Методы решения уравнений

Рабочая программа элективного предмета по математике в
11классе «Методы решения уравнений».
Пояснительная записка
Многие математические задачи сводятся к решению уравнений. За время
обучения математике школьникам приходится решать достаточно много
уравнений: линейных, квадратных, тригонометрических, показательных,
логарифмических, иррациональных. Обучение методам решения уравнений
традиционно является важнейшей частью школьного курса математики.
При решении уравнений помимо технических приходится преодолевать и
логические трудности и в частности
отвечать на вопрос, почему
выполненные преобразования не приводят к потере корней
или
приобретению посторонних корней. Данный курс помимо теоретических
сведений, необходимых для решения уравнений , содержит интересные и
красивые задачи, освещает намеченные способы в школьном курсе
математики. Вполне оправдано то повышенное внимание, которое уделяется
уравнениям содержащимся в текстах ЕГЭ.
Данный курс рассчитан на 34 часа. Предлагаемые задачи различны по
уровню сложности: от простых упражнений на применение изученных
формул до заданий повышенной сложности. Разнообразный дидактический
материал даёт
возможность отбирать дополнительные задания
для
учащихся
разной степени
подготовки: уровень сложности задач
варьируется от простых до конкурсных и олимпиадных. Все занятия
направлены на развитие интереса школьников к предмету, на расширение
представлений об изучаемом материале, на решение новых и интересных
задач.
Цели курса:
-восполнить некоторые содержательные пробелы основного курса,
придающие ему необходимую целостность;
-показать некоторые нестандартные методы решения уравнений ;
-формировать качества мышления, характерные для математической
деятельности и необходимые
человеку для жизни
в современном
обществе
Задачи курса:
-научить учащихся решить уравнения повышенной сложности:
-приобрести приёмы, способы решения уравнений ;
-помочь ученику оценить свой потенциал с точки зрения образовательной
перспективы
Форма обучения:
Индивидуальная, парная, фронтальная, групповая.
Методы обучения:
Репродуктивные, поисковый, исследовательский.
Формы контроля:
Проверочные работы, тестирование.
Учебно-тематический план
№
Название тем курса
Кол-во часов
1.
Общие сведения об уравнениях
2.
2.
Методы решения уравнений
2
3.
Тригонометрические уравнения
5
4
Иррациональные уравнения
5
5.
Логарифмические уравнения
5
6.
Показательные уравнения .
5
7.
Уравнения с параметром
4
8.
Нестандартные методы решения уравнений
4
9.
Контрольная работа
2
Содержание тем учебного курса
1.Общие сведения об уравнениях, равносильные уравнения . ОДЗ.
Общие методы решения уравнений. Алгебраические уравнения. Примеры.
2.Методы решения уравнений. Алгебраические уравнения . Методы
подстановки при решении уравнений .
3.Тригонометрические уравнения.
Методы решения тригонометрических уравнений. Примеры.
Самостоятельная работа
4.Иррациональные уравнения.
Методы решения иррациональных уравнений. Примеры. Самостоятельная
работа.
5.Логарифмические уравнения
Методы решения логарифмических уравнений. Примеры. Самостоятельная
работа
6. Показательные уравнения .
Методы решения показательных уравнений. Примеры. Самостоятельная
работа
7. Уравнения с параметром Примеры решения уравнений с параметром.
8.Нестандартные методы решения уравнений.
Использование
свойств
функций
при
решений
уравнений.
Тригонометрические подстановки.
Литература для учащихся:
1. Никольский С.Н., Потапов М.К. Решетников Н.Н. Алгебра и начала
анализа10-11 .
2.Колесникова С.И. Решение сложных задач ЕГЭ - М. Айрис-пресс,2007
3.Чулков. П.В.Уравнения и неравенства в школьном курсе математики.- М..
Педагогический университет «Первое сентября»
4.Тесты ЕГЭ 2010 - 2011год
5.Шандер В.Н. Уравнения и неравенства - М. Российская
академия
образования при МГУ.
6.Алгебраические уравнения в курсе элементарной математики.
Математика. «Первое сентября» №13 ,47,48-2000
7.Жафяров А.Ж. Математика : профильный уровень, 2007г
Литература для учителя:
1. Гомонов С. А. Методические рекомендации к элективному курсу С.А.
Гомонова Замечательные неравенства: способы получения и примеры
применения. 10 -11 классы. Профильное обучение Элективные курсы.
Москва. Дрофа 2006.
2. Элективный курс. Неравенства: через тернии к успеху. Алгебра 10 – 11
классы./ Составитель Ким Н. А. – Волгоград: ИТД «Корифей». 2007г.
3. И.Ф. Шарыгин, В.И. Голубев Факультативный курс по математике:
Решение задач. – М.: Просвещение, 1991.
4. М.И. Сканави, Сборник задач по математике для поступающих во втузы. –
М.: ОНИКС 21 век, Мир и Образование, Альянс-В, 2001.
5. С. Шестаков. Замени функцию. // Математика. 2002, №8.
6.Горштейн П.И., Полонский В.Б., Якир м.С. Задачи с параметрами, 2007г.
7. 3000 конкурсных задач по математике, 2009г. Под редакцией
Бобылева Н. А.
8.Севрюков П.Ф., Смоляков А.Н. Показательные и логарифмические
уравнения и неравенства, 200
Тема: Решение простейших тригонометрических уравнений. (2ч)
Цель – повторить, систематизировать и обобщить решение простейших
тригонометрических уравнений, запись их корней. Решение задачи В3.
Любое тригонометрическое уравнение, каким бы способом мы его не решали, приводит к
простейшему.
При выполнении задания следует обращать внимание учащихся на запись корней
уравнений частных случаев и общего вида и на отбор корней в последнем уравнении.
Решить уравнения:
В ответ записать наименьший положительный корень.
Самостоятельная работа
Цель – проверка полученных навыков, выявление проблем , ошибок и путей их
устранения.
Предлагается разноуравневая работа на выбор учащегося.
Вариант на «3»
1) Найти значение выражения
2) Упростить выражение 1 - sin23α - cos23α
3) Решить уравнение
Вариант на «4»
1) Найти значение выражения
2) Решить уравнение
корень.
В ответе записать наименьший положительный
Вариант на «5»
1) Найти tgα, если
2) Найти корень уравнения
положительный корень.
В ответ запишите наименьший
Итог урока
Учитель подводит итоги о том, что на уроке повторили и закрепили тригонометрические
формулы, решение простейших тригонометрических уравнений.
Задается домашнее задание (подготовленное на печатной основе заранее) с выборочной
проверкой на следующем уроке.
Д/з:
Решить уравнения:
9)
10)
В ответе указать наименьший положительный корень.
В ответе указать наименьший положительный корень.
Тема: Методы решений тригонометрических уравнений. Отбор корней.
Самостоятельная работа (3 часа)
Цели:



Обобщить и систематизировать знания по решению тригонометрических уравнений
различных типов.
Содействовать развитию математического мышления учащихся, умению наблюдать,
сравнивать, обобщать, классифицировать.
Побуждать учащихся к преодолению трудностей в процессе умственной деятельности, к
самоконтролю, самоанализу своей деятельности.
Структура урока:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Оргмомент
Обсуждение д/з и самот. работы прошлого урока
Повторение методов решений тригонометрических уравнений.
Решение тригонометрических уравнений
Отбор корней в тригонометрических уравнениях.
Самостоятельная работа.
Итог урока. Домашнее задание.
Повторение методов решения тригонометрических уравнений
Цель – вспомнить методы решения тригонометрических уравнений.
Спросить у учащихся, какие методы решений тригонометрических уравнений они знают.
Акцентировать на том, что есть так называемые основные (часто используемые) методы:



замена переменной,
разложение на множители,
однородные уравнения,
и есть прикладные методы:





по формулам преобразования суммы в произведение и произведения в сумму,
по формулам понижения степени,
универсальная тригонометрическая подстановка
введение вспомогательного угла,
умножение на некоторую тригонометрическую функцию.
Также нужно напомнить, что одно уравнение может решаться различными способами.
Решение тригонометрических уравнений
Цель – обощить и закрепить знания и навыки по данной теме, подготовиться к решению
С1 из ЕГЭ.
Считаю целесообразным прорешать вместе с учащимися уравнения на каждый метод.
Решить уравнения:
1) замена переменной 6cos2x + 5sinx - 7 = 0
2) разложение на множители 3cos(x/3) + 4cos2(x/3) = 0
3) однородные уравнения sin2x + 3cos2x - 2sin2x = 0
4) преобразование суммы в произведение cos5x + cos7x = cos(π + 6x)
5) преобразование произведения в сумму 2sinx sin2x + cos3x = 0
6) понижение степени sin2x - sin22x + sin23x = 0,5
7) универсальная тригонометрическая подстановка sinx + 5cosx + 5 = 0.
Решая это уравнение, следует отметить, что использование данного метода ведет к
сужению области определения, так как синус и косинус заменяется на tg(x/2). Поэтому,
прежде чем выписывать ответ, нужно сделать проверку, являются ли числа из множества
π + 2πn, n Z конями данного уравнения.
8) введение вспомогательного угла √3sinx + cosx - √2 = 0
9) умножение на некоторую тригонометрическую функцию cosx cos2x cos4x = 1/8.
Отбор корней тригонометрических уравнений
Так как в условиях жесткой конкуренции при поступлении в ВУЗы решение одной первой
части экзамена недостаточно, то следует большинству учащихся обращать внимание на
задания второй части (С1,С2,С3).
Поэтому цель этого этапа занятия – вспомнить ранее изученный материал, подготовиться
к решению задачи С1 из ЕГЭ 2011 года.
Существуют тригонометрические уравнения, в которых нужно производить отбор корней
при выписке ответа. Это связано с некоторыми ограничениями, например: знаменатель
дроби не равен нулю, выражение под корнем четной степени неотрицательно, выражение
под знаком логарифма положительно и т.д.
Такие уравнения считаются уравнениями повышенной сложности и в варианте ЕГЭ
находятся во второй части, а именно С1.
Решить уравнение:
1)
Дробь равна нулю, если
тогда
окружности произведем отбор корней (см. рисунок 1)
с помощью единичной
Рисунок 1.
получим x = π + 2πn, n
Ответ: π + 2πn, n
Z
Z
На экране отбор корней показывается на окружности в цветном изображении.
2)
Произведение равно нулю когда хотя бы один из множителей равен нулю, а дугой, при
этом, не теряет смысла. Тогда
С помощью единичной окружности отберем корни (см. рисунок 2)
Рисунок 2.
тогда
Ответ:
,
.
3) (2cos2x + 5cosx + 2) log5(tgx) = 0
Вспоминаем когда произведение равно нулю и переходим к системе:
отметим на единичной окружности корни уравнений и выберем из них те, которые
удовлетворяют неравенствам (см. рисунок 3),
Рисунок 3.
получим
Ответ:
4)
Вспоминаем когда дробь равна нулю и переходим к системе:
решив первое уравнение, получаем
с помощью единичной окружности выбираем корни (см. рисунок 4),
Рисунок 4.
получаем x = π/6 + 2πn, n
Ответ: π/6 + 2πn, n
Z
Z.
5)
Переходим к системе:
В первом уравнении системы сделаем замену log2(sinx) = y, получим
уравнение
тогда
, вернемся к системе
с помощью единичной окружности отберем корни (см. рисунок 5),
Рисунок 5.
6. Самостоятельная работа
Цель – закрепить и проверить усвоение материала, выявить ошибки, наметить пути их
исправления.
Работа предлагается в трех вариантах, заготовленных заранее на печатной основе, на
выбор учащихся.
Решать уравнения можно любым способом.
Вариант на «3»
Решить уравнения:
1) 2sin2x + sinx - 1 = 0
2) sin2x = √3cosx
Вариант на «4»
Решить уравнения:
1) cos2x = 11sinx - 5
2) (2sinx + √3)log8(cosx) = 0
Вариант на «5»
Решить уравнения:
1) 2sinx - 3cosx = 2
2)
7. Итог урока, домашнее задание
Учитель подводит итог урока, еще раз обращается внимание на то, что
тригонометрическое уравнение можно решить несколькими способами. Самый лучший
способ для достижения быстрого результата это тот, который лучше всего усвоен
конкретным учеником.
При подготовке к экзамену нужно систематически повторять формулы и методы решения
уравнений.
Домашнее задание (приготовлено заранее на печатной основе) раздается и
комментируются способы решений некоторых уравнений.
Решить уравнения:
1) cosx + cos5x = cos3x + cos7x
2) 5sin(x/6) - cos(x/3) + 3 = 0
3) 4sin2x + sin2x = 3
4) sin2x + sin22x - sin23x - sin24x = 0
5) cos3x cos6x = cos4x cos7x
6) 4sinx - 6cosx = 1
7) 3sin2x + 4 cos2x = 5
8)cosx cos2x cos4x cos8x = (1/8)cos15x
9) (2sin2x - sinx)log3(2cos2x + cosx) = 0
10) (2cos2x - √3cosx)log7(-tgx) = 0
11)
«Решение показательных уравнений.»(5часов)
Тема урока:
Цель урока: Обобщение и систематизация знаний учащихся; Закрепление
умений решать показательные уравнения и системы уравнений
Ход урока:
1. Сообщение темы и целей урока.
2. Проверка домашнего задания
№12.34 (б)
12 2 x  6 x 1  8  3 x ч  0
3x  22 x  6  2 x  3x  8  3x  0


