 2009).
Настоящая статья посвящается памяти
российского учёного и педагога, чей выдающийся вклад, внесённый в отечественную и
мировую науку, составляет яркую страницу в
истории механики.
Жизнь и творческая деятельность
Гурий Васильевич Колосов родился 12
(24) августа 1867 г. в с. Устье Новгородской
губернии. Среднее образование получил в петербургской гимназии; во время обучения
проявлял повышенный интерес к точным
наукам и являлся одним из самых способных
учеников. Окончив гимназию в 1885 г., он по-
ступил на математическое отделение физикоматематического факультета Санкт-Петербургского университета [5].
В то время на математическом отделении по математическим курсам читали лекции
выдающиеся учёные профессора и педагоги:
А.Н.Коркин (1837–1908), К.А.Поссе (1847–
1928), А.А.Марков (1856–1922); по механике
– профессора Д.К.Бобылёв (1842–1917) и
Н.С.Будаев (1833–1902).
Определяющую роль в формировании
интересов и выборе направления научного
творчества Г.В.Колосова сыграл Д.К.Бобылёв,
выдающийся учёный-механик и педагог, автор трудов по математической физике, рациональной (теоретической) механике и гидродинамике [5]. Способному студенту, проявившему интерес к научным исследованиям по
механике, Д.К.Бобылёвым была предложена
исследовательская работа на тему "О кручении призм", за выполнение которой Гурию
Колосову была присуждена университетская
золотая медаль [6].
В 1889 г. Г.В.Колосов окончил Петербургский университет с дипломом первой
степени [6] и по рекомендации профессора
Д.К.Бобылёва был оставлен при университете
"для приготовления к профессорскому званию" по кафедре механики. Он сдаёт экзамены на соискание учёной степени магистра
прикладной математики (так называлась в то
время теоретическая механика), дающие право самостоятельного преподавания в высших
учебных заведениях. Им были сданы устные
экзамены по высшей математике, рациональной механике и выполнена традиционно принятая письменная экзаменационная работа по
избранной им специальности. Тема этой работы в то время становилась известной только в
день проведения экзамена.
После сдачи магистерских экзаменов он
был направлен для преподавания в качестве
приват-доцента прикладной математики в
Юрьевский (Дерптский) университет (в
настоящее время – Тартуский национальный
университет, Эстония).
Юрьев (Дерпт, Dorpat) – город Российской империи XIX в. (в настоящее время –
Тарту, Эстония). Тартуский университет был
основан Императором Александром I как
Дерптский, в котором преподавание велось на
русском языке. Изначально его история восходит к шведскому учебному заведению Академия Густовиана, действовавшему в 1632–1665
120
Гурий Васильевич Колосов (к 145-летию со дня рождения)
и в 1690–1710 гг. С 1893 г. он именовался как
Императорский Юрьевский университет (по
имени древнерусского города Юрьева), в котором с 1892 по 1918 годы обучение велось на
русском языке. В 1918 г. на базе эвакуированной в Воронеж части Юрьевского университета был образован Воронежский государственный университет [7].
В Тартуском университете в разные годы преподавали выдающиеся российские учёные и педагоги: математик И.М.Х.Бартельс,
механик Л.С. Лейбензон, астрономы В.Я.
Струве и К.Д.Покровский, физики Э.Х.Ленц и
Б.С. Якоби, биологи К.М. Бэр и А.Н.Северцов, химик В.Ф.Оствальд, хирурги Н.И. Пирогов и Н.Н. Бурденко, историк Е.В.Тарле [8].
C 1893 г., когда университет был переименован в Юрьевский, было решено увеличить штат русских преподавателей и профессоров. В Юрьев на открывшиеся вакансии из
российских университетов были переведены
зарекомендовавшие себя педагоги. Среди них,
помимо механика Г.В.Колосова, были: математик В.Г.Алексеев, астроном Г.В.Левицкий,
физики Б.Б.Голицын и А.И.Садовский. Многие из них совмещали работу в Юрьеве с преподаванием в учебных заведениях С.-Петербурга [8]. В частности, Г.В.Колосов одновременно преподавал и в С.-Петербургском Политехническом институте, куда он был приглашён профессором И.В.Мещерским [9].
В период с 1889 по 1903 г. Г.В. Колосов
активно занимается научными исследованиями в области динамики твёрдого тела. Он
публикует один из основных своих научных
трудов – работу [10], в которой приведён открытый им новый случай интегрируемости
уравнений движения тяжёлого твёрдого тела,
движущегося по гладкой плоскости. Содержание этой работы он помещает также в нескольких зарубежных научных журналах [11].
В 1903 г. издаётся его основополагаю-
щий труд "О некоторых видоизменениях
начала Гамильтона в применении к решению
вопросов механики твёрдого тела" [12]. Эта
работа содержит основные положения диссертации, представленной им на соискание
учёной степени магистра прикладной математики, защищённой в 1903 г.
