МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
Реклама
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тюменский государственный университет» Кафедра физики, математики и методик преподавания УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе ____________________ ФИО «___» __________ 2014 г. Учебно-методический комплекс дисциплины «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» Направление подготовки 050100.62 «Педагогическое образование» (код и наименование направления подготовки) Профиль подготовки «Математика» Квалификация (степень) выпускника: Бакалавр Форма обучения заочная Тобольск 2014 ЛИСТ СОГЛАСОВАНИЯ УМК (сайт для загрузки УМК umk.utmn.ru) Рег. номер: _______________________________________________________________________________ Дисциплина: Дифференциальные уравнения ____ Учебный план: 050100 Педагогическое образование Профиль Математика Автор: Кушнир Таисья Ивановна______________________________________________________ ФИО полностью Кафедра: физики, математики и методик преподавания ФИО СОГЛАСОВАНО: дата подпись Председатель УМК (4) Вертянкина Н.В. _____________ ____________________ Зам. начальника УМО (3) Яркова Н.Н. _____________ ____________________ Зав. библиотекой (2) Осипова Л.Н. _____________ ____________________ Зав. кафедрой (1) Шебанова Л.П. _____________ ____________________ Исполнитель (ответственное лицо) Кушнир Таисья Ивановна, доцент кафедры физики, математики и методик преподавания ФИО (полностью), должность, конт. телефон ____________ дата подпись 2 Содержание Рабочая программа дисциплины …………………………………...…………………................. 3 Руководство по организации обучения дисциплине …………………………………………17 Приложения ……………………………………………………………………………………….. 19 Приложение 1. Лекционные материалы …………………………………………………………..19 Приложение 2. Практические занятия …………………………………………………………….24 2.1. Планы практических занятий ………………………………………………………..24 2.2. Методические указания к практическим занятиям ……………………………….. 31 Приложение 3. Самостоятельная работа студентов …………………………………...………… 32 3.1. Задания для самостоятельной работы …………………………………………….... 32 3.2. Методические указания к выполнению самостоятельной работы ……………… 43 Приложение 4. Контролирующие и оценочно-диагностические материалы по дисциплине … 42 4.1. Тестовые задания для текущего контроля знаний по дисциплине ……………..... 42 4.2. Тестовые задания для итогового контроля знаний по дисциплине ……………... 48 4.3. Контрольные работы ………………………………………………………………..... 51 4.4. Вопросы к зачету ………………………………………………………………........ 52 4.5. Вопросы к экзамену ………………………………………………………………..... 53 3 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тюменский государственный университет» Кафедра физики, математики и методик преподавания УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе ____________________ ФИО «___» __________ 2014 г. Рабочая программа дисциплины «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» Направление подготовки 050100.62 «Педагогическое образование» (код и наименование направления подготовки) Профиль подготовки «Математика» Квалификация (степень) выпускника: Бакалавр Форма обучения заочная Тобольск 2014 4 Содержание 1. Цели и задачи освоения дисциплины………………………………………………..…..……….5 2. Место дисциплины в структуре ООП ВПО……………………………………….……..……...5 3. Требования к результатам освоения дисциплины ………………………………….…..….. ….5 4. Структура и содержание дисциплины………………………………..…………………...……. 5 4.1. Структура дисциплины ……………………………………………………………… ……… 5 4.2. Содержание разделов дисциплины ……………………………………………………………. 6 5. Образовательные технологии ……………………………………………….……………….........7 6. Самостоятельная работа студентов…………………………………………………...….……….9 7. Компетентностно-ориентированные оценочные средства……………………..…..…...............9 7.1. Оценочные средства диагностирующего контроля ………………………………..…….….. 9 7.2. Оценочные средства текущего контроля: модульно-рейтинговая технология оценивания работы студентов………………………………………………………………………….………...10 7.3. Оценочные средства промежуточной аттестации ……………………………….………….. 11 8. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины ……………………..... 11 9. Материально-техническое обеспечение дисциплины ………………………………………... 11 5 1. Цели и задачи освоения дисциплины Цели освоения дисциплины «Дифференциальные уравнения» состоят в фундаментальной подготовке в области дифференциальных уравнений и овладение математическим аппаратом, необходимым для моделирования и изучения различных процессов Задачи изучения дисциплины: 1) формирование знаний по основным разделам фундаментальная подготовка в области дифференциальных уравнений; 2) овладение методами решения основных типов дифференциальных уравнений первого порядка; 3) овладение методами решения линейных дифференциальных уравнений n-го порядка; 4) овладение современным математическим аппаратом для дальнейшего использования в приложениях. 2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата Дисциплина «Дифференциальные уравнения» относится к базовой части профессионального цикла обеспечивает подготовку студентов по одной из фундаментальных математических дисциплин, являющейся мощным орудием исследования многих задач естествознания и техники. Для ее успешного изучения необходимы знания и умения, приобретенные в результате освоения предшествующих дисциплин: математический анализ, линейная алгебра, абстрактная алгебра, теория функции комплексного переменного и функциональный анализ. Освоение дисциплины «Дифференциальные уравнения» необходимо при последующем изучении дисциплин «Системы дифференциальных уравнений», «Дифференциальная геометрия и топология», «Численные методы», «Теория вероятностей и элементы математической статистики» т.е. при изучении прикладных и специальных дисциплин и при рассмотрении вопросов, связанных с анализом динамических процессов. 3. Требования к результатам освоения дисциплины 3.1. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины а) общекультурных компетенций: - готов использовать основные методы, способы и средства получения, хранения, переработки информации, готов работать с компьютером как средством управления информацией (ОК-8); б) профессиональных компетенций: - способен реализовывать учебные программы базовых и элективных курсов в различных образовательных учреждениях (ПК – 1). В результате освоения дисциплины студент должен: Знать основные типы дифференциальных уравнений, основные понятия теории дифференциальных уравнений, определения и свойства математических объектов в этой области, формулировки утверждений, методы их доказательства, возможные сферы их приложений; Уметь решать задачи вычислительного и теоретического характера в области дифференциальных уравнений; Владеть математическим аппаратом исследования и решения дифференциальных уравнений, методами решения задач и доказательства утверждений в этой области. Приобрести опыт деятельности в области математического моделирования практических задач и их решения на основе методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений. 4. Структура и содержание дисциплины Общая трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетных единицы (108 часов). 6 4.1. Структура дисциплины Таблица 1 № 1. 2. 3. Наименование раздела дисциплины Семестр 9 Основные понятия теории дифференциальных уравнений Дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальные уравнения nго порядка Итого за год 9 Виды учебной работы (в академических часах) аудиторные занятия ЛК ПЗ кср 1 2 СР 16 9 2 2 20 9 1 4 22 108 4 8 92 4.2. Содержание дисциплины № 1 1. 2. 3. Таблица 2 Наименование раздела Содержание раздела дисциплины (дидактические единицы) 2 3 Основные понятия теории Понятие обыкновенного дифференциального уравнения. дифференциальных Задача Коши. Формулировка теоремы существования и уравнений единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Задачи, приводящие к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Построение решений уравнения первого порядка методом изоклин. Условие Липшица. Полные решения, максимальный интервал Дифференциальные Методы решения простейших дифференциальных уравнений уравнения первого порядка первого порядка. Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными. Возможные потери решений. Однородные уравнения и приводящиеся к ним. 1. Линейное уравнение, разные методы интегрирования, общее решение 2. Уравнения, не разрешенные относительно первой производной. Уравнения Лагранжа и Клеро уравнение Бернулли; уравнение в полных дифференциалах, проверка решения Дифференциальные Задача Коши для дифференциальных уравнений n-ого уравнения n-го порядка порядка. Дифференциальные уравнения n-ого порядка, допускающие понижение порядка. Однородное линейное уравнение. Линейная зависимость функций. Определитель Вронского и его свойства. Фундаментальная система решений. Неоднородное линейное уравнение, вид общего решения. Метод вариации произвольных постоянных. Линейное уравнение с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Построение общего решения. Уравнение Эйлера. Некоторые уравнения, допускающие понижение порядка 7 1. Образовательные технологии Таблица 3 № занятия № разде ла (Л-1) 1 (Пр-1) 1 (Л-2) (Пр- 2) 1 1 (Л-2) 2 (Пр-3) 2 (Л-3) 2 (Пр-3) 2 (Л-3) 2 (Пр-4) 2 (Л-4) 2 (Л -4) 2 (Пр.5) 2 (Л. 5) 2 (Пр. 2 (Л. 6) (Пр.6) (Л. 7) 3 3 3 Тема занятия Виды образовательных технологий Кол-во часов 9 семестр Задачи, приводящие к понятию дифференциального уравнения Простейшие дифференциальные уравнения Общие понятия дифференциальных уравнений. Лекция с использованием слайдов Практическое занятие с использованием игровых технологийлекция Информационная 2 Групповая работа 4 Информационная лекция 4 Практическое занятие 2 Информационная лекция 4 Интерактивные методы (групповые формы работы) 4 Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения. Однородные линейные уравнения Информационная лекция 4 Решение однородных линейных дифференциальных уравнений Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения Неоднородные линейные уравнения Практическое занятие 4 Лекция с запланированными ошибками 4 Линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли Линейные дифференциальные уравнения. Интегрирование уравнения Бернулли Лекция с привлечением студентов (Применение Практическое занятие с контекстного использованием игровых обучения)технологии знаково- 4 Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах Контрольная работа №1 Дифференциальные уравнения высших порядков. Основные понятия и определения Интегрирование дифференциальных уравнений второго порядка Мультимедийная лекция 4 Информационная лекция 2 4 Практическое занятие 4 Лекция с использованием слайдов 4 Основные понятия теории дифференциальных уравнений Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными Дифференциальные уравнения первого порядка с разделенными переменными Однородные дифференциальные уравнения первого порядка Решение однородных дифференциальных уравнений первого порядка Дифференциальные уравнения высших порядков. Достаточные условия существования и единственности решения задачи Коши 2 4 4 8 (Л.8) 3 (Пр.7) 3 Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка Интегрирование дифференциальных уравнений порядка выше второго Информационная лекция 4 Практическое занятие 2 Лекция с использованием мультимедиа 6 (Л.9) 3 Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами (Пр.8) Решение однородного линейного дифференциального уравнения Практическое занятие 4 3 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Метод вариации произвольных постоянных для определения частного решения неоднородного уравнения Информационная лекция 6 Практическое занятие (работа в группах) 4 Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Лекция-визуализация, лекция с заранее запланированными ошибками Практическое занятие (расчетно-графические работы) 4 Практическое занятие (расчетно-графические работы) 4 Лекция с участие студентов 4 (Л.10) 3 (Пр.9 3 (Л.11) 3 (Пр.10) 3 (Пр.11) 3 (Л.12) 3 (Пр.12) 3 Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами порядка выше второго Решение ЛДУ Приложения дифференциальных уравнений высших порядков Контрольная работа №2 4 4 6. Самостоятельная работа студентов № Наименование раздела дисциплины 1. 