Готовимся к ЕГЭ и ГИА в 5 классеx

Работа по подготовке к государственной итоговой аттестации по математике в
новой форме (ГИА и ЕГЭ), начиная с 5-го класса.
Введение государственной итоговой аттестации по математике в новой форме в 9 и 11
классах вызывает необходимость изменения в методах и формах работы учителя.
Изменились требования к знаниям, умениям и навыкам учащихся в материалах экзамена
по математике. Само содержание образования существенно не изменилось, но сместился
акцент к требованиям умений и навыков, а, главное, умение применять свои знания в
реальной жизни. И это всё в первой части экзамена, которая предусматривает
обязательный уровень знаний. В первую часть включаются темы, которые либо изучались
давно, либо на их изучение отводилось мало времени, либо не решались вообще. К таким
темам относятся: действия с числами, проценты, деление с остатком, задачи на «избыток»
и «недостаток», а также задачи, требующие знаний из реальной жизни.
Экзамен по математике - это итог работы и ученика, и учителя на протяжении пяти лет
обучения в школе, поэтому подготовка к нему является важной составляющей учебного
процесса. И поэтому целенаправленную работу по подготовке к ГИА и ЕГЭ надо
начинать уже с 5 класса.
Так при изучении темы «Деление с остатком», наряду с упражнениями учебника, я
решаю следующие задачи из открытого банка данных для подготовки к ГИА и КГЭ:
1). Сырок стоит 7 рублей 20 копеек. Какое наибольшее число сырков можно купить на 60
рублей?
2). В летнем лагере 220 детей и 26 воспитателей. В автобус помещается не более 49
пассажиров. Сколько автобусов требуется, чтобы перевезти всех из лагеря в город?
3). Теплоход рассчитан на 1000 пассажиров и 30 членов команды. Каждая спасательная
шлюпка может вместить 50 человек. Какое наименьшее число шлюпок должно быть на
теплоходе, чтобы в случае необходимости в них можно было разместить всех пассажиров
и всех членов команды?
4). В пачке 500 листов бумаги формата А4. За неделю в офисе расходуется 600 листов.
Какое наименьшее количество пачек бумаги нужно купить в офис на 6 недель?
5). Для приготовления маринада для огурцов на 1 литр воды требуется 12 г лимонной
кислоты. Лимонная кислота продается в пакетиках по 10 г. Какое наименьшее число
пачек нужно купить хозяйке для приготовления 6 литров маринада?
6). На день рождения полагается дарить букет из нечетного числа цветов. Тюльпаны стоят
60 рублей за штуку. У Вани есть 400 рублей. Из какого наибольшего числа тюльпанов он
может купить букет Маше на день рождения?
7). В университетскую библиотеку привезли новые учебники по высшей алгебре для 1-3
курсов, по 350 штук для каждого курса. Все книги одинаковы по размеру. В книжном
шкафу 7 полок, на каждой полке помещается 30 учебников. Сколько шкафов можно
полностью заполнить новыми учебниками?
Подготовка к ГИА и ЕГЭ показывает, что многие старшеклассники не могут решать
задачи реального содержания. Например, на расчет электроэнергии и другие. Изучая темы
«Действия с натуральными числами» и «Действия с десятичными дробями» я уже в 5
классе стараюсь вводить такие задачи.
1). Аня купила проездной билет на месяц и сделала за месяц 41 поездку. Сколько рублей
она сэкономила, если проездной билет на месяц стоит 580 рублей, а разовая поездка — 20
рублей
2). Шоколадка стоит 35 рублей. В воскресенье в супермаркете действует специальное
предложение: заплатив за две шоколадки, покупатель получает три (одну в подарок).
Сколько шоколадок можно получить на 200 рублей в воскресенье?
3). Таксист за месяц проехал 6000 км. Стоимость 1 литра бензина 20 рублей. Средний
расход бензина на 100 км составляет 9 л. Сколько рублей потратил таксист на бензин за
этот месяц?
4). Шоколадка стоит 35 рублей. В воскресенье в супермаркете действует специальное
предложение: заплатив за две шоколадки, покупатель получает три (одну в подарок).
Сколько шоколадок можно получить на 200 рублей в воскресенье?
5). Таксист за месяц проехал 6000 км. Стоимость 1 литра бензина 20 рублей. Средний
расход бензина на 100 км составляет 9 л. Сколько рублей потратил таксист на бензин за
этот месяц?