С 1908 г. Г.В.Колосов занимается плоскими задачами математической теории упругости; он публикует работу [3], в которой заложена основа его докторской диссертации, защищённой им в 1910 г. Основные результаты,
изложенные в этой работе, были доложены
Г.В.Колосовым в 1909 г. на Всемирном математическом съезде в Милане (Италия) [13].
В связи с успешной защитой докторской диссертации он избирается в 1911 г. на
должность ординарного профессора Юрьевского университета по кафедре прикладной
математики. В университете он продолжает
преподавать вплоть до 1913 г.
В 1913 г. он приглашается в С.-Петербургский Электротехнический институт для
преподавания теоретической механики, в котором работает до 1936 г. Помимо Г.В.Колосова в этом институте в разные годы преподавали выдающиеся математики: К.А.Поссе,
В.И.Смирнов (1887−1974), Г.М.Фихтенгольц
(1888−1959) [14].
С.-Петербургский Императорский Электротехнический институт (ЭТИ) – в настоящее
время – С.-Петербургский государственный электротехнический университет − был основан Указом Императора Александра III от 11 (23) июня
1891 г., которым утверждалось преобразование
Технического училища почтово-телеграфного
ведомства России в ЭТИ. В дальнейшем, 12 (24)
августа 1899 г., это учебное заведение было преобразовано в Электротехнический институт
имени Императора Александра III [14].
Через год после начала работы в ЭТИ
Г.В.Колосов начинает преподавать в С.Петербургском (Петроградском) университете.
После выхода профессора С.-Петербургского
университета Д.К.Бобылёва в отставку кафедра
механики в университете переходит к
Г.В.Колосову, который с 1914 г. читает курс
лекций по теории упругости. Он заведовал кафедрой механики с 1917 по 1929 г. В 1929 г.
эта кафедра была разделена на следующие
три: аналитической механики, теории упругости и гидроаэромеханики. С этого года
Г.В.Колосов стал заведовать кафедрой теории
упругости [9, 15].
121
Н. Н. Макеев
Одновременно Г.В.Колосов преподавал
и в С.-Петербургском Политехническом институте (в настоящее время – С.-Петербургский государственный политехнический университет). Выдающийся механик профессор
И.В.Мещерский, длительное время работавший в институте, стремился привлечь на свою
кафедру зарекомендовавших себя талантливых преподавателей. В числе приглашённых
им педагогов был и Г.В.Колосов [9].
В 1925 г. была образована союзная Академия наук (АН), а в 1930 г. в её составе создано Отделение математических и естественных наук (ОМЕН) [16]. В связи с избранием нового состава членов Академии был
выдвинут ряд кандидатур, в число которых
вошёл и Г.В.Колосов. В 1931 г. он становится
членом-корреспондентом АН по ОМЕН [5, 6].
В 1935 г. публикуется фундаментальный труд Г.В.Колосова "Применение комплексной переменной к теории упругости" [4],
являющийся венцом его научного творчества
в области теории упругости. "Достижения
Г.В.Колосова в этой области позволили связать насущные практические проблемы механики материалов с эффективным аппаратом
теории функций комплексной переменной и
тем самым во многих случаях найти приемлемые для техники решения этих проблем"
(Г.П.Черепанов, 2009).
Г.В.Колосов до конца жизни активно
занимался научными исследованиями, преподавал в Университете и Электротехническом
институте. Он занимался вопросами мало
изученной в то время области механики −
теорией
пластичности.
В
научноисследователь-ском институте математики и
механики при Университете был образован
научный семинар по теории пластичности и
её приложениям, которым совместно с
Е.Л.Николаи и И.А.Одингом руководил
Г.В.Колосов. Гурий Васильевич также руководил в институте работой группы аспирантов.
Г.В. Колосов скончался в Ленинграде
7 ноября 1936 г. после тяжёлой продолжительной болезни [11]; он похоронен на Смоленском православном кладбище.
Научная деятельность
Г.В.Колосов проводил научные исследования по динамике абсолютно твёрдого тела, теории упругости и биомеханике. В каждой из этих областей им были получены ори-
гинальные и актуальные для того времени
научные результаты, вошедшие впоследствии
в классические трактаты по механике.
Работы по динамике твёрдого тела
Первые публикации Г.В.Колосова в
этой области относятся к 1898 г., когда ему
исполнился 31 год. Рассматривая задачу о
движении тяжёлого твёрдого тела по неподвижной абсолютно гладкой плоскости, он
открыл новый случай интегрируемости уравнений движения [11]. Содержание этого исследования опубликовано в работе [10], а
также в отечественном и зарубежном изданиях [17].
Развивая свои результаты, Г.В.Колосов
публикует по этой проблеме статьи в России
(Труды Отделения физ. наук Общества любителей естествознания. 1901. Т. 11, вып. 1. С. 5)
и в зарубежных журналах (Mathematische Annalen. 1903. Bd. 56. S. 265; Messenger of Mathematics. 1903. Ser.2. V.32. P. 84; American
Journal of Mathematics. V.28, №4. P. 367−376).