3x 22 x  6  2 x  8  0
5
№12.36 (а)
2 x 2 1
 x 1 x  2 
 35
 2  56 x 1
2
1 2 x2
5
 5  3  5 2  5 x  3 x  2  56  56 x  0  6 x
5
5
3x  0
5 2 x
22 x  6  2 x  8  0
Пусть 5 x
2 x  t, t  0
t 2  375t  156250  0
t 2  6t  8  0
уд).
D  140625 (не
 625000
 8752
t1  2 t 2  4
t1  250
2 x  2 2 x  22
x1  1 x2  2
5x
Ответ :1, 2
x1  4 x2  1
Найти корень уравнения:
3
4
1
2
5x  3
; x
3
25
5 x  2 x  0.13 ; x  3
10 x  4 1000 ; x 
2 x1  4 ; x  1
x
x

3 x
3 x
  375  5 x
2
3 x
1
; x  1
6
1000
; x3
27
 x  2 x  2 x ; x  0
0,3 x 
3 x1  5 x  675 ; x  2
3 x
 156250  0
; t 2  625
 54
Ответ : -1; 4
2
 t; t  0
x 2  3x  4  0
3. Повторение теоретического материала
4. Устная работа :
 12    3 
2
2
Найти координаты точки пересечения графиков функций:
а)
б)
;
в)
5.
Письменные упражнения:
Решить систему уравнений:
Решение:
Преобразуем:
1) Перемножим уравнения (1) и (2):
2) Поделим уравнения (1) и (2):
3) Данную систему сводим к эквивалентной ей системе:
Выполним задание из учебника №12.27 (б):
Введём новую переменную:
Самостоятельная работа.
Проверка работы :
Вариант 1
Вариант 2
№12.17 (а)
№12.17 (б)
3 x  3 x 3  78
52 x 1  52 x 3  4,8
3 x (1  33 )  78
52 x (51  53 )  4,8
3 x (26)  78
 24  24
52 x 

 125  5
52 x  52
x 1
Ответ : 1.
3x  3
x 1
Ответ : 1.
№12.21 (а)
№12.21 (б)
22 x  6  22 x  8  0
32 x  6  3 x  27  0
Пусть 2 2x  t ; t  0
Пусть 3 x  t ; t  0
t 2  6t  8  0
t 2  6t  27  0
t1  9 t 2  3
t1  2
t2  4
2 2 x  2 2 2x  4
1
x1 
x2  1
2
1
Ответ : ; 1.
2
3x  9
x2
Ответ : 2.
Тема:
Решение логарифмических уравнений. (5часов)
Цели урока: Обобщить и систематизировать знания учащихся.1.Обучающая - вторичное
осмысление уже известных знаний, выработка умений и навыков по их применению.
Закрепить основные методы решения логарифмических уравнений, предупредить
появление типичных ошибок.
2.Развивающая - развитие логического мышления для сознательного восприятия учебного
материала, внимание, зрительную память, активность учащихся на уроке. Предоставить
каждому из учащихся проверить свой уровень подготовки по данной теме.
1.
Простейшими логарифмическими уравнениями будем называть уравнения
следующих видов:
log a x = b, a > 0, a  1.
log a f(x) = b, a > 0, a  1.
log f(x) b = c, b > 0.
Эти уравнения решаются на основании определения логарифма:
если logb a = c, то a = bc.
Решить уравнение
log2 x = 3.
Решение. Область определения уравнения x > 0. По определению логарифма x = 23, x = 8
принадлежит области определения уравнения.
Ответ: x = 8.
Уравнения вида loga f(x) = b, a > 0, a ≠ 1.
Уравнения данного вида решаются по определению логарифма с учётом области
определения функции f(x). Уравнение равносильно следующей системе
 f ( x)  0,

b
 f ( x)  a .
Обычно область определения находится отдельно, и после решения уравнения f(x)
= ab проверяется, принадлежат ли его корни области определения уравнения.
log3(5х – 1) = 2.
Решение:
ОДЗ: 5х – 1 > 0; х > 1/5.
log3(5х– 1) = 2,
log3(5х – 1) = log332,
5х - 1 =9,
х = 2.
Ответ: 2.
Пример. Решить уравнение
1
log 1 (2 x 2  2 x  1)   .
2
9
Решение. Область определения уравнения находится из неравенства 2х2 – 2х – 1 > 0.
Воспользуемся определением логарифма:

1
2
1
2x2  2x 1    .
9
Применим правила действий со степенями, получим 2х2 – 2х – 1 = 3. Это уравнение имеет
два корня х = –1; х = 2. Оба полученные значения неизвестной удовлетворяют
неравенству 2х2 – 2х – 1 > 0, т.е. принадлежат области определения данного уравнения, и,
значит, являются его корнями.
Ответ. х1 = –1, х2 = 2.
Уравнения вида logf(x) b = с, b > 0.
Уравнения этого вида решаются по определению логарифма с учётом области
определения уравнения. Данное уравнение равносильно следующей системе
b  0,

 f ( x)  0, f ( x)  1,

c
 f ( x)   b.
Чаще всего, область определения логарифмического уравнения находится отдельно, и
после решения уравнения (f(x))c = b или равносильного уравнения
f ( x)  b
1
c
проверяется, принадлежат ли его корни найденной области.
Пример. Решить уравнение
logx–19 = 2.
Решение. Данное уравнение равносильно системе
 x  1, x  2,
x

1

0
,
x

1

1
,




 x  2,
2
(
x

1
)

9
;

 x  4.

Ответ. x = 4.
2.. Потенцирование.
Суть метода заключается в переходе от уравнения
log a f(x) = log a g(x) к уравнению f(x) = g(x), которое обычно
не равносильно исходному.
Уравнения вида
loga f(x) = loga g(x) , а > 0, а  1.
На основании свойства монотонности логарифмической функции заключаем, что f(x) =
g(x).
Переход от уравнения loga f(x) = loga g(x) к уравнению
f(x) = g(x) называется потенцированием.
Нужно отметить, что при таком переходе может нарушиться равносильность уравнения.
В данном уравнении f(x) > 0, g(x) > 0,
а в полученном после потенцирования эти функции могут быть как положительными, так
и отрицательными. Поэтому из найденных корней уравнения f(x) = g(x) нужно отобрать
те, которые принадлежат области определения данного уравнения. Остальные корни
будут посторонними.
Пример. Решить уравнение
log3 (x2 – 3x – 5) = log3 (7 – 2x).
Решение. Область определения уравнения найдётся из системы неравенств
 x 2  3x  5  0,

7  2 x  0.
Потенцируя данное уравнение, получаем х2 – 3х – 5 = 7 – 2х,
х2 – х – 12 = 0, откуда х1 = –3, х2 = 4. Число 4 не удовлетворяет системе неравенств.
Ответ. х = –3.
Cведение уравнений к виду log a f(x) = log a g(x)
с помощью свойств логарифмов по одному основанию.
Если уравнение содержит логарифмы по одному основанию, то для приведения их
к виду log a f(x) = log a g(x) используются следующие свойства логарифмов:



logb a + logb c = logb (ac), где a > 0; c > 0; b > 0, b  1,
logb a – logb c = logb (a/c), где a > 0; c > 0; b > 0, b  1,
m logb a = logb a m, где a > 0; b > 0, b  1; mR.
Пример 1. Решить уравнение
log6 (x – 1) = 2 – log6 (5x + 3).
Решение. Найдём область определения уравнения из системы неравенств
 x  1  0;
 x  1;
x  1.


5
x

3

0
.
x


0
,
6
.


Применяя преобразования, приходим к уравнению
log6 (x – 1) + log6 (5x + 3) = 2,
log6 ((x – 1)(5x + 3)) = 2, далее, потенцированием, к уравнению
(х – 1)(5х + 3) = 36, имеющему два корня х = –2,6; х = 3.
определения уравнения, х = 3.
Учитывая область
Ответ. х = 3.
Пример 2. Решить уравнение
log5 (3x  1)( x  3)   log5
3x  1
 0.
x3
Решение. Найдём область определения уравнения, решив неравенство (3x – 1)(x + 3) > 0
методом интервалов.
1

x  (;  3)   ;   .
3

Учитывая, что разность логарифмов равна логарифму частного, получим уравнение
log5 (x + 3) 2 = 0. По определению логарифма
(х + 3) 2 = 1, х = –4, х = –2. Число х = –2 посторонний корень.
Ответ. х = –4.
Пример 3. Решить уравнение
log2 (6 – x) = 2log6 x.
Решение. На области определения 0 < x < 6 исходное уравнение равносильно уравнению
6 – x = x2, откуда х = –3, х = 2. Число х = –3 посторонний корень.
Ответ. х = 2.
Уравнения вида
Alog a f(x) + Blog b g(x) + C = 0.
Метод потенцирования применяется в том случае, если все логарифмы, входящие в
уравнение, имеют одинаковое основание. Для приведения логарифмов к общему
основанию используются формулы:
logc b
, где a  0, a  1; b  0; c  0, c  1.
logc a
1
2. loga b 
, где a  0, a  1; b  0, b  1.
logb a
1
3. log a n b  log a b, где a  0, a  1; b  0; n  R, n  0.
n
1. loga b 
4. log a n b m 
m
log a b, где a  0, a  1; b  0; m, n  R, n  0.
n
Пример 1. Решить уравнение
log2 (2  x)  log0,5 ( x  1)  3.
Решение. Область определения уравнения 1 < x < 2. Используя формулу (3), получим
log2 (2  x)  log2 ( x  1)  3.
Так как 3 = log28, то на области определения получим равносильное уравнение (2–x)/(x–
1) = 8, откуда x = 10/9.
Ответ. x = 10/9.
Пример 2. Решить уравнение
1
1
log3 ( x  1)  log 1 .
2
25
3
Решение. Область определения уравнения x > 1. Приведём логарифмы к основанию 3,
используя формулу (4).
1
log3 ( x  1)  log31 5 2 , log3 ( x  1)  log3 5.
2
Ответ. х = 6.
Пример 3. Решить уравнение
log3 ( x  1)  log x 1 3  2.
Решение. Область определения уравнения x > –1, x  0. Приведём логарифмы к
основанию 3, используя формулу (2).
log3 ( x  1) 
1
 2.
log3 ( x  1)
Умножим обе части уравнения на log 3(x + 1)  0 и перенесем все слагаемые в левую
часть уравнения. Получим (log 3(x + 1)–1)2 = 0, откуда log 3(x + 1) = 1 и x = 2.
Ответ. x = 2.
3.Введение новой переменной
Рассмотрим два вида логарифмических уравнений, которые введением новой
переменной приводятся к квадратным.
A log2a f ( x)  B loga f ( x)  C  0,
A log a f ( x)  B log f ( x ) a  C  0.
Уравнения вида
A log 2a f ( x)  B log a f ( x)  C  0,
где a > 0, a  1, A, В, С – действительные числа.
Пусть t = loga f(x), tR. Уравнение примет вид t2 + Bt + C = 0.
Решив его, найдём х из подстановки t = loga f(x). Учитывая область определения, выберем
только те значения x, которые удовлетворяют неравенству f(x) > 0.
Пример 1. Решить уравнение lg 2 x – lg x – 6 = 0.
Решение. Область определения уравнения – интервал (0; ).Введём новую переменную t
= lg x, tR.
Уравнение примет вид t 2 – t – 6 = 0. Его корни t1 = –2, t2 = 3.
Вернёмся к первоначальной переменной lg x = –2 или lg x = 3,
х = 10 –2 или х = 10 3. Оба значения x удовлетворяют области определения данного
уравнения (х > 0).
Ответ. х = 0,01; х = 1000.
Пример 2. Решить уравнение
2 log3 x 2  log32 ( x)  4
Решение. Найдём область определения уравнения
 x  0,  x  0,
x  0.
 2

