ФИЗИКА 8 класс Задача 1

ФИЗИКА
8 класс
Задача 1
Задача предложена СУНЦ УрГУ.
Решение:
Задача 2
Задача предложена СУНЦ УрГУ.
Решение:
Задача 3
Задача предложена Александром
факультета СПбГУ, д.ф.-м.н.
Викторовичем
Ляпцевым,
профессором
физического
В неглубокой канаве с водой лежит труба, заполненная водой:
Левый конец трубы плотно закрыт, а правый открыт. Трубу поднимают за левый конец до
вертикального положения, так, что правый конец остается в воде. Какая работа совершается при
поднятии при следующих данных: масса трубы (без воды) – 20 кг, длина трубы – 20 м, площадь
сечения трубы – 0,01 м2? Ускорение свободного падения считать равным 10 м/с2, а атмосферное
давление – равным 105 Па.
а) 4500 Дж,
б) 7000 Дж,
в) 14000 Дж,
г) 22000 Дж.
Ответ: б)
Решение:
Работа идет на изменение потенциальной энергии трубы и изменение потенциальной энергии
воды, находящейся в трубе. Центра тяжести трубы поднимается на высоту l/2, так что
потенциальная энергия увеличивается на mgl/2, где m – масса трубы, а l – ее длина. Численно
получаем: 20∙10∙20/2 = 2000 Дж. При поднятии трубы вода частично вытекает из нее. Когда труба
находится в вертикальном положении высота уровня воды такова, что давление столба воды
равно атмосферному давлению: PA = gh0, откуда получим, для высоты столба: h0 = PA/(g) =
105/(103∙10)=10 м. Масса поднятой воды равна mв = sh0 = 103∙0,01∙10 = 100 кг. Центр тяжести
поднятой воды находится на высоте h0/2, поэтому изменение потенциальной энергии воды равно
mвgh0/2 = 100∙10∙10/2 = 5000 Дж. Полная работа есть сумма изменений потенциальной энергии, то
есть 7000 Дж.
Задача 4
Задача предложена Александром
факультета СПбГУ, д.ф.-м.н.
Викторовичем
Ляпцевым,
профессором
физического
С высоты 100 м падает пакет со снегом. Пренебрегая сопротивлением воздуха, и считая, что
начальная температура снега равна 00С, оцените, какой процент снега растает сразу после
падения. Удельная теплота плавления льда 3,4∙105 Дж/кг. (Оценка предполагает точность в одну
значащую цифру).
Ответ: 0,3 %.
Решение: Для оценки можно считать, что вся потенциальная энергия переходит в тепло, которое
идет на таяние льда. Уравнение баланса энергии: mgh   m , где m – масса снег, m´ - масса
растаявшего снега, h – высота падения,  - удельная теплота плавления. Отношение m´/m и есть
искомая величина: m´/m = gh/  0,003 = 0,3 %.
Задача 5
Задача предложена Сергеем Дмитриевичем Варламовым, СУНЦ МГУ.
В калориметре плавает в воде кусок льда. В калориметр опускают нагреватель постоянной
мощности P = 50 Вт, непрерывно перемешивают воду и ежеминутно измеряют её температуру. В
течение первой и второй минут температура воды не изменяется, к концу третьей минуты
увеличивается на T1 = 2 градуса, а к концу четвертой еще на T2 = 5 градусов. Сколько граммов
воды и сколько граммов льда было изначально в калориметре? Удельная теплота плавления льда
 = 330 Дж/г, удельная теплоемкость воды C = 4,2 Дж/(гград).
Решение:
Построив график зависимости температуры от времени, можно найти, что в течение первых 156 с
температура смеси оставалась равной нулю, то есть в это время плавился лёд. Количество (масса)
льда равно: 156×50/330=23,63(63) г.
За 1 минуту (60 с) вся образовавшаяся вода нагревается на 5°. Следовательно, всего воды в
калориметре: 50×60/(5×4,2) ≈ 142,86 г. До начала эксперимента её было (142,86-23,63) г.
Ответ: изначально в калориметре было 23,63 г льда и 119,23 г воды.
Задача 6
Задача предложена Сергеем Дмитриевичем Варламовым, СУНЦ МГУ.
Зимой на входе в систему отопления школьного здания вода имеет температуру +60°С.
На выходе из этой системы вода имеет температуру +40°С. Тепловые потери здания школы
вследствие теплопроводности стен, излучения и сквозняков составляют 106 Вт.
Трубы, подводящие и отводящие воду, имеют внутренний диаметр 100 мм. С какой средней по
сечению труб скоростью течет вода в них?
Решение: вместе с водой в школу поступает определенное количество тепловой энергии, а уходит
из школы вода с меньшей внутренней энергией. Разница – это тепловые потери здания.
106=1000×4200×20×π×D2×V/4. Отсюда V ≈ 1.5 м/с.
9 класс
Задача 1
Задача предложена СУНЦ УрГУ.
Решение:
Задача 2
Задача предложена СУНЦ УрГУ.
Решение:
Задача 3
Задача предложена Александром
факультета СПбГУ, д.ф.-м.н.
Викторовичем
Ляпцевым,
профессором
физического
Человек стоит перед зеркалом, составленным из двух плоских зеркал, угол между которыми
равен 600. Сколько своих изображений человек видит в таком зеркале?
Ответ: 5.
Решение:
Ответ следует из приведенного рисунка:
после 1-го отражения
после 2-го отражения
после 3-го отражения
При последующих отражениях изображения будут накладываться на предыдущие.
Задача 4
Задача предложена Александром
факультета СПбГУ, д.ф.-м.н.
Викторовичем
Ляпцевым,
профессором
физического
Из 6 сопротивлений собрана схема, изображенная на рисунке:
Омметр подключают к точкам A и B, так,
что
он
показывает
некоторое
сопротивление.
Если
при
этом
A
B
перемычкой с нулевым сопротивлением
соединить точки C и D, показание
F
D
R3
R
R4
прибора не изменяется. Аналогично не
изменяются показания, если такой же перемычкой соединить только точки E и F. Если взять две
такие перемычки и соединить попарно точки C и D и E и F, то показания прибора останутся
прежними (выбрать один вариант ответа):
R1
C
R
R2
E
а) всегда,
б) только в случае, если все сопротивления одинаковы,
в) только при одновременном выполнении равенств R1=R3 и R2=R4,
г) при выполнении равенств R1=R3 и R2=R4, а также даже в том случае, когда эти равенства
одновременно не выполняются, но выполняются некоторые другие соотношения между
сопротивлениями.
Ответ: в)
Решение:
Для обычной мостиковой схемы, изображенной на рис.2р замыкание точек C и D не приводит к
изменению сопротивления между точками A и B только в том случае, когда мост сбалансирован,
то есть потенциалы точек C и D при подключении напряжения к точкам A и B оказываются
одинаковыми.
R1
C
R2
A
B
R3
D
R4
Условие баланса моста имеет вид:
R1R4=R2R3.
(1)
Прямыми расчетами можно проверить, что при замыкании точек
изменяется только при выполнении этого равенства.
C и D сопротивление не
Рассматривая схему, данную в условии задачи и применяя соотношение (1) для случая замыкания
перемычкой точек C и D, получим равенство:
R1(R+R4) = R3(R+R2).
(2)
Аналогично, если перемычкой замкнуть точки E и F, то неизменность сопротивления приводит к
условию:
R2(R+R3) = R4(R+R1).
(3)
Из этих двух равенств, несложно получить еще одно:
R1+R2 = R3+R4.
(4)
С другой стороны, рассмотрим схему, в которой точки C и D соединены:
R1
C
R
E
R2
A
B
R3
D
R
F
R4
Дополнительное соединение точек E и F не изменит сопротивление между точками C и B, а,
следовательно, и между точками A и B только при условии, что мост из четырех правых
сопротивлений сбалансирован, то есть выполнено равенство:
RR4 = RR2.
При выполнении этого условия из равенства (4) следует, что выполнено равенство R1 = R3. Таким
образом, неизменность сопротивлений при добавлении двух перемычек возможно только при
одновременном выполнении равенств R1=R3 и R2=R4
Задача 5
Задача предложена Сергеем Дмитриевичем Варламовым, СУНЦ МГУ.
В калориметре плавает в воде кусок льда. В калориметр опускают нагреватель постоянной
мощности P = 50 Вт, непрерывно перемешивают воду и ежеминутно измеряют её температуру. В
течение первой и второй минут температура воды не изменяется, к концу третьей минуты
увеличивается на T1 = 2 градуса, а к концу четвертой еще на T2 = 5 градусов. Сколько граммов
воды и сколько граммов льда было изначально в калориметре? Удельная теплота плавления льда
 = 330 Дж/г, удельная теплоемкость воды C = 4,2 Дж/(гград).
Решение:
Построив график зависимости температуры от времени, можно найти, что в течение первых 156 с
температура смеси оставалась равной нулю, то есть в это время плавился лёд. Количество (масса)
льда равно: 156×50/330=23,63(63) г.
За 1 минуту (60 с) вся образовавшаяся вода нагревается на 5°. Следовательно, всего воды в
калориметре: 50×60/(5×4,2) ≈ 142,86 г. До начала эксперимента её было (142,86-23,63) г.
Ответ: изначально в калориметре было 23,63 г льда и 119,23 г воды.
Задача 6
Задача предложена Сергеем Дмитриевичем Варламовым, СУНЦ МГУ.
Зимой на входе в систему отопления школьного здания вода имеет температуру +60°С.
На выходе из этой системы вода имеет температуру +40°С. Тепловые потери здания школы
вследствие теплопроводности стен, излучения и сквозняков составляют 106 Вт.
Трубы, подводящие и отводящие воду, имеют внутренний диаметр 100 мм. С какой средней по
сечению труб скоростью течет вода в них?
Решение: вместе с водой в школу поступает определенное количество тепловой энергии, а уходит
из школы вода с меньшей внутренней энергией. Разница – это тепловые потери здания.
106=1000×4200×20×π×D2×V/4. Отсюда V ≈ 1.5 м/с.
10 класс
Задача 1
Задача предложена СУНЦ УрГУ.
Решение:
Задача 2
Задача предложена СУНЦ УрГУ.
Решение:
Задача 3
Задача предложена Александром
факультета СПбГУ, д.ф.-м.н.
Викторовичем
Ляпцевым,
профессором
физического
Человек стоит у стенки высокой цилиндрической комнаты (ось цилиндра вертикальна), радиуса
R=2 м. С какой минимальной скоростью он должен бросить мячик, чтобы после трех отскоков от
стенок мяч попал точно в исходное положение. Считать, что в момент броска мячик находится у
стенки, удар о стенку абсолютно упругий. При расчете считать ускорение свободного падения
равным 9,8 м/с2, ответ округлить до 3 значащих цифр.
Ответ:  = 10,5 м/с.
Решение:
При отскоке от стенки вертикальная составляющая скорости не изменяется. Из этого следует, что
движение вдоль вертикальной оси происходит так, как если бы отражений не было – то есть по
закону равноускоренного движения. Модуль горизонтальной составляющей скорости при
движении мяча остается неизменным. Траектория движения в проекции на горизонтальную
плоскость должна представлять собой замкнутую ломаную линию, отрезки которой являются
хордами. Поскольку угол падения равен углу отражения, все хорды должны быть равны.
Возможны две таких траектории, приведенные на рисунке:
На левом рисунке все хорды представляют собой диаметры. Они накладываются один на другой и
разнесены на рисунке для наглядности. Длина каждой из хорд во втором случае (правый рисунок)
равна 2 R . Движение мяча можно «развернуть», как показано на правом рисунке, так, что при
каждом отражении движение продолжается зеркально симметрично реальному движению.
Траектория такого развернутого движения представляет собой параболу, которая проектируется
на горизонтальную плоскость как отрезок прямой. Расстояние по горизонтали, пройденное мячом
по «развернутой» траектории равно 4 2 R . Аналогично можно развернуть и траекторию,
изображенную на левом рисунке, однако в этом случае пройденное мячом расстояние по
горизонтали будет равно 8R, то есть больше, чем на правом рисунке. Соответственно большей
будет и минимальное значение необходимой скорости. Минимальное значение скорости
получается при угле между начальной скоростью и горизонтом равном 45 0. Оно определяется
соотношением:
S  4 2R 
2
 min
g
.
Из этого равенства найдем:
min  2
2 gR  10,5м/ c .
Задача 4
Задача предложена Александром
факультета СПбГУ, д.ф.-м.н.
Викторовичем
Ляпцевым,
профессором
физического
На наклонной плоскости, угол между которой и горизонтом  = 300 покоится свинцовый брусок
массы M = 500 г:

В него попадает свинцовый шарик массы m = 10 г, летящий параллельно наклонной плоскости со
скоростью  = 500 м/с. Шарик практически мгновенно застревает в бруске (абсолютно неупругий
удар), так, что брусок начинает двигаться, не вращаясь, и через некоторое время останавливается
в точке, лежащей выше исходного положения на величину h = 1 м. Коэффициент трения между
поверхностью и бруском равен   2 / 3 . Ускорение свободного падения считать равным 10
м/с2. От начала движения до остановки брусок проходит путь S приближенно равный:
а) 2 м,
б) 3,3 м,
в) 4 м,
г) 5,6 м.
Ответ: в)
Решение:
Начальную скорость бруска 0 находим из закона сохранения импульса:
m  (m  M )0 ,
в результате чего получаем значение 0  10 м/с.
При дальнейшем движении на ящик действует сила трения, сила реакции и сила тяжести.
Приравнивая проекцию равнодействующей силы на ось, перпендикулярную плоскости, найдем
N  ( M  m) g cos  , откуда следует Fтр   (m  M ) g cos  . Пройденный путь можно найти из
условия, что изменение механической энергии системы равно работе силы трения:
(m  M ) gh 
(m  M )02
  Fтр S .
2
В результате для пройденного пути получим:
S
 02

1
  gh   4м .
 g cos   2

Заметим, что для выполнения условия задачи начальная скорость бруска должна быть направлена
не вверх вдоль наклонной плоскости, а под некоторым углом. Если бы брусок начал двигаться
вверх по наклонной плоскости, то модуль его ускорения был бы равен
a  g (  cos   sin  )  15м/ c2 . В результате брусок прошел бы вверх путь равный:
S 
02
2a
 3,3м ,
после его бы остановился. Численный расчет дает значение угла между вектором скорости и
горизонтальной прямой приблизительно 410 (траектория приведена на рисунке).
2
1.5
1
0.5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Задача 5
Задача предложена Сергеем Дмитриевичем Варламовым, СУНЦ МГУ.
В калориметре плавает в воде кусок льда. В калориметр опускают нагреватель постоянной
мощности P = 50 Вт, непрерывно перемешивают воду и ежеминутно измеряют её температуру. В
течение первой и второй минут температура воды не изменяется, к концу третьей минуты
увеличивается на T1 = 2 градуса, а к концу четвертой еще на T2 = 5 градусов. Сколько граммов
воды и сколько граммов льда было изначально в калориметре? Удельная теплота плавления льда
 = 330 Дж/г, удельная теплоемкость воды C = 4,2 Дж/(гград).
Решение:
Построив график зависимости температуры от времени, можно найти, что в течение первых 156 с
температура смеси оставалась равной нулю, то есть в это время плавился лёд. Количество (масса)
льда равно: 156×50/330=23,63(63) г.
За 1 минуту (60 с) вся образовавшаяся вода нагревается на 5°. Следовательно, всего воды в
калориметре: 50×60/(5×4,2) ≈ 142,86 г. До начала эксперимента её было (142,86-23,63) г.
Ответ: изначально в калориметре было 23,63 г льда и 119,23 г воды.
Задача 6
Задача предложена Сергеем Дмитриевичем Варламовым, СУНЦ МГУ.
Зимой на входе в систему отопления школьного здания вода имеет температуру +60°С.
На выходе из этой системы вода имеет температуру +40°С. Тепловые потери здания школы
вследствие теплопроводности стен, излучения и сквозняков составляют 106 Вт.
Трубы, подводящие и отводящие воду, имеют внутренний диаметр 100 мм. С какой средней по
сечению труб скоростью течет вода в них?
Решение: вместе с водой в школу поступает определенное количество тепловой энергии, а уходит
из школы вода с меньшей внутренней энергией. Разница – это тепловые потери здания.
106=1000×4200×20×π×D2×V/4. Отсюда V ≈ 1.5 м/с.
МАТЕМАТИКА
8 класс
Задача 1
Задача предложена СУНЦ УрГУ.
Найти сумму
.
Решение:
Заметим, что
получим, что от суммы останется
. Расписав каждое слагаемое таким образом,
.
Задача 2
Задача предложена СУНЦ УрГУ.
Найти наибольший общий делитель чисел вида n9-n, где n=1,2,3,...,2010.
Решение:
Представим n9-n в виде (n-1)n(n+1)(n2+1)(n4+1). Для n=2 имеем n9-n=1*2*3*5*17, а для
n=3 аналогично n9-n=2*3*4*10*82. Таким образом НОД всех данных чисел содержит
разве что 2, 3 и 5. Заметим, что из трех последовательных чисел одно обязательно делится
на 2, а также одно делится на 3. Рассмотрев всевозможные остатки числа n от деления на
5, получим что одна из пяти скобок (а точнее, одна из первых четырех) обязательно будет
делится на 5. Таким образом НОД=2*3*5=30.
Задача 3
Задача предложена Александром Алексеевичем Флоринским, доцентом математикомеханического факультета СПбГУ, преподавателем математики АГ.
СПбГУ. Треугольник, составленный из высот треугольника ABC оказался подобным исходному.
Какие значения может принимать отношение p наименьшей из сторон треугольника ABC к
наибольшей?
1
3