Последняя небольшого объёма статья содержит результаты, подробно изложенные в работе [12].
В 1903 г. Г.В.Колосов публикует работу
[18], в которой приведена интерпретация движения тяжёлого твёрдого тела вокруг неподвижной точки в случае интегрируемости, открытом С.В. Ковалевской.
Известно [19], что этот случай является
исторически первым случаем, в котором разделение переменных не может быть получено методом Гамильтона – Якоби: в данной задаче
разделяемые переменные не являются переменными конфигурационного пространства. Однако здесь имеет место нетривиальное преобразование фазовых переменных данной задачи, содержащее обобщённые координаты и импульсы, порождающее уравнения Абеля – Якоби.
Это, в свою очередь, приводит к разделению
переменных на плоскости. В результате может
быть получена вполне интегрируемая динамическая система, описывающая двумерное движение материальной точки на плоскости R2,
происходящее под воздействием некоторого
гипотетического плоского консервативного поля с заданным потенциалом [19, c. 307].
Действительно, пусть в общепринятых
обозначениях [2] положено
122
Гурий Васильевич Колосов (к 145-летию со дня рождения)
P (1 , 2 , s1 )  12  22  n s1 ,
Q (1 , 2 , s2 )  212  n s2 ,
R (1 , 2 , s3 )  212  n s3 ,
V (1 , 3 , s3 )  13  n s3 ,
  2 3 ,
W  V 2  2 ,
n  A31 Mg a ,
U ( x, y) – потенциал плоского консервативного силового поля, τ – гипотетическое время.
Первый дополнительный независимый
алгебраический интеграл в задаче С.В.Ковалевской имеет вид [2]
P2  Q2  h 2
(h  const).
(1)
Г.В.Колосовым было показано [18], что
в силу интеграла (1), без применения остальных интегралов системы уравнений, динамические уравнения данной задачи представимы
в виде
U
U
(2)
x  
, y  
,
x
y
где штрихи обозначают дифференцирование
по τ. В уравнениях системы (2) переменные x,
y, τ определяются соотношениями
22 x  P W  2QV ,
22 y  R W  2  PV ,
(3)
 d  (V   ) d t .
2
2
2
2
Нелинейное преобразование фазовых
переменных и времени (3), проведённое Г.В.
Колосовым [18], приводит задачу С.В.Ковалевской, отнесённую к конфигурационному
пространству SO(3), к динамической задаче
для материальной точки на евклидовой плоскости. К этой плоскости отнесено гипотетическое силовое поле с потенциалом U (x, y),
для которого разделяющими переменными
являются эллиптические координаты. Это –
известная динамическая аналогия Г.В.Колосова, позволяющая применять в динамике
твёрдого тела модельные соотношения классической небесной механики [19, c. 313].
Соотношения (2), (3) с описанием динамической аналогии Г.В.Колосова приведены в известных классических трактатах Е.Т.
Уиттекера [20, c. 187] и П.Э.Аппеля (Теоретическая механика).
Результаты исследований, проведённых
в этой области, объединены Г.В.Колосовым в
его основополагающем труде [12], базовые
положения которого положены в основу его
магистерской диссертации. В этой работе им
существенно обобщается метод Рауса, основанный на применении одноименной функции, являющейся модификацией функции Лагранжа. Этот приём позволяет получать частные решения общих динамических задач [11].
Г.В.Колосов развивает метод Гамильтона – Якоби и применяет его к задачам динамики твёрдого тела. В частности, он рассматривает вопрос об интегрируемости системы
уравнений Кирхгофа, описывающих движение по инерции твёрдого тела с односвязной
внешней поверхностью, в безграничной области, заполненной идеальной несжимаемой
жидкостью. Им рассмотрены случаи Горячева, Клебша, Бобылёва и первый случай Чаплыгина. Представив уравнения движения тела в канонической гамильтоновой форме и
использовав аналогию с движением материальной точки, Г.В.Колосов ищет канонические преобразования в фазовых переменных,
разделяющие эти переменные. На этой основе
он обобщает полученные им результаты относительно случая С.В.Ковалевской.
В этой же работе получено частное периодическое решение системы уравнений
движения в случае Клебша, представляемое
двумя независимыми алгебраическими инвариантными соотношениями вида
X (G, s)  M (G, s) N 1 (G1 , s2 ),
(4)
F (G3 , s3 )  a3 G3  b3 s3 ,
где обозначено
M (G, s)  a1 G1 s1  a2 G2 s2 ,
N (G1 , s2 )  b1 G12  b2 s22 .
Здесь G (G j ), s ( s j ) – вектор кинетического
момента тела и орт силовых линий поля тяготения соответственно; a j , b j ( j  1, 2, 3) –
определённые постоянные.
Можно предположить, что Г.В.Колосов
пытался придать нетривиальным алгебраическим преобразованиям, предложенным С.В.
Ковалевской и С.А.Чаплыгиным, наглядное
геометрическое истолкование, построенное на
основе канонических преобразований фазового пространства [19, c. 215].