x

0
;
 x  0; 
Применив формулу логарифма степени, получим уравнение
4 log3 | x |  log32 ( x)  4.
Так как х < 0, то | x | = –x и следовательно
4 log3 ( x)  log32 ( x)  4.
Введём новую переменную t = log3 (–x), tR. Квадратное уравнение
t 2 – 4t + 4 = 0
имеет два равных корня t1,2 = 2. Вернёмся к первоначальной переменной log3 (–x) = 2,
отсюда –х = 9, х = –9. Значение неизвестной принадлежит области определения
уравнения.
Ответ. х = –9.
Уравнения вида
A loga f ( x)  B log f ( x ) a  C  0,
где a > 0, a  1, A, В, С – действительные числа , A0, В0.
Уравнения данного вида приводятся к квадратным умножением обеих частей его
на loga f(x) 0. Учитывая, что loga f(x) logf(x) a=1
(свойство logb a = 1/ loga b), получим уравнение
A log2a f ( x)  C loga f ( x)  B  0.
Замена loga f(x)=t, tR приводит его к квадратному
At2 + Ct + B = 0.
Из уравнений loga f(x)= t1 , logb f(x)= t2 найдем значения x и выберем среди них
принадлежащие области определения уравнения:
f(x) > 0, f(x) 1.
Пример. Решить уравнение
log5 ( x  2)  2 log x  2 5  1  0.
Решение. Область определения уравнения находим из условий x+2>0, x+2  1, т.е. x >–2, x
 –1.
Умножим обе части уравнения на log5 (x+2) 0, получим
log52 ( x  2)  2  log5 ( x  2)  0
или, заменив log5 (x+2) = t, придем к квадратному уравнению
t 2 – t – 2 = 0, t1 = –1, t2 =2.
Возвращаемся к первоначальной переменной:
log5 (x+2) = –1,
x+2 = 1/5, x = –9/5,
log5 (x+2) = 2, x+2 = 25, x = 23.
Оба корня принадлежат области определения уравнения.
Ответ: x = –9/5, x = 23.
в) log2х – 2 logх2 = –1
Решение:
ОДЗ: x > 0, х ≠ 1
Используя формулу перехода к новому основанию, получим
Обозначим
Ответ:
4. Приведение некоторых уравнений к логарифмическим логарифмированием обеих
частей.
Переход от уравнения вида f(x) = g(x) к уравнению
loga f(x) = loga g(x), который возможен если f(x) >0, g(x) >0, a >0,
a  1, называется логарифмированием.
Методом логарифмирования можно решать :
A log c x  B
 Cx .
Уравнения вида b
Уравнения вида
x A log a x  B  Cx .
Уравнения вида
b A log a x  B  Cx , a  0, a  1, b  0, C  0.
Область определения уравнения – интервал (0, ). Прологарифмируем обе части
уравнения по основанию a, затем применим формулы логарифма степени и
произведения
log a b A log a x  B  log a Cx  ,
 A loga x  B  loga b  loga C   loga x.
Приведем подобные и получим линейное уравнение относительно
loga x.
Пример. Решить уравнение 32log4 x+2=16x2.
Решение. Область определения x >0. Прологарифмируем обе части по основанию 4.
log4 32 log 4 x  2  log4 16 x 2 ,
Используя свойства логарифмов, получим
2 log4 x  2log4 3  log4 16  2 log4 x,
2log4 x  1 log4 3  2log4 4  log4 x ,
log4 xlog4 3  1  1  log4 3, log4 x  1,
x  1 / 4.
Ответ x = 1/4
Уравнения вида
x A log a x  B  Cx , a  0, a  1
Область определения уравнения – интервал (0, ). Прологарифмируем обе части
уравнения по основанию a, получим
loga ( x A log a x  B )  loga Cx .
Применим формулы логарифма степени и логарифма произведения
( A log a x  B) log a x  log a C   log a x.
Введем новую переменную t=loga x , tR. Решив квадратное уравнение At2 + (B–)t–
loga C=0, найдем его корни t1 и t2. Значение x найдем из уравнений t1 = loga x и t2=loga x и
выберем среди них принадлежащие области определения уравнения.
Пример 1. Решить уравнение
x1 log 3 x  9.
Решение. Область определения уравнения х > 0. Так как при х > 0 обе части уравнения
положительны, а функция y = log3 t монотонна, то
log3 x1 log 3 x  log3 9,
(1 + log3 x) log3 x = 2.
Введём новую переменную t, где t = log3 x, tR.
(1 + t) t = 2,
t 2 + t – 2 = 0,
t1 = –2, t2 = 1.
log3 x = –2 или log3 x = 1,
x = 1/9 или х = 3.
Ответ. х = 1/9; х = 3.
Пример 2. Решить уравнение
x
x log 2 x  2  .
4
Решение. Область определения уравнения х >1. Обе части уравнения положительны,
прологарифмируем их по основанию 2, получим
x
log 2 ( x log 2 x  2 )  log 2 .
4
Применим формулы логарифма степени и логарифма частного:
(log2 x  2) log2 x  log2 x  log2 4.
Введем новую переменную t=log2x, получим квадратное уравнение
t2 - 3t + 2 = 0,
t1 = 2, t2 = 1, тогда log2 x = 2 или log2 x =1.
Ответ. x = 4, x = 2.
Домашнее задание:
Проверочная работа
В работе предлагаются задания тренировочного и обобщающего характера.
Цели заданий:
проверить знание основных методов решения логарифмических уравнений,
проверить умение определять метод решения уравнения,
проверить умение реализовать выбранный метод.
Тема: Иррациональные уравнения(5часов)
Цель: Научить обучающихся решать иррациональные уравнения различными
способами. Выработать навыки у учащихся в их решении.
Уравнения, содержащие неизвестную под знаком радикала называются
иррациональными уравнениями. Например
Подчеркнем, что радикалы четной степени, входящие в уравнение, понимаются
в арифметическом смысле и они существуют если и только если подкоренное
выражение неотрицательно.
Пример 1. Решить уравнения
Решение. a) Заметим, что при любом допустимом значении x левая часть
уравнения неотрицательна, а его правая часть отрицательна, следовательно
уравнение не имеет решений.
b) Сумма двух неотрицательных выражений равна нулю, если они
одновременно равны нулю, следовательно уравнение равносильно системе
x - 2 = 0,
x + 2 = 0,
которая противоречива. Следовательно и исходное уравнение не имеет
решений.
c) Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения определяется из системы
3 - x ≥ 0,
x - 5 ≥ 0.
Поскольку система противоречива, ОДЗ данного уравнения является пустым
множеством и, следовательно, исходное уравнение не имеет решений.
d) ОДЗ данного уравнения x = 4, определяется из системы
Поскольку x = 4 есть единственное допустимое значение, достаточно проверить,
является ли оно решением уравнения. Подставив x = 4 в уравнение получим
верное числовое равенство 0 = 0 и, следовательно, x = 4 есть единственное
решение данного уравнения.
e) Множество допустимых значений этого уравнения имеет вид x  [2;4]. Это
множество определяется из системы неравенств
x - 2 ≥ 0,
x + 7 ≥ 0,
4 - x ≥ 0.
Заметим, что на ОДЗ имеет место неравенство
,и
поскольку
, следовательно данное уравнение не имеет
решений.
f)
x = -3/2,
2
4x -9 = 0,
x = 3/2,
(4x2 - 9)
= 0, 
=0 
x = 3/2,