6). В доме, в котором живет Оля, 9 этажей и несколько подъездов. На каждом этаже
находится по 3 квартиры. Оля живет в квартире №32. В каком подъезде живет Оля?
7). В доме, в котором живет Олег, один подъезд. На каждом этаже по двенадцать квартир.
Олег живет в квартире 61. На каком этаже живет Олег?
8). Строительной фирме нужно приобрести 80 кубометров пенобетона у одного из трех
поставщиков. Цены и условия доставки приведены в таблице. Сколько рублей придется
заплатить за самую дешевую покупку с доставкой?
Стоимость
Поставщик пенобетона
(руб. за 1
)
A
2950
Стоимость
доставки
Дополнительные условия
4700 руб.
Б
3000
5700 руб.
При заказе на сумму больше
150000 руб. доставка бесплатно
В
2980
3700 руб.
При заказе более 85
бесплатно
доставка
9). От дома до дачи можно доехать на автобусе, на электричке или на маршрутном такси.
В таблице показано время, которое нужно затратить на каждый участок пути. Какое
наименьшее время потребуется на дорогу? Ответ дайте в часах.
1
2
3
Автобусом
От дома до автобусной
станции — 5 мин.
Автобус в пути:
2 ч 20 мин.
От остановки автобуса
до дачи пешком 10 мин.
Электричкой
От дома до станции
железной
дороги — 15 мин.
Электричка в пути:
1 ч 20 мин.
От станции до дачи
пешком 55 мин.
Маршрутным
такси
От дома до остановки
маршрутного
такси — 10 мин.
Маршрутное такси в От остановки
дороге:
маршрутного такси
1 ч 15 мин.
до дачи пешком 75 мин.
10). В таблице даны тарифы на услуги трёх фирм такси. Предполагается поездка
длительностью 50 минут. Нужно выбрать фирму, в которой заказ будет стоить дешевле
всего. Сколько рублей будет стоить этот заказ?
Фирма
такси
Подача
машины
Продолжительность и
стоимость
минимальной поездки
Стоимость 1 минуты сверх
продолжительности
минимальной поездки
А
200 руб.
Нет
14 руб.
Б
Бесплатно
10 мин. — 200 руб.
18 руб.
В
180 руб.
15 мин. — 300 руб.
16 руб.
11). Для того, чтобы связать свитер, хозяйке нужно 400 граммов шерстяной пряжи синего
цвета. Можно купить синюю пряжу по цене 60 рублей за 50 граммов, а можно купить
неокрашенную пряжу по цене 50 рублей за 50 граммов и окрасить её. Один пакетик
краски стоит 10 рублей и рассчитан на окраску 200 граммов пряжи. Какой вариант
покупки дешевле? В ответ напишите, сколько рублей будет стоить эта покупка.
12). Строительной фирме нужно приобрести 60 кубометров строительного бруса у одного
из трех поставщиков. Какова наименьшая стоимость такой покупки с доставкой (в
рублях)? Цены и условия доставки приведены в таблице.
A
Цена бруса Стоимость
(за 1
) доставки
4000 руб. 10900 руб.
Б
4300 руб.
8900 руб.
При заказе на сумму больше 150000 руб.
доставка бесплатно
В
4100 руб.
8900 руб.
При заказе на сумму больше 200000 руб.
доставка бесплатно
Поставщик
Дополнительные условия
13). При строительстве сельского дома можно использовать один из двух типов
фундамента: каменный или бетонный. Для каменного фундамента необходимо 7 тонн
природного камня и 9 мешков цемента. Для бетонного фундамента необходимо 5 тонн
щебня и 36 мешков цемента. Тонна камня стоит 1450 рублей, щебень стоит 670 рублей за
тонну, а мешок цемента стоит 250 рублей. Сколько рублей будет стоить материал для
фундамента, если выбрать наиболее дешевый вариант?
14). От дома до дачи можно доехать на автобусе, на электричке или на маршрутном такси.
В таблице показано время, которое нужно затратить на каждый участок пути. Какое
наименьшее время потребуется на дорогу? Ответ дайте в часах.
1
2
3
Автобусом
От дома до автобусной
станции — 5 мин.
Автобус в пути:
1 ч 35 мин.
От остановки автобуса
до дачи пешком 5 мин.
Электричкой
От дома до станции
железной
дороги — 25 мин.
Электричка в пути:
1 ч 20 мин.
От станции до дачи
пешком 5 мин.
