Nauchnaya_rabotax

СТЕПНАЯ СРЕДНЯЯ ШКОЛА
Проект на тему:
«Способы
математических
вычислений»
Секция: прикладная математика
Выполнил: ученик 9 «Б» класса Дё Никита
Руководитель: Салкимбаева Б.С.
Содержание
1. Абстракт ……………………………………………………………………. 1
2. Вступление ……………………………………………………………………. 4
3. Из истории ……………………………………………………………………. 5
4. Древнерусский метод …………………………………………………… 6
5. Индийские методы ………………………………………………………..6
6. Крестьянский метод ……………………………………………………… 10
7. Новый метод …………………………………………………………………….11
8. Это интересно! …………………………………………………………………….12
9. Квадрат Пифагора …………………………………………………………………….13
10.Египетский метод ……………………………………………………………………. 16
11. Китайский метод ……………………………………………………………………. 17
12. Заключение ……………………………………………………………………. 18
13. Список литературы …………………………………………………………………….19
Абстракт
Причина обращения: В процессе учебы мы сталкиваемся с большим кол-вом
вычислений, самых разнообразных примеров и выражений. Возникает
вопрос: как быстро и точно вычислить произведения огромных чисел, как
обходится без калькулятора?
Актуальность темы: Школьникам любых возрастов помогут методы быстрого
умножения, чтобы упростить процесс вычисления.
Цель: Найти, изучить, продемонстрировать данные методы.
Предмет исследования: История математики.
Методы работы: анализ, сравнение литературы, поисковый метод
Гипотеза: Возможно ли применять старинные методы счета в учебном
процессе?
1
Абстракт
Назар аударудың себебі: біз оқу барысында көп санды шығару есеппен, әр
түрлі шығару амалдарымен кездесеміз. Сонымен оларды қалай тез және
нақты, калькуляторсыз шығару деген сұрақтар пайда болды.
Тақырыптың өзектілігі: оқушылардың жастарына қарамай, шығару
процессін жеңілдету үшін тез көбейту тәсілдері көмектеседі.
Мақсат: тәсілдері табу, оқу, көрсету.
Зерттеудің пәні: математиканың тарихы.
Жұмыстың әдістері: сараптамасы, әдебиеттің салыстыруы, ізденіс әдісі.
Гипотеза: оқу барысында есептегенде санаудың көне әдістерін қолдануға
мүмкіндігі барма дегенін анықтау.
2
Abstract
Reason: In the learning progress, we are faced with a large count of calculations,
a wide variety of examples and expressions. How we can calculate the product of
huge numbers quickly and accurately without using a calculator?
Relevance of the topic: The methods of rapid multiplication can help
schoolchildren to simplify the calculation process.
Main goal: is to find, explore, demonstrate this methods.
Subject of study: is history of math.
Methods of work: To analysis of literature comparisons, the search methods.
Hypothesis: is it possible to use the old methods of account in the educational
process.
3
I.Вступление
Человеку в повседневной жизни невозможно обойтись без вычислений.
Поэтому на уроках математики, нас в первую очередь учат выполнять
действия над числами, то есть считать. Умножаем, делим, складываем и
вычитаем мы привычными для всех способами, которые изучаются в школе.
Постоянное применение современной вычислительной техники приводит к
тому, что учащиеся затрудняются производить какие-либо расчеты, не имея в
своем распоряжении таблиц или счетной машины. Знание упрощенных
приемов вычислений дает возможность не только быстро производить
простые расчеты в уме, но и контролировать, оценивать, находить и
исправлять ошибки в результате механизированных вычислений. Кроме того,
освоение вычислительных навыков развивает память, повышает уровень
математической культуры мышления, помогает полноценно усваивать
предметы физико-математического цикла. Цель проекта – познакомить вас с
необычными методами умножения, найти их как можно больше и научиться
их применять.