x = 1,
x = 1.
x ≥ 1,
x ≥ 1,
Одним из стандартных приемов решения иррациональных неравенств является
освобождение от радикалов путем возведения обеих частей в соответствующую
степень. Подчеркнем (см. например [1]), что если n нечетное натуральное число,
то уравнения f(x) = g(x) и (f(x))n = (g(x))n равносильны, а если n четное
натуральное число, то уравнение (f(x))n = (g(x))n есть следствие уравнения f(x)
= g(x) и, следовательно, необходимо провести проверку полученных решений.
Пример 2. Решить уравнения
Решение. a) Возводя обе части уравнения в куб, получим равносильноеv
уравнение
5x + 27 = x3 + 9x2 + 27x + 27,
или
x3 + 9x2 + 22x = 0,
откуда следует совокупность
x = 0,
x2 + 9x + 22 = 0.
Поскольку последнее уравнение не имеет решений ( = 92 - 4·22 < 0), то x = 0 единственное решение исходного уравнения.
b) Возводя обе части уравнения в шестую степень получим
x2 = (x - 4)3
или
x3 - 13x2 + 48x - 64 = 0,
откуда, удобно группируя,
(x3 - 8x2) - (5x2 - 40x) + (8x - 64) = 0,
получим
x2(x - 8) - 5x(x - 8) + 8(x - 8) = 0,
или
(x - 8)(x2 - 5x + 8) = 0.
Последнее уравнение равносильно совокупности
x - 8 = 0,
x2 - 5x + 8 = 0,
откуда x = 8. Проверкой убеждаемся, что x = 8 удовлетворяет исходному
уравнению.
c) Возводя обе части уравнения в квадрат, получаем квадратное уравнение
x2 - 9x + 25 = 4x2 - 52x + 169,
или
3x2 - 43x + 144 = 0,
решения которого x1 = 9 и x2 = 16/3. После проверки остается лишь x = 9.
d) Перепишем уравнение в виде
и возводя обе части уравнения в квадрат, получим
Опять отделим один корень
или
и возводя в квадрат, получим уравнение
9(3 - x) = (3 - x)2,
корни которого x = 3 и x = -6. Проверкой убеждаемся, что оба значения
удовлетворяют исходному уравнению,
При решении иррациональнных уравнений удобно и полезно следующее
утверждение (см., например, [2]).
A1. Уравнение
равносильно системе
f(x) = [g(x)]2n,
g(x) ≥ 0.
Замечание.. Из утверждения A1 следует, что уравнения
= [b]2nравносильны.
(b ≥ 0) и f(x)
Пример 3. Решить уравнения
Решение. a) (Сравните решение с приведенным в примере 2d)) используя
утверждениеA1, получим систему
x2 - 9x + 25 = (2x - 13)2,
2x - 13 ≥ 0,
или
3x2 - 43x + 144 = 0,
x ≥ 13/2,
откуда
x = 16/3,
x2 = 9,
x ≥ 13/2,
и значит x = 9.
b) Используя утверждение A1, получим
10 - x = (x + 2)2,
=x+2

x2 + 5x - 6 = 0,

x + 2 ≥ 0,

x ≥ -2,
x1 = -6,
x2 = 1,


x = 1.
x ≥ -2,
Подчеркнем, что при решении уравнений, содержащих радикалы четной
степени полезно работать с множеством допустимых значений на всем
протяжении решения уравнения.
Пример 4. Решить уравнения
Решение. a) ОДЗ данного уравнения x  [5/3;4]. Исходное уравнение
равносильно следующему уравнению
.
Поскольку обе части уравнения на ОДЗ принимают неотрицательные значения,
возводя в квадрат получим равносильное уравнение
которое, после очевидных преобразований принимает вид
Используя утверждение A1 и учитывая ОДЗ, получим
(2x - 5)2 = 4 - x,
4x2 - 19x + 21 = 0,