В работе [21] Г.В.Колосов исследовал
траекторию апекса (конца вектора) кинетического момента тела, указав её регулярные
свойства. Этим фактически им был построен
годограф данного вектора.
123
Н. Н. Макеев
К общим результатам, полученным Г.В.
Колосовым по динамике твёрдого тела, относятся свойства движения тела в жидкости,
приведённые в работах [22−24]. В частности,
им был получен новый, более простой вывод
утверждений о движении твёрдого тела в
жидкости, полученных Г.Минковским [25], и
о распространении этих утверждений на ряд
аналогичных случаев [11].
Г.В.Колосовым были подробно рассмотрены частные случаи системы уравнений
движения твёрдого тела в жидкости, для которых решение может быть получено в явном
виде [22, 23]. В этих случаях для системы
уравнений имеет место независимый дополнительный линейный интеграл. Совокупность
всех этих случаев можно трактовать как обобщённый квадратичный гироскоп Лагранжа,
движущийся в силовом поле с линейным потенциалом [19]. Помимо этого Г.В.Колосовым
были найдены новые частные решения задачи
Клебша. Подробное изложение этих результатов приведено в работе [12].
Характерно, что все движения в случаях, рассмотренных Г.В.Колосовым, являются
периодическими. Это обусловлено наличием
не только линейного интеграла типа интеграла Лагранжа, но и дробно-рационального интеграла (4).
В работе [24] Г.В.Колосов рассмотрел
движение твёрдого тела в жидкости, для которого задана система уравнений движения с
гамильтонианом

1
2
(G  AG)  2 (G  B s)  (s  C s) .
(5)
Здесь G, s – указанные выше обозначения;
A (a j ), B (b j ), C (c j ) ( j  1, 2, 3) − диагональные матрицы с заданными постоянными элементами, подчинёнными ограничениям
a1 a2  0, (b1  b2 ) (b2  b3 ) (b3  b1 )  0.
Г.В.Колосов получил независимый дополнительный алгебраический интеграл уравнений движения, который в силу гамильтониана (5) имеет вид
F  2 (G1  1 s1 ) 2  1 (G2  2 s2 ) 2 ,
где обозначено
движения, рассмотренные А.М.Ляпуновым и
В.А.Стекловым. Г.В.Колосов объединил эти
случаи интегрируемости в единое интегральное многообразие, которое впоследствии было названо случаем Ляпунова – Стеклова –
Колосова [19].
В 1906 г. внимание Г.В.Колосова привлекла статья Роджера Лиувилля [26] (отличать от выдающегося математика XIX в. Жозефа Лиувилля (1809−1882)). В этой работе
приводятся условия существования дополнительного первого интеграла в случае, при котором для равенства (5) в общем случае все bij
≠ 0 (i ≠ j). При этом искомый интеграл в явном виде не записан.
В историческом плане представляет интерес замечание Г.В.Колосова по поводу этой
работы (цит. по тексту источника [27, c. 254]):
"Рассматривая исследования г-на Рожера (так в тексте) Лиувилля (Comptes Rendus,
1896, 2 sem.), я испытываю весьма серьёзные
сомнения насчёт того, что он действительно
обнаружил новый интегрируемый случай
движения твёрдого тела в бесконечной жидкости, как и в случае проблемы вращения тяжёлого тела вокруг неподвижной точки, где
он заявил об открытии нового интегрируемого случая …
В 1898 г. предпринятые мною попытки
найти с помощью его метода интегралы 8-й и
12-й степени потерпели полный крах, равно
как и попытки профессора С.Чаплыгина из
Москвы. Всякий раз, когда с помощью метода
Лиувилля мне удавалось получить интеграл,
он всё время оказывался всего лишь редукцией уже известных интегралов, так что новый
интеграл был получен только для случая г-жи
Софьи Ковалевской. В недавно опубликованной (январь, 1906 г.) в "Анналах Тулузы" статье Хюссона данная теорема доказывается в
общем случае, в силу чего интегрируемого
случая …, описанного Р.Лиувиллем, больше
не существует.
Юрьев (Дорпат), Россия" [23].
Численный эксперимент, проведённый
[27] по результату Р.Лиувилля, показал хаотическое поведение динамической системы.
Это указывает на некорректность выводов исследования автора работы [26].
1  a11 (b3  b2 ), 2  a21 (b3  b1 ).
Работы по теории упругости и биомеханике
В этой работе показано, что частными
вариантами данного случая являются случаи
Научные исследования по теории упругости, проводимые Г.В.Колосовым с 1908 г.,
относятся в основном к плоской задаче тео-
124
Гурий Васильевич Колосов (к 145-летию со дня рождения)
рии упругости.
Плоская задача (ПЗ) теории упругости
– название класса задач, в которых картины
изучаемого явления (или процесса), происходящего в сплошной упругой среде, конгруэнтны во всех плоскостях, параллельных некоторой заданной (основной) плоскости. Это
означает, что сплошная упругая среда находится в состоянии плоской деформации, если
существует такая декартова система координат Ox1x2x3, относительно которой компоненты ur вектора перемещения u (ur) в области D,
занятой телом, имеют вид
ur  ur (t , x1 , x2 ) (ur  D) (r  1, 2), u3  0.
