nelineynaya_dinamika - Кафедра квантовой электроники

Рабочая программа дисциплины
1. Нелинейная динамика
2. Лекторы.
2.1. Кандидат физико-математических наук, доцент, Елютин Павел Вячеславович, кафедра квантовой электроники физического факультета МГУ, [email protected] ,
939-11-04.
3. Аннотация дисциплины.
Курс посвящен основам современной нелинейной динамики – теории хаотического движения в динамических системах с дискретным временем (отображениях) и непрерывным временем (потоках). В ходе изучения курса студенты осваивают основную модель хаотического
движения (экспоненциально неустойчивый стационарный случайный процесс), основные
типы связанных с хаосом структур фазового пространства (устойчивые и неустойчивые многообразия, расщепленные сепаратрисы, стохастические компоненты, странные аттракторы и
их бассейны) и их бифуркаций, методы аналитического и численного исследования характеристик хаотического движения динамических систем.
Основные разделы программы: кинематика хаотического движения, динамические
системы и их классификация, хаос в консервативных системах, хаос в диссипативных системах.
4. Цели освоения дисциплины.
Получить основные представления о характеристиках хаотического движения в динамических системах с дискретным и непрерывным временем, о зависимости характеристик от параметров динамических систем, об условиях возникновения и исчезновения хаотического
движения при изменении параметров.
5. Задачи дисциплины.
1. Изучение кинематических моделей хаотического движения;
2. Изучение основных характеристик хаотического движения (функции распределения динамических переменных, средние значения и корреляционные функции, показатели Ляпунова) и методов их аналитического и численного определения;
3. Изучение сценариев перехода между областями регулярного и хаотического движения в
пространстве параметров диссипативных динамических систем.
6. Компетенции.
7.1. Компетенции, необходимые для освоения дисциплины.
ПК-1
7.2. Компетенции, формируемые в результате освоения дисциплины.
ПК-2
7. Требования к результатам освоения содержания дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен
знать основные методы исследования свойств хаотического движения простых динамических систем;
уметь применять эти методы для исследования произвольных моделей;
владеть навыками решения задач по основным разделам курса.
8. Содержание и структура дисциплины.
Стр. 1 из 14
Вид работы
Общая трудоёмкость, акад. часов
Аудиторная работа:
Лекции, акад. часов
Семинары, акад. часов
Лабораторные работы, акад. часов
Самостоятельная работа, акад. часов
Вид итогового контроля (зачёт, зачёт с оценкой, экзамен)
…
…
…
…
…
…
…
Семестр
7
72…
36…
36
…
…
36
экз…
Всего
…
…
…
…
…
…
…
72…
36
36…
…
…
36
…
Стр. 2 из 14
N
раздела
1
Наименование
раздела
Трудоёмкость (академических часов) и содержание занятий
Распределение общей трудоёмкости по семестрам указано в рабочих планах (приложение 7)
Разделы могут объединять несколько
лекций
Введение
Лекции
1. 2 часа.
Нелинейная динамика как
раздел математической физики.
Рождение нелинейной динамики:
модели Лоренца, Хенона – Хейлеса
и Синая. Показатель Ляпунова и
определение хаоса.
Кинематика теории колебаний:
модели регулярного движения. Расширение кинематики: модель хаотического движения - случайный процесс; описание движения усредненными характеристиками (средние
значения, функции распределения,
корреляционные функции, спектры).
2. 2 часа
Расширение динамики: модели
с дискретным временем (отображения). Отображение Фибоначчи и
его обобщения.
Методы численного решения
основных задач. Алгоритм Бенеттина для вычисления показателя
Ляпунова.
Корреляционная функция, скорость перемешивания. Спектр мощности.
3. 2 часа.
Простейшая модель: линейный
датчик случайных чисел (пилообразное отображение). Показатель Ляпунова и автокоррелятор динамической переменной.
Классификация динамических
систем. Локальная диссипация.
Исследовательская программа нелинейной динамики. Предварительные
сведения о сходствах и отличиях
Аудиторная работа
Семинары
Самостоятельная работа
Лабораторные работы
Содержание самостоятельной работы должно быть обеспечено, например, пособиями, интернетресурсами, домашними заданиями и
т.п.
2 часа.
Работа с лекционным материалом.
Решение задач по теме.
Форма
текущего
контроля
ДЗ
2 часа.
Работа с лекционным материалом.
Решение задач по теме.
ДЗ
2 часа.
Работа с лекционным материалом.
Решение задач по теме.
ДЗ
Стр. 3 из 14
2
Хаотическая динамика консервативных систем
хаотического движения в консервативных и диссипативных системах.
1. 2 часа
Стандартное отображение: определение и физическая
модель-прототип, ротатор с дельтатолчками.
Неподвижные точки и их
устойчивость. Случай малых K резонанс и сепаратриса. Устойчивое и неустойчивое многообразия.
Расщепление сепаратрисы. Мера
стохастической компоненты.
2 часа
Стандартное отображение в случае больших K - приближение
сплошной стохастичности. Показатель Ляпунова. Автокоррелятор
2.
переменной
2 часа.
Работа с лекционным материалом.
Решение задач по теме.
ДЗ
2 часа.