5
x ≥ /2,
2x - 5 =


x  [5/2;4],
x  [5/3;4],
x1 = 7/4,
x2 = 3,

 x = 3.
x  [5/2;4],
b) ОДЗ данного уравнения x  (0;20]. Так как на ОДЗ обе части уравнения
неотрицательны, то возводя в квадрат получим echivalenta равносильное
уравнение
или, учитывая, что условие x  (0;20], влечет
получаем уравнение
откуда
Последнее уравнение на ОДЗ равносильно системе
(20 + x)(20 - x) = (3x - 20)2,
3x - 20 ≥ 0,
x  (0;20]
или
10x2 - 120x = 0,
x  [20/3;20]
откуда
x1 = 0,
x2 = 12,
x  [20/3;20]
и значит x = 12.
c) Область допустимых значений этого уравнения, ппредставляет
множество x (-;-4]{2}[3,+), являющееся решением системы неравенств
x2 - x - 2 ≥ 0,
x2 + 2x - 8 ≥ 0,
x2 - 5x + 6 ≥ 0.
Учитывая, что если AB ≥ 0, то
или
откуда
, получим
Из первого уравнения совокупности получим x = 2.
Для решения второго уравнения совокупности, учитывая ОДЗ, рассмотрим
следующие два случая:
I. Если x  (-;-4], уравнение примет вид
Возводя в квадрат, получим равносильное уравнение
или
Используя утверждение A1, получим
4(1 + x)(x + 4) = (8 + x)2,
x ≥ -8
или, после очевидных преобразований
3x2 + 4x - 48 = 0,
x ≥ -8
Учитывая, что x  [-8;-4], получим решение
II. Если x  [3;+), уравнение примет вид
.
Поскольку x + 4 > x - 3, то
. Из последннего неравенства и
неравенства
следует что данное уравнение при x ≥ 3 не имеет
решений. Таким образом, корни исходного уравнения x = 2 и
d) Область допустимых значений уравнения x  [1;11] является решением
системы неравенств
x - 1 ≥ 0,
x + 2 ≥ 0,
11 - x ≥ 0.
Поскольку обе части уравнения неотрицательны, возводя в квадрат, получим
равносильное уравнение
которое равносильно системе (см. утверждение A1)
4(x - 1)(x + 2) = (10 - 3x)2,
10 - 3x ≥ 0,
или
5x2 - 64x + 108 = 0,
x ≤ 10/3,
решение которой x1 = 2, удовлетворяет ОДЗ исходного уравнения.
Уравнения вида
посредством подстановки
уравнениям.
, как правило, приводятся к алгебраическим
Пример 5. Решить уравнения
Решение. a) Положив
уравнение
(t ≥ 0), тогда
. В результате получаем
2t2 + 5t - 18 = 0.
корни которого t1 = -9/2 и t2 = 2. Поскольку t ≥ 0 остается t = 2 или
x = 26 или x = 64.
, откуда
b) ОДЗ данного уравнения есть R\{-4;-7/5}. Заметим, что уравнение содержит
взаимно обратные выражения. Сделав подстановку
получим
и уравнение примет вид
или, после очевидных преобразований
6t2 - 13t + 6 = 0.
Решая это квадратное уравнение, получим корни t1 = 2/3 и t2 = 3/2. Следовательно,
или, возводя в куб,
откуда
x = 4,
x = -157/127.
c) Положим
и получим уравнение
или
2t2 - t - 15 = 0,
откуда t1 = -5/2 (не удовлетворяет условию t > 0) и t = 3. Таким образом
откуда, учитывая замечание к утверждению A1, получим 2x + 1 = 9 и x = 4.
d) Сделаем подстановку
x2 + 5x = t2 - 28 и уравнение примет вид
, тогда x2 + 5x + 28 = t2, откуда
t2 - 28 + 4 = 5t
или
t2 - 5t - 24 = 0
откуда t1 = -3 и t2 = 8.
Так как t ≥ 0, получим
Возводя в квадрат, получим равносильное уравнение
x2 + 5x + 28 = 64,
или
x2 + 5x - 36 = 0
решения которого x = -9 и x = 4.
В некоторых случаях иррациональное уравнение можно рационализировать
умножив обе части уравнения на отличное от нуля выражение.
Пример 6. Решить уравнение
.
Решение. Умножив обе части уравнения на выражение
(сопряженное выражение левой части уравнения), после сокращения подобных
слагаемых, получим уравнение
равносильное исходному, так как уравнение
не имеет действительных решений.
Сложив почленно уравнения
получим уравнение
или
Возводя обе части уравнения в квадрат получим равносильное уравнение
3x2 - x - 10 = 0
решения которого x1 = -5/3 и x2 = 2.
Проверкой убеждаемся, что среди найденных корней нет посторонних.
Замечание.. Данное уравнение можно решить используя подстановку t = 3x2 x + 6. В результате получим 3x2 - x-1 = 3x2 - x + 6 - 7 = t - 7 и уравнение примет
вид
Последнее уравнение решается аналогично примеру 2d).
Рассмотрим уравнения, которые решаются выделением полного квадрата под
знаком радикала.
Пример 7. Решить уравнения
Решение. a) Заметив, что x2 - 4x + 4 = (x - 2)2, x2 + 6x + 9 = (x + 3)2 и учитывая
что
, получим уравнение
|x - 2| + |x + 3| = 5.
Так как |x - 2| = |2 - x|, (2 - x) + (x + 3) = 5 и, следовательно
|2 - x| + |x + 3| = |(2 - x) + (x + 3)|
используя свойства модуля (см., например, [1]), получим что данное уравнение
равносильно неравенству
(2 - x)(x + 3) ≥ 0,
откуда получим множество решений исходного уравнения
x  [-3;2].
b) Под знаком каждого радикала выделим полный квадрат
Сделаем подстановку
t ≥ 0, после этого уравнение примет вид
|t - 2| + |t - 3| = t2.
Последнее уравнение равносильно совокупности
0 ≤ t ≤ 2,
-t + 2 - t + 3 = t2,
