Методические рекомендации по организации самостоятельной работы студентов. Дополнительные дидактические материалы по

Методические рекомендации по организации самостоятельной
работы студентов. Дополнительные дидактические материалы по
дисциплине.
Методические особенности решения задач по комбинаторике с младшими
подростками в 5-6 классах основной школы.
Математика 5 кл: для учащихся общеобр. уч-ний / Н.Я.Виленкин.
1. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 0,1,3,5, если цифры в
записи числа не повторяются?
Решение. Всего 18 чисел.
2. Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1,3,5,7,9, если цифры в
записи числа не повторяются?
Сколько
трехзначных чисел можно составить из тех же цифр (цифры в записи числа не
повторяются)?
Решение. 13; 15; 17; 19; 31; 35; 37; 39; 51; 53; 57; 59; 71; 73; 75; 79; 91; 93;
95; 97 — 20 чисел.
12 трехзначных чисел можно составить из тех же цифр. Всего 12 чисел.
3. Из села Аникеево в село Большово ведут четыре дороги, а из села Большово
в село Виноградово через село Большово?
1
A
2
2
3
5В
Б
6В
7В
4
Решение. Если из А в Б добираться по одной дороге, то продолжить путь есть
три способа:
В
5
А
1
Б
6
В
7
В
Точно также рассуждая, получаем по три способа продолжить путь, начав
добираться по 2-й и по 3-й, и по 4-й дороге. Значит, всего получается
способов добраться из Аникеева в Виноградово.
4. На вершину холма ведут пять тропинок. Сколько существует способов
подняться на холм и спуститься с него, если подниматься и спускаться по
разным тропинкам?
Решение. Подняться можно по одной из 5 тропинок, а спуститься по одной
из 4 оставшихся (кроме той, по которой поднялись). Всего 5*4=20 способов.
5. У Бориса до тренировки по плаванию оставалось время, и он решил съездить
в зоопарк. От дома до зоопарка Борис может доехать на метро, трамваем или
автобусом, а от зоопарка до бассейна - автобусом, троллейбусом или на метро.
Сколькими способами Борис может доехать от дома до бассейна, посетив
зоопарк?
Решение. 9 способов: метро-метро, метро-автобус, метро - троллейбус;
трамвай-метро, трамвай-автобус, трамвай-троллейбус; автобус-метро, автобустроллейбус, автобус-автобус. А математически это: 3*3=9.
6. Код для открывания сейфа состоит из четырех цифр. Сколько существует
различных вариантов кода для этого сейфа?
Решение. Всего существует 10*10*10*10= 10 000 вариантов кода для
этого сейфа.
11.Запишите
все
трёхзначные
числа ,
употребляются только цифры 1 и 2 .
для
записи
которых
Решение. В записи числа на первом месте (в разряде сотен) может стоять цифра
1 или 2:
1
2
На втором месте (в разряде десятков) в каждом случае также может стоять одна
из двух цифр 1 или 2
На третьем месте (в разряде единиц) в каждом из полученных четырех случаев
также можно записать либо 1, либо 2
Получим восемь чисел: 111; 112; 121; 122; 211; 212; 221; 222.
12. Запишите все трехзначные числа, для записи которых употребляются
только цифры 0 и 7. Найдите сумму этих чисел и разделите ее на 211.
Решение. Записи чисел на первом месте может стоять только цифра 7. на
втором месте также цифра 7 и 0. на третьем месте также цифра 7 и 0.
Получили четыре числа: 777, 707, 770, 700.
Сложим: 777+707+770+700=2954.
Разделим: 2954 : 211 =14.
96. В правление фирмы входят 5 человек. Из своего состава правление должно
выбрать президента и вице-президента. Сколькими способами можно это
сделать?
Решение. Президентом фирмы можно избрать одного из пяти человек:
Президент:
После того как президент избран, вице-президентом можно выбрать одного из
четырёх оставшихся членов правления:
Значит, выбрать президента можно 5-ю способами и для каждого из
выбранного президента 4-мя способами можно выбрать вице-президента.
Т. о. общее число способов
5 * 4=20.
131. Прочтите число, которое записывается единицей с 6 нулями с 9 нулями; с
5 нулями. Прочтите число, которое записывается тройкой с шестью нулями.