В области ПЗ теории упругости успехи
были достигнуты главным образом благодаря
применению аналитических функций комплексной переменной (КП), выражающих состояние сплошной упругой среды. "Это применение [теории функций комплексной переменной] было обязано почти исключительно работам Колосова …" [28].
В начале XX в. Г.В.Колосовым было
установлено, что эффективным средством
решения ПЗ теории упругости могут являться
функции КП вида  ( z )  z  ( z ), где φ, ψ –
аналитические функции КП z  x  i y, определённые в некоторой области D комплексной
плоскости [3].
Как известно, решение ПЗ теории упругости для однородной линейно упругой сплошной среды сводится к решению бигармонического уравнения
(6)
 2 ( 2 F )  0,
которому удовлетворяет функция Г.Б.Эри −
функция напряжения (Airy G.B. Philos. Trans.
Roy. Soc. London. 1863. V. 153. P. 49). Нахождение решения уравнения (6) составляет одну
из основных задач теории упругости.
Ещё в XIX в. ставился актуальный вопрос об использовании функций КП для интегрирования уравнения (6), применявшегося во
многих задачах физики и техники. Некоторые
соотношения для этого уравнения, содержащие функции КП, уже тогда были известны, в
частности комплексное представление Гурса и
формула Л.Файлона (Filon L.N. Philos.Trans.
Roy. Soc. London. Ser. A. 1903. V.201. P. 63).
Однако только Г.В.Колосов в начале XX в. получил необходимые определяющие формулы и
применил аппарат теории функций КП к решению задач теории упругости [3]. Он первый
применил теорию функций КП для решения ПЗ
теории упругости [11, 28].
В работе [3], являющейся докторской
диссертацией Г.В.Колосова, получено общее
решение ПЗ теории упругости, представленное через две аналитические функции КП и их
производные:
2  (u  i v)  k  ( z )  z  ( z )   ( z ),
 x   y  4 Re  ( z ),
(7)
 y   x  2i  xy  2 z  ( z )   ( z ).
Здесь u, v – компоненты вектора перемещения;
 x ,  y ,  xy – компоненты тензора напряжения;
 ( z),  ( z) – функции, аналитические в заданной плоской области D однородной сплошной
упругой среды (комплексные потенциалы Колосова); μ, k – постоянные, характеризующие
механические свойства упругой среды.
Равенства (7) называют формулами Колосова, определяющими напряжённо-деформированное состояние однородной изотропной сплошной упругой среды в плоской области D, без учёта массовых сил.
Важность представления механических
характеристик через независимые аналитические функции φ, ψ в форме (7) состоит в том,
что это даёт возможность применить к ПЗ
теории упругости достаточно разработанную
теорию аналитических функций КП.
Г.В.Колосов установил, что эффективным средством решения ПЗ теории упругости
для однородной изотропной сплошной среды
могут являться бианалитические функции. По
П.Бургатти (Burgatti P. Boll. Math. Ital. 1922.
V. 1, No. 1. P. 8−12), это функция F (z), удовлетворяющая в области D обобщённому
уравнению Коши – Римана
2 F
 0,
z2
F ( z )   ( x , y )   ( x , y ),
где
 1 
 

   i
z 2  x
 y 
– дифференциальный оператор Коши – Римана; ,  – бигармонические функции.
В 1915 г. Г.В.Колосов публикует (в соавторстве) работу [29], в которой приводятся
решения основных краевых задач теории
упругости для плоских круговых областей. В
разные годы им также были опубликованы
работы [30], [31].
В последующие годы идеи и методы
Г.В.Колосова в области теории упругости
находят интенсивное развитие и применение в
125
Н. Н. Макеев
различных областях науки и техники.
К настоящему времени новая область механики – биомеханика сложилась как самостоятельная наука. Однако отдельные вопросы из
этой области ставились задолго до возникновения этой науки. Ещё с середины XIX в. обсуждался вопрос о воздействии механических
нагрузок на формирование структуры тканей
живых организмов, а к концу этого же века был
открыт и сформулирован закон Вольфа.
Проводя исследования в Юрьевском
университете, Г.В.Колосов предложил модель
строения костной ткани с позиции теории
упругости. Описание этой модели содержится
в статье Н.Корниловича, опубликованной им
в 1903 г. [32].
В своей монографии [4] Г.В.Колосов
указывает на значение закона Вольфа: "С линиями главных напряжений мы часто встречаемся в природе при вырабатывании какимнибудь организмом или растением наиболее
прочного материала" (цит. по тексту источника [33]). В этой монографии приведены картины изостат (линий одинаковых напряжений) в костной ткани [33].
ридора шли, смеясь и радуясь, студенты всех
факультетов …
Вдоль стенок коридора стояли всегда
запертые книжные шкафы … Они стояли, …,
мигая тусклой кожей старинных переплётов
со следами кое-где сохранившейся позолоты.