1, 2, 3 2. 3. 1, 2, 3 1, 2, 3 4. 5. 6. 7. 8. 1,2,3 1,2,3 1,2,3 1,2,3 1,2,3 9. 1,2,3 10. 1,2,3 Вид самостоятельной работы Подготовка к аудиторной самостоятельной работе Терминологический опрос Проработка и повторение лекционного материала и материала учебников и учебных пособий кср Выполнение домашних работ Выполнение индивидуальных работ, РГЗ Подготовка к контрольной работе Конспектирование учебного материала по темам для самостоятельного изучения Исследовательская работа (статьи, Участие в Менделеевских чтениях) Подготовка к экзамену Таблица 4 Трудоемкость (в академических часах) 2 6 10 2 6 6 6 8 6 6 58 9 7. Компетентностно-ориентированные оценочные средства 7.1. Оценочные средства диагностирующего контроля 1) Входящий контроль в форме теста; 2) Текущий контроль в форме мониторинга результатов практических занятий, домашних работ, самостоятельных работ; 3) Промежуточная аттестация в форме экзамена 7.2. Оценочные средства текущего контроля: модульно-рейтинговая технология оценивания работы студентов 7.2.1. Распределение рейтинговых баллов по модулям и видам работ 7.2.2. Оценивание аудиторной работы студентов Таблица 6 № Наименование раздела дисциплины 1 2 1,2,3 1,2,3 1 2 3 4 1,2,3 1,2,3 1,2,3 1,2,3 5 1,2,3 Формы оцениваемой работы Максимальное количество баллов Работа на лекциях посещение лекций 0,5 ответ на вопрос, решение задания 1 Работа на практических (семинарских, лабораторных) занятиях посещение практических занятий 0,5 Ответ на теоретический вопрос 1 решение задач 2 выполнение учебных 2 индивидуальных заданий выполнение аудиторной 3 самостоятельной работы Модуль (аттестация) 1-3 1-3 1-3 1-3 1-3 1-3 7.2.3. Оценивание самостоятельной работы студентов Таблица 7 1 Наименование раздела (темы) дисциплины 1,2,3 2 2 3 1, 2 4 1,2,3 5 1,2, 3 6 2,3, № Формы оцениваемой работы выполнение домашних работ составление таблиц для систематизации учебного материала построение графиков конспектирование текста, изучение тем, подготовка к теор.опросу решение вариативных задач выполнение расчетно-графических задач Максимальное количество баллов 16 Модуль (аттестация) 1-3 3 2 3 1-2 16 1-3 4 1-3 5 2-3 7.2.4. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости а) контрольный опрос (устный, письменный) б) коллоквиум в) вопросы к зачету по дисциплине 7.3 Оценочные средства промежуточной аттестации 10 7.3.1. Рубежные баллы рейтинговой системы оценки успеваемости студентов 7.3.2. Оценочные средства для промежуточной аттестации Применяется система компьютерной проверки знаний обучающихся с использованием модульно рейтинговой технологии обучения 8. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины а) основная литература: 1. Матвеев Н.М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям: Учеб. пособ.- СПб: Лань, 2002. 2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление т. 2. – М.: Интеграл-Пресс, 2002. – 544с. 3. Самойленко А.М. Дифференциальные уравнения. Практический курс : учеб. Пособие / А. М. Самойленко, С. А. Кривошея, Н. А. Перестюк. – 3-е изд., перераб. И доп. – М. : Высш. Шк., 2006. – 383 с. 4. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. – М.: Наука, 1992. б) дополнительная литература 1. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Наука, 1984. 2. Бибиков Ю.Н. Общий курс обыкновенных дифференциальных уравнений. ЛГУ, 1981. 3. Бохан К.А. и др. Курс математического анализа. – М.: Просвещение, 1972, т.2. 4. Дифференциальные и интегральные уравнения, вариационное исчисление в примерах и задачах : учеб. пособие для студ. вузов / А. Б. Васильева [и др.]. - 3-е изд. - М. : Лань, 2010. - 432 с. : ил. (Учебники для вузов. Специальная литература) 5. Киселев А.И., Краснов М.Л., Макаренко Г.И. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям. – М.: Высшая школа, 1967. г) мультимедийные средства: www.osw.mit.edu/OcnWeb/Global/all-courses.htm (обучающий сайт) 9. Материально-техническое обеспечение дисциплины Для освоения данной дисциплины требуется учебный класс, оснащенный оргтехникой и мультимедиа средствами (интерактивная доска, проектор и др.), компьютерный класс. Мультимедийная аудитория Компьютер Intel Pentium 4/1,4Ггц/256Мб/40Gb/3,5/Cd/LAN – 1 шт Монитор LG Flatron F700 B17” – 1 шт Проектор Toshiba T50 – 1 шт Проекционный экран (настенный) – 1 шт Руководство по организации обучения дисциплине Преподавателю, читающему дисциплину «Дифференциальные уравнения», важно знать структуру курса, умело выделяя в разделах основные, базовые понятия. Организуя учебные занятия, учитывать их порядок, последовательность и технологические приемы, отражая научно-методические основы дисциплины. Аудиторная работа включает: лекции, практические занятия, коллоквиумы. Материал дисциплины излагается на лекциях, но некоторые вопросы студентами изучаются самостоятельно. Лекция – учебное занятие, составляющее основу теоретического обучения и дающее систематизированные научные знания по дисциплине, раскрывающее состояние и перспективы развития соответствующей области науки и техники, концентрирующее внимание обучающихся на её наиболее значимых (сложных) вопросах. Лекции имеют проблемный характер, в ходе которых происходит изложение различных учений, точек зрения и показывается применение дифференциальных уравнений для решения прикладных задач из разных областей. На лекционном курсе преподаватель дает конкретные знания и показывает основное направления для подготовки к зачету, экзамену. Посещение лекций, а также ведение конспектов лекций (фиксирование основных положений, свободное изложение и т.п.) и их проверка являются обязательными. Необходимо показывать приемы успешной работы с текстом лекции: использование кратких общепринятых символов, 11 совращений, правильная обработка текста, исправление неточностей и внесение дополнительных сведений. Тема практического занятия соответствует теме прочтенной лекции, поэтому в учебном процессе они следуют за лекциями. В начале практических занятий рекомендовано проведение небольшой самостоятельной работы, математического диктанта по знанию основных определений, теоретических фактов, формул, необходимых на данном занятии. Нужно учитывать не только оценочно-контрольную функцию занятия, осуществляя систематический контроль за успеваемостью студентов, но и воспитательную, требуя от обучающихся дисциплинированности, активности, трудолюбия. Сложной, но и эффективной формой аудиторной работы, являются коллоквиумы, которые нужно проводить по основным темам курса или по совокупности однородных проблем. Наиболее распространённой формой проведения является фронтальный опрос студентов и слушание подготовленных докладов с последующим их обсуждением. Результаты коллоквиума имеют большую балльную ценность при аттестации. Большое значение имеет и самостоятельная деятельность студентов, формы которой необходимо продумать заранее и нацеливать на ее выполнение с первых занятий: самостоятельное изучение части теоретического материала и теоретическая подготовка к практическим занятиям по предложенной в УМК основной и дополнительной учебной литературе. Для помощи студентам рекомендованная литература указана к каждому занятию, как лекционному, так и практическому. Средствами обучения является не только базовый учебник, но и дополнительные пособия для организации самостоятельной работы студентов, демонстрационные материалы, компьютерные обучающие программы, сборники задач; письменные формы работы (доклады, рефераты, эссе и т.п.) указываются в рабочей программе; домашние работы, для выполнения которых студенты имеют специальные тетради, проверяемые к каждому занятию. Результаты выполнения домашнего задания оцениваются баллами в технологической карте и учитываются при аттестации студентов; выполнение индивидуальных заданий, темы которых представлены в программе. Курс «Дифференциальные уравнения» завершается экзаменом, на котором студент должен продемонстрировать основные знания и умения, предусмотренные программой. Основным методом изучения тем, вынесенных в лекционный курс, является информационно-объяснительный метод с элементами проблемных ситуаций и заданий студентам. На практических занятиях основным является поисковый метод, связанный с решением различных типов задач. Приемами организации учебно-познавательной деятельности студентов являются приемы, направленные на осмысление и углубление предлагаемого содержания и приемы, направленные на развитие аналитико-поисковой и исследовательской деятельности. Аннотация Цели и задачи освоения дисциплины Основной целью изучения дисциплины «Дифференциальные уравнения» является овладение математическим аппаратом, необходимым для моделирования и изучения различных процессов. Задача дисциплины состоит в фундаментальной подготовке в области дифференциальных уравнений, овладение методами решения основных типов дифференциальных уравнений первого порядка, линейных дифференциальных уравнений n-го порядка и их систем, овладение современным математическим аппаратом для дальнейшего использования в приложениях. Место дисциплины в структуре ООП ВПО Дисциплина «Дифференциальные уравнения» относится к базовой части профессионального цикла, обеспечивает подготовку студентов по одной из фундаментальных математических дисциплин, являющейся мощным орудием исследования многих задач естествознания и техники. Для ее успешного изучения необходимы знания и умения, приобретенные в результате освоения предшествующих дисциплин: математический анализ, линейная алгебра, теория 12 функции комплексного переменного и функциональный анализ. Освоение дисциплины «Дифференциальные уравнения» необходимо при последующем изучении дисциплин, «Дифференциальная геометрия и топология», «Численные методы», «Теория вероятностей и элементы математической статистики» т.е. при изучении прикладных и специальных дисциплин, при рассмотрении вопросов, связанных с анализом динамических процессов. Требования к результатам освоения содержания дисциплины В процессе освоения данной дисциплины бакалавр демонстрирует следующие а) общекультурные компетенции: - готов использовать основные методы, способы и средства получения, хранения, переработки информации, готов работать с компьютером как средством управления информацией (ОК-8); б) профессиональные компетенции: - способен реализовывать учебные программы базовых и элективных курсов в различных образовательных учреждениях (ПК – 1). В результате освоения дисциплины обучающийся должен демонстрировать следующие результаты образования: знать: основные типы дифференциальных уравнений и их систем, основные понятия теории дифференциальных уравнений, определения и свойства математических объектов в этой области, формулировки утверждений, методы их доказательства, возможные сферы их приложений; уметь: решать задачи вычислительного и теоретического характера в области дифференциальных уравнений; владеть: математическим аппаратом исследования и решения дифференциальных уравнений и систем уравнений, методами решения задач и доказательства утверждений в этой области; приобрести опыт деятельности: в области математического моделирования практических задач и их решения на основе методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Общая трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетных единицы. Разработчик: доц., к.