1
2
 5 1 
3 5 
; 1 , г) p  
; 1 .
2
2






Варианты ответа: а) p   ; 1 , б) p   ; 1 , в) p  

Ответ: г
Решение:
Обозначим через a, b, c длины сторон треугольника ABC, расположенные в порядке возрастания, а
через S — его площадь. Поскольку высоты треугольника имеют длины
2S 2S 2S
,
,
(в порядке
c
b
a
возрастания), подобие треугольника ABC и треугольника, составленного из его высот, равносильно
условию
2S 2S 2S


.Отсюда ac  b 2 . Треугольник со сторонами a, b, c существует при
ca b 2
ac
a  b  c , то есть при a  ac  c или
a
a

 1 . Положив
c
c
a
 t , и решая неравенство
c
2
5 1
a  5 1
3 5
 
t  t  1 , найдем: t 
. Откуда  
. Учитывая, что a  c , получим


2
c  2 
2
2
a 3 5 

; 1 .
c  2

Задача 4
Задача предложена Александром Алексеевичем Флоринским, доцентом математикомеханического факультета СПбГУ, преподавателем математики АГ.
Найти наименьшее целое положительное решение неравенства
3x 3
x 2  20 x  421

.
x 6  x 3  1 x 2  41x  419
Ответ: 20
Решение
Обозначим через P левую, а через Q — правую часть рассматриваемого неравенства. Поскольку
среднее арифметическое трех положительных чисел x 6 , x 3 , 1 не меньше их среднего
геометрического,
имеем
x6  x3  1
 x3 ,
3
откуда
P  1.
Числитель
правой
части
20x  2 положителен при всех x, и на больше знаменателя. Следовательно, если знаменатель
дроби Q больше нуля, то Q  1 . Таким образом, неравенство P  Q невозможно при Q  0 , а
при Q  0 , очевидно, выполнено. Последнее равносильно неравенству x 2  41x  419  0 , то
есть x  21x  20  1. Наименьшим целым положительным решением данного неравенства
является, очевидно, x  20 .
Задача 5
Задача предложена Шаричем Владимиром Златковичем, преподавателем математики
СУНЦ МГУ.
Сколько существует перестановок а1, а2, …, а18 чисел от 1 до 18, таких что число (а1-1)(а22)…(а18-18) нечетно? (В перестановке любое число встречается ровно один раз.)
Решение
Произведение будет нечетным, если и только если каждый множитель нечетен. Это
значит, что числа а1, а3, …, а17 должны быть числами 2,4, …, 18 в любом порядке (всего
9!=9∙8∙7∙…∙2∙1=362880 вариантов), а числа а2, а4, …, а18 должны быть числами 1, 3, …, 17 в
любом порядке (тоже 9! вариантов).
Итого вариантов 9! ∙9!=131681894400.
Задача 6
Задача предложена Шаричем Владимиром Златковичем, преподавателем математики
СУНЦ МГУ.
Различные ненулевые цифры a, b, c таковы, что
возможное значение числа
cba ?
(Запись
xyz
abc : c  bc . Каково наибольшее
означает трехзначное число с цифрой
сотен x, цифрой десятков y и цифрой единиц z; аналогично нужно понимать обозначение
xy .)
Решение
Поскольку abc  c  bc , то с равно 1, 5 или 6. Если с=6, то
100а+10b+6=(10b+6)∙6, откуда 10а=5b+3, чего не может быть. Если с=5, то
100а+10b+5=(10b+5)∙5, откуда 5a=2b+1, это дает решения a=1,b=2 и a=3, b=7. Второе дает
ответ в задаче: 573.
9 класс
Задача 1
Задача предложена СУНЦ УрГУ.
Найти сумму
.
Решение:
Заметим, что
получим, что от суммы останется
. Расписав каждое слагаемое таким образом,
.
Задача 2
Задача предложена СУНЦ УрГУ.
Найти наибольший общий делитель чисел вида n9-n, где n=1,2,3,...,2010.
Решение:
Представим n9-n в виде (n-1)n(n+1)(n2+1)(n4+1). Для n=2 имеем n9-n=1*2*3*5*17, а для
n=3 аналогично n9-n=2*3*4*10*82. Таким образом НОД всех данных чисел содержит
разве что 2, 3 и 5. Заметим, что из трех последовательных чисел одно обязательно делится
на 2, а также одно делится на 3. Рассмотрев всевозможные остатки числа n от деления на
5, получим что одна из пяти скобок (а точнее, одна из первых четырех) обязательно будет
делится на 5. Таким образом НОД=2*3*5=30.
Задача 3
Задача предложена Александром Алексеевичем Флоринским, доцентом математикомеханического факультета СПбГУ, преподавателем математики АГ.
Поезд начинает двигаться равноускоренно со скоростью v1 t  
1
t  1 , находясь в начальный
3
момент времени в той же точке, что и мальчик, начинающий ехать на мотоцикле в направлении
движения поезда. Зависимость скорости движения мальчика от времени задается формулой
v 2 t   2t  4  4 . Графики функций v1 t  и v2 t  приведены на рисунке. Найти все значения t,
при которых поезд поравняется с мальчиком, если таких значений несколько, то в ответе указать
их сумму.
v
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
t
Ответ: 12
Решение:
Найдем сначала две крайние точки пересечения графиков y  v1 t  и y  v2 t  . На промежутке
0; 4 имеем
v2 t   2t . Отсюда следует, что уравнение v1 t   v2 t  равносильно на данном
1
3
промежутке уравнению t  1  2t , откуда t  . Так же находится крайняя правая точка
3
5
1
пересечения: при t  4 имеем v2 t   2t  8 , отсюда v1 t   v2 t  равносильно t  1  2t  8 ,
3
27
t
. Значения t, при которых мальчик поравняется с поездом — это те значения t, при
5
которых мальчик и поезд пройдут равные пути за промежуток времени от 0 до t, то есть те
значения t, при которых площади подграфиков функций y  v1 t  и y  v2 t  на 0; t  совпадут
Из вида графиков, приведенных в условии задачи и соображений симметрии ясно, что таких
6
3
(это точка симметричная точке t  0 относительно точки t  ),
5
5
27 3
27 3
t2 
 ,
t3 
 .
Складывая
найденные
значения
t,
получим:
5 5
5 5
6 27 27
t1  t 2  t 3  