Маршрутным
такси
От дома до остановки
маршрутного
такси — 20 мин.
Маршрутное такси в
От остановки
дороге:
маршрутного такси
1ч
до дачи пешком 35 мин.
2). Больному прописано лекарство, которое нужно пить по 0,25 г 3 раза в день в течение
18 дней. В одной упаковке 8 таблеток лекарства по 0,25 г. Какого наименьшего
количества упаковок хватит на весь курс лечения?
5). В летнем лагере на каждого участника полагается 70 г сахара в день. В лагере 172
человека. Сколько килограммовых пачек сахара понадобится на весь лагерь на 7 дней?
6). Летом килограмм клубники стоит 90 рублей. Маша купила 1 кг 200 г клубники.
Сколько рублей сдачи она должна получить с 500 рублей?
7). Павел Иванович купил американский автомобиль, спидометр которого показывает
скорость в милях в час. Американская миля равна 1609 м. Какова скорость автомобиля в
километрах в час, если спидометр показывает 33 мили в час? Ответ округлите до целого
числа.
5). В летнем лагере на каждого участника полагается 70 г сахара в день. В лагере 172
человека. Сколько килограммовых пачек сахара понадобится на весь лагерь на 7 дней?
6). Летом килограмм клубники стоит 90 рублей. Маша купила 1 кг 200 г клубники.
Сколько рублей сдачи она должна получить с 500 рублей?
7). Павел Иванович купил американский автомобиль, спидометр которого показывает
скорость в милях в час. Американская миля равна 1609 м. Какова скорость автомобиля в
километрах в час, если спидометр показывает 33 мили в час? Ответ округлите до целого
числа.
8). В квартире, где проживает Алексей, установлен прибор учёта расхода горячей воды
(счётчик). 1 марта счётчик показывал расход 811 куб.м воды, а 1 апреля — 826 куб.м.
Какую сумму должен заплатить Алексей за горячую воду за март, если цена 1 куб.м
горячей воды составляет 77 руб. 50 коп.? Ответ дайте в рублях.
9). Система навигации, встроенная в спинку самолетного кресла, информирует пассажира
о том, что полет проходит на высоте 22190 футов. Выразите высоту полета в метрах.
Считайте, что 1 фут равен 30,5 см.
10). Бегун пробежал 300 м за 30 секунд. Найдите среднюю скорость бегуна на дистанции.
Ответ дайте в километрах в час.
11). Рост Гарри 4 фута 8 дюймов. Выразите рост Гарри в сантиметрах, если 1 фут равен
0,305 м, а 1 дюйм равен 2,54 см. Результат округлите до целого числа сантиметров.
12). На автозаправке клиент отдал кассиру 1000 рублей и попросил залить бензин до
полного бака. Цена бензина 33 руб. 30 коп. Сдачи клиент получил 300 руб. 70 коп.
Сколько литров бензина было залито в бак?
13).Для транспортировки 45 тонн груза на 1300 км можно воспользоваться услугами
одной из трех фирм-перевозчиков. Стоимость перевозки и грузоподъемность автомобилей
для каждого перевозчика указана в таблице. Сколько рублей придется заплатить за самую
дешевую перевозку?
Стоимость перевозки одним
Перевозчик автомобилем
(руб. на 100 км)
Грузоподъемность
автомобилей
(тонн)
А
3200
3,5
Б
4100
5
В
9500
12
14). Интернет-провайдер (компания, оказывающая услуги по подключению к сети
Интернет) предлагает три тарифных плана.
Тарифный план Абонентская плата
Плата за трафик
План "0"
Нет
2,5 руб. за 1 Мб
План "500"
550 руб. за 500 Мб трафика в месяц 2 руб. за 1 Мб сверх 500 Мб
План "800"
700 руб. за 800 Мб трафика в месяц 1,5 руб. за 1 Мб сверх 800 Мб
Пользователь предполагает, что его трафик составит 600 Мб в месяц, и исходя из этого
выбирает наиболее дешевый тарифный план. Сколько рублей заплатит пользователь за
месяц, если его трафик действительно будет равен 600 Мб?
15). Для изготовления книжных полок требуется заказать 48 одинаковых стекол в одной
из трех фирм. Площадь каждого стекла 0,25
. В таблице приведены цены на стекло, а
также на резку стекла и шлифовку края. Сколько рублей будет стоить самый дешевый
заказ?