п.н. Кушнир Т.И. 13 Приложение 1 Лекционные материалы Планы лекций по дисциплине «Дифференциальные уравнения» Материалы лекций – обязательный компонент УМК дисциплины. Формулировка тем лекций и содержание лекционного материала соответствуют рабочей программе дисциплины. Лекционные материалы представлены форме аннотации лекций – обобщённое описание лекционного курса, в лаконичных формулировках дающее представление о содержании Данный компонент УМК содержит: а) тему лекции; б) учебные материалы (включая схемы, графики, рисунки, если это необходимо); в) список литературы по каждой теме. Раздел I. Лекции 1,2 Тема 1: Основные понятия теории дифференциальных уравнений План 1. Роль дифференциальных уравнений в современной математике и ее приложениях 2. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям 3. Основные определения 4. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши Основные понятия: дифференциальное уравнение, обыкновенное дифференциальное уравнение, порядок дифференциального уравнения, частное и общее решение, интегральные кривые, задача Коши, геометрический смысл дифференциального уравнения первого порядка, теорема существования и единственности решения задачи Коши, уравнение, не содержащее искомой функции, Уравнение, не содержащее независимой переменной Содержание: Задачи, приводящие к понятию дифференциального уравнения. Уравнение движения тела при сопротивлении среды, пропорциональном скорости. Уравнение цепной линии. Основные понятия теории дифференциальных уравнений, определение дифференциального уравнения, порядок уравнения, интегрирование уравнения, интеграл уравнения, общий и частный интегралы уравнения, интегральные кривые, изоклины, поле направлений. Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка. Начальные условия. Особые решения. Историческая справка развития теории дифференциальных уравнений. Вклад русских математиков в теорию дифференциальных уравнений. Литература: 1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление т. 2. – М.: Интеграл-Пресс, 2002. – 544с. 2. Самойленко А.М. Дифференциальные уравнения. Практический курс : учеб. Пособие / А. М. Самойленко, С. А. Кривошея, Н. А. Перестюк. – 3-е изд., перераб. И доп. – М. : Высш. Шк., 2006. – 383 с- С.17 Раздел 2. Лекция 3 Тема 2: Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными. План 1. Уравнения с разделенными переменными 2. Уравнения с разделяющимися переменными 14 Основные понятия: уравнения с разделенными и разделяющимися переменными, Содержание: классификация дифференциальных уравнений первого порядка. Уравнения с разделёнными переменными. Уравнения с разделяющимися переменными, их интегрирование. Возможные потери решений Литература: 1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление т. 2. – М.: Интеграл-Пресс, 2002. – 544с. – С.17-21 2. Самойленко А.М. Дифференциальные уравнения. Практический курс : учеб. Пособие / А. М. Самойленко, С. А. Кривошея, Н. А. Перестюк. – 3-е изд., перераб. И доп. – М. : Высш. Шк., 2006. – 383 с. – С.28, 35 Лекция 4 Тема: Однородные дифференциальные уравнения первого порядка План Определение однородного дифференциального уравнения Примеры решения однородных дифференциальных уравнений 1. 2. Основные понятия: однородное дифференциальное уравнение Однородные функции. Разные определения однородного уравнения первого порядка. Методы интегрирования однородного уравнения. Уравнения, приводящиеся к однородным, их интегрирование. Задачи, приводящие к однородным уравнениям и уравнениям с разделяющимися переменными. Литература: 1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление т. 2. – М.: Интеграл-Пресс, 2002. – 544с. – С.24-29 2. Самойленко А.М. Дифференциальные уравнения. Практический курс : учеб. Пособие / А. М. Самойленко, С. А. Кривошея, Н. А. Перестюк. – 3-е изд., перераб. И доп. – М. : Высш. Шк., 2006. – 383 с. – С.50 Лекции 5 1. 2. 3. 4. Тема 4: Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения План Определение линейного дифференциального уравнения Интегрирование линейного однородного уравнения Интегрирование линейного неоднородного уравнения Уравнение Бернулли Основные понятия: линейное дифференциальное уравнение Содержание: линейные дифференциальные уравнения первого порядка (однородные и неоднородные). Стандартный вид уравнения. Метод Бернулли при интегрировании линейного уравнения. Метод вариации произвольной постоянной, иные методы интегрирования. Уравнение Бернулли, его стандартный вид, интегрирование. Литература: 1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление т. 2. – М.: Интеграл-Пресс, 2002. – 544с. – С.29-32 2. Самойленко А.М. Дифференциальные уравнения. Практический курс : учеб. Пособие / А. М. Самойленко, С. А. Кривошея, Н. А. Перестюк. – 3-е изд., перераб. И доп. – М. : Высш. Шк., 2006. – 383 с.- С.60 Лекция 6 15 Тема 5: Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах План 1. Понятие дифференциального уравнения в полных дифференциалах 2. Методы решения Основные понятия: дифференциальное уравнение в полных дифференциалах, интегрирующий множитель, методы решения Содержание: Дифференциальное уравнение в полных дифференциалах: определение, стандартный вид, условие полного дифференциала. Интегрирование уравнения с помощью криволинейного интеграла и через неопределённый интеграл. Осуществление проверки решения. Интегрирующий множитель. Необходимое и достаточное условие существования интегрирующего множителя, зависящего только от одной переменной. Задание: законспектировать материал по уравнениям Лагранжа и Клеро и интегрирующему множителю. Методические указания: Обратить внимание на геометрическую интерпретацию общего решения уравнения Клеро и особые решения обоих уравнений. Выделить условия при которых интегрирующий множитель зависит либо только от х, либо только от у, как его искать? Литература: 1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление т. 2. – М.: Интеграл-Пресс, 2002. – 544с. – С.33-46 2. Самойленко А.М. Дифференциальные уравнения. Практический курс : учеб. Пособие / А. М. Самойленко, С. А. Кривошея, Н. А. Перестюк. – 3-е изд., перераб. И доп. – М. : Высш. Шк., 2006. – 383 с. – С.74 Лекция 6 Тема 6: Приближенные методы интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка План 1. Понятие о приближенных методах решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений 2. Приближенные численные методы: метод Эйлера, метод Адамса Примеры 1) Найдем приближенное решение уравнения y y dy y , удовлетворяющее 2) С помощью метода Адамса найти решение уравнения dx начальному условию y (0) 1 . Содержание: типы приближенных методов решения дифференциальных уравнений: аналитические и численные, шаг интегрирования; Метод Эйлера, приближенное решение задачи Коши по методу Эйлера Литература: 1. Матвеев Н.М. Дифференциальные уравнения: Учебное пособие для студентов пед.ин-тов по физ.-мат.спец. – М: Просвящение, 1988. - 256с – С.70-81 Лекции 7 Тема 7: Дифференциальные уравнения высших порядков. Основные понятия и определения Дифференциальные уравнения высших порядков. Достаточные условия существования и единственности решения задачи Коши Содержание: Общие определения. Общее решение дифференциального уравнения 2-го порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Литература: 16 1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление т. 2. – М.: Интеграл-Пресс, 2002. – 544с. – С.51-55 2. Самойленко А.М. Дифференциальные уравнения. Практический курс : учеб. Пособие / А. М. Самойленко, С. А. Кривошея, Н. А. Перестюк. – 3-е изд., перераб. И доп. – М. : Высш. Шк., 2006. – 383 с. – С.102 Задание: изучить теоремы об определителе Вронского. Методические указания: законспектировать материал. Уметь составлять вронскиан и знать основные теоремы о нём. Лекции 8 Тема 8: Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка Содержание: уравнения, допускающие понижение порядка, их классификация, методы интегрирования Лекции 9-10 Тема 9: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Содержание: Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка, однородные и неоднородные. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Свойства решений однородного линейного дифференциального уравнения. Линейно независимые решения, общее решение. Решение однородных линейных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Теорема об общем решении неоднородного линейного дифференциального уравнения. Теорема о решении неоднородного линейного дифференциального уравнения, если правая часть уравнения представляет собой сумму функций. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами и специальным видом правой части: Метод вариации произвольных постоянных для решения линейных дифференциальных уравнений 2-го порядка. Задание: законспектировать материал по свободным и вынужденным колебаниям Методические указания: Обратить внимание на тот факт, что свободные колебания приводят к однородному линейному уравнению, а вынужденные – к неоднородному 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Рассмотреть явление резонанса. Литература: 1. Самойленко А.М. Дифференциальные уравнения. Практический курс: учеб. Пособие / А. М. Самойленко, С. А. Кривошея, Н. А. Перестюк. – 3-е изд., перераб. И доп. – М.: Высш. Шк., 2006. – 383 с. – С.132 Лекции 11-12 Тема 10: Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Содержание: Однородное линейное уравнение. Характеристическое уравнение. Построение общего решения. Линейная зависимость функций. Определитель Вронского и его свойства. Фундаментальная система решений. Неоднородное линейное уравнение, вид общего решения. Метод вариации произвольных постоянных для решения линейных дифференциальных уравнений n-го порядка. Литература: 1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление т. 2. – М.: Интеграл-Пресс, 2002. – 544с. – С.63-74 2. Самойленко А.М. Дифференциальные уравнения. Практический курс : учеб. Пособие / А. М. Самойленко, С. А. Кривошея, Н. А. Перестюк. – 3-е изд., перераб. И доп. – М. : Высш. Шк., 2006. – 383 с. – С.132 17 Приложение 2 2.1. Планы практических занятий Практическое занятие №1 Тема 1: Простейшие дифференциальные уравнения План: 1) Повторение: неопределённый интеграл, таблица основных интегралов, производная, геометрический смысл производной, механический смысл производной, уравнения прямой на плоскости, уравнения касательной к нормали. 2) Рассмотрение текстовых задач геометрического характера, выполнение рисунков, составление дифференциального уравнения. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. – М.: Наука, 1970, №№ 71, 132, 173. 3) Текстовые задачи физического содержания, составление дифуравнения. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. – М.: Наука, 1970, №№ 80, 91. Домашнее задание: Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. – М.: Наука, 1970, №№ 72, 131, 174, 81, 92. Литература: 1. Самойленко А.