 12 .
5 5
5
значений t всего три: t1 
Задача 4
Задача предложена Александром Алексеевичем Флоринским, доцентом математикомеханического факультета СПбГУ, преподавателем математики АГ.
Указать длину промежутка, образующего множество решений неравенства (или сумму длин
промежутков, если их несколько)
x  3  x 1  2 x
4x3 4x2
 1.
Ответ: 2,5
Решение:
Построим
графики
числителя
и
знаменателя:
y  f x   x  3  x  1  2 x
и
y  g x   4 x  3  4 x  2 . Функция f x  — кусочно-линейная; причем f x   4 при x  0 ,
f 1  0 ,
f x  4 при x  3 , и на промежутках
0; 1
и 1; 3 функция f — линейна.
Аналогично, g x  4 при x  2 , g x   4 при x  3 , и g — линейна на промежутке 2; 3 .
y
5
4
3
2
1
-3
-2
0
-1 -1 0
1
2
3
4
5
6 x
-2
-3
-4
-5
Очевидно, что f x   g x  при x  0; 3 и f x   g x  на промежутке 0; 3 . Учитывая знаки f
f x 
f x 
f x 
 1 при x  0; 1 ,
 0  1 при x  1; 2,5 ,
 1 при x  2,5; 3 .
g x 
g x 
g x 
f x 
Таким образом,
 1 при x  0; 2,5 . Ответ: 2,5.
g x 
и g, получаем:
Задача 5
Задача предложена Шаричем Владимиром Златковичем, преподавателем математики
СУНЦ МГУ.
Найдите последние три цифры десятичной записи числа 32010 (в ответе запишите
число – трехзначное окончание числа 32010).
Решение
Легко посчитать, что 310 заканчивается на 49. Следовательно, 310=50а-1. Далее,
320=(310)2=2500а2-100а+1=100b+1,
a 3200=(320)10=(100b+1)10=(число, кратное 1000)+100b∙10+1=1000c+1.
Следовательно, 32010=(1000с+1)10 ∙310=…049.
(Использование известной теоремы Эйлера ускорило бы первую часть решения,
потому что значение функции Эйлера от 1000 равно 400, т.е. 3400=1000d+1.)
Задача 6
Задача предложена Шаричем Владимиром Златковичем, преподавателем математики
СУНЦ МГУ.
Сколько существует перестановок а1, а2, …, а20 чисел от 1 до 20, таких что число (а1-1)(а22)…(а20-20) нечетно? (В перестановке любое число встречается ровно один раз.)
Решение
Произведение будет нечетным, если и только если каждый множитель нечетен. Это
значит, что числа а1, а3, …, а19 должны быть числами 2,4, …, 20 в любом порядке (всего
10!=10∙9∙8∙7∙…∙2∙1=3628800 вариантов), а числа а2, а4, …, а20 должны быть числами 1, 3,
…, 19 в любом порядке (тоже 10! вариантов).
Итого вариантов 10! ∙10!=13168189440000.
10 класс
Задача 1
Задача предложена СУНЦ УрГУ.
Найти сумму
.
Решение:
Заметим, что
получим, что от суммы останется
. Расписав каждое слагаемое таким образом,
.
Задача 2
Задача предложена СУНЦ УрГУ.
Найти наибольший общий делитель чисел вида n9-n, где n=1,2,3,...,2010.
Решение:
Представим n9-n в виде (n-1)n(n+1)(n2+1)(n4+1). Для n=2 имеем n9-n=1*2*3*5*17, а для
n=3 аналогично n9-n=2*3*4*10*82. Таким образом НОД всех данных чисел содержит
разве что 2, 3 и 5. Заметим, что из трех последовательных чисел одно обязательно делится
на 2, а также одно делится на 3. Рассмотрев всевозможные остатки числа n от деления на
5, получим что одна из пяти скобок (а точнее, одна из первых четырех) обязательно будет
делится на 5. Таким образом НОД=2*3*5=30.
Задача 3
Задача предложена Александром Алексеевичем Флоринским, доцентом математикомеханического факультета СПбГУ, преподавателем математики АГ.
Плоские фигуры A, B и C площадью 20 см2, 30 см2 и 40 см2, соответственно, лежат в круге
площадью 100 см2. Площадь общей части трех фигур A, B и C равна 5 см2. Какое наибольшее
значение может иметь площадь множества тех точек круга, которые не принадлежат ни одной из
фигур A, B, C?
Ответ: 57,5 см
Решение:
Обозначим плоские фигуры, лежащие в круге через A , B и C , а их площади, известные по
условию, — соответственно, через S  A  20 , S B  30 , S C   40 . Пусть M  A  B  C —
общая часть трех фигур, имеющая площадь 5. Обозначим через A1 , B1 , C1 фигуры, полученные
удалением соответственно из A , B , C , , всех точек фигуры M . Тогда S  A1   15 , S B1   25 ,
S C1   35 . Каждая точка фигуры A1  B1  C1 лежит не более чем в двух из трех фигур A1 , B1 ,
C1 . Легко видеть, что:
а) В случае, если каждая точка фигуры A1  B1  C1 лежит ровно в двух из трех фигур A1 , B1 , C1 ,
то S  A1   S B1   S C1   2S  A1  B1  C1 
б) Если же в A1  B1  C1 существуют точки, лежащие ровно в одной из фигур A1 , B1 , C1 , то
S  A1   S B1   S C1   2S  A1  B1  C1  .
Таким образом, S  A1  B1  C1  
1
S  A1   S B1   S C1   1 15  25  35  37,5 .
2
2
Легко построить три фигуры A1 , B1 , C1 , для которых S  A1  B1  C1   37,5 . Достаточно взять в
качестве A1 и B1 две любые фигуры с площадями 15 и 25 так, чтобы площадь их общей части
M 1  A1  B1 равнялась 2,5. Удалив из A1  B1 все точки фигуры M 1 и взяв оставшуюся часть
A1  B1 в качестве C1 , получим S C1   15  2,5  25  2,5  35 . При этом очевидно, что
каждая точка A1  B1  C1 лежит ровно в двух из трех фигур, и значит S  A1  B1  C1   37,5 .
Итак, 37,5 — наименьшее возможное значение S  A1  B1  C1  . Площадь фигуры A  B  C
больше площади A1  B1  C1 на 5 см2 (так как площадь фигуры M  A  B  C равна 5 см2).
Поэтому наименьшая возможная площадь A  B  C равна 37,5+5=42,5. Наконец, наибольшая
возможная площадь оставшейся части круга равна 100  42,5  57,5 .
Задача 4
Задача предложена Александром Алексеевичем Флоринским, доцентом математикомеханического факультета СПбГУ, преподавателем математики АГ.
Найти наименьшее возможное целое положительное значение градусной меры угла  , для
cos 3 2  sin 3 2 cos 8   sin 8 

которого справедливо неравенство
.
2 cos 2  sin 2
cos 4   sin 4 
Ответ: 16
Решение:
Обозначим левую часть неравенства через P  , а правую — через Q  .
P  
cos 3 2  sin 3 2
,
2 cos 2  sin 2
Q  
cos 8   sin 8 
1 2
sin 4 2

1

sin
2


.
2
cos 4   sin 4 
8  4 sin 2 2
Используя знание табличных значений sin x и cos x в точках 30  и 45 , легко вычислить
значения левой и правой частей неравенства в точках 15  и 22,5 :
cos 3 30   sin 3 30  9  3
P15  

,
12
2 cos 30   sin 30 

 
1
sin 4 30 
97
Q 15   1  sin 2 30  

;
2

2
112
8  4 sin 30
P22,5   


cos 3 45   sin 3 45 
2

,


2
2 cos 45  sin 45
1 2 
sin 4 45
17
Q 22,5  1  sin 45 

.
2

2
24
8  4 sin 45

Легко видеть, что при   22,5 неравенство выполнено, а при   15  — не выполнено.
Нахождение же наименьшего целого положительного значения градусной меры решения проще
всего
провести,
 
используя
калькулятор.
  16 
При
получим:
 
P 16   0,84415 ,
Q 16   0,84813 . Таким образом,   16  — решение неравенства. Проверим, что для целых
положительных   15  неравенство не выполнено. Так как Q  
cos 8   sin 8 
 1 , то все
cos 4   sin 4 
значения  , для которых P   1 не являются решениями исходного неравенства. Так как
P   1
 
при
  13  ,
то
значения   13 
не
являются
 
решениями
( P 13  1,0283 ). Проведем вычисления при   14 : P 14  0,95510 ;



неравенства.
 