A
Цена стекла Резка и шлифовка
(руб. за 1
) (руб. за одно стекло)
420
75
B
440
65
C
470
55
Фирма
16). Семья из трех человек планирует поехать из Санкт-Петербурга в Вологду. Можно
ехать поездом, а можно — на своей машине. Билет на поезд на одного человека стоит
660 рублей. Автомобиль расходует 8 литров бензина на 100 километров пути, расстояние
по шоссе равно 700 км, а цена бензина равна 19,5 рубля за литр. Сколько рублей придется
заплатить за наиболее дешевую поездку на троих?
17). Для остекления музейных витрин требуется заказать 70 одинаковых стекол в одной из
трех фирм. Площадь каждого стекла 0,25
. В таблице приведены цены на стекло и на
резку стекол. Сколько рублей будет стоить самый дешевый заказ?
Цена стекла
Фирма (руб. за 1
)
A
300
Резка стекла
(руб. за одно
стекло)
B
290
15
C
360
5
Дополнительные условия
10
При заказе на сумму больше 6100 руб. резка
бесплатно.
18). Телефонная компания предоставляет на выбор три тарифных плана.
Тарифный план
Абонентская плата
Плата за 1 минуту разговора
"Повременный"
Нет
0,35 руб.
"Комбинированный"
110 руб. за 320 мин. в
месяц
0,3 руб. за 1 мин. сверх 320 мин. в
месяц.
"Безлимитный"
200 руб. в месяц
Абонент выбрал наиболее дешевый тарифный план исходя из предположения, что общая
длительность телефонных разговоров составляет 700 минут в месяц. Какую сумму он
должен заплатить за месяц, если общая длительность разговоров в этом месяце
действительно будет равна 700 минутам? Ответ дайте в рублях.
19). Клиент хочет арендовать автомобиль на сутки для поездки протяженностью 600 км. В
таблице приведены характеристики трех автомобилей и стоимость их аренды. Помимо
аренды клиент обязан оплатить топливо для автомобиля на всю поездку. Какую сумму в
рублях заплатит клиент за аренду и топливо, если выберет самый дешевый вариант?
А
Расход топлива Арендная плата
(л на 100 км) (руб. за 1 сутки)
Дизельное 4
3300
Б
Бензин
8
3000
В
Газ
10
3100
Автомобиль Топливо
Цена дизельного топлива — 16,5 рублей за литр, бензина — 19,5 рублей за литр, газа —
15,5 рублей за литр.
20). Из пункта А в пункт D ведут три дороги. Через пункт В едет грузовик со средней
скоростью 44 км/ч, через пункт С едет автобус со средней скоростью 50 км/ч. Третья
дорога — без промежуточных пунктов, и по ней движется легковой автомобиль со
средней скоростью 62 км/ч. На рисунке показана схема дорог и расстояние (в км) между
пунктами по дорогам.
Все три автомобиля одновременно выехали из А. Какой автомобиль добрался до D
позже других? В ответе укажите, сколько часов он находился в дороге.
21). В первом банке один евро можно купить за 39,2 рубля. Во втором банке 100 евро —
за 3950 рублей. В третьем банке 30 евро стоят 1179 рублей. Какую наименьшую сумму (в
рублях) придется заплатить за 10 евро?
22). В первом банке один фунт стерлингов можно купить за 47,9 рубля. Во втором банке
160 фунтов — за 7632 рубля. В третьем банке 60 фунтов стоят 2856 рублей. Какую
наименьшую сумму (в рублях) придется заплатить за 70 фунтов стерлингов?
23). В первом банке один доллар США можно купить за 31 рубль. Во втором банке 110
долларов — за 3399 рублей. В третьем банке 35 долларов стоят 1088,5 рубля. Какую
наименьшую сумму (в рублях) придется заплатить за 90 долларов США?
24). В первом банке одну турецкую лиру можно купить за 20,3 рубля. Во втором банке 110
лир — за 2244 рубля. В третьем банке 35 лир стоят 717,5 рубля. Какую наименьшую
сумму (в рублях) придется заплатить за 20 турецких лир?
25). В первом банке один австралийский доллар можно купить за 28,6 рубля. Во втором
банке 120 долларов — за 3420 рублей. В третьем банке 40 долларов стоят 1148 рублей.
Какую наименьшую сумму (в рублях) придется заплатить за 30 австралийских
Большое место при подготовке к экзамену отведено задачам на проценты. Это и задачи
простые и более сложные. Приведу пример набора задач из открытого банка данных,
которые я решаю как со всем классом, так и при индивидуальной работе с «сильными»
учащимися.