Решение. 1 ООО ООО - один миллион, 1 ООО ООО ООО - один
миллиард, 100 ООО - сто тысяч, 3 ООО ООО - три миллиона.
165. Сколькими способами можно прочитать слово «знак» на рисунке?
Сравните решение этой задачи с решением задачи 11.
Решение. Обозначим буквы цифрами от 0 до 9. Прочитать слово знак
можно следующими способами: 0136, 0137, 0147, 0148, 0259, 0258,0248, 0247 всего 8 способов.
283. Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 4, 6, если цифры
в записи числа не повторяются? Запишите все эти числа.
Решение. 20; 24; 26; 40; 42; 46; 60; 62; 64-всего 9 чисел.
694. Семье, состоящей из бабушки, папы, мамы, дочери и сына, подарили 5
разных чашек. Сколькими способами можно разделить чашки между членами
семьи?
Решение. У каждого члена семьи (например, бабушки) есть 5 вариантов
выбора, у следующего (пусть это будет папа) остается 4 варианта выбора,
следующий (например, мама) будет выбирать уже из 3 чашек, следующий – из
двух, последний же получает одну оставшуюся чашку. Покажем эти способы на
схеме.
Получили, что каждому выбору чашки бабушкой соответствует четыре
возможных выбора папы, т. е. всего 5 * 4 способов. После того как папа выбрал
чашку, у мамы есть три варианта выбора, у дочери – два, у сына – один, т. е.
всего 3*2*1 способов. Окончательно получаем, что для решения задачи надо
найти произведение 5*4*3*2*1.
Заметим, что получили произведение всех натуральных чисел от 1 до 5. Такие
произведения записывают короче:5*4*3*2*1=5! (читают: пять факториал).
Итак, ответ задачи: 5! = 120, т. е. чашки между членами семья можно
распределить ста двадцатью способами.
725. Вычислите: 3!; 6!; 7!.
Решение. Факториал числа представляет собой произведение всех
натуральных чисел от 1 до этого числа включительно. Например, факториал
числа 3 выглядит так: 1 * 2 * 3.
Факториал числа обозначается как само число, после которого следует
восклицательный знак. Например, 3!. Таким образом:
3! = 1 * 2 * 3 =6
С увеличением числа его факториал быстро возрастает. Так если 3! = 6, то уже
7! =
5040.
Поэтому для натуральных чисел больше 12-ти в языке
программирования Паскаль просто так факториал вычислить нельзя.
6!=1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 =720;
7!=1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 = 5040.
807. Лена, Света, Маша, Катя и Наташа пришли к зубному врачу. Сколькими
способами они могут встать в очередь?
Решение. Одна девочка – м. б. выбрана одним способом, две девочки двумя. Третья девочка может встать или перед ними, или в середину, или в
конец очереди, а всего способов для трех девочек - 3*2=6.
Четвертая девочка может стоять на любом из четырех мест. А оставшиеся три
могут стоять 6-ю способами. Всего 24. Пятая девочка 24*5=120.
835. Сколькими способами из 7 бусинок разных цветов можно составить
ожерелье (с застежкой)?
Решение. Первую бусину можно выбрать 7 способами, вторую - уже 6,
третью - 5, четвертую - 4, пятую - 3, шестую - 2, седьмую - 1, следовательно,
бусы можно составить 7*6*5*4*3*2*1 = 5040 способами.
1071. К полднику в детском саду на четырехместный стол поставили сок,
молоко, какао и компот. Сколькими способами четверо детей могут выбрать
себе один из напитков?
Решение. 4!=1*2*3*4=24 способами.
1728. Сколькими способами 4 пассажира могут разместиться в четырехместном
купе поезда?
Решение. 4!=4*3*2=24 способами.
1750. В классе 7 человек хорошо умеют плавать. Сколькими способами из них
можно составить команду из трех человек для участия в школьных
соревнованиях?
Решение. 7*6*5 = 210 способами.
Математика 6 кл: для учащихся общеобр. уч-ний / Н.Я.Виленкин.
23. Государственные флаги многих стран состоят из горизонтальных или
вертикальных полос разных цветов. Сколько могло
быть различных
государственных флагов, состоящих из двух горизонтальных полос одинаковой
ширины и разного цвета – белого, красного и синего?