Q 14  0,88297 .

Следовательно,   16 — наименьшее целое положительное решение неравенства.

Задача 5
Задача предложена Шаричем Владимиром Златковичем, преподавателем математики
СУНЦ МГУ.
В правильном n-угольнике A1A2…An угол A14A1A15 равен 6о. Сколько диагоналей в
этом многоугольнике?
Решение
Поскольку правильный многоугольник вписан в окружность, угол A14A13A15 тоже
равен 6о. Треугольник A14A13A15 равнобедренный, поэтому угол A13A14A15 равен 180о2∙6о=178о, а внешний угол многоугольника равен 12о. Следовательно, n=360o/12o=30, а
количество диагоналей равно n(n-3)/2=405.
Задача 6
Задача предложена Шаричем Владимиром Златковичем, преподавателем математики
СУНЦ МГУ.
Найдите последние три цифры десятичной записи числа 32011 (в ответе запишите
трехзначное число – окончание числа 32011).
Решение
Легко посчитать, что 310 заканчивается на 49. Следовательно, 310=50а-1. Далее,
320=(310)2=2500а2-100а+1=100b+1,
a 3200=(320)10=(100b+1)10=(число, кратное 1000)+100b∙10+1=1000c+1.
Следовательно, 32011=(1000с+1)10 ∙310∙3=…049∙3=…147.
(Использование известной теоремы Эйлера ускорило бы первую часть решения,
потому что значение функции Эйлера от 1000 равно 400, т.е. 3400=1000d+1.)
ХИМИЯ
8 класс
Задача 1
Задача предложена Натальей Игоревной Морозовой, старшим преподавателем СУНЦ
МГУ
Сколько атомов кислорода содержит 0,1 моль медного купороса?
Ответ дайте в стандартном виде: a*10^b; a должно быть вычислено с точностью до 2-го
знака после запятой, десятичный знак – запятая.
Решение
Формула медного купороса – CuSO4*5H2O. На 1 моль медного купороса приходится 9
моль атомов О. Следовательно, в 0,1 моль медного купороса содержится 0,9 моль атомов
О.
Рассчитаем число атомов О:
N(O) = n(O)*NA = 0,9*6,02*1023 = 5,418*1023.
Округляем до 2-го знака после запятой: 5,42*1023.
Ответ: 5,42*10^23.
Задача 2
Задача предложена Натальей Игоревной Морозовой, старшим преподавателем СУНЦ
МГУ
В схеме превращений
Na2CO3 + Х
CaCO3 ; CaCO3 + Y
Ca(HCO3)2
буквами "X" и "Y" обозначены вещества:
1) X – CaO, Y – HCl;
2) X – Ca(NO3)2, Y – CO2 и H2O;
3) X – CaF2, Y – CO2 и H2O;
4) X – CaCl2 , Y – CO2 и H2O
Решение
Проверим все варианты:
1) Na2CO3 + CaO
В растворе соли не реагируют с оксидами, а реакция между твердыми веществами при
нагревании возможна лишь тогда, когда кристаллические решетки продуктов имеют
термическую устойчивость выше, чем у реагентов. Но гипотетические продукты – Na2O и
CaCO3 – гораздо менее устойчивы, чем Na2CO3 и CaO.
СaCO3 + 2HCl = CaCl2 + CO2 + H2O
Реакция карбоната кальция с соляной кислотой протекает, но образуются совсем другие
продукты, чем в условии.
2) Na2CO3 + Ca(NO3)2 = CaCO3 + 2NaNO3
Реакция в растворе протекает до конца, т.к. образуется осадок.
СаСО3 + СО2 + Н2О = Са(НСО3)2
При пропускании углекислого газа через раствор с осадком карбоната кальция осадок
растворяется с образованием раствора гидрокарбоната кальция. Ответ подходит.
3) Na2CO3 + СaF2
Реакция в растворе невозможна, т.к. фторид кальция нерастворим. Реакция обмена между
двумя солями может протекать, только если они обе растворимы. При нагревании твердых
веществ реакция также невозможна, т.к. гипотетический продукт – СаСО3 – термически
неустойчив (разлагается при нагревании), а реагенты, напротив, термически стабильны.
4) Na2CO3 + СaCl2 = CaCO3 + 2NaCl
Реакция в растворе протекает до конца, т.к. образуется осадок.
СаСО3 + СО2 + Н2О = Са(НСО3)2
Реакция совпадает с уже рассмотренной в п.2. При пропускании углекислого газа через
раствор с осадком карбоната кальция осадок растворяется с образованием раствора
гидрокарбоната кальция. Ответ также подходит.
Ответ: 2, 4.
Задача 3
Задача предложена Натальей Игоревной Морозовой, старшим преподавателем СУНЦ
МГУ
Кусок металлического цезия массой 66,5 г сожгли в атмосфере кислорода (кислород в
избытке). Продукт сгорания поместили в сосуд, содержащий 44 г диоксида углерода.
Какой газ при этом получился? Напишите его название. Какова его масса (в г)?
Решение
Запишем уравнение реакции, помня, что цезий (аналогично калию и рубидию) при
взаимодействии с кислородом образует надпероксид (супероксид):
Cs + O2 = CsO2
Найдем количество цезия:
n(Cs) = m(Cs)/M(Cs) = 66,5/133 = 0,5 моль.
Согласно уравнению реакции, из 0,5 моль цезия образуется 0,5 моль надпероксида цезия.
При взаимодействии надпероксида цезия с диоксидом углерода образуется карбонат цезия
и выделяется кислород. Подобная реакция с надпероксидом калия и пероксидом натрия
используется для регенерации воздуха в замкнутых пространствах (подводные лодки,
космические корабли).
2CsO2 + CO2 = Cs2CO3 + 3/2 O2
Найдем количество углекислого газа:
n(CO2) = m(CO2)/M(CO2) = 44/44 = 1 моль.
Согласно уравнению реакции, на 0,5 моль надпероксида цезия требуется 0,25 моль
углекислого газа. Углекислый газ в избытке, надпероксид цезия в недостатке. Считаем по
надпероксиду цезия.
Согласно уравнению реакции, из 2 моль надпероксида цезия получается 1,5 моль
кислорода. Следовательно, из 0,5 моль надпероксида цезия получится 0,375 моль
кислорода. Найдем его массу:
m(O2) = n(O2)*M(O2) = 0,375*32 = 12 г.
Ответ: кислород, 12 г.
Задача 4
Задача предложена Натальей Игоревной Морозовой, старшим преподавателем СУНЦ
МГУ
Углерод проявляет свойства восстановителя в реакциях:
1) Mg + CO2 ;
2) FeO + CO ;
3) MgO + CO2 ;
4) C + H2 ;
5) Ca + CO2 ;
6) CuO + CO ;
7) CaO + CO2 ;
8) Li + CO2 ;
9) NiO + CO ;
10) CaO + CO2
Решение
В углекислом газе углерод находится в высшей степени окисления +4 и может быть
только окислителем. Поэтому реакции 1,3,5,7,8,10 отпадают сразу (вне зависимости от
того, идут они или нет, являются окислительно-восстановительными или нет).
Рассмотрим реакции с участием СО.
2) FeO + CO = Fe + CO2
6) СuO = CO = Cu + CO2
9) NiO + CO = Ni + CO2
Реакция номер 2 – одна из стадий доменного процесса, остальные аналогичны ей. Углерод
в реакции повышает свою степень окисления с +2 до +4. Значит, он является
восстановителем.
Рассмотрим оставшуюся реакцию:
4) С + Н2 = СН4
В метане (и других алканах) углерод связан с менее электроотрицательным водородом,
следовательно, углерод имеет отрицательную степень окисления. Таким образом, в
реакции углерод понижает свою степень окисления от 0 до -4 (в данном случае) и является
окислителем.
Ответ: 2,6,9.
Задача 5
Задача предложена Натальей Игоревной Морозовой, старшим преподавателем СУНЦ