4
II.Из истории
Те способы вычислений, которыми мы пользуемся сейчас, не всегда
были так просты и удобны. В старину пользовались более громоздкими и
медленными приемами. И если бы школьник 21 века мог перенестись на
пять веков назад, он поразил бы наших предков быстротой и
безошибочностью своих вычислений. Молва о нем облетела бы окрестные
школы и монастыри, затмив славу искуснейших счетчиков той эпохи, и со
всех сторон приезжали бы учиться у нового великого мастера.
Особенно трудны в старину были действия умножения и деления.
Тогда не существовало одного выработанного практикой приема для
каждого действия. Напротив, в ходу была одновременно чуть не дюжина
различных способов умножения и деления - приемы один другого
запутаннее, запомнить которые не в силах был человек средних
способностей. Каждый учитель счетного дела держался своего
излюбленного приема, каждый «магистр деления» (были такие
специалисты) восхвалял собственный способ выполнения этого действия.
В книге В. Беллюстина «Как постепенно дошли люди до настоящей
арифметики» изложено 27 способов умножения, причем автор замечает:
«весьма возможно, что есть и еще способы, скрытые в тайниках
книгохранилищ, разбросанные в многочисленных, главным образом,
рукописных сборниках».
И все эти приемы умножения - «шахматный или органчиком»,
«загибанием», «крестиком», «решеткой», «задом наперед», «алмазом» и
прочие соперничали друг с другом и усваивались с большим трудом.
Давайте рассмотрим наиболее интересные и простые способы
умножения.
5
III.Древнерусский способ умножения
Древнерусский способ умножения на пальцах является одним из наиболее
употребительных методов. Русичи научились умножать на пальцах
однозначные числа от 6 до 9. При этом достаточно было владеть
начальными навыками пальцевого счета “единицами”, “парами”,
“тройками”, “четверками”, “пятерками” и “десятками”. Пальцы рук здесь
служили вспомогательным вычислительным устройством. Для этого на
одной руке вытягивали столько пальцев, на сколько первый множитель
превосходит число 5, а на второй делали то же самое для второго
множителя. Остальные пальцы загибали. Потом бралось число (суммарное)
вытянутых пальцев и умножалось на 10, далее перемножались числа,
показывавшие, сколько загнуто пальцев на руках, а результаты
складывались. Например, умножим 7 на 8. В рассмотренном примере будет
загнуто 2 и 3 пальца. Если сложить количества загнутых пальцев (2+3=5) и
перемножить количества не загнутых (2•3=6), то получатся соответственно
числа десятков и единиц искомого произведения 56 . Так можно вычислять
произведение любых однозначных чисел, больше 5. Умножение для числа 9
- 9·1, 9·2 ... 9·10 - легче выветривается из памяти и труднее пересчитывается
вручную методом сложения, однако именно для числа 9 умножение легко
воспроизводится "на пальцах". Растопырьте пальцы на обеих руках и
поверните руки ладонями от себя. Мысленно присвойте пальцам
последовательно числа от 1 до 10, начиная с мизинца левой руки и
заканчивая мизинцем правой руки.
Допустим, хотим умножить 9 на 6. Загибаем палец с номером, равным числу,
на которое мы будем умножать девятку. В нашем примере нужно загнуть
палец с номером 6. Количество пальцев слева от загнутого пальца
показывает нам количество десятков в ответе, количество пальцев справа –
количество единиц. Слева у нас 5 пальцев не загнуто, справа – 4 пальца.
Таким образом, 9·6=54. Ниже на рисунке детально показан весь принцип
«вычисления».Еще пример: нужно вычислить 9·8=?. По ходу дела скажем,
что в качестве «счетной машинки» не обязательно могут выступать пальцы
рук. Возьмите, к примеру, 10 клеточек в тетради. Зачеркиваем 8-ю клеточку.
Слева осталось 7 клеточек, справа – 2 клеточки. Значит 9·8=72. Все очень
просто.