М. Дифференциальные уравнения. Практический курс : учеб. Пособие / А. М. Самойленко, С. А. Кривошея, Н. А. Перестюк. – 3-е изд., перераб. И доп. – М. : Высш. Шк., 2006. – 383 с. – С.5-16 Методические указания: 1) При решении задач на составление дифуравнений следует исходить из геометрического dS v, смысла производной y tg , где tg k кас. , и из механического смысла производной dt где v – скорость изменения величины S. 2) Обратить внимание на то, что α – это угол между касательной и положительным направлением оси абсцисс. Практическое занятие №2 Тема: Основные понятия теории дифференциальных уравнений План: 1) Повторение определений: дифференциальное уравнение, порядок уравнения, решение уравнения, общий и частный интегралы, интегральные кривые, изоклины, поле направлений, задача Коши. 2) Выполнение упражнений: Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. – М.: Наука, 1970, №№ 6, 19; Давыдов Н.А., Коровкин П.П., Никольский В.Н. Сборник задач по математическому анализу. – М.: Просвещение, 1973, №№ 2027, 2030, 2032, 2034, 2040. Домашнее задание: Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. – М.: Наука, 1970, №№ 1, 17. Давыдов Н.А., Коровкин П.П., Никольский В.Н. Сборник задач по математическому анализу. – М.: Просвещение, 1973, №№ 2028, 2031, 2039. Литература: 1. Самойленко А.М. Дифференциальные уравнения. Практический курс : учеб. Пособие / А. М. Самойленко, С. А. Кривошея, Н. А. Перестюк. – 3-е изд., перераб. И доп. – М. : Высш. Шк., 2006. – 383 с. – С.28-35 Методические указания: 1. Перед решением упражнений 2030 и 2032 необходимо вспомнить, как дифференцируется неявная функция и как найти частные производные сложной функции двух переменных. 2. Обратить внимание на разницу в общем и частном решениях дифуравнения. 18 Практическое занятие №2 Тема: Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными План: 1) Повторение определений уравнения с разделёнными переменными и с разделяющимися переменными, его стандартный вид. 2) Напоминание о возможной потере решений при разделении переменных в уравнении. 3) Рассмотрение и решение текстовой задачи, приводящей к уравнению с разделяющимися переменными 4) Выполнение упражнений: Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. – М.: Наука, 1970, №№ 52, 59, 60, 66, 74, 82. Домашнее задание: Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. – М.: Наука, 1970, №№ 57, 61, 62, 67, 73. Литература: 1. Самойленко А.М. Дифференциальные уравнения. Практический курс : учеб. Пособие / А. М. Самойленко, С. А. Кривошея, Н. А. Перестюк. – 3-е изд., перераб. И доп. – М. : Высш. Шк., 2006. – 383 с. – С.28-35 Методические указания: 1. Напомнить, что необходимо проверять, не происходит ли потеря решений при делении обеих частей уравнения на выражение, содержащее х и у. 2. Чтобы правильно построить интегральные кривые, необходимо вспомнить канонические уравнения окружности, эллипса, гиперболы, параболы, разные виды уравнений прямой. Практическое занятие №3 Тема: Решение однородных дифференциальных уравнений первого порядка План: 1) Определения: однородная функция п-го измерения, однородная функция нулевого измерения, примеры. 2) Различные модификации определения однородного уравнения первого порядка. 3) Методы интегрирования однородного уравнения. 4) Выполнение упражнений: Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. – М.: Наука, 1970. №№ 104, 107, 109. 5) Решение задачи, приводящей к однородному уравнению: Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. – М.: Наука, 1970. №№ 130, 131. Домашнее задание: Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. – М.: Наука, 1970. №№ 102, 103, 110, 132, 133. Литература: Самойленко А.М. Дифференциальные уравнения. Практический курс : учеб. Пособие / А. М. Самойленко, С. А. Кривошея, Н. А. Перестюк. – 3-е изд., перераб. И доп. – М. : Высш. Шк., 2006. – 383 с. – С.50-59 Методические указания: y 1. Если уравнение однородное и выполняется замена t , то y x t , где х – независимая x x переменная, а t – новая функция от х. Если же замена t , то x t y , где у – независимая y переменная, а t t ( y ) . 2. После замены должно получиться уравнение с разделяющимися переменными. 19 Практическое занятие №4 Тема 5: «Линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли». План: 1. Стандартный вид линейного уравнения первого порядка; однородное и неоднородное дифференциальное уравнение. 2. Метод Бернулли интегрирования уравнения. 3. Метод вариации производной постоянной при решении линейного уравнения. 4. Уравнение Бернулли, его интегрирование. 5. Рассмотрение задачи, приводящей к линейному уравнению. 6. Выполнение упражнений: Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. – М.: Наука, 1970. №№ 138, 139, 158, 173. Домашнее задание: Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. – М.: Наука, 1970. №№ 136, 137, 156, 174. Литература: Самойленко А.М. Дифференциальные уравнения. Практический курс : учеб. Пособие / А. М. Самойленко, С. А. Кривошея, Н. А. Перестюк. – 3-е изд., перераб. И доп. – М. : Высш. Шк., 2006. – 383 с– С.50-59 Методические указания: 1. Обратить внимание на тот факт, что некоторые уравнения относятся сразу к нескольким типам уравнений, поэтому важно находить оптимальный метод интегрирования. 2. В отдельных случаях уравнение является линейным относительно переменной х, т. е. имеет вид x p( y ) x f ( y ) . Тогда искомая функция x u v , где u u ( y ) , v v( y ) ; dx du dv v u . dy dy dy Практическое занятие №5 Тема: Решение уравнений в полных дифференциалах. Уравнения Лагранжа и Клеро План: 1. Повторить материал о независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования, признак полного дифференциала, восстановление функции двух переменных по её полному дифференциалу. 2. Рассмотреть разные методы интегрирования дифуравнения в полных дифференциалах: с помощью криволинейного интеграла и через неопределённый интеграл. 3. Выполнять проверку решения дифференциального уравнения в полных дифференциалах. 4. Решение упражнений Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. – М.: Наука, 1970. №№ 187, 189, 190, 191, 194. Домашнее задание: Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. – М.: Наука, 1970. №№ 186, 188, 192, 193. Подготовка к контрольной работе № 1. Литература: 1.Самойленко А.М. Дифференциальные уравнения. Практический курс : учеб. Пособие / А. М. Самойленко, С. А. Кривошея, Н. А. Перестюк. – 3-е изд., перераб. И доп. – М. : Высш. Шк., 2006. – 383 с. – С.74-83 Методические указания: 1. Обратить внимание на стандартный вид уравнения в полных дифференциалах: pP Q P( x, y )dx Q( x, y )dy 0 , где . y x 2. Применяя криволинейный интеграл для решения уравнения в полных дифференциалах, по возможности брать точку начала пути интегрирования не А(х0;у0), а А(0;0) или А(0;1) и т. п. 3. Все выражения, содержащие числа х0, у0, объединять в произвольную постоянную С. 20 4. Уметь контролировать себя при решении уравнения в полных дифференциалах: полный дифференциал от искомой функции и(х,у) должен совпадать с левой частью уравнения, т. е. du Pdx Qdy . Практическое занятие №6 Контрольная работа № 1 по теме: Дифференциальные уравнения первого порядка Вариант 1 1. Решить данное уравнение: xydx ( x 1)dy 0 . y 2. Найти общий интеграл: xy y cos ln . x y 3. Найти общее решение: y . 3x y 2 x3 4. Решить уравнение и выполнить проверку: 3x (1 ln y )dx (2 y )dy . y 5. Найти кривую, у которой точка пересечения любой касательной с осью абсцисс одинаково удалена от точки касания и от начала координат. Вариант 2 2 1. 2. 3. Решить данное уравнение: 1 y 2 dx xydy . y Найти общий интеграл: xy y x tg . x 2 x Найти общее решение: y 2 y y e . 4. Решить уравнение и выполнить проверку: e y dx (2 y xe y )dy 0 . 5. Найти кривую, у которой расстояние любой касательной от начала координат равно абсциссе точки касания. Вариант 3 1. Решить данное уравнение: 2 x 2 yy y 2 2 . x y 2. Найти общий интеграл: xy y ( x y ) ln . x 3. Найти общее решение: ( x 1)( y y 2 ) y . y 4. Решить уравнение и выполнить проверку: dx ( y 3 ln x)dy 0 . x 5. Найти кривые, у которых площадь треугольника, образованного касательной, ординатой точки касания и осью абсцисс, есть величина постоянная, равная в2. Вариант 4 1. Решить данное уравнение: y xy2 2 xy . 2. Найти общий интеграл: ( y xy )dx xdy . x xy 3. Найти общее решение: 2 y 2 . y x 1 4. Решить уравнение и выполнить проверку: (2 9 xy 2 ) xdx (4 y 2 6 x 3 ) ydy 0 . 5. Найти кривые, у которых точка пересечения любой касательной с осью абсцисс имеет абсциссу, вдвое меньшую абсциссы точки касания. Практическое занятие №7,8 Тема: Понижение порядка дифференциального уравнения План: 1. Рассмотреть наиболее простые типы уравнений высших порядков, допускающих понижение порядка, а именно: y ( n ) f ( x) , F ( x, y, y) 0 , F ( y, y, y) 0 , F ( x, y ( k ) , y ( k 1) ,..., y ( n ) ) 0 . 21 2. 3. Познакомиться с методами интегрирования разных типов таких уравнений. Выполнение упражнений: Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. – М.: Наука, 1970. №№ 421, 426, 435; Давыдов Н.А., Коровкин П.П., Никольский В.Н. Сборник задач по математическому анализу. – М.: Просвещение, 1973, №№ 2203, 2204. Домашнее задание: Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. – М.: Наука, 1970. №№ 422, 425, 438, 451. Литература: 1. Дадаян А.А., Дударенко В.А. Математический анализ. – Минск: Вышэйшая школа, 1990, 9.5. 2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. – М.: Интеграл-Пресс, 2001, т. 2, гл. 13, §§ 16-18. Методические указания: 1. Обратить внимание на то, что общее решение уравнения п-го порядка должно содержать ровно п произвольных постоянных с1, с2, …, сп. 2. В уравнении F ( y, y, y) 0 производится замена y p , где р рассматривается как новая неизвестная функция от у: p p ( y ) . 3. При решении задачи Коши для уравнений высших порядков целесообразно определять значения постоянных сi в процессе решения, а не после нахождения общего решения уравнения. Это ускоряет решение задачи и, кроме того, может оказаться, что интегрирование значительно упростится, когда постоянные сi принимают конкретные числовые значения, в то время как при произвольных сi интегрирование затруднительно, а то и вообще невозможно в элементарных функциях. Практическое занятие №9 Тема: Решение однородного линейного дифференциального уравнения План : 1. Стандартный вид линейного однородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. 2. Составление характеристического уравнения по данному дифференциальному уравнению. 3. Связь корней характеристического уравнения с решениями дифференциального уравнения (3 случая: корни действительные разные, действительные равные, комплексные сопряжённые). 4. Составление линейных однородных дифференциальных уравнений по фундаментальным системам их решений. 5. Выполнение упражнений: Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. – М.: Наука, 1970. №№ 511, 513, 515, 517, 518, 519, 525, 532. Домашнее задание: Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. – М.: Наука, 1970. №№ 512, 514, 516, 520, 524. Литература: 1. Дадаян А.А., Дударенко В.А. Математический анализ. – Минск: Вышэйшая школа, 1990, 9.7; 9.10. 2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. – М.: Интеграл-Пресс, 2001, т. 2, гл. 13, §§ 21, 24, 27, 28. Методические указания: 1. Обратить внимание на то, что общее решение уравнения второго порядка всегда имеет две произвольные постоянные с1 и с2. 2. Достаточно часто допускается ошибка при составлении характеристического уравнения, если дифференциальное уравнение имеет нестандартный вид, т. е. вместо y py qy 0 дано 22 y py 0 или y qy 0 . Надо помнить, что порядок производной заменяется степенью, т. е. y на k 2 , y на k 1 , y y 0) на k 0 1 . 3. При составлении дифуравнений по фундаментальным системам решений надо повторить определения линейно независимых решений, фундаментальной системы решений. Практическое занятие №10,11 Тема: Метод вариации произвольных постоянных для определения частного решения неоднородного уравнения План: 1. Запись стандартного вида линейного неоднородного уравнения второго порядка. 