МГУ
Масса смеси кислорода и озона (озонированный кислород) в 9 раз больше массы того же
объема гелия при тех же условиях. Этот озонированный кислород смешали с водородом
так, чтобы водород сгорел полностью. Во сколько раз объем водорода в этой смеси
больше объема озонированного кислорода?
Решение
Найдем среднюю молярную массу озонированного кислорода
М = 9М(Не) = 9*4 = 36 г/моль.
Пусть мольная доля кислорода в этой смеси х. Тогда мольная доля озона 1-х. Составим
выражение для средней молярной массы озонированного кислорода:
М(О2)*(О2) + М(О3)* (О3) = М
32х + 48(1 - х) = 36
Отсюда х = 0,75.
Мольная доля кислорода 0,75, мольная доля озона 0,25.
Составим уравнения реакций:
O2 + 2H2 = 2H2O
O3 + 3H2 = 3H2O
В 1 моль озонированного кислорода содержится 0,75 моль кислорода и 0,25 моль озона.
Поэтому из уравнений реакции следует, что на 1 моль озонированного кислорода нужно
взять 0,75*2 = 1,5 моль водорода и 0,25*3 = 0,75 моль водорода, итого 2,25 моль водорода.
Ответ: В 2,25 раза.
Задача 6
Задача предложена Натальей Игоревной Морозовой, старшим преподавателем СУНЦ
МГУ
Из предлагаемого перечня веществ выберите три группы оксидов:
а) основные; б) кислотные; в) амфотерные.
В ответе перечислите номера оксидов в порядке возрастания. Номера должны быть
разделены запятыми без пробелов.
1) HCl, 2) FeO, 3) KOH, 4) As2O5, 5) K2O, 6) KNO3, 7) SO2, 8) Ba(OH)2, 9) H2SO3,
10) Fe(NO3)2, 11) ZnO, 12) HF, 13) Al(OH)3, 14) Al2O3, 15) NiO, 16) LiOH, 17) N2O5,
18) Li2O, 19) LiNO3, 20) CO2, 21) Ca(OH)2, 22) H2SO4, 23) Zn(OH)2, 24) Mn2O7, 25) H2SiO3,
26) N2O, 27) OF2.
Решение
Оксиды - соединения элемента с кислородом, в которых кислород проявляет степень
окисления -2.
Соединения 1 и 12 не содержат кислород (это бескислородные кислоты).
Соединения 3, 6, 8, 9, 10, 13, 16, 19, 21, 22, 23, 25 содержат, кроме кислорода и одного
элемента, другие элементы (это кислоты, основания, амфотерные гидроксиды и соли).
Соединение 27 состоит из элемента и кислорода, но кислород имеет в нем степень
окисления +2. Это не оксид фтора, а фторид кислорода.
Остались оксиды. Рассмотрим оксиды металлов: 2) FeO, 5) K2O, 11) ZnO, 14) Al2O3,
15) NiO, 18) Li2O, 24) Mn2O7. Среди них - 2 амфотерных оксида (оксиды цинка и
алюминия). Оксид марганца (VII) - кислотный (оксиды со степенью окисления элемента
выше +4 проявляют кислотный характер). Остальные оксиды металлов имеют степени
окисления элемента +1 и +2 и являются основными.
Рассмотрим оксиды неметаллов: 4) As2O5, 7) SO2, 17) N2O5, 20) CO2, 26) N2O. Оксиды
неметаллов могут быть либо кислотными, либо несолеобразующими (если им не
соответствует кислот). Из всех перечисленных оксидов только оксид азота (I) является
несолеобразующим (N2O не взаимодействует с водой с образованием кислот; у азота нет
кислот со степенью окисления +1). Остальные - кислотные.
Ответ:
а) 2,5,15,18
б) 4,7,17,20,24
в) 11,14
9 класс
Задача 1
Задача предложена Натальей Игоревной Морозовой, старшим преподавателем СУНЦ
МГУ
Сколько атомов кислорода содержит 0,1 моль медного купороса?
Ответ дайте в стандартном виде: a*10^b; a должно быть вычислено с точностью до 2-го
знака после запятой, десятичный знак – запятая.
Решение
Формула медного купороса – CuSO4*5H2O. На 1 моль медного купороса приходится 9
моль атомов О. Следовательно, в 0,1 моль медного купороса содержится 0,9 моль атомов
О.
Рассчитаем число атомов О:
N(O) = n(O)*NA = 0,9*6,02*1023 = 5,418*1023.
Округляем до 2-го знака после запятой: 5,42*1023.
Ответ: 5,42*10^23.
Задача 2
Задача предложена Натальей Игоревной Морозовой, старшим преподавателем СУНЦ
МГУ
В схеме превращений
Na2CO3 + Х
CaCO3 ; CaCO3 + Y
Ca(HCO3)2
буквами "X" и "Y" обозначены вещества:
1) X – CaO, Y – HCl;
2) X – Ca(NO3)2, Y – CO2 и H2O;
3) X – CaF2, Y – CO2 и H2O;
4) X – CaCl2 , Y – CO2 и H2O
Решение
Проверим все варианты:
1) Na2CO3 + CaO
В растворе соли не реагируют с оксидами, а реакция между твердыми веществами при
нагревании возможна лишь тогда, когда кристаллические решетки продуктов имеют
термическую устойчивость выше, чем у реагентов. Но гипотетические продукты – Na2O и
CaCO3 – гораздо менее устойчивы, чем Na2CO3 и CaO.
СaCO3 + 2HCl = CaCl2 + CO2 + H2O
Реакция карбоната кальция с соляной кислотой протекает, но образуются совсем другие
продукты, чем в условии.
2) Na2CO3 + Ca(NO3)2 = CaCO3 + 2NaNO3
Реакция в растворе протекает до конца, т.к. образуется осадок.
СаСО3 + СО2 + Н2О = Са(НСО3)2
При пропускании углекислого газа через раствор с осадком карбоната кальция осадок
растворяется с образованием раствора гидрокарбоната кальция. Ответ подходит.
3) Na2CO3 + СaF2
Реакция в растворе невозможна, т.к. фторид кальция нерастворим. Реакция обмена между
двумя солями может протекать, только если они обе растворимы. При нагревании твердых
веществ реакция также невозможна, т.к. гипотетический продукт – СаСО3 – термически
неустойчив (разлагается при нагревании), а реагенты, напротив, термически стабильны.
4) Na2CO3 + СaCl2 = CaCO3 + 2NaCl
Реакция в растворе протекает до конца, т.к. образуется осадок.
СаСО3 + СО2 + Н2О = Са(НСО3)2
Реакция совпадает с уже рассмотренной в п.2. При пропускании углекислого газа через
раствор с осадком карбоната кальция осадок растворяется с образованием раствора
гидрокарбоната кальция. Ответ также подходит.
Ответ: 2, 4.
Задача 3
Задача предложена Натальей Игоревной Морозовой, старшим преподавателем СУНЦ
МГУ
Кусок металлического цезия массой 66,5 г сожгли в атмосфере кислорода (кислород в
избытке). Продукт сгорания поместили в сосуд, содержащий 44 г диоксида углерода.
Какой газ при этом получился? Напишите его название. Какова его масса (в г)?
Решение
Запишем уравнение реакции, помня, что цезий (аналогично калию и рубидию) при
взаимодействии с кислородом образует надпероксид (супероксид):
Cs + O2 = CsO2
Найдем количество цезия:
n(Cs) = m(Cs)/M(Cs) = 66,5/133 = 0,5 моль.
Согласно уравнению реакции, из 0,5 моль цезия образуется 0,5 моль надпероксида цезия.
При взаимодействии надпероксида цезия с диоксидом углерода образуется карбонат цезия
и выделяется кислород. Подобная реакция с надпероксидом калия и пероксидом натрия
используется для регенерации воздуха в замкнутых пространствах (подводные лодки,
космические корабли).
2CsO2 + CO2 = Cs2CO3 + 3/2 O2
Найдем количество углекислого газа:
n(CO2) = m(CO2)/M(CO2) = 44/44 = 1 моль.
Согласно уравнению реакции, на 0,5 моль надпероксида цезия требуется 0,25 моль
углекислого газа. Углекислый газ в избытке, надпероксид цезия в недостатке. Считаем по
надпероксиду цезия.
Согласно уравнению реакции, из 2 моль надпероксида цезия получается 1,5 моль
кислорода. Следовательно, из 0,5 моль надпероксида цезия получится 0,375 моль
кислорода. Найдем его массу:
m(O2) = n(O2)*M(O2) = 0,375*32 = 12 г.
Ответ: кислород, 12 г.
Задача 4
Задача предложена Натальей Игоревной Морозовой, старшим преподавателем СУНЦ
МГУ
Углерод проявляет свойства восстановителя в реакциях:
1) Mg + CO2 ;
2) FeO + CO ;
3) MgO + CO2 ;
4) C + H2 ;
5) Ca + CO2 ;
6) CuO + CO ;
7) CaO + CO2 ;
8) Li + CO2 ;
9) NiO + CO ;
10) CaO + CO2
Решение
В углекислом газе углерод находится в высшей степени окисления +4 и может быть
только окислителем. Поэтому реакции 1,3,5,7,8,10 отпадают сразу (вне зависимости от
того, идут они или нет, являются окислительно-восстановительными или нет).
Рассмотрим реакции с участием СО.
2) FeO + CO = Fe + CO2
6) СuO = CO = Cu + CO2
9) NiO + CO = Ni + CO2
Реакция номер 2 – одна из стадий доменного процесса, остальные аналогичны ей. Углерод
в реакции повышает свою степень окисления с +2 до +4. Значит, он является
восстановителем.
Рассмотрим оставшуюся реакцию:
4) С + Н2 = СН4
В метане (и других алканах) углерод связан с менее электроотрицательным водородом,
следовательно, углерод имеет отрицательную степень окисления. Таким образом, в
реакции углерод понижает свою степень окисления от 0 до -4 (в данном случае) и является
окислителем.
Ответ: 2,6,9.
Задача 5
Задача предложена Натальей Игоревной Морозовой, старшим преподавателем СУНЦ
МГУ
Масса смеси кислорода и озона (озонированный кислород) в 9 раз больше массы того же
объема гелия при тех же условиях. Этот озонированный кислород смешали с водородом
так, чтобы водород сгорел полностью. Во сколько раз объем водорода в этой смеси
больше объема озонированного кислорода?
Решение
Найдем среднюю молярную массу озонированного кислорода
М = 9М(Не) = 9*4 = 36 г/моль.
Пусть мольная доля кислорода в этой смеси х. Тогда мольная доля озона 1-х. Составим
выражение для средней молярной массы озонированного кислорода:
М(О2)*(О2) + М(О3)* (О3) = М
32х + 48(1 - х) = 36
Отсюда х = 0,75.
Мольная доля кислорода 0,75, мольная доля озона 0,25.
Составим уравнения реакций:
O2 + 2H2 = 2H2O
O3 + 3H2 = 3H2O
В 1 моль озонированного кислорода содержится 0,75 моль кислорода и 0,25 моль озона.
Поэтому из уравнений реакции следует, что на 1 моль озонированного кислорода нужно
взять 0,75*2 = 1,5 моль водорода и 0,25*3 = 0,75 моль водорода, итого 2,25 моль водорода.
Ответ: В 2,25 раза.
Задача 6
Задача предложена Натальей Игоревной Морозовой, старшим преподавателем СУНЦ
МГУ
Из предлагаемого перечня веществ выберите три группы оксидов:
а) основные; б) кислотные; в) амфотерные.
В ответе перечислите номера оксидов в порядке возрастания. Номера должны быть
разделены запятыми без пробелов.
1) HCl, 2) FeO, 3) KOH, 4) As2O5, 5) K2O, 6) KNO3, 7) SO2, 8) Ba(OH)2, 9) H2SO3,
10) Fe(NO3)2, 11) ZnO, 12) HF, 13) Al(OH)3, 14) Al2O3, 15) NiO, 16) LiOH, 17) N2O5,
18) Li2O, 19) LiNO3, 20) CO2, 21) Ca(OH)2, 22) H2SO4, 23) Zn(OH)2, 24) Mn2O7, 25) H2SiO3,
26) N2O, 27) OF2.
Решение
Оксиды - соединения элемента с кислородом, в которых кислород проявляет степень
окисления -2.
Соединения 1 и 12 не содержат кислород (это бескислородные кислоты).
Соединения 3, 6, 8, 9, 10, 13, 16, 19, 21, 22, 23, 25 содержат, кроме кислорода и одного
элемента, другие элементы (это кислоты, основания, амфотерные гидроксиды и соли).
Соединение 27 состоит из элемента и кислорода, но кислород имеет в нем степень
окисления +2. Это не оксид фтора, а фторид кислорода.
Остались оксиды. Рассмотрим оксиды металлов: 2) FeO, 5) K2O, 11) ZnO, 14) Al2O3,
15) NiO, 18) Li2O, 24) Mn2O7. Среди них - 2 амфотерных оксида (оксиды цинка и
алюминия). Оксид марганца (VII) - кислотный (оксиды со степенью окисления элемента
выше +4 проявляют кислотный характер). Остальные оксиды металлов имеют степени
окисления элемента +1 и +2 и являются основными.
Рассмотрим оксиды неметаллов: 4) As2O5, 7) SO2, 17) N2O5, 20) CO2, 26) N2O. Оксиды
неметаллов могут быть либо кислотными, либо несолеобразующими (если им не
соответствует кислот). Из всех перечисленных оксидов только оксид азота (I) является
несолеобразующим (N2O не взаимодействует с водой с образованием кислот; у азота нет
кислот со степенью окисления +1). Остальные - кислотные.
Ответ:
а) 2,5,15,18
б) 4,7,17,20,24
в) 11,14
10 класс
Задача 1
Задача предложена Натальей Игоревной Морозовой, старшим преподавателем СУНЦ
МГУ
Сколько атомов кислорода содержит 0,1 моль медного купороса?
Ответ дайте в стандартном виде: a*10^b; a должно быть вычислено с точностью до 2-го
знака после запятой, десятичный знак – запятая.
Решение
Формула медного купороса – CuSO4*5H2O. На 1 моль медного купороса приходится 9
моль атомов О. Следовательно, в 0,1 моль медного купороса содержится 0,9 моль атомов
О.
Рассчитаем число атомов О:
N(O) = n(O)*NA = 0,9*6,02*1023 = 5,418*1023.
Округляем до 2-го знака после запятой: 5,42*1023.
Ответ: 5,42*10^23.
Задача 2
Задача предложена Натальей Игоревной Морозовой, старшим преподавателем СУНЦ
МГУ
В схеме превращений
Na2CO3 + Х
CaCO3 ; CaCO3 + Y
Ca(HCO3)2
буквами "X" и "Y" обозначены вещества:
1) X – CaO, Y – HCl;
2) X – Ca(NO3)2, Y – CO2 и H2O;
3) X – CaF2, Y – CO2 и H2O;
4) X – CaCl2 , Y – CO2 и H2O
Решение
Проверим все варианты:
1) Na2CO3 + CaO
В растворе соли не реагируют с оксидами, а реакция между твердыми веществами при
нагревании возможна лишь тогда, когда кристаллические решетки продуктов имеют
термическую устойчивость выше, чем у реагентов. Но гипотетические продукты – Na2O и
CaCO3 – гораздо менее устойчивы, чем Na2CO3 и CaO.
СaCO3 + 2HCl = CaCl2 + CO2 + H2O
Реакция карбоната кальция с соляной кислотой протекает, но образуются совсем другие
продукты, чем в условии.
2) Na2CO3 + Ca(NO3)2 = CaCO3 + 2NaNO3
Реакция в растворе протекает до конца, т.к. образуется осадок.
СаСО3 + СО2 + Н2О = Са(НСО3)2
При пропускании углекислого газа через раствор с осадком карбоната кальция осадок
растворяется с образованием раствора гидрокарбоната кальция. Ответ подходит.
