Document 983924

9 класс
1) Известно, что
и что уравнение ax 2  bx  c  0
действительных корней. Определить знак коэффициента с.
не
имеет
2) Доказать, что из любых пяти целых чисел можно найти три, сумма которых
делится на 3.
Пусть а1, а2, а3, а4, а5 - различные пять натуральных чисел и в1, в2, в3, в4, в5 их остатки от деления на 3 соответственно.
1. Если среди чисел в1, в2, в3, в4, в5 есть хотя бы три одинаковых, например:
3, 3, 3, то сумма этих трех чисел делится на три (9:3)
2. Если среди чисел в1, в2, в3, в4, в5 нет трех одинаковых, а значит, найдутся
три различных числа, имеющие остатки 0, 1 и 2 и тогда их сумма, также
делится на три.
3) Решить уравнение:
x 2  10 x  15
3x

x 2  6 x  15 x 2  8 x  15 .
4) Упростить выражение:
( 5 2 6  5 2 6)*
3
.
2
5) Найти сумму:
1
1
1

 ... 
.
1* 2 * 3 * 4 2 * 3 * 4 * 5
n(n  1)( n  2)( n  3)
6) Мать дарит каждой из пяти своих дочерей в день ее рождения, начиная с пяти
лет, столько книг, сколько дочери лет. Возрасты пяти дочерей составляют
арифметическую прогрессию, разность которой равна 2. Сколько лет было
каждой дочери, когда у них составилась библиотека общей численностью 495?
7) Найти двухзначное число, равное неполному квадрату суммы его цифр.
81
8) Найти последние две цифры числа
9) Сократите дробь:
x3  5 x 2  4 x  20
x 2  3x  10
7
99
9
.
10)
Докажите, что среди любых шести человек найдутся трое знакомых или
трое незнакомых между собой людей.
Рассмотрим произвольного человека Д. Среди 5 других найдутся трое, знакомых с
Д, или трое, незнакомых с Д. Действительно, если так не будет, то людей, знакомых
с Д , максимум двое; людей, незнакомых с Д, также максимум двое. Получим, что
всего мы рассматриваем 1+2+2=5 человек, а по условию, людей 6. Получили
противоречие с условием. Т.о. найдутся трое, знакомых с Д, или трое, незнакомых с
Д. Для определенности положим, что эти трое знакомы с Д. Если из этих троих
какие-то двое знакомы друг с другом, то вместе с человеком Д они составляют
тройку попарно знакомых. Если среди этих троих нет знакомых, то они составляют
тройку незнакомых между собой людей.