6
IV.Индийские методы вычислений
Самый ценный вклад в сокровищницу математических знаний был
совершен в Индии. Индусы предложили употребляемый нами способ записи
чисел при помощи десяти знаков: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.
Самый интересный и легкий, на мой взгляд - метод умножения сеткой.
Проделываем следующее:
1. Вычерчиваем квадратную сетку и пишем один из номеров над
колонками, а второй по высоте. В предложенном примере можно
использовать одну из этих сеток.
2. Выбрав сетку, умножаем число каждого ряда последовательно на
числа каждой колонки. В этом случае последовательно умножаем 3 на
6, на 8, на 2 и на 7. Посмотри на этой схеме, как пишется произведение
в соответствующей клетке.
3. В заключение складываем числа, следуя диагональным полосам. Если
сумма одной диагонали содержит десятки, то прибавляем их к
следующей диагонали.
4. Посмотрим, как из результатов сложения цифр по диагоналям
составляется число 2355315, которое и является произведение чисел
6827 и 345.
Также есть еще один метод. Основа этого способа заключается в идее, что
одна и та же цифра обозначает единицы, десятки, сотни, тысячи, в
зависимости от того, какое место эта цифра занимает. Занимаемое место, в
случае отсутствия каких–нибудь разрядов, определяется нулями,
приписываемыми к цифрам. Индусы отлично считали. Они придумали очень
простой способ умножения. Они умножение выполняли, начиная со
старшего разряда, и записывали неполные произведения как раз над
множимым, поразрядно. При этом сразу был виден старший разряд полного
произведения и, кроме того, исключался пропуск какой-либо цифры
7
Знака умножения еще не было, они оставляли небольшое расстояние.
Например, умножим их способом 537 на 6:
537
6
(5 · 6 =30)
537
30
6
(300 + 3 · 6 = 318)
318
537
(3180 +7 · 6 = 3222)
6
3222
Развитие индийской математики началось, вероятно, достаточно давно, но
документальные сведения о начальном её периоде практически отсутствуют.
Среди наиболее древних из сохранившихся индийских текстов, содержащих
математические сведения, выделяется серия религиозно-философских книг
Шульба-сутры (дополнение к Ведам). Эти сутры описывают построение
жертвенных алтарей. Самые старые редакции этих книг относятся к VI веку
до н. э., позднее (примерно до III века до н. э.) они постоянно дополнялись.
Уже в этих древних манускриптах содержатся богатые математические
сведения, по своему уровню не уступающие вавилонским
Индийская нумерация (способ записи чисел) изначально была изысканной. В
санскрите были средства для именования чисел до 10^{53} [3]. Для цифр
сначала использовалась сиро-финикийская система, а с VI века до н. э. —
написание «брахми», с отдельными знаками для цифр 1-9. Несколько
видоизменившись, эти значки стали современными цифрами, которые мы
называем арабскими, а сами арабы — индийскими. Около 500 г. н. э.
неизвестные нам индийские учёные в Индии изобрели десятичную
позиционную систему записи чисел. В новой системе выполнение
арифметических действий оказалось неизмеримо проще, чем в старых, с
неуклюжими буквенными кодами, как у греков, или шестидесятеричных, как
у вавилонян.
8
В VII веке сведения об этом замечательном изобретении дошли до
христианского епископа Сирии Севера Себохта, который писал[4]:
Очень скоро потребовалось введение нового числа — нуля. Учёные
расходятся во мнениях, откуда в Индию пришла эта идея — от греков, из
Китая или индийцы изобрели этот важный символ самостоятельно. Первый
код нуля обнаружен в записи от 876 г. н. э., он имеет вид привычного нам
кружочка.
Дроби в Индии записывались вертикально, как делаем и мы, только вместо
черты дроби их заключали в рамку (так же, как в Китае и у поздних греков).