2. Структура общего решения дифуравнения. 3. Метод вариации произвольных постоянных для отыскания общего интеграла неоднородного уравнения. 4. Выполнение упражнений: Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. – М.: Наука, 1970. №№ 575, 577; Давыдов Н.А., Коровкин П.П., Никольский В.Н. Сборник задач по математическому анализу. – М.: Просвещение, 1973, №№ 2236, 2240. Домашнее задание: Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. – М.: Наука, 1970. №№ 576, 578, 579, 580. Литература: 1. Дадаян А.А., Дударенко В.А. Математический анализ. – Минск: Вышэйшая школа, 1990, 9.7; 9.10. 2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. – М.: Интеграл-Пресс, 2001, т. 2, гл. 13, §§ 21, 24, 27, 28. Методические указания: 1. Напомнить, что общее решение линейного неоднородного уравнения второго порядка обязательно содержит две произвольные постоянные, например, с1 и с2 или А и В и т. п. 2. При использовании метода вариации произвольных постоянных приходится решать систему двух уравнений с двумя неизвестными. Следует вспомнить основные методы решения систем. 3. Получив общий интеграл дифференциального уравнения, желательно привести его к виду, где учн – частное решение неоднородного уравнения, а у00 – общее решение однородного уравнения, соответствующего данному неоднородному уравнению (оно было ранее найдено, поэтому даёт возможность контроля). Практическое занятие №12 Контрольная работа № 2 по теме «Решение дифференциальных уравнений высших порядков Вариант 1 1. Решить уравнение: x 2 y y 2 . 2. Найти общее решение уравнения: y 2 y 3 y e 4 x . 3. Решить задачу Коши: y 9 y 15 sin 2 x , если y (0) 7 , y (0) 0 . Вариант 2 1. Решить уравнение: y 3 y 1 . 2. Найти общее решение уравнения: y 3 y 2 y sin x . 70 3. Решить задачу Коши: y 3 y 3x x 2 , если y (0) 0 , y(0) . 27 Вариант 3 1. Решить уравнение: y 2 yy . 2. Найти общее решение уравнения: y y 4 xex . 23 3. Решить задачу Коши: y y 2(1 x) , если y (0) 1 , y(0) 1 . Вариант 4 Решить уравнение: y e y . Найти общее решение уравнения: y y 2 y 6 x 2 . Решить задачу Коши: yy 2 x 2 e x , если y (0) 5 , y(0) 0,5 . 2.2. Методические указания к практическим занятиям Прежде чем интегрировать дифференциальное уравнение, следует установить его тип, т. к. каждый тип уравнения решается своим методом (методами). Поэтому студенту необходимо чётко знать определение каждого типа уравнений, их стандартный вид, методы решения. Важно выбрать рациональный, оптимальный метод. Общее решение дифференциального уравнения должно содержать такое количество произвольных постоянных, каков его порядок; за этим нужно следить, контролировать себя. Не забывать при решении уравнения с разделяющимися переменными о возможной потере решений, когда уравнение делится на функции, содержащие х или у. y Если уравнение однородное и выполняется замена t , то y x t и при дифференцировании x x х – независимая переменная, t – функция от х. Если же замена t то x ty , где у – y независимая переменная, t = t(y). При решении задач на составление дифференциальных уравнений следует исходить из геометрического смысла производной: y tg , где tg kкас . Решая задачи физического dS содержания, используют механический смысл производной: v - скорость изменения dt величины S. Следует различать общие, частные и особые решения дифференциального уравнения, уметь интегрировать их графически. Уметь выполнить проверку решения уравнения дифференцированием; для этого надо повторить правила дифференцирования сложной, неявной функций, таблицу производных. Решая линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, чётко представлять, при каких частных случаях правой части f(x) можно отыскать частное решение этого уравнения по виду f(x). Так как некоторые уравнения относятся сразу к нескольким типам, важно уметь выбирать наиболее короткий путь интегрирования, но для тренировки желательно уметь решать разными методами. Представлять суть метода вариации произвольных постоянных при решении линейных дифференциальных уравнений первого и второго порядков. 24 Приложение 3 Самостоятельная работа студентов 1. Задания для самостоятельной работы 1) Вопросы для терминологического опроса Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной 1. Какие уравнения называются дифференциальными? дифференциальными уравнениями первого порядка? 2. Что называется решением дифференциального уравнения? В каких видах могут быть заданы решения? 3. Каковы основные формы задания уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной? 4. Что такое интегральная кривая? 5. Какую геометрическую интерпретацию можно дать самому дифференциальному уравнению =(x,y)? Его решению? 6. В чем состоит задача Коши для уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной? При каком условии она имеет решение? При каких условиях это решение будет заведомо единственным? (Теорема существования решения и единственности решения задачи Коши). 7. Геометрическая интерпретация теоремы существования и единственности решения задачи Коши. 8. Привести пример нарушения единственности решения задачи Коши. 9. Дать определение общего решения. Как решается задача Коши при помощи общего решения? 10. Дать определение частого решения. Как оно может быть связано с формулой общего решения? 11. Какое решение называется особым? Как оно может быть связано с формулой общего решения? Как найти кривые, подозрительные на особое решение, по самому дифференциальному уравнению? В каком случае дифференциальное уравнение заведомо не имеет особых решений? 12. Что такое особая точка дифференциального уравнения? Как по виду правой части уравнения установить у него наличие особых точек? 13. Как интегрируются уравнения с разделенными и разделяющимися переменными? 14. При каких условиях на функции Х(х) и У(у) для уравнения у=Х(х)У(у) справедлива теорема существования и единственности. 15. Запишите все решения уравнения y=cosxsiny. 16. Найти решение уравнения 3y 2 + 16x = 2xy 3, при х . 17. Какому условию должна удовлетворять функция (x,y), чтобы уравнение =(x,y), было однородным? (Какое уравнение называется однородным?) 18. Как интегрируется однородное уравнение? 19. Докажите, что заменой неизвестной функции u(x)= y / x уравнение y f ( y / x) сводится к уравнению с разделяющимися переменными. 20. Какое уравнение называется линейным? При каком условии задача Коши имеет единственное решение? dy a( x) y . 21. Запишите выражение для общего решения линейного однородного уравнения dx 22. Запишите выражение для решения задачи Коши у(х0)=у0 линейного однородного уравнения dy a( x) y . dx 25 23. Может ли график ненулевого решения линейного однородного уравнения пересекает ось Ох или касается ее? Может ли линейное уравнение иметь особое решение? 24. Как найти общее решение неоднородного линейного уравнения, если известно одно частное решение? 25. Найти общее решение линейного неоднородного уравнения через заданные функции, входящие в уравнение. 26. Найти решение уравнения x 2 y y 1 x 2 e x , удовлетворяющее условию: y 1 при. 27. Найти ограниченность решения при 0 уравнения xy y 2 x . 28. Как интегрируется уравнение Бернулли? При каком условии y = 0 будет решением, когда это решение является частным и когда особым? 29. При каком условии уравнение M ( x, y )dx N ( x, y )dy 0 является уравнением в полных дифференциалах? Какой вид имеет его общий интеграл? 26. Как по виду уравнения в полных дифференциалах написать его решение задачи Коши с начальными данными x 0, y 0? 27. В чем состоит метод интегрирующего множителя? При каком условии существует интегрирующий множитель, зависящий: а) только от х; б) только от y? 28. Докажите, что уравнение sin 2 x sin 2 x x dx y dy 0 2 y y является уравнением в полных дифференциалах. 29. Докажите, что равенство sin(xy)=C задает общий интеграл уравнения y cos( xy)dx x cos( xy)dy 0 . 30. При каком значении параметра а уравнение (ax 2 y 2 )dy ( x3 3xy)dx 0 является уравнением в полных дифференциалах? 31. Доказать по виду уравнений, что они не имеют особых решений: а) y x 2 y 4 б) y x x 2 y 2 . 32. Определить тип каждого из следующих уравнений и указать метод интегрирования его: а) 2 y 2 xy x 2 y x 2 y 0 б) ydx 2 x y 2 dy 0 . Дифференциальные уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной 1. Какой вид имеет общее решение уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной? 2. В чем состоит отличие поля направлений, определяемого уравнением, не разрешенного относительно производной, от поля направлений, определяемого уравнением, разрешенного относительно производной? 3. Могут ли интегральные кривые пересекаться между собой? Могут ли касаться друг друга? 4. Как ставиться задача Коши для уравнения первого порядка, не разрешенного относительно производной? 5. Какой вид имеет общий интеграл уравнения? 6. Как интегрируется уравнение, не содержащее искомой функции? 7. Как интегрируется уравнение, не содержащее независимой переменной? 8. Какой вид имеет уравнение Лагранжа? 9. Какой вид имеет уравнение Клеро? Чем оно отличается от уравнения Лагранжа? 10. Как интегрируется уравнение общего вида, разрешенное относительно искомой функции или независимой переменой? Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка 26 1. Запишите общий вид однородного линейного дифференциального уравнения 2-го порядка, n-го порядка. 2. Запишите общий вид неоднородного линейного дифференциального уравнения 2-го порядка, n-го порядка. 3. Сформулируйте теорему существования и единственности решения задачи Коши для линейного дифференциального уравнения. 4. В каком интервале существует решения линейного уравнения? 5. Почему линейное уравнение не имеет особых решений? 6. Может ли график ненулевого решения однородного линейного уравнения второго порядка касаться оси Ох? Может ли пересекать ось Ох? 7. Докажите, что если у1(х) и у2(х) - два решения однородного линейного дифференциального уравнения, то их линейная комбинация у(х)=с1у1(х)+с2у2(х) при любых постоянных с1, с2 тоже является решением уравнения. 8. Какие решения однородного линейного уравнения называются линейнонезависимыми? Привести пример. 9. Какие решения однородного линейного уравнения называются линейно-зависимыми? Привести пример. 10. Исследовать на линейно зависимость функции:1) x+1, x+1, 2x+x; 2) 1+x, 2-x, x+2x; 11. Что такое фундаментальная система решений? Может ли нулевое решение входить в состав фундаментальной системы решений? 12. Как построить общее решение однородного линейного уравнения, если известно фундаментальная система решений? В какой области определено общее решение? 13. Как решить задачу Коши при помощи формулы общего решение? 14. Как построить Л.О.У, используя данную по ФСР? 15. Как найти общее решение неоднородного линейного уравнения, если известно одно частное решение его и общее решение соответствующего однородного уравнения? 14. В чем состоит метод Эйлера интегрирования однородных линейных уравнений с постоянными коэффициентами? Как зависит структура фундаментальной системы решений от вида корней характеристического уравнения? В какой области определено общее решение? 14. В каких случаях и в каком виде может быть найдено частное решение неоднородного линейного уравнения методом неопределенных коэффициентов? 15. В чем состоит метод Лагранжа нахождения частного решения неоднородного линейного уравнения второго порядка? 