Идя по коридору, мы погружались в затейливую старину. Коридор был общим для студентов всех факультетов …
Г.В. Колосов и Петроградский
Университет в воспоминаниях
Бывшая студентка Петроградского университета И.Грекова вспоминает: "Весь … Университет умещался в одном … здании – Петровские 12 коллегий. Здание выходило узким
фасадом на Неву, а вглубь Васильевского острова тянулось нескончаемой длины здание…
Нашим любимым местом в Университете был коридор второго этажа. Бесконечной
длины коридор, полный людьми, встречами,
радостями …
Это был … наш "второй Невский" [проспект]. Человек, стоявший в другом конце коридора, казался отсюда букашкой. Вдоль ко-
… Одна из достопримечательностей
Университета – это был профессор Колосов,
Гурий Васильевич. Человек высокого роста,
[полной комплекции]. … Говорят, он первоклассный учёный, но манера себя вести у него
загадочная … Явившись в аудиторию, он
начинает, словно бы в забытьи, закрыв глаз[a]
и покачиваясь. Начинает он каждую свою
лекцию с [паузы], после чего говорит: "Господа…". Сколько народу его слушает – ему
всё равно. Рассказывают, что [якобы] однажды он прочёл лекцию … пустующей аудитории. К Гурию Васильевичу относ[ились] на
факультете как-то по-странному бережно.
Гурий Васильевич … рассеян по-профессорски. Говорят, что он, входя в трамвай,
оставляет калоши где-то у входа, а то и вообще выходит из трамвая на той же остановке,
что и вошёл, и долго потом стоит, озирается.
Вид у него … легендарный … Зимой и
летом Гурий Васильевич [ходил в одной и той
же одежде] … На голове – чёрная шляпа, …
поля которой фантастически свисают … На
груди … красный галстук. Идёт он по коридору [Университета], как будто всё время
126
Гурий Васильевич Колосов (к 145-летию со дня рождения)
огибает стоящее у него на пути незримое препятствие … В Университете [тех времён] раздевалок не было … Полой пальто он бессознательно [задевает] выступающие края
книжных шкафов [расположенных вдоль стены коридора]. Говорит, картавя, … но красивыми литературными фразами … " [34].
Автор этих воспоминаний описывает
образ человека внешне рассеянного, углублённого в свои идеи и мало обращающего
внимания на окружающую его действительность. Это – типичный психологический портрет высокоодарённой личности.
Заключение
Область научных интересов Г.В.Колосова охватывает несколько разделов механики: динамика твёрдого тела, теория упругости, теория пластичности и биомеханика. Помимо трудов по этим научным направлениям
им опубликованы работы, относящиеся к
применению математической теории вероятностей в микробиологии, а также к теории
прибора для измерения кровяного давления
(тонометра) [33].
Исторический интерес представляет такой факт творческой биографии Г.В.Колосова. В динамике твёрдого тела им был получен
дополнительный алгебраический интеграл системы уравнений Эйлера – Пуассона для случая интегрируемости, открытого Д.Н.Горячевым. Последний получил данный интеграл при условии, что постоянная интеграла
кинетического момента H = 0. Позже С.А.Чаплыгин получил этот интеграл при H ≠ 0. В выводе Г.В.Колосова в общем случае также H≠0.
Его статьи на эту тему были опубликованы в
зарубежных журналах (Messenger of Mathematics. 1901. Ser. 2. V. 30. P. 174; Rendiconti
del Circolo Mat. di Palermo. 1902. V.16. P. 346).
Этот результат Г.В.Колосов получил
независимо от С.А.Чаплыгина, не будучи знаком со статьёй последнего [11], опубликованной в том же 1901 г. в российском журнале.
Впоследствии новый интеграл в отечественной литературе был назван "интегралом Чаплыгина". В зарубежных источниках этот интеграл связан с именем Г.В.Колосова и упоминается в известных классических трактатах
по механике (Аппель П. Теоретическая механика; Раус Э.Дж. Динамика системы твёрдых
тел).
Нельзя не согласиться с выдвинутым
утверждением: "Несмотря на высокий интерес, представляемый работами Г.В.Колосова в
области динамики твёрдого тела, … его работы по теории упругости имеют гораздо большее значение" [11, c. 280].
Действительно, Г.В.Колосов открыл новый общего вида дополнительный интеграл
уравнений движения тела в случае Д.Н.Горячева; построил интерпретацию уравнений
движения тела в случае С.В.Ковалевской (динамическая аналогия Г.В.Колосова); получил
расширение интегрального многообразия уравнений движения твёрдого тела в идеальной
жидкости (случай Ляпунова – Стеклова – Колосова). Все эти результаты носят фундаментальный характер, признаны основополагающими и включены в ряд классических трактатов по механике.
Достижения Г.В.Колосова как в области
механики твёрдого тела, так и теории упругости являются равнозначными по важности
выдающимися научными достижениями.