Действия с дробями ничем не отличались от современных.
Индийцы использовали счётные доски, приспособленные к позиционной
записи. Они разработали полные алгоритмы всех арифметических операций,
включая извлечение квадратных и кубических корней. Сам наш термин
«корень» появился из-за того, что индийское слово «мула» имело два
значения: основание и корень (растения); арабские переводчики ошибочно
выбрали второе значение, и в таком виде оно попало в латинские переводы.
Возможно, аналогичная история произошла со словом «синус». Для контроля
вычислений применялось сравнение по модулю 9.
9
V.«Крестьянский метод» умножения
В России 2-3 века назад среди крестьян некоторых губерний был
распространен способ, который не требовал знания всей таблицы
умножения.
Сущность его в том, что умножение любых двух чисел сводится к ряду
последовательных делений одного числа пополам при одновременном
удвоении другого числа.
Пример: умножим 47 на 35,
- запишем числа на одной строчке, проведём между ними вертикальную
черту;
- левое число будем делить на 2, правое – умножать на 2 (если при делении
возникает остаток, то остаток отбрасываем);
- деление заканчивается, когда слева появится единица;
- вычёркиваем те строчки, в которых стоят слева чётные числа;
- далее оставшиеся справа числа складываем – это результат.
10
VI.Новый способ умножения.
Интересен новый способ умножения, о котором недавно появились
сообщения. Изобретатель новой системы устного счёта кандидат
философских наук Василий Оконешников утверждает, что человек способен
запоминать огромный запас информации, главное – как эту информацию
расположить. По мнению самого учёного, наиболее выигрышной в этом
отношении является девятеричная система – все данные просто располагают
в девяти ячейках, расположенных, как кнопочки на калькуляторе.
Считать по такой таблице очень просто. К примеру, умножим число 15647 на
5. В части таблицы, соответствующей пятёрке, выбираем числа,
соответствующие цифрам числа по порядку: единице, пятёрке, шестёрке,
четвёрке и семёрке. Получаем: 05 25 30 20 35
Левую цифру (в нашем примере - ноль) оставляем без изменений, а
следующие цифры складываем попарно: пятёрку с двойкой, пятёрку с
тройкой, ноль с двойкой, ноль с тройкой. Последняя цифра также без
изменений.
В итоге получаем: 078235. Число 78235 и есть результат умножения.
Если же при сложении двух цифр получается число, превосходящее девять,
то его первая цифра прибавляется к предыдущей цифре результата, а вторая
пишется на «своё» место.
11
VII.Это интересно!
За порогом сознания чудо - счетоводы, способные без калькулятора
совершать невообразимо сложные арифметические действия.
В западной Грузии живёт Арон Чикашвили.
Как-то друзья решили проверить его возможности. Задание было сложным:
сколько слов и букв скажет диктор, комментирующий второй тайм
футбольного матча «Спартак»(Москва) – «Динамо»(Тбилиси). Одновременно
был включен магнитофон. Ответ последовал, как только диктор сказал
последнее слово: 17427 букв, 1835 слов. На проверку ушло…5 часов! Ответ
оказался правильным.
Одним из героев фильма «Семь шагов за горизонт», который рассказывал о
людях с феноменальными способностями, стал Игорь Шелушков. Лично на
меня произвёл огромное впечатление опыт с шестью вращающимися
досками. На них-числа, из которых, надо извлечь корни разной степени.
Шелушков даёт команду, и доски бешено завертелись. Через несколько
секунд он просит их остановить и один за другим называет 6 правильных
ответов!
Ещё Игорь Шелушков участвовал в соревнованиях с ЭВМ «Мир». В качестве
задания ему на листке бумаги написали математический корень, поставили
над ним степень 77, а под ним – невообразимо большое число: из 148
знаков! Нам с вами и представить само число трудно, не то, что выполнить с
ним какие-то действия. Шелушков подошёл к окну и склонился над бумагой.