2) аудиторные самостоятельные работы Самостоятельная работа №1 1. Имеется q 0 грамм радия. Скорость распада радия прямо пропорциональна его количеству. Найти количество радия, оставшегося в момент времени t. Решение. Обозначим через qt количество радия в момент времени t, t 0 . Тогда скорость dq t dqt kqt , где k – коэффициент пропорциональности. распада равна . По условию dt dt Получили уравнение dq t kq t 0 , (1.1) dt которое связывает неизвестную функцию qt и ее производную. Задача состоит в нахождении функции qt , являющейся решением уравнения (1.1) и удовлетворяющей условию q0 q 0 . 2. Найти частное решение дифференциального уравнения y x 2 , проходящее через точку 1;3 (решить задачу Коши). 27 Решение. Проинтегрируем исходное уравнение и получим общее решение: x3 y x 2 dx c . Для нахождение частного решения, подставим начальные значения x 0 1 , 3 1 10 x3 x 3 10 y 0 3 : y c : 3 c . Тогда c . и y 3 3 3 3 3 3. Найти особые решения дифференциального уравнения y 3 y . f 1 Решение. Так как f x, y 3 y , то . При y, стремящемся к нулю, частная y 33 y 2 f стремится к бесконечности. Значит, условия теоремы о существовании y решения ДУ не выполнены, если в качестве области D рассматривать окрестность любой точки оси Oх. Непосредственной подстановкой в дифференциальное уравнение можно убедиться, что производная 2 3 3 y c , c R , являются решениями дифференциального уравнения. В каждой 2 точке оси Oх нарушается единственность, следовательно, y 0 – особое решение x 4. С помощью изоклин построить интегральные кривые уравнения y y x Решение. Так как в заданном случае f x, y , то изоклины задаются уравнениями y 1 1 x c или y x , y 0 , c R . Уравнение y x определяет c c y 1 прямую с тангенсом угла наклона . На каждой прямой – изоклине с – отмечаем направление интегральных кривых: рисуем отрезки 1 прямых с тангенсом угла наклона, равным c. Но с 1 с Следовательно, изоклина и касательная к интегральной кривой перпендикулярны. Соединив плавной линией отрезки на изоклинах, получим окружности с центром в начале координат. Итак, интегральные кривые исходного дифференциального уравнения – окружности. , y0 и x Самостоятельная работа №2. 1. Найти общее решение уравнения x y 2 1 dx ydy 0 . Решение. Здесь Px x , Qy y 1 , Mx 1, Ny y . Для получения уравнения с 2 разделенными переменными разделим обе части данного уравнения на y 2 1 , предполагая, что ydy ydy xdx xdx . Далее, интегрируя, имеем 2 y 2 1 0 . Получим 2 y 1 y 1 Так как 1 dt t y2 1 ydy 1 1 2 ln t c ln y 2 1 c , то 2 t 2 2 y 1 dt 2 ydy 28 1 x2 ln y 2 1 c, 2 2 y2 1 e x 2 2c , y 2 c1e x 1,где c1 e 2c . 2 Если y 2 1 0 , то y 1 тоже являются решениями исходного дифференциального уравнения, при подстановке y 1 в уравнение получаются тождества x 0 dx 0 0 . Решения y 1 являются частными случаями общего интеграла y 2 c1e x 1, если взять c1 0 . 2. Для дифференциального уравнения 1 e x y ye x решить задачу Коши с начальным условием y0 2 . dy dy ye x и разделяем Решение. Запишем производную в виде y и в уравнении 1 e x dx dx dy e x dx переменные: . y 1 ex 2 Проинтегрируем равенство почленно и получим Учитывая, что dy e x dx . y 1 ex e x dx d ex 1 ln e x 1 c , тогда ln y ln 1 e x ln c , y c 1 e x , x x e 1 e 1 где c R . Чтобы найти решение задачи Коши, подставляем начальные значения x 0 0 и y0 2 в общее решение y c 1 e x , откуда c 1 . Самостоятельная работа №3. 1. Является ли функция f x, y x 3 3x 2 y y 3 однородной Решение. Функция f x, y x 3 3x 2 y y 3 является однородной третьего измерения, так как f tx , ty t 3 x 3 3t 2 x 2 ty t 3 y3 t 3f x, y . 2. Найти общее решение дифференциального уравнения y tg y y x x Решение. Так как f tx, ty tg ty ty y y tg f x, y , то дифференциальное уравнение tx tx x x y является однородным. Выполняем замену u и подставим y ux , y u x u в x уравнение, тогда u x u tgu u , u x tgu . После разделения переменных получаем du dx du dx , x 0 , sin u 0 . Тогда , ln sin u ln x ln c , sin u cx , c R . tgu x tgu x 1) x 0 по смыслу правой части уравнения; 2) если sin u 0 0 , то u u 0 является решением уравнения u x tgu , и это частное решение входит в общий интеграл sin u cx при c 0 . y y Выполняя обратную замену u , имеем общий интеграл уравнения (1.8) sin cx , c R . x x Самостоятельная работа №4 1. Найти общее решение линейного неоднородного уравнения y - 2xy x - x 3 Решение. 1 способ. Метод вариации произвольной постоянной дифференциального 29 Для уравнения составим соответствующее ему линейное однородное уравнение y - 2xy 0 , 2 P x dx 2 x dx которое имеет общее решение y ce ce ce x , c R . Будем искать общее решение уравнения в виде y cx e x . В этом случае y cx e x cx e x 2x . 2 2 2 Подставляем y и y в уравнение (1.14): сx e x cx e x 2x 2x cx e x x x 3 . 2 Отсюда, cx e x x x 3 и cx e x x x 3 dx 2 2 2 2 x2 t 1 e t t 1dt dt 2xdx 2 2 u t 1 du dt 1 t 1 e t 1 e t dt x 2 e x ~c . t t dv e dt v e 2 2 2 2 1 Итак, общее решение уравнения y cx e x ~c e x x 2 , ~ c R . 2 2 способ. Метод Бернулли Представляем решение уравнения в виде произведения y u v , y u v u v , получаем u v u v 2x u v x x 3 или u v 2 xv u v x x 3 . 2 2 x dx ce x . При c 1 Выражение, стоящее в скобках, v 2xv равно нулю, если v ce 2 2 имеем v e x . Учитывая, что v e x , дифференциальное уравнение запишем в виде u 0 u e x x x 3 , u x x 3 e x . 2 2 1 Тогда u x x 3 e x dx x 2 e x c , c R . 2 2 1 2 2 1 Отсюда y u v e x x 2 e x c c e x x 2 . 2 2 2 2 2. Найти частное решение дифференциального уравнения y y x 2 y4 x удовлетворяющее условию y1 1 . Решение. Уравнение является уравнением Бернулли при n 4 . Разделим уравнение обе y 1 1 dt 3 dy y t 4 части уравнения на y 4 , тогда 4 3 x 2 . Введем замену t y 3 , , 4 . 3 x y dx y dx y y 3 Получим линейное неоднородное уравнение t t 3x 2 x Решим уравнение методом вариации произвольной постоянной. Соответствующее линейное 3 dx 3 3 ln x однородное уравнение t t 0 имеет общее решение t ce x ce cx 3 , c R . x Общее решение исходного уравнения найдем в виде t cx x 3 . t cx x 3 3x 2 cx t и в уравнение 3 3 cx x 3 3x 2 cx cx x 3 3x 2 или cx . x x c 3 Откуда cx dx 3 ln x ln c ln 3 . x x c Общее решение данного уравнения t x 3 ln 3 . Так как t y 3 , то y x Подставляем и получим 1 – общее c x 3 ln 3 x решение исходного уравнения . 30 Подставляя в него начальные данные x 0 1, y 0 1 , имеем c e . Получили частное решение 1 1 y . e x 3 3 ln x x 3 ln 3 x Самостоятельная работа №5. 1. Найти общее решение уравнения xy 2 y 1 dx x 2 y x dy 0 P Q Решение. В уравнении Px, y xy 2 y 1 , Qx , y x 2 y x и , 2xy 1 y x значит, уравнение является уравнением в полных дифференциалах. u xy 2 y 1 , Найдем функцию ux, y такую, что dux, y Px, ydx Qx, ydy 0 . Имеем, x u x2y x . y Проинтегрируем первое соотношение по переменной x x x 2 y2 ux, y xy 2 y 1 dx y yx x y . 2 0 Полученное тождество x 2 y x y x 2 y x . y u x, y u x, y x 2 y2 yx x y 2 Получим y 0 продифференцируем или y ~c , ~ c R . по y: Тогда x 2 y2 yx x c и общий интеграл исходного дифференциального уравнения 2 x 2 y2 yx x c . 2 Самостоятельная работа №6. 1. Найти частное решение уравнения y sin x , удовлетворяющее условиям y0 1, y0 0 Решение. Дважды интегрируем уравнение: y sin xdx c1 cos x c1 , y cos x c1 dx c2 sin x c1x c2 . 1 c1 0, Так как y0 1, y0 0 , то имеем систему откуда c1 1, c2 1 . Частное решение c 2 1, y sin x x 1 . 2. Найти общее решение дифференциального уравнения xy y x 1 Решение. Уравнении не содержится y и y , поэтому применим замену y zx , y z и z x 1 получим z линейное неоднородное при x 0 , которое решим методом x x Бернулли. z u v , z uv uv . Тогда получим u x 1 uv x 1 u v uv , v u uv . x x x x u Уравнение u 0 имеет частное решение x 31 1 ue x dx e ln x x , значит, v 0 x v x 1 , x откуда x 1 x 1 1 c. , v 2 dx ln x 2 x x x Общее решение уравнения (1.24) имеет вид z u v x ln x 1 cx . Выполняя обратную замену y z , получаем v y x ln x 1 cx . Тогда x2 x2 cx 2 ln x x c1 , 2 4 2 x2 x2 cx 2 y ln x x c1 dx 4 2 2 3 2 3 x 5 x cx ln x x 3 c1x c 2 . 6 36 2 6 3. Найти общее решение дифференциального уравнения y tg y 2y2 . Решение. Дифференциальное уравнение не содержит явно x. Примем y в качестве независимой переменной и выполним замену y zy , y z z , после чего получим уравнение z ztg y 2z 2 . Так как z 0 является решением последнего уравнения, то y z 0 y x ln x 1 cx dx и y c является решением исходного уравнения. Если z 0 , то уравнение z ztg y 2z 2 будет дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными ztg y 2z . Разделяем переменные и интегрируем: dz cos y 2 dy , ln z 2 ln sin y ln c1 , z c1 sin 2 y , c1 R . z sin y Заменим z на y и решим уравнение y c1 sin 2 y : dy dy c1dx , 2 c1dx , ctg y c1x c2 , c 2 R . 2 sin y sin y Частное решение y c входит в общий интеграл ctg y c1x c2 при c1 0 и c2 n , n Z . Самостоятельная работа №7. 1. Найти общее решение дифференциального уравнения y y 2 y 0 . Решение. Для дифференциального уравнения составим характеристическое уравнение 2 k k 2 0 , которое имеет решения k1 2 , k 2 1 .Им соответствуют частные решения дифференциального уравнения y1 e 2 x , y 2 e x . Значит, общее решение y c1e 2 x c 2 e x . 2. Найти фундаментальную систему решений уравнения y 4 y 4 y 0 . Решение. Характеристическое уравнение k 2 4k 4 0 имеет кратный корень k 0 2 . Тогда частные линейно независимые решения дифференциального уравнения – y1 e 2x , y 2 xe 2x . 3. Найти частное решение уравнения y 9 y 0 , удовлетворяющее начальным условиям y0 1, y0 1 . 32 Решение. Составляем характеристическое уравнение k 2 9 0 , его корни – k1 3i , k 2 3i . В соответствии с теорией дифференциальное уравнение имеет решения y1 e 0 x cos 3x cos 3x , y2 sin 3x . Значит, общее решение y c1 cos 3x c2 sin 3x . Найдем частное решение. Подставляя в выражения для y и y 3c1 sin 3x 3c2 cos 3x условия y0 1, y0 1 , получаем систему c1 1, 3c 2 1. 1 1 Тогда c1 1, c 2 , y cos 3x sin 3x . 3 3 Самостоятельная работа №8. 1. Найти общее решение дифференциального уравнения y 4 y 5y 8e x . Решение. Линейному неоднородному уравнению соответствует линейное однородное уравнение y 4 y 5y 0 . Составим для него характеристическое уравнение: k 2 4k 5 0 , корни этого уравнения k1 5 , k 2 1 . Следовательно, общее решение уравнения имеет вид y c1e5 x c 2 e x . Для исходного уравнения подберем частное решение ~y e x (при подстановке его в уравнение получается тождество). Следовательно, общим решением уравнения будет функция y c1e5 x c 2 e x e x . 1 2. Найти общее решение дифференциального уравнения y y . cos x Решение. Уравнение является линейным неоднородным второго порядка с постоянными коэффициентами, ему соответствует линейное однородное уравнение y y 0 . Характеристическое уравнение для уравнения имеет вид k 2 1 0 , его корни k1 i , k 2 i . Таким образом, общее решение уравнения есть y c1 cos x c2 sin x , y1 cos x , y2 sin x , c1, c2 R .Будем искать решение исходного уравнения в виде y c1 x cos x c2 x sin x . Функции c1 x и c 2 x должны удовлетворять системе c1 cos x c2 sin x 0, c sin x c cos x 1 . 2 1 cos x Решив систему, получим c1 tg x , c2 1 . Тогда c1 tg xdx ln cos x ~ c1 , c2 dx x ~ c2 . Общее решение уравнения y ~ c cos x ~ c sin x x sin x cos x ln cos x , ~ c ,~ c R . 1 2 1 2 Самостоятельная работа №9. 2. Найти общее решение дифференциального уравнения 3 x y 6 y 9 y x 2e Решение. Линейному неоднородному уравнению соответствуют линейное однородное уравнение y 6 y 9 y 0 и характеристическое уравнение k 2 6k 9 0 с корнем k 3 кратности 2. Следовательно, общее решение однородного уравнения y c1e 3x c 2 xe 3x . Правая часть исходного уравнения имеет вид P1 x e x , где P1 x x 2 – многочлен первой степени, 3 – кратности 2 характеристического уравнения. Поэтому частное решение уравнения ищем в виде ~y x Q1 x e 3x x 2 Ax Be 3x . 33 Расположим ~y , ~y и ~y в столбик, слева от них запишем соответствующие коэффициенты уравнения 9 ~y Ax 3 Bx 2 e 3x 6 ~y 3Ax 2 2Bx 3Ax 3 3Bx 2 e 3x 1 ~y 9Ax 3 18Ax 2 9Bx 2 6Ax 12Bx 2B e 3x . Умножая ~y , ~y и ~y на коэффициент слева, складываем строки и приравниваем к f x x 2 e 3x . После деления уравнения на e 3x , получим 9Ax 3 9Bx 2 18Ax 2 12Bx 18Ax 3 18Bx 2 9Ax 3 18Ax 2 9Bx 2 6Ax 12Bx 2B x 2 . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x левой и правой частей полученного тождества, получаем систему 9A 18A 9A 0, 9B 18A 18B 18A 9B 0, 12B 6A 12B 1, 2B 2, 1 1 откуда A , B 1 . Таким образом, ~y x 1 x 2 e 3x и общее решение 6 6 1 y y ~y x 1 x 2 e 3x c1 c 2 x e 3x . 6 3) индивидуальные задания Индивидуальное задание №1. 1. Методом изоклин построить интегральные кривые дифференциального уравнения 1) y x . 2) y x y . 2. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными. 1) 2xydy 1 y 2 dx 0 . 2) xy x y y 0 . 3. Найти общее решение однородного дифференциального уравнения (или приводящегося к однородному). 1) xy y x 2 y 2 . 2) 3x 2 y 2 y 2xy . 3) y xy2 . yx4 4. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения. 1) y tgx y 0 . 2) y 2 y 3e x . 3) 1 x 2 y 2xy 3x 2 . 5. Найти общее решение уравнения Бернулли. 2y 3x 2 y 4 / 3 . x 6. Найти общее решение уравнения в полных дифференциалах. 1) x cos 2 y 3dx x 2 sin 2 ydy 0 . 1) xy y y 2 ln x . 2) y 2) x 2 2 xy 1 dx x 2 y 2 1 dy 0 . 7. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию. 34 1) y sin x 2y 1cos x 0 , y 1 . 3 2 2) y x 2 2 xy , y2 2 . 3) xy y x 3 0 , y2 4 . 4) xy y xe y/x , y1 ln 2 . 5) 1 y 2 xyy , y2 1 . 2y 3x 2 4 y 3 , y1 1 . 6) y x Индивидуальное задание №1 1. Найти общее решение дифференциального уравнения ysin 4 x sin 2 x . 1) 2. 1 x 2 y xy 2 . 3) 1 x 2 y y2 1 0 . y 4) 5) y . y2y 3 2y2 0 . y 2. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям. 6) y 18 sin y cos 3 y 0 , y0 0 , y0 3 . y x x 1 , y2 1 , y2 1. 7) y x 1 3. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения. 8) y 2 y 5y 0 . 9) y 2 y 3y 0 . 10) y 6 y 9 0 . 12) y 2 y y x 1 . 11) y y 4 xe x . 13) y 6 y 25y 2 sin x 3 cos x . 14) y 2 y 2 y e x sin x . 15) y 9 y sin 3x x cos 3x . 5) домашние задания (Приложение 2) 6) конспектирование тем: а) Уравнения Лагранжа и Клеро, интегрирующий множителю б) Уравнение Риккати. Простейшие случаи интегрирования в) Уравнение Риккати. Общая идея интегрирования г) Интегрирование уравнения с помощью криволинейного интеграла и через неопределённый интеграл. Осуществление проверки решения д) Необходимое и достаточное условие существования интегрирующего множителя, зависящего только от одной переменной е) теоремы об определителе Вронского ж) Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами 7) Вопросы к коллоквиуму дисциплине: Коллоквиум №1 1. Геометрический смысл ДУ 1-го порядка, его общего, частного и особого решения. 2. Понятие общего, особого и частного решения. 3. Метод разделения переменных. 4. Однородные уравнения первого порядка. 5. Уравнения, приводящиеся к однородным. 6. Обобщённые однородные уравнения. 7. Линейные уравнения первого порядка. Два способа интегрирования. 35 8. Свойства линейного уравнения и его решений. 9. Уравнение Бернулли. 10. Уравнение Риккати. Простейшие случаи интегрирования. 11. Уравнение Риккати. Общая идея интегрирования. 12. Уравнения в полных дифференциалах. Критерий Коши. 13. Интегрирующий множитель и его свойства. 14. Практическое нахождение интегрирующего множителя. 15. Теорема Коши (формулировка, доказательство вспомогательных утверждений). 16. Теорема Коши (формулировка, доказательство существования решений). 17. Теорема Коши (формулировка, доказательство единственности решений, продолжение решения). 18. Уравнения, не разрешённые относительно производной: F(y') = 0 и F(x, y') = 0 19. Уравнения, не разрешённые относительно производной: F(y, y') = 0 20. Уравнения, не разрешённые относительно производной: F(x, y, y') = 0. 21. Два способа нахождения особых решений. 22. Уравнение Лагранжа. 23. Уравнение Клеро. 24. Особые точки в случае различных характеристических корней. 25. Особые точки в случае кратных характеристических корней. Коллоквиум №2 1. Уравнения высших порядков, интегрируемые в квадратурах 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 4. Уравнения, не содержащие аргумента. 5. Уравнения, не содержащие функцию. 6. Однородные относительно y и его производных. 8. Уравнения с точной производной. 9. Линейные уравнения n-го порядка 9. Линейные однородные уравнения. Свойства решения. 10. Линейно-независимые решения линейного однородного уравнения n-го порядка. 11. Теорема о существовании фундаментальной системы решений. 12. Теорема о структуре общего решения. 14. Формула Лиувилля-Остроградского. 15. Понижение порядка в линейном однородном уравнении n-го порядка. 17. Метод вариаций произвольных постоянных для линейного неоднородного уравнения n-го порядка. 19. Решение однородных уравнений n-го порядка с постоянными коэффициентами. Случаи различных характеристических корней. 32. Методические указания к выполнению самостоятельной работы Виды самостоятельной работы студентов, количество рейтинговых баллов за её выполнение, объём времени, отведённый на самостоятельную работу по дисциплине в целом и по каждому заданию в отдельности, приводятся в рабочей программе учебной дисциплины (см. Требования) Тематика КСР в семестре представлена разнообразна, включает контрольные работы по определённым темам, теоретический опрос, ответы на вопросы студентов по теме занятия, индивидуальные консультации по расписанию, проведение самостоятельных (в т.ч. в виде тестов), отчёты по пропущенным занятиям, контроль за ведением тетрадей (лекционных, для практических работ, для домашних работ). Студентам к зачету заранее предоставляется список вопросов. Если студент систематический готовился к занятиям, выполнял самостоятельную работу, писал все контрольные работы, в том числе и касающиеся вопросов теории, успешно 36 сдал коллоквиум по определенной части теории, то такому студенту зачет будет поставлен автоматом. Приложение 4 Контролирующие и оценочно-диагностические материалы по дисциплине Контрольные и оценочно-диагностические материалы являются обязательным компонентом УМК дисциплины и предназначены для контроля и оценивания уровня подготовки студентов по данной дисциплине. Виды и формы контроля по дисциплине приводятся в рабочей программе (см. п. 8.4.7 СТО ТГСПА 7.3-03-01-2012 Рабочая программа учебной дисциплины. Требования). Контрольные и оценочно-диагностические материалы по дисциплине включают в себя: а) тестовые задания (для диагностического контроля, для текущего контроля знаний, для итогового контроля знаний, для контроля остаточных знаний); б) задания для аудиторных и внеаудиторных контрольных работ; в) вопросы и задания для экзамена или зачёта в устной форме. 4.1. Тестовые задания для текущего контроля знаний по дисциплине 1. Тема: Дифференциальные уравнения первого порядка 1.1. Укажите тип дифференциального уравнения 3x 1y 2 y x : а) с разделяющимися в) линейное; д) в переменными; г) Бернулли; дифференциалах; б) однородное; е) другой 2 1.2. Укажите общее решение дифференциального уравнения 3 y 1dx x dy 0 2 а) x 2 ln 3 y 1 C ; е) x 3 ln y . г) x ; ln 3 y 1 C б) x ln 3 y C ; 1 1 д) x ; в) x ; ln 3 y 1 3y C полных тип 1.3. Укажите частное решение дифференциального уравнения x 2x 4 , удовлетворяющее начальному условию x (0) 5 : в) x 5 2t ; а) x e2t 5 ; е) x 5e 2t . 2 t г) x 3e 2 ; б) x ln C 2t ; д) x eC 2t 2 ; 1.4. Среди перечисленных дифференциальных уравнений укажите уравнение с разделяющимися переменными: а) 3xyy y 2 2 x 0 ; б) x x cos t 0 ; в) 2 x y y e2[ ; г) xy y ln x ln y 4 ; д) xy x . 1.5. Среди перечисленных дифференциальных уравнений укажите однородное уравнение: xy x д) а) 3xyy y 2 2 x 0 ; в) 2 x y y e2[ ; б) x x cos t 0 ; г) xy y ln x ln y 4 ; 1.6. Среди перечисленных дифференциальных уравнений укажите линейное уравнение: а) 3xyy y 2 2 x 0 ; б) x xt 0 ; в) 2 x y y e2[ ; 37 д) xy x . г) xy y ln x ln y 4 ; 1.7. Среди перечисленных дифференциальных уравнений укажите уравнение разделяющимися переменными: г) xy x dx x2 y y dy 0 ; а) ydx 3 xy x dy 0 ; д) x2 y dx xdy o . б) x2 t 2 2 x dx 2 xtdt 0 ; в) x t dx 2 xtdt 0 ; с 2 17.8. Среди перечисленных дифференциальных уравнений укажите уравнение Бернулли: а) x2 t 2 2 x dx 2 xtdt 0 ; в) xy2 x dx x 2 y y dy 0 ; б) x t 2 dx 2 xtdt 0 ; г) x2 y dx xdy o . 1.9. Среди перечисленных дифференциальных уравнений укажите уравнение в полных дифференциалах: г) xy x dx x2 y y dy 0 ; а) ydx 3 xy x dy 0 ; д) x y dx xdy o . б) x2 t 2 2 x dx 2 xtdt 0 ; в) x t 2 dx 2 xtdt 0 ; 1.10. Укажите частное решение дифференциального уравнения xy 1 : а) y ln x C ; в) y ln x ; б) y ln x C ; г) y eCx ; д) y 2 ln x ; 2 е) y ln x 1 . 1.11. Укажите общее решение дифференциального уравнения xy 1 : а) y ln x C ; в) y ln x ; е) y ln x 1 . б) y ln x C ; г) y eCx ; д) y 2 ln x ; 2. Тема: Дифференциальные уравнения второго порядка 2.1. Среди приведенных дифференциальных уравнений укажите все, порядок которых можно понизить подстановкой y z (x) : а) y y x ; д) yy 2 . в) yyy y 2 1 ; б) y y y ; г) yyx x 2 1 ; 2.2. Среди приведенных дифференциальных уравнений укажите все, порядок которых можно понизить подстановкой y p( y ) : а) y y x ; д) yy 2 . в) yyy y 2 1 ; б) y y y ; г) yyx x 2 1 ; 2.3. Какое уравнение получится после понижения порядка дифференциального уравнения 2 y y y ? dz dy dp z2 x ; y 1. p2 y ; а) в) д) dx dx dy dz x dp y z г) ; p б) ; dx z dy p 2.4. Какое уравнение получится после понижения порядка дифференциального уравнения y ( y)2 x ? dz dp dp y z2 x ; p2 y ; p а) б) ; в) dx dy dy p 38 dz x dy z y 1. ; д) dx z dx 2.5. Укажите общее решение дифференциального уравнения y 4 y 0 : г) y C1 cos 2x C2 sin 2x ; а) y C1e2 x C2 xe2 x ; г) б) y C1e2 x C2 xe2 x ; в) y C1e2 x C2e2 x ; д) y Ce2 x у = ; е) другой ответ. 2.6. Укажите общее решение дифференциального уравнения y 4 y 0 : г) y C1 cos 2x C2 sin 2x ; а) y C1e2 x C2 xe2 x ; д) y Ce2 x у = ; б) y C1e2 x C2 xe2 x ; е) другой ответ. в) y C e2 x C e2 x ; 1 2 1 2 2.7. Укажите общее решение дифференциального уравнения y 4 y 4 y 0 : г) y C1 cos 2x C2 sin 2x ; а) y C1e2 x C2 xe2 x ; 2 x 2 x д) y Ce2 x у = ; б) y C1e C2 xe ; е) другой ответ. в) y C e2 x C e2 x ; 2.8. Для линейного неоднородного дифференциального уравнения y 4 y 10 укажите вид его частного решения с неопределенными коэффициентами: а) y Ax B ; д) y x 10 ; б) y Ax2 Bx C ; в) y 10 x ; е) y Ax ; ж) другой ответ. г) y A ; 2.9. Для линейного неоднородного дифференциального уравнения y 4 y 10 x 2 1 укажите вид его частного решения с неопределенными коэффициентами: а) y Ax B ; д) y x 10 ; б) y Ax2 Bx C ; в) y 10 x ; е) y Ax ; ж) другой ответ. г) y A ; 2.10. Для линейного неоднородного дифференциального уравнения y4 y 3 cos 2 x укажите вид его частного решения с неопределенными коэффициентами: а) y e x A cos 2 x B sin 2 x ; г) y A cos 2 x B sin 2 x ; б) y x A cos 2 x B sin 2 x ; в) y Ax B cos 2 x C sin 2 x ; д) y Ax B cos 2 x Cx D sin 2 x ; е) другой ответ. 2.11. Укажите вид частного решения дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами y p1 y p2 y 2 xex , если известны корни характеристического уравнения k1= 1; k2 = 1: а) y Ax B ; г) y x Ax B e x ; б) y Ax B e x ; в) y Ax 2 Bx C e x ; д) y x 2 Ax B e x ; е) другой ответ. 2.12. Среди перечисленных дифференциальных уравнений укажите все линейные однородные с постоянными коэффициентами: 39 а) y 10 y 25 y 0 ; г) y y 2 y ; б) y xy y 0 ; д) y 5 y 6 y 20 ; в) y yy 5 x ; е) y 10 y 5 x . 2.13. Среди перечисленных дифференциальных уравнений укажите неоднородные с постоянными коэффициентами: а) y 10 y 25 y 0 ; г) y y 2 y ; б) y xy y 0 ; д) y 5 y 6 y 20 ; в) y yy 5 x ; е) y 10 y 5 x . 