3) Na2CO3 + СaF2
Реакция в растворе невозможна, т.к. фторид кальция нерастворим. Реакция обмена между
двумя солями может протекать, только если они обе растворимы. При нагревании твердых
веществ реакция также невозможна, т.к. гипотетический продукт – СаСО3 – термически
неустойчив (разлагается при нагревании), а реагенты, напротив, термически стабильны.
4) Na2CO3 + СaCl2 = CaCO3 + 2NaCl
Реакция в растворе протекает до конца, т.к. образуется осадок.
СаСО3 + СО2 + Н2О = Са(НСО3)2
Реакция совпадает с уже рассмотренной в п.2. При пропускании углекислого газа через
раствор с осадком карбоната кальция осадок растворяется с образованием раствора
гидрокарбоната кальция. Ответ также подходит.
Ответ: 2, 4.
Задача 3
Задача предложена Натальей Игоревной Морозовой, старшим преподавателем СУНЦ
МГУ
Кусок металлического цезия массой 66,5 г сожгли в атмосфере кислорода (кислород в
избытке). Продукт сгорания поместили в сосуд, содержащий 44 г диоксида углерода.
Какой газ при этом получился? Напишите его название. Какова его масса (в г)?
Решение
Запишем уравнение реакции, помня, что цезий (аналогично калию и рубидию) при
взаимодействии с кислородом образует надпероксид (супероксид):
Cs + O2 = CsO2
Найдем количество цезия:
n(Cs) = m(Cs)/M(Cs) = 66,5/133 = 0,5 моль.
Согласно уравнению реакции, из 0,5 моль цезия образуется 0,5 моль надпероксида цезия.
При взаимодействии надпероксида цезия с диоксидом углерода образуется карбонат цезия
и выделяется кислород. Подобная реакция с надпероксидом калия и пероксидом натрия
используется для регенерации воздуха в замкнутых пространствах (подводные лодки,
космические корабли).
2CsO2 + CO2 = Cs2CO3 + 3/2 O2
Найдем количество углекислого газа:
n(CO2) = m(CO2)/M(CO2) = 44/44 = 1 моль.
Согласно уравнению реакции, на 0,5 моль надпероксида цезия требуется 0,25 моль
углекислого газа. Углекислый газ в избытке, надпероксид цезия в недостатке. Считаем по
надпероксиду цезия.
Согласно уравнению реакции, из 2 моль надпероксида цезия получается 1,5 моль
кислорода. Следовательно, из 0,5 моль надпероксида цезия получится 0,375 моль
кислорода. Найдем его массу:
m(O2) = n(O2)*M(O2) = 0,375*32 = 12 г.
Ответ: кислород, 12 г.
Задача 4
Задача предложена Натальей Игоревной Морозовой, старшим преподавателем СУНЦ
МГУ
Углерод проявляет свойства восстановителя в реакциях:
1) Mg + CO2 ;
2) FeO + CO ;
3) MgO + CO2 ;
4) C + H2 ;
5) Ca + CO2 ;
6) CuO + CO ;
7) CaO + CO2 ;
8) Li + CO2 ;
9) NiO + CO ;
10) CaO + CO2
Решение
В углекислом газе углерод находится в высшей степени окисления +4 и может быть
только окислителем. Поэтому реакции 1,3,5,7,8,10 отпадают сразу (вне зависимости от
того, идут они или нет, являются окислительно-восстановительными или нет).
Рассмотрим реакции с участием СО.
2) FeO + CO = Fe + CO2
6) СuO = CO = Cu + CO2
9) NiO + CO = Ni + CO2
Реакция номер 2 – одна из стадий доменного процесса, остальные аналогичны ей. Углерод
в реакции повышает свою степень окисления с +2 до +4. Значит, он является
восстановителем.
Рассмотрим оставшуюся реакцию:
4) С + Н2 = СН4
В метане (и других алканах) углерод связан с менее электроотрицательным водородом,
следовательно, углерод имеет отрицательную степень окисления. Таким образом, в
реакции углерод понижает свою степень окисления от 0 до -4 (в данном случае) и является
окислителем.
Ответ: 2,6,9.
Задача 5
Задача предложена Натальей Игоревной Морозовой, старшим преподавателем СУНЦ
МГУ
Масса смеси кислорода и озона (озонированный кислород) в 9 раз больше массы того же
объема гелия при тех же условиях. Этот озонированный кислород смешали с водородом
так, чтобы водород сгорел полностью. Во сколько раз объем водорода в этой смеси
больше объема озонированного кислорода?
Решение
Найдем среднюю молярную массу озонированного кислорода
М = 9М(Не) = 9*4 = 36 г/моль.
Пусть мольная доля кислорода в этой смеси х. Тогда мольная доля озона 1-х. Составим
выражение для средней молярной массы озонированного кислорода:
М(О2)*(О2) + М(О3)* (О3) = М
32х + 48(1 - х) = 36
Отсюда х = 0,75.
Мольная доля кислорода 0,75, мольная доля озона 0,25.
Составим уравнения реакций:
O2 + 2H2 = 2H2O
O3 + 3H2 = 3H2O
В 1 моль озонированного кислорода содержится 0,75 моль кислорода и 0,25 моль озона.
Поэтому из уравнений реакции следует, что на 1 моль озонированного кислорода нужно
взять 0,75*2 = 1,5 моль водорода и 0,25*3 = 0,75 моль водорода, итого 2,25 моль водорода.
Ответ: В 2,25 раза.
Задача 6
Задача предложена Натальей Игоревной Морозовой, старшим преподавателем СУНЦ
МГУ
Из предлагаемого перечня веществ выберите три группы оксидов:
а) основные; б) кислотные; в) амфотерные.
В ответе перечислите номера оксидов в порядке возрастания. Номера должны быть
разделены запятыми без пробелов.
1) HCl, 2) FeO, 3) KOH, 4) As2O5, 5) K2O, 6) KNO3, 7) SO2, 8) Ba(OH)2, 9) H2SO3,
10) Fe(NO3)2, 11) ZnO, 12) HF, 13) Al(OH)3, 14) Al2O3, 15) NiO, 16) LiOH, 17) N2O5,
18) Li2O, 19) LiNO3, 20) CO2, 21) Ca(OH)2, 22) H2SO4, 23) Zn(OH)2, 24) Mn2O7, 25) H2SiO3,
26) N2O, 27) OF2.
Решение
Оксиды - соединения элемента с кислородом, в которых кислород проявляет степень
окисления -2.
Соединения 1 и 12 не содержат кислород (это бескислородные кислоты).
Соединения 3, 6, 8, 9, 10, 13, 16, 19, 21, 22, 23, 25 содержат, кроме кислорода и одного
элемента, другие элементы (это кислоты, основания, амфотерные гидроксиды и соли).
Соединение 27 состоит из элемента и кислорода, но кислород имеет в нем степень
окисления +2. Это не оксид фтора, а фторид кислорода.
Остались оксиды. Рассмотрим оксиды металлов: 2) FeO, 5) K2O, 11) ZnO, 14) Al2O3,
15) NiO, 18) Li2O, 24) Mn2O7. Среди них - 2 амфотерных оксида (оксиды цинка и
алюминия). Оксид марганца (VII) - кислотный (оксиды со степенью окисления элемента
выше +4 проявляют кислотный характер). Остальные оксиды металлов имеют степени
окисления элемента +1 и +2 и являются основными.
Рассмотрим оксиды неметаллов: 4) As2O5, 7) SO2, 17) N2O5, 20) CO2, 26) N2O. Оксиды
неметаллов могут быть либо кислотными, либо несолеобразующими (если им не
соответствует кислот). Из всех перечисленных оксидов только оксид азота (I) является
несолеобразующим (N2O не взаимодействует с водой с образованием кислот; у азота нет
кислот со степенью окисления +1). Остальные - кислотные.
Ответ:
а) 2,5,15,18
б) 4,7,17,20,24
в) 11,14