Через 18 секунд он дал ответ. На программирование задачи ушло около 10
минут времени!
Большинство таких людей обладает прекрасной памятью, и имеют
дарование. Но, некоторые из них никакими способностями к математике не
обладают. Они знают секрет! А секрет этот в том, что они хорошо усвоили
приёмы быстрого счёта, запомнили несколько специальных формул.
Итак, многие «счётчики - феномены» пользуются особыми приёмами
быстрого счёта и специальными формулами. Значит, мы тоже можем
пользоваться некоторыми из этих приёмов!
12
VIII.Квадрат Пифагора.
123
456
789
Это всем известный Квадрат Пифагора, отражающий мировую систему
счисления, состоящую из девяти цифр: от 1 до 9. Выражаясь современным
языком – это девяти разрядная числовая матрица, в которой цифры,
являющиеся основой для дальнейших вычислений любой сложности,
расположены в порядке возрастания. Квадрат Пифагора называют Эннеадой,
а тройку цифр - триада. Можно рассматривать тройки цифр расположенные
по горизонтали (123, 456, 789) и по вертикали(147, 258, 369). Причем,
записанные таким образом, тройки цифр начинают обозначать уже особые
числа, подчиняющиеся законам математической пропорции и гармонии.
Вспомним главное правило древнеегипетской математики, в котором
сказано, что умножение производится при помощи удвоения и сложения
полученных результатов; то есть каждое удвоение есть сложение числа с
самим собой. Поэтому интересно посмотреть на результат подобного
удвоения цифр и чисел, но полученному современным методом
складывания « в столбик», известному даже в начальных классах школы. Это
будет напоминать египетскую систему счисления, по сути, с разницей в том,
что все цифры либо числа записываются в один столбик (без указания того
или иного действия в соседнем столбике - как у египтян).
Начнем с цифр, составляющих Квадрат Пифагора: от 1 – до 9.
13
123456789
2 4 6 8 10 12 14 16 18
3 6 9 12 15 18 21 24 27
4 8 12 16 20 24 28 32 36
5 10 15 20 25 30 35 40 45
6 12 18 24 30 36 42 48 54
7 14 21 28 35 42 49 56 63
8 16 24 32 40 48 56 64 72
9 18 27 36 45 54 63 72 81
10 20 30 40 50 60 70 80 90
Цифра 1: обычный последовательный ряд цифр.
Цифра 9: левый столбик - четкий восходящий ряд («поток»).
14
правый столбик - четкий нисходящий ряд последовательных цифр.
Условимся называть восходящим ряд, значения чисел в котором
увеличиваются сверху вниз ; в нисходящем же – наоборот: уменьшаются
значения чисел сверху вниз.
Цифра 2: в правом столбике повторяются четные цифры 2,4,6,8 («в
периоде»).
Цифра 8: такой же повтор - только в обратном порядке- 8,6,4,2.
Цифры 4 и 6: четные цифры «в периоде» 4,8,2,6 и 6,2,8,4.
Цифра 5: подчиняется правилу сложения цифры 5- чередование 5 и 0.
Цифра 3: правый столбик - нисходящий ряд уже не цифр, а чисел,
образующих тройки вертикальных рядов в квадрате Пифагора- 369, 258, 147.
Причем, отсчет идет «из правого угла квадрата» или справа налево. Здесь
также действует принятое выше правило восходящего - нисходящего ряда.
Но восходящий ряд – это движение от тройки чисел 147 до тройки 369;
нисходящий - от 369 до 147.
Цифра 7: восходящий ряд чисел 147,258,369 из «левого угла» или слева
направо. Впрочем, все зависит от того, как изображена сама
девятиразрядная числовая матрица - где поставить цифру 1.
15
IX.Египетский способ умножения.