2.14. Укажите то дифференциальное уравнение, имеет вид: y1 e5 x , y2 xe5 x . а) y 10 y 25 y 0 ; б) y 25 y 0 ; в) y 10 y 26 y 0 ; 2.15. Укажите то дифференциальное уравнение, имеет вид: y1 e5 x sin x , y2 e5 x cos x . а) y 10 y 25 y 0 ; б) y 25 y 0 ; в) y 10 y 26 y 0 ; все линейные фундаментальная система решений которого г) y 10 y 25 y 0 ; д) y 25 y 0 ; е) y 10 y 26 y 0 . фундаментальная система решений которого г) y 10 y 25 y 0 ; д) y 25 y 0 ; е) y 10 y 26 y 0 . 2.16. Какие из следующих дифференциальных уравнений можно решить только методом вариации произвольных постоянных? а) y y x 2 cos 3x ; x2 4 д) y ; 2 2 cos y б) y 4 y x ; e 1 д) y 4 y 4 y 0 . в) y 4 y 4 y 2 x cos 2 x ; г) y 2 y y ex ; x2 1 2.17. К какому дифференциальному уравнению можно свести систему дифференциальных y y z , уравнений ? z 2 y z а) y y 2 y 0 ; y д) y 1 ; б) y y 0 ; 2 е) другой ответ. в) y 3 y 0 ; г) y 2 y 0 ; 4.2. Тестовые задания для итогового контроля знаний по дисциплине 1. Дифференциальное уравнение (2 xy y ) y x y является 1) дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными 2) однородным дифференциальным уравнением 3) линейным дифференциальным уравнением 4) уравнением Бернулли 5) дифференциальным уравнением в полных дифференциалах 2 2. Дифференциальное уравнение 2 2 y ctg x ln y 2 является 1) дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными 2) однородным дифференциальным уравнением 3) линейным дифференциальным уравнением 4) уравнением Бернулли 5) дифференциальным уравнением в полных дифференциалах 3. Дифференциальное уравнение ( x 6 xy )dx (6 x y y )dy 1) дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными 2) однородным дифференциальным уравнением 3) линейным дифференциальным уравнением 4) уравнением Бернулли 5) дифференциальным уравнением в полных дифференциалах 2 2 2 3 0 является 4. Дифференциальное уравнение y ycos x cos x является 1) дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными 2) однородным дифференциальным уравнением 3) линейным дифференциальным уравнением 4) уравнением Бернулли 5) дифференциальным уравнением в полных дифференциалах 5. Дифференциальное уравнение y y xy является 1) дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными 2) однородным дифференциальным уравнением 3) линейным дифференциальным уравнением 4) уравнением Бернулли 5) дифференциальным уравнением в полных дифференциалах 2 6. Даны дифференциальные уравнения: y y x ; 2) xdx ydy 0 ; 2 4) xy y 0 ; 5) x y 2 y 3 . 2 Функция y x является решением 1) 3) ( x y) y 1 ; 1) 1 и 3 дифференциальных уравнений 2) 2, 4 и 5 дифференциальных уравнений 3) 2 дифференциального уравнения 4) 1 и 4 дифференциальных уравнений 5) 4 и 5 дифференциальных уравнений xydx ( x 1)dy 0 является 2) y x C 0 3) ln( xy) C x 5) y C ( x 1)e 7. Общим решением уравнения 1) xy x C 0 4) ln y x C ( x 2 y )dx xdy 0 является 2 2) y Cx x 3) C ( x y ) xy 2 5) y C ( x x) 8. Общим решением уравнения 1) xy Cx y 4) x2 y2 C 41 xy 2 y 2 x 4 является 2 2 4 2) y x Cx 3) y x Cxy 2 4 5) y Cx x 9. Общим решением уравнения y Cx 2 xy 4) x 2 y C 1) e y dx (2 y xe y )dy 0 является x y 2 y 1) xe y C 2) 2 y xe C 3) Cy xe 0 y 2 2 y 4) xe Cy 1 5) x Ce y 2 3 11. Решением задачи Коши y x y , y(0) 1 является участок интегральной кривой, 10. Общим решением уравнения y y y 1 1 x О x О 1 1 О 3 2 y y 1 1 x О О 4 4) 4 xy y y , y(1) 0,5 является функция 2) y ( 2 x ) 1 3) y (1 x) 1 5) y (1 x) 3 13. Решением задачи Коши 1) y e x 4) y e x 5) 5 2 12. Решением задачи Коши y x2 1 2 4) y x 1 x 5 изображенный на рисунке 1) 1 2) 2 3) 3 1) x y 2 xe x , 2 2) y x e x 5) y x3 x 1 2 2 2 3) y(0) 1 является функция y x 1 14. График функции, являющейся решением задачи Коши y ctg x y ' 0, пересекает ось Оу в точке 1) (0; –2) 2) (0; –1) 3) (0; 2) 4) (0; 3) y 1 3 5) (0; –3) 15. Порядок уравнения yy ( y ) x можно понизить, используя 2 1) подстановку y ' z ( x ) 42 2) подстановку y ' z ( y ) 3) преобразование к виду полной производной 4) последовательное интегрирование 5) возведение в квадрат 16. После понижения порядка уравнения xy 2 y до 1-го оно принимает вид 1) z 2 z 2) xz 2 z 4) z z 1 5) 3) xy 2 y y 0 17. Общим решением уравнения xy 2 y является 1) y C1 x 2 C2 x C3 4) y C1e 2 x C2 e x 2) 5) y y C1e x C2 e x 3) y C1 x 4 C 2 x C3 x4 x 5 18. Общим решением уравнения y 4 y 0 является 1) 4) y C1 x 2 C2 x y C1 cos x C2 sin x 2) 5) 2x 2 x y C1e x C2 e x 3) y C1e C2 e y C1 cos 2x C2 sin 2x 19. Фундаментальную систему решений уравнения y 3 y 2 y 0 образуют функции 1) 4) y1 x 2 , y2 x 3 y1 sin x, y2 cos x 2) 3x 2x y1 e x , y2 e 2 x 3) y1 e , y 2 e 5) y1 sin 3x, y2 cos 3x 20. Частное решение уравнения y 2 y 2 y 2 x 8 x 6 следует искать в виде 2 1) y A cos 2 x B sin 2 x 2) y Ae8 x Be 6 x 4) y Ax 2 B 5) y Ax 2 Bx C 3) y Ax B 21. Решением задачи Коши y 2 y 2 y 2 x 8 x 6, y(0) 1, y (0) 4 является 2 3) y e x (cos x 3sin x) x 2 2 x y e x (cos x 3sin x) x 2 2 x 5) y e x cos x x 2 2 x 1) 2) 4) y e x (cos x 3sin x) y e x (cos x 3sin x) 2 x 4.3. Контрольные работы Контрольная работа № 1 по теме: Дифференциальные уравнения первого порядка Вариант 1 6. Решить данное уравнение: xydx ( x 1)dy 0 . y 7. Найти общий интеграл: xy y cos ln . x y 8. Найти общее решение: y . 3x y 2 x3 9. Решить уравнение и выполнить проверку: 3x (1 ln y )dx (2 y )dy . y 2 43 10. Найти кривую, у которой точка пересечения любой касательной с осью абсцисс одинаково удалена от точки касания и от начала координат. Вариант 2 6. 7. 8. Решить данное уравнение: 1 y 2 dx xydy . y Найти общий интеграл: xy y x tg . x 2 x Найти общее решение: y 2 y y e . 9. Решить уравнение и выполнить проверку: e y dx (2 y xe y )dy 0 . 10. Найти кривую, у которой расстояние любой касательной от начала координат равно абсциссе точки касания. Вариант 3 6. Решить данное уравнение: 2 x 2 yy y 2 2 . x y 7. Найти общий интеграл: xy y ( x y ) ln . x 8. Найти общее решение: ( x 1)( y y 2 ) y . y 9. Решить уравнение и выполнить проверку: dx ( y 3 ln x)dy 0 . x 10. Найти кривые, у которых площадь треугольника, образованного касательной, ординатой точки касания и осью абсцисс, есть величина постоянная, равная в2. Вариант 4 6. Решить данное уравнение: y xy2 2 xy . 7. Найти общий интеграл: ( y xy )dx xdy . x xy 8. Найти общее решение: 2 y 2 . y x 1 9. Решить уравнение и выполнить проверку: (2 9 xy 2 ) xdx (4 y 2 6 x 3 ) ydy 0 . 10. Найти кривые, у которых точка пересечения любой касательной с осью абсцисс имеет абсциссу, вдвое меньшую абсциссы точки касания. Контрольная работа № 2 по теме «Решение дифференциальных уравнений высших порядков Вариант 1 4. Решить уравнение: x 2 y y 2 . 5. Найти общее решение уравнения: y 2 y 3 y e 4 x . 6. Решить задачу Коши: y 9 y 15 sin 2 x , если y (0) 7 , y (0) 0 . Вариант 2 4. Решить уравнение: y 3 y 1 . 5. Найти общее решение уравнения: y 3 y 2 y sin x . 70 6. Решить задачу Коши: y 3 y 3x x 2 , если y (0) 0 , y(0) . 27 Вариант 3 4. Решить уравнение: y 2 yy . 5. Найти общее решение уравнения: y y 4 xex . 6. Решить задачу Коши: y y 2(1 x) , если y (0) 1 , y(0) 1 . Вариант 4 Решить уравнение: y e y . Найти общее решение уравнения: y y 2 y 6 x 2 . 44 Решить задачу Коши: yy 2 x 2 e x , если y (0) 5 , y(0) 0,5 . 4.4. Вопросы к зачету а) теоретическая часть 1. Понятие о дифференциальных уравнениях, определение обыкновенного дифференциального уравнения, порядок уравнения. 2. Решение дифференциального уравнения, интегрирование дифференциального уравнения. 3. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Общее решение дифференциального уравнения 1-го порядка. Интегральные кривые. 4. Задача Коши. Теорема существования и единственности задачи Коши. 5. Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными. 6. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка. 7. Линейные уравнения 1-го порядка, дифференциальное уравнение Бернулли. 8. Уравнения в полных дифференциалах. б) практическая часть ds y 33 y 2 , где у(2)=0; 1. Решить уравнения первого порядка: e s 1 1 ; dt y dx y 3 ln x dy 0 . 2 x3 y y2 x 2 y 2 ; xydy y 2 x dx ; x y Найти общий интеграл: y e ; y2 y x 1 ; xyIV 1 ; x 2 y y2 . Решить задачу: найти кривую, каждая касательная к которой образует с осями координат треугольник площади 2а2. Найти общее решение: y 2 y 3 y e4 x ; y y 4 sin x ; y y 2e x x 2 / Решить уравнение: y 4 y 2tgx . y xy 0 ; x0 0 ; y0 1 , y0 0 . Проинтегрировать уравнение с помощью степенного ряда. dy x y Решить задачу Коши: , y ( 1) 0 . dx y x 4.5. Вопросы к экзамену 1. Понятие обыкновенного дифференциального уравнения. 2. Задача Коши. Формулировка теоремы существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка. 3. Уравнения с разделяющимися переменными 4. Однородные уравнения. Уравнения, сводящиеся к однородным. 5. Линейное уравнение 1-ого порядка. Уравнение Бернулли. 6. Уравнение в полных дифференциалах. 7. Уравнения, не разрешенные относительно первой производной. 8. Уравнения Лагранжа и Клеро. 9. Задача Коши для дифференциальных уравнений n-ого порядка. 10. Дифференциальные уравнения n-ого порядка, допускающие понижение порядка. 11. Линейно зависимые и независимые функции. 12. Определитель Вронского. 13. Линейные однородные дифференциальные уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами. 14. Характеристическое уравнение. Вид общего решения для различных типов корней. 15. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-ого порядка. Структура общего решения. 16. Метод вариации произвольных постоянных. 17. Структура частного решения для линейного неоднородного дифференциального уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида. 45 18. 1. Понятие о дифференциальных уравнениях, определение обыкновенного дифференциального уравнения, порядок уравнения. 19. 2. Решение дифференциального уравнения, интегрирование дифференциального уравнения. 20. 3. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Общее решение дифференциального уравнения 1-го порядка. Интегральные кривые. 21. 4. Задача Коши. Теорема существования и единственности задачи Коши. 22. 5. Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными. 23. 6. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка. 24. 7. Линейные уравнения 1-го порядка, дифференциальное уравнение Бернулли. 25. 8. Уравнения в полных дифференциалах. 26. 9. Дифференциальные уравнения высших порядков. Общее решение. Задача Коши для дифференциального уравнения n-го порядка. 27. 10. Дифференциальные уравнения 2-го порядка. Общее решение. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. 28. 11. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка. 29. 12. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка, однородные и неоднородные. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. 30. 13.Свойства решений однородного линейного дифференциального уравнения. Линейно независимые решения, общее решение. 31. 14. Решение однородных линейных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами. 32. 15. Теорема об общем решении неоднородного линейного дифференциального уравнения. 16. Теорема о решении неоднородного линейного дифференциального уравнения, если правая часть уравнения представляет собой сумму функций. 33. 17. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами 34. и специальным видом правой части: а) f ( x ) M ( x )e 35. б) f ( x ) M cos( cx ) N sin( cx ); M , N , c const , 36. в) f ( x ) e pt ( M ( x ) cos( cx ) N ( x )sin( cx ); px , M ( x ) b0 x n b1x n 1 bn, M ( x ) b0 x n b1x n 1 bn , N ( x ) d0 x m d1x m1 dm ; p, c, bi , di const. 37. 18. Метод вариации произвольных постоянных для решения линейных дифференциальных уравнений 2-го порядка. 38. 19. Метод вариации произвольных постоянных для решения линейных дифференциальных уравнений n-го порядка. 46