Основные результаты, полученные Г.В.
Колосовым в области теории упругости, содержатся в его работах [3, 4], а также в работе
[35]. Он впервые ввёл и начал применять аппарат теории функций КП в ПЗ теории упругости. Им не только было получено общее
решение ПЗ, но и предложен ряд методов решения краевых задач, позволяющих применять общие результаты к различным приложениям [36]. Как отмечалось, "… его результаты из области теории упругости имеют не
только большое теоретическое, но и громадное практическое значение, так как они могут
служить … основой для ряда выводов … технического характера" [11].
Следует упомянуть о малоизвестном
факте из истории применения функций КП к
решению ПЗ теории упругости. Утверждается
[37], что ПЗ теории упругости с применением
функций КП занимался и С.А.Чаплыгин. Он
рассматривал задачу о напряжённом состоянии бесконечной однородной упругой плоскости с эллиптическим отверстием и задачу о
вдавливании прямоугольного в плане штампа
в упругую полуплоскость. Результаты этих
исследований содержались в его рукописях
"Деформация в двух измерениях" и "Давление
жёсткого штампа на упругое основание",
предположительно отнесённых к 1900 г. Они
были обнаружены после кончины автора и
опубликованы лишь в 1950 г. [37, c. 133].
Г.В.Колосов впервые получил для ПЗ
127
Н. Н. Макеев
физически ясные комплексные представления
компонент вектора перемещений и тензора
напряжений через аналитические функции
КП. В общем виде его метод можно трактовать как полный алгоритм построения изоморфизма объектов евклидовой плоскости R2
и комплексной iZ-плоскости. В силу этого
решениям ПЗ теории упругости взаимно однозначно соответствуют решения краевых задач теории функций КП.
Результаты, полученные Г.В.Колосовым
в теории упругости, впоследствии были применены в задачах о концентрации напряжений
в областях с вырезами и включениями, позволив тем самым решать основные проблемы
прочности материалов [13].
Вклад Г.В.Колосова, внесённый его выдающимися трудами в отечественную и мировую науку, является неотъемлемой составной частью научного наследия человечества.
Список литературы
9.
10.
11.
12.
13.
1. Ковалевская С.В. Задача о вращении твёрдого тела около неподвижной точки //
Научные работы. Сер.: Классики науки.
М.: Изд-во Академии наук, 1948. С.
153−220.
2. Голубев В.В. Лекции по интегрированию
уравнений движения тяжёлого твёрдого
тела около неподвижной точки. М.: Гостехтеориздат, 1953. 287 с.
3. Колосов Г.В. Об одном приложении теории функций комплексного переменного к
плоской задаче математической теории
упругости. Юрьев: Типография К. Маттисена, 1909. 187 с.
4. Колосов Г.В. Применение комплексной
переменной к теории упругости. М.; Л.:
ОНТИ, 1935. 224 с.
5. Боголюбов А.Н. Математики. Механики.
Биографический справочник. Киев: Наукова думка, 1983. 640 с.
6. Бородин А.И., Бугай А.С. Биографический
словарь деятелей в области математики.
Киев: Радянска школа, 1979. 607 с.
7. Эрингсон Л.К. К истории эвакуации Тартуского университета (1915−1918) // Вопросы истории Эстонской ССР. Уч. зап.
Тартуского гос. ун-та. 1970. С. 258,
307−312.
8. Бибиков М.В. Начало Тартуского университета в европейском контексте. URL:
http: // www.amberbridge. org / Arkhang /
14.
15.
16.
17.
18.
128
05. pdf / С. 103−112 (дата обращения:
21.03.2013).
Архангельская Л.А., Сабанеев В.С. Вклад
универсантов в основание Политехнического института // Журнал: Санкт-Петербургский университет, № 1 (3859). 25 января 2013. URL: http: // www. Journal. spbu.
ru (дата обращения: 28.03.2013).
Колосов Г.В. Об одном случае движения
тяжёлого твёрдого тела, опирающегося
остриём на гладкую плоскость // Тр. Отдния физических наук Общества любителей естествознания. М., 1898. Т. 9, вып. 2.
С. 11.
Мусхелишвили Н.И. Гурий Васильевич
Колосов. Некролог // Успехи математических наук. 1938, № 4. С. 279−281.
Колосов Г.В. О некоторых видоизменениях начала Гамильтона в применении к решению вопросов механики твёрдого тела.
С.-Петербург, 1903. 76 с.
Морозов Н.Ф. Развитие науки о прочности
в Санкт-Петербургском государственном
университете // 14-е Петербургские чтения по проблемам прочности, посвящённые 300-летию Санкт-Петербурга. Сб. тезисов. С.-Петербург, 2003. С. 5−7.
Санкт-Петербургский
Электротехнический университет. История университета.
URL: http: // www. eltech. ru (дата обращения: 11.04.2013).
Товстик П.Е. Кафедра теоретической и
прикладной механики. История. URL:
http: // www. math. spbu. ru / tm / history.
htm (дата обращения: 11.04.2013).