Древнеегипетское умножение является последовательным методом
умножения двух чисел. Чтобы умножать числа, им не нужно было знать
таблицы умножения, а достаточно было только уметь раскладывать числа на
кратные основания, умножать эти кратные числа и складывать. Египетский
метод предполагает раскладывание наименьшего из двух множителей на
кратные числа и последующее их последовательное перемножение на
второй множитель (см. пример). Этот метод можно и сегодня встретить в
очень отдаленных регионах.
Разложение. Египтяне использовали систему разложения наименьшего
множителя на кратные числа, сумма которых составляла бы исходное число.
Чтобы правильно подобрать кратное число, нужно было знать следующую
таблицу значений:
1 x 2 = 2 2 x 2 = 4 4 x 2 = 8 8 x 2 = 16 16 x 2 = 32
Пример разложения числа 25: Кратный множитель для числа «25» — это 16;
25 — 16 = 9. Кратный множитель для числа «9» — это 8; 9 — 8 = 1. Кратный
множитель для числа «1» — это 1; 1 — 1 = 0. Таким образом «25» — это
сумма трех слагаемых: 16, 8 и 1.
Пример: умножим «13» на «238» . Известно, что 13 = 8 + 4 + 1. Каждое из этих
слагаемых нужно умножить на 238. Получаем: ✔ 1 х 238 = 238 ✔ 4 х 238 =
952 ✔ 8 х 238 = 1904 13 × 238 = (8 + 4 + 1) × 238 = 8 x 238 + 4 × 238 + 1 × 238 =
1904 + 952 + 238 = 3094.
16
X.Китайский способ умножения.
А теперь представим метод умножения, бурно обсуждаемый в Интернете,
который называют китайским. При умножении чисел считаются точки
пересечения прямых, которые соответствуют количеству цифр каждого
разряда обоих множителей.
Пример: умножим 21 на 13. В первом множителе 2 десятка и 1единица,
значит строим 2 параллельные прямые и поодаль 1 прямую.
Во втором множителе 1 десяток и 3 единицы. Строим параллельно 1 и
поодаль 3 прямые, пересекающие прямые первого множителя.
Прямые пересеклись в точках, количество которых и есть ответ, то есть 21 х
13 = 273
Забавно и интересно, но проводить 9 прямых при умножении на 9 как-то
долго и неинтересно, а потом еще точки пересечения считать… В общем, без
таблицы умножения не обойтись!
Умножим: 21*13
17
Заключение
Научившись считать всеми представленными способами, я пришел к
выводу: что самые простые способы это те, которые мы изучаем в школе,
может быть они для нас более привычны.
Из всех найденных мною необычных способов счета более
интересным показался способ «решетчатого умножения или ревность». Я
показал его своим одноклассникам, и он им тоже очень понравился.
Самым простым мне показался метод «удвоения и раздвоения»,
который использовали русские крестьяне. Я его использую при умножении
не слишком больших чисел (очень удобно его использовать при
умножении двузначных чисел).
Заинтересовал меня новый способ умножения, потому что
он позволяет в уме «ворочать» огромными числами.
Я думаю, что и наш способ умножения в столбик не является
совершенным и можно придумать еще более быстрые и более надежные
способы.
18
Список литературы
Депман И. «Рассказы о математике». – Ленинград.: Просвещение, 1954. –
140 с.
Корнеев А.А. Феномен русского умножения. История.
http://numbernautics.ru/
Олехник С. Н., Нестеренко Ю. В., Потапов М. К. «Старинные занимательные
задачи». – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы,
1985. – 160 с.
Перельман Я.И. Быстрый счет. Тридцать простых приемов устного счета. Л.,
1941 — 12 с.
Перельман Я.И. Занимательная арифметика. М.Русанова,1994--205с.
Энциклопедия «Я познаю мир. Математика». – М.: Астрель Ермак, 2004.
Энциклопедия для детей. «Математика». – М.: Аванта +, 2003. – 688 с.
Интернет ресурсы
19