Решение. Пусть верхняя полоса флага – белая (Б). Тогда нижняя полоса может
быть красной (К) или синей (С). Получили две комбинации – два варианта
флага. Если верхняя полоса флага - красная, то нижняя может быть белой или
синей. Получаем еще два варианта флага. Пусть, наконец, верхняя полоса синяя, тогда нижняя может быть белой или красной. Это еще два варианта.
Всего получили 3*2= комбинаций - шесть вариантов флага.
24. Сколько существует флагов, составленных из трех горизонтальных полос
одинаковой ширины и различных цветов – белого, зеленого, красного и синего?
Есть ли среди этих флагов Государственный флаг РФ?
Решение.
Таким образом, 4∙3∙2 = 24 флага.
Ответ: 24 варианта.
53. На уроке физкультуры Андрей, Марат, Костя, Саша, Петя и Сережа
готовятся к прыжкам в высоту. а). Сколькими способами можно установить для
них очередность прыжков? б). Сколькими способами можно установить
очередность прыжков, если начинают обязательно Костя или Саша?
Решение. Количество способов (перестановок) равно 2*3*4*5*6 = 720.
Почему так? Попробую объяснить.
1). Мальчиков всего 6. Обозначим их А, М, К, Са, П, Се.
Первым в очереди может быть любой из них, значит, имеем 6 вариантов для
выбора первого участника.
2). Рассмотрим один вариант, например, первый мальчик - А. Тогда на место
второго претендуют 5 человек. Получили для варианта А 5 вариантов из двух
человек: АМ, АК, АСа, АП, АСе. Если первым выбран М, то выбирая второго,
получим также 5 вариантов: МА, МК, МСа, МП, МСе. Количество вариантов
пар равно 6*5=30.
3). Для каждой из 30 пар на место третьего претендуют 4 человека
(6-2=4). Значит, троек можно образовать 30*4=120.
4). Для каждой тройки на место четвертого претендует один из троих
оставшихся. Всего четверок будет 120*3=360.
5). Аналогично пятерок будет 360*2=720.
6). Когда пятерка сформирована, то на последнее место претендует один
оставшийся, значит, всего вариантов будет 720.
80. Сколько трехзначных чисел можно составить из нечетных цифр?
Решение. Нечетные цифры:1,3,5,7,9. На любое место трехзначного числа с
нечетными цифрами можно поставить любую из 5 цифр, поэтому искомых
трехзначных чисел будет 5*5*5=53=125.
Ответ: 125.
81. Сколько существует трехзначных чисел , кратных пяти, в записи которых
все цифры различны?
Решение.
105 120 125 130 135 140 145 150 160 165 170 175 180 185 190 195 205 210 215
230 235 240 245 250 260 265 270 275 280 285 290 295 305 310 315 320 325 340
345 350 360 365 370 375 380 385 390 395 405 410 415 420 425 430 435 450 460
465 470 475 480 485 490 495 510 520 530 540 560 570 580 590 605 610 615 620
625 630 635 640 450 650 670 675 680 685 690 695 705 710 715 720 725 730 735
740 745 750 760 765 780 785 790 795 805 810 815 820 825 830 835 840 845 850
860 865 870 875 890 895 905 910 915 920 925 930 935 940 945 950 960 965 970
975 980 985. Всего 136.
100. Сколькими способами можно разложить на 2 множителя числа 18;42;55?
Способы, при которых произведения отличаются только порядком множителей,
считайте за один способ.
Решение. 18=18*1;18=2*9;18=3*6
42=1*42;42=7*6;42=2*21;42=3*14
55=11*5;55=1*55. Ответ: всего 9 способов.
108. Сколько нечетных четырехзначных чисел можно составить из цифр
0,1,2,3,4 ?
Решение. На первом месте в записи числа может стоять любая цифра, кроме
нуля, - 4 варианта. На втором и на третьем местах – любая из этих пяти цифр.
Так число нечетное, на последнем месте могут быть только цифры или 3 – т.е.
имеем еще два варианта. В соответствии с правилом умножения получаем, что
нечетных четырехзначных чисел можно составить 4*5*5*2=200.
355. В среду в шестом классе пять уроков по разным предметам: русскому
языку, истории, математике, географии и физкультуре. Сколько вариантов
расписания на среду можно составить для этого класса?
Решение. Первый способ:
второй способ:
;
. Ответ:120
;
293. Сколько четных пятизначных чисел можно составить из цифр 0, 3, 5, 6, 8 ?