1). Флакон шампуня стоит 200 рублей. Какое наибольшее число флаконов можно купить
на 1000 рублей во время распродажи, когда скидка составляет 15%?
2). Шариковая ручка стоит 30 рублей. Какое наибольшее число таких ручек можно будет
купить на 700 рублей после повышения цены на 25%?
3). Магазин закупает цветочные горшки по оптовой цене 120 рублей за штуку и продает с
наценкой 30%. Какое наибольшее число таких горшков можно купить в этом магазине на
700 рублей?
4). Оптовая цена учебника 170 рублей. Розничная цена на 20% выше оптовой. Какое
наибольшее число таких учебников можно купить по розничной цене на 7000 рублей?
5). Железнодорожный билет для взрослого стоит 530 рублей. Стоимость билета для
школьника составляет 50% от стоимости билета для взрослого. Группа состоит из 14
школьников и 3 взрослых. Сколько рублей стоят билеты на всю группу?
6). В городе N живет 250000 жителей. Среди них 15 % детей и подростков. Среди
взрослых 35% не работает (пенсионеры, студенты, домохозяйки и т.п.). Сколько взрослых
жителей работает?
7). Среди 70000 жителей города 30% не интересуется футболом. Среди футбольных
болельщиков 75% смотрело по телевизору финал Чемпионата мира. Сколько жителей
города смотрело этот матч по телевизору?
8). Клиент взял в банке кредит 18000 рублей на год под 18 %. Он должен погашать
кредит, внося в банк ежемесячно одинаковую сумму денег, с тем чтобы через год
выплатить всю сумму, взятую в кредит, вместе с процентами. Сколько рублей он должен
вносить в банк ежемесячно?
9). Налог на доходы составляет
от заработной платы. После удержания налога на
доходы Мария Константиновна получила 11745 рублей. Сколько рублей составляет
заработная плата Марии Константиновны?
10). Магазин закупает цветочные горшки по оптовой цене 110 рублей за штуку и продает
с наценкой 30%. Какое наибольшее число таких горшков можно купить в этом магазине
на 600 рублей?
11). Одна таблетка лекарства весит 60 мг и содержит 6% активного вещества. Ребёнку в
возрасте до 6 месяцев врач прописывает 0,9 мг активного вещества на каждый килограмм
веса в сутки. Сколько таблеток этого лекарства следует дать ребёнку в возрасте четырёх
месяцев и весом 8 кг в течение суток?
12). Держатели дисконтной карты книжного магазина получают при покупке скидку 10%.
Книга стоит 680 рублей. Сколько рублей заплатит держатель дисконтной карты за эту
книгу?
13). Студент получил свой первый гонорар в размере 800 рублей за выполненный перевод.
Он решил на все полученные деньги купить букет астр для своей учительницы
английского языка. Какое наибольшее количество астр сможет купить студент, если
удержанный у него налог на доходы составляет 13% гонорара, астры стоят 80 рублей за
штуку и букет должен состоять из нечетного числа цветов?
14). Магазин делает пенсионерам скидку на определенное количество процентов от цены
покупки. Пачка майонеза стоит в магазине 25 рублей. Пенсионер заплатил за пачку
майонеза 24 рубля. Сколько процентов составляет скидка для пенсионеров?
15). При оплате услуг через платежный терминал взимается комиссия 2%. Терминал
принимает суммы, кратные 10 рублям. Аня хочет положить на счет своего мобильного
телефона не меньше 700 рублей. Какую минимальную сумму она должна положить в
приемное устройство данного терминала?
К сожалению, не все учащиеся, сдающие ЕГЭ, могут похвастаться знанием формул
площадей фигур. Поэтому полезно показывать на уроках и другие способы нахождения
площадей. Некоторые задачи я рассматриваю на уроках с учащимися 5 класса, которые
знают формулу площади прямоугольника, а в более сильном классе и площади
прямоугольного треугольника.
1). Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером
клетки 1 см
1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
2). Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером
клетки 1 см
1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
3). Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером
клетки 1 см
1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
4). Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см
1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
5). Найдите площадь ромба, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см
1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Выбирая задачи из открытого банка данных для включения их в уроки 5-го класса,
надо ориентироваться на уровень подготовки как всего класса, так отдельных
учащихся.Из опыта знаю, что эти задачи вызывают интерес у пятиклассников, что
способствует повышению интереса и к предмету.