Князев Г.А., Кольцов А.В. Краткий очерк
истории Академии наук СССР / под ред.
К.В.Островитянова. М.; Л.: Наука, 1964.
227 с.
Koлoсoв Г.В. Об одном случае движения
тяжёлого твёрдого тела, опирающегося
острием на гладкую плоскость // Журнал
Харьковского математического общества.
1898 / Nachrichten Konigl. Ges. Wiss.
Gottingen. Mathem.-Phys. Kl. 1898. Bd. 7. S.
80.
Колосов Г.В. Об одном свойстве задачи
Ковалевской о вращении тяжёлого твёрдого тела вокруг неподвижной точки //
Труды Отделения физических наук Общества любителей естествознания. М., 1901.
Т. 11. С. 5−12.
Гурий Васильевич Колосов (к 145-летию со дня рождения)
19. Борисов А.В., Мамаев И.С. Динамика
твёрдого тела. М.; Ижевск: Научно-исследовательский центр РХД, 2001. 384 с.
20. Уиттекер Е.Т. Аналитическая динамика.
Пер. с англ. М.; Л.: ОНТИ, 1937. 500 с.
21. Колосов Г.В. Траектория, описанная концом главного момента количеств движения в задаче С.В.Ковалевской о вращении
тяжёлого твёрдого тела // Записки Университета. Юрьев, 1904. Т. 1. С. 1−3.
22. Колосов Г.В. О некоторых частных решениях задачи о движении твёрдого тела в
несжимаемой идеальной жидкости // Сб.
Института инженеров путей сообщения.
СПб. 1899. Т. 50. С. 89−106.
23. Kolosoff G. On Some Cases of Motion of a
Solid in Infinite Liquid // American Journal
of Mathematics. 1906. V. 28. № 4. P. 367.
24. Колосов Г.В. Заметка о движении твёрдого
тела в несжимаемой жидкости в случаях
В.А.Стеклова и А.М.Ляпунова // Известия
РАН. 1919. Т. 13. С. 711−716.
25. Minkowski H. Uber die Bewegung eines festen Korpers in einer Flussigkeit // Sitzungsber. Konig. Preuss. Akad. Wiss. Berlin. 1888.
S. 1095−1110.
26. Liouville R. Sur le movement d`un solide
dans un liquide indefini // Comptes Rendus
des séances de l`Academie des sciences.
Ser.2, 1896. P. 874−876.
27. Система Клебша. Разделение переменных: сб. ст. / под ред. А.В.Борисова,
А.В.Цыганова. М.; Ижевск: Научно-исследовательский центр РХД, 2009. 288 с.
28. Снеддон Дж.Н., Берри Д.С. Классическая
теория упругости. М.: Физматгиз, 1961. 219 с.
29. Колосов Г.В., Мусхелишвили Н.И. О равновесии упругих круглых дисков под влияни-
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
ем напряжений // Изв. электротехнического
ин-та. Петроград. 1915. Т. 12. С. 39−55.
Kolossoff G. Sur les problemes d`elasticite a
deux dimension // Comptes Rendus des seances de l`Academie des sciences. 1908.
T.146, No. 10; 1909. T. 148, № 17.
Колосов Г.В. О поверхностях, демонстрирующих распределение срезывающих усилий в точке сплошного деформируемого
тела // Прикладная математика и механика. 1933. Т. 1. Вып. 1.
Корнилович Н. Архитектура компактного
вещества кости с механической точки
зрения // Протоколы Общества естествоиспытателей. Юрьев (Дерпт). 1903. Т. 13.
С. 389.
Демидова И.И. Исследования по биомеханике профессора Г.В.Колосова. С.-Петербургский гос. ун-т. URL: http: / www. med.
appl. sci-nnov. ru / main / sb02/s (дата обращения: 18.04.2013).
Грекова И. Ленинградский университет в
20-х годах. URL: http: // www. libelli.
narod. ru / misc / lgu20. html (дата обращения: 20.04.2013).
Колосов Г.В. О некоторых приложениях
комплексного преобразования уравнений
математической теории упругости к отысканию общих типов решений этих уравнений // Изв. Ленинград. электротехнического ин-та. 1928.
Kolosov G.W. Uber einige Eigenschaften
des Problems der Elastizitats-teori // Ztschr.
fur. Mathematische und Physik. 1914. B. 62.
S. 383−409.
Григорьян А.Т. Эволюция механики в России. М.: Наука, 1967. 168 с.
Gurii Vasilevich Kolosov
(to the 145-years from the birthday)
N. N. Makeyev
Problems of Precision Mechanics and Control Institute Russian Academy of Sciences
Russia, 410028, Saratov, Rabochaya st., 24
[email protected]; (845) 272-35-33
The brief biography and some scientific achievement of outstanding Russian scientist and teacher
Gurii Vasilevich Kolosov (1867−1936) are described in this article.
Key words: history of mechanics; dynamics of rigid body; mathematical theory of elasticity;
G.V.Kolosov.
129