Есть ли среди них числа, кратные трем? Кратные девяти?
Решение. 1). Цифры повторяются:
Если последняя цифра 0, то 4*5*5*5*1=500.
Если последняя цифра 6, то *5*5*5*1=500.
Если последняя цифра 8, то *5*5*5*1=500. Всего 500*3=1500.
2). Цифры не повторяются:
Если последняя цифра 0, то 4*3*2*1*1=24.
Если последняя цифра 6, то 3*3*2*1*1=18.
Если последняя цифра 8, то 3*3*2*1*1=18. Всего: 24+18*2=60.
262. Сколько пятизначных чисел можно составить из четных цифр, если цифры
в записи числа не повторяются?
Решение. Четные числа: 0,2,4,6,8.
4*4*3*2*1=96. Ответ: 96.
232. Из двенадцати лучших бегунов шестого класса нужно отобрать
четверых для участия в эстафете. Сколькими способами четыре члена команды
могут распределить между собой этапы эстафеты?
Решение. 4*3*2*1=24. Ответ: 24
194. Сколько трехзначных чисел можно составить из четных цифр?
Решение. 0,2,4,6,8 – чётные цифры.
1). Если цифры повторяются, то:4*5*5=100.
2). Если цифры не повторяются, то: 4*4*3=48.
160.
Сколькими
способами
в
девятиместном
микроавтобусе
могут
разместиться 9 пассажиров? Сколькими способами могут разместиться
пассажиры, если один из них, хорошо знающий маршрут, сядет рядом с
водителем?
Решение. 1).9!=9*8*7*6*5*4*3*2*1=362880. 2).1*8*7*6*5*4*3*2*1=40320.
410. В городе семизначные телефонные номера. Сколько в нем может быть
номеров, начинающихся цифрами 235?
Решение. 235****-номер телефона. На месте каждой звездочки может стоять
любая из 10 цифр, поэтому всего таких номеров может быть 104=10000.
462. В алфавите племени Аоку 6 букв - А, К, М, О, Р, У. Все племени состоят
из четырех букв. Какое наибольшее число слов может быть в языке племени
Аоку? В скольких из этих слов буквы не повторяются?
Решение. Если буквы в словах могут быть одинаковыми, то таких слов
6*6*6*6=1296. Если буквы не повторяются, то тогда слов 6*5*4*3=360.
Ответ: в племени Аоку может быть максимум 1296 слов, причём только в 360
словах буквы будут различны.
517. В шестом классе учатся 25 человек. Сколькими способами из них можно
выбрать двух представителей в совет школы?
Решение. Первого можно выбрать "любого из 25", а второго - "любого, из
оставшихся
24".
Итого,
получим
24*25.
Если порядок их выбора имеет значение (один главный, второй заместитель), то
ответ
будет
24*25=600
способов,
если порядок не важен (они на одну должность претендуют), то это число надо
разделить на 2 (число перестановок). Итого: 300 способов.
772. Из оружия сделано 50 выстрелов, при этом 5 пуль пролетели мимо.
Определите процент попаданий.
Решение. В цель попало 50-5=45 пуль; процент попаданий равен
50:45*100%=90%
915. Из цифр 7, 8, 3 и 5 составьте четыре различных числа, оканчивающиеся
цифрой 7 и кратные 3.
Решение. Чтобы число было кратно 3, т.е. делилось на 3 без остатка, сумма его
цифр также должна быть кратна 3, т.е. делится на 3 без остатка.
Из предложенных цифр обязательно используется 7.
7+3=10 - некратно 3, из этих цифр нельзя составить число, удовлетворяющее
условию 7+5=12 - кратно 3, составляем число 57, 57:3=19.
7+8=15 - кратно 3, составляем число 87, 87:3=29.
7+3+5=15 - кратно 3, из этих цифр можно составить 2 числа: 357 и 537,
357:3=119 и 537:3=179.
7+3+8=18 - кратно 3, из этих цифр также можно составить 2 числа: 387 и 837,
387:3=129 и 837:3=279.
7+5+8=20 - некратно 3, из этих цифр нельзя составить чисел, удовлетворяющих
условию.
7+3+5+8=23 - некратно 3, поэтому четырёхзначных чисел из этих цифр не
получится.
Ответ: 57, 87, 357, 387, 537, 837.