2 < t ≤ 3,
t - 2 - t + 3 = t2,
t > 3,
t - 2 + t - 3 = t2,
или
0 ≤ t ≤ 2,
2 < t ≤ 3,
t = 1,
t > 3,
t  ,
откуда
. Таким образом
или
.
Рассмотрим несколько специальных способов решения иррациональных
уравнений.
Пример 8. Решить уравнения (самостоятельная работа)
Тема: РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРАМИ.
Иногда в уравнениях некоторые коэффициенты заданы не конкретными
числовыми значениями, а обозначены буквами.
Пример: ax+b=c.
В этом уравнении х – неизвестное, a,b,c – коэффициенты, которые могут принимать
различные числовые значения. Заданные таким образом коэффициенты
называются параметрами.
Одно уравнение с параметрами задает множество уравнений (для всех возможных
значений параметров).
Пример: –5х+10=–1;
x+4y=0;
–102–1000y=
; и т.д.
это все уравнения, которые задает уравнение с параметрами ax+b=c.
Решить уравнение с параметрами – это значит:
1. Указать, при каких значениях параметров уравнение имеет корни и сколько их при разных
значениях параметров.
2. Найти все выражения для корней и указать для каждого из них те значения параметров, при
которых это выражение определяет корень уравнения.
Обратимся к уже приведенному уравнению с параметрами ax+b=c и решим его.
Если а0, то
.
Если а=0, то получаем b=c, если это действительно так, то корнем уравнения является любое
действительное число, если же bc, то уравнение решений не имеет.
Таким образом, мы получили:
при а0,
;
при а=0 и b=c, х – любое действительное число;
при а=0 и bc, уравнение корней не имеет.
В процессе решения этого уравнения мы выделили значение параметра а=0, при котором
происходит качественное изменение уравнения, такое значение параметра мы в дальнейшем
будем называть «контрольным». В зависимости от того, какое уравнение мы имеем,
«контрольные» значения параметра находятся по-разному. Рассмотрим различные типы
уравнений и укажем способ нахождения «контрольных»значений параметра.
I.
Линейные уравнения с параметром и уравнения, приводимые к линейным
В таких уравнениях «контрольными» значениями параметров, как правило, являются
значения, обращающие в нуль коэффициенты при х.
Пример 1. Решить уравнение с параметром: 2а(а–2)х=а–2
1. «Контрольными» значениями являются значения, удовлетворяющие условию:
2а(а–2)=0
решим это уравнение относительно переменной а.
2а=0 или а–2=0, откуда а=0, а=2.
2. Решим первоначальное уравнение при «контрольных» значениях параметра.
При а=0 имеем 0х=–2, но это не имеет место ни при каких действительных значениях х, то
есть в этом случае уравнение корней не имеет.
При а=2 имеем 0х=0, это справедливо при любом значении х, значит, корнем уравнения
является любое действительное число х.
3.
Решим первоначальное уравнение, в случае, когда а0 и а2, тогда 2а(а–2)0 и
обе части уравнения можно поделить на 2а(а–2), получим:
, так как а2, то дробь можно сократить на (а–2), тогда имеем
Ответ:
при а=0, корней нет;
при а=2, корень – любое действительное число;
.
при а0, а2,
.
Можно представить алгоритм решения такого типа уравнений.
1. Определить «контрольные» значения параметра.
2. Решить уравнение относительно х, при контрольных значениях параметра.
3. Решить уравнение относительно х, при значениях, отличных от «контрольных».
4. Записать ответ в виде:
Ответ: 1) при значениях параметра ... , уравнение имеет корни ... ;
2) при значениях параметра ... , уравнение имеет корни ... ;
3) при значениях параметра ... , уравнение корней не имеет.
Пример 2. Решить уравнение с параметром
(а2–2а+1)х=а2+2а–3
1. Найдем контрольные значения параметра
а2–2а+1=0  (а–1)2=0  а=1
2. Решим уравнение при а=1
0х=(1+21–3)  0х=0  х – любое действительное число.
3. Решим уравнение при а1
а2–2а+10 
разложим числитель и знаменатель дроби на множители
так как а1, дробь можно сократить
4. Ответ:
1) при а=1, х – любое действительное;
2) при а1,
.
Пример 3. Решить уравнение с параметром
1. Так как параметр а стоит в знаменателе, то а обязательно должно быть отлично от нуля.
При а0 приведем это уравнение к стандартному виду линейного уравнения, для чего обе
части умножим на а.
2(а+1)х=3а(х+1)+7
2ах+2х=3ах+3а+7
2ах+2х–3ах=3а+7
(2–а)х=3а+7
найдем «контрольные» значения а
2–а=0  а=2
2. Решим уравнение при а=2
0х=13
это равенство не имеет места ни при каких значениях х.
3. Решим уравнение при а2
2–а0 
4. Ответ: 1) при а=2, корней нет;
2) при а0, а2,
;
3) при а=0 уравнение не имеет смысла.
.
Контрольная работа
Решите уравнения:
1. sin3x+sinx=0
2. 2cos(x+ )-3=0
3. √2-x+√x+7=3
4. 2log 3x=log 3(2x2-x)
5. log23 x3-20log9x+1=0
6. 5 4x+3 10x=2 25x
7. 2а(а-2)х=а-2