Работа с лекционным материалом.
Решение задач по теме.
ДЗ
s  sin  .
3. 2 часа
Перекрытие резонансов. Критерий Чирикова. Переход ко глобальной стохастичности. Диффузия по
действию.
Улучшение оценки порога глобальной стохастичности для стандартного отображения: деформация
сепаратрис. Циклы длины 2. Резонанс с числом вращения
2 часа
Работа с лекционным материалом и решение задач по теме
ДЗ
 1 2 .
4. 2 часа
Торы с иррациональными
числами вращения. Теорема КАМ.
Разрушение золотого тора.
Возмущенный маятник и
его связь со стандартным отображением.
2 часа.
Работа с лекционным материалом.
Решение задач по теме.
ДЗ
Стр. 4 из 14
5. 2 часа
Сепаратрисное отображение.
Неподвижные точки, частичная
линеаризация. Размеры стохастического слоя стандартного отображения при K
1.
Показатель Ляпунова сепаратрисного и стандартного ( K
1)
отображений.
6. 2 часа
Модели умеренных колебаний.
Модель Палена – Эдмондса: резонансный гамильтониан. Построение
сепаратрисного отображения. Его
использование для оценки меры
хаотической компоненты и показателя Ляпунова.
7. 2 часа
Сечение и отображение Пуанкаре. Переход к сплошной стохастичности в автономных системах: критерий Тоды.
Сплошная стохастичность и микроканоническое распределение.
Оценка показателя Ляпунова модели Палена – Эдмондса в приближении сплошной стохастичности.
8. 2 часа
Модель Палена – Эдмондса: автокорреляционная функция координаты и спектр мощности.
Эргодическая гипотеза. Газ
твердых сфер и биллиарды. Законы
подобия.
Характеристические показатели
Ляпунова. Свойства спектра ХПЛ.
2 часа.
Работа с лекционным материалом.
Решение задач по теме.
ДЗ
Т
2 часа.
Работа с лекционным материалом.
Решение задач по теме.
ДЗ
2 часа.
Работа с лекционным материалом.
Решение задач по теме.
ДЗ
2 часа.
Работа с лекционным материалом.
Решение задач по теме.
ДЗ
Стр. 5 из 14
3
Хаотическая динамика диссипативных систем
1.
2 часа
Отбор моделей. Сингулярное
поведение при исчезающее малой
диссипации.
Логистическое отображение:
определение, неподвижные точки,
циклы.
Сценарий Фейгенбаума: переход к
хаосу через каскад удвоений периода. Свойства подобия каскада.
2.
2 часа
Сценарий Фейгенбаума: прибли-
женная оценка констант  и 
Инвариантное распределение.
Уравнение Фробениуса – Перрона и
его приближенное решение. Показатель Ляпунова логистического отображения.
Точный вид инвариантного рас-
2 часа.
Работа с лекционным материалом.
Решение задач по теме.
ДЗ
2 часа.
Работа с лекционным материалом.
Решение задач по теме.
ДЗ
пределения при   4 (формула
Улама – фон Неймана). Автокорреляционная функция при
4
2 часа
Окна периодичности логистического отображения. Теорема
Шарковского.
Сценарий Помо – Манневиля:
переход к хаосу через перемежаемость. Продолжительность
ламинарной фазы. Поведение
показателя Ляпунова вблизи
порога.
Кризисы и сценарий Гребоги –
Отта – Йорке.
3.
2 часа.
Работа с лекционным материалом.
Решение задач по теме.
ДЗ
Стр. 6 из 14
2 часа
Двумерные диссипативные
отображения. Отображение
Хенона; определение, неподвижные точки, хаотический аттрактор и его общий вид.
Структура аттрактора. Канторово множество и фракталы.
2 часа.
Работа с лекционным материалом.
Решение задач по теме.
2 часа
Странные аттракторы и хаос.
Связь между спектром ХПЛ и
фрактальной размерностью аттрактора (гипотеза Каплана –
Йорке).
Квазипериодичность и хаос.
Синусное отображение окружности. Языки Арнольда. Чертова
лестница. Переход к хаосу через
синхронизацию.
6. 2 часа
2 часа.
Работа с лекционным материалом.
Решение задач по теме.
4.
5.
Переход «тор-хаос» в двумерных
отображениях. Отображение Канеко. Осцилляции тора.
Теорема Рюэля – Такенса –
Ньюхауса и сценарий РТН. Подавление трехчастотных движений с
ростом нелинейности.
7.
2 часа
Модель Лоренца. Основные
свойства. Ловушка модели. Характер движения вблизи неустойчивых
неподвижных точек.
Структура аттрактора. Сценарий
перехода к хаосу через нелокальную
бифуркацию.
Спектр мощности динамической
переменной
ДЗ
ДЗ
2 часа.
Работа с лекционным материалом.
Решение задач по теме.
ДЗ
2 часа.
Работа с лекционным материалом.
Решение задач по теме.
ДЗ
X.
Семинары и лабораторные работы указываются только при их наличии в учебном плане (приложение 6). Остальные позиции заполняют ся в обязательном порядке.
Предусмотрены следующие формы текущего контроля успеваемости.
Стр. 7 из 14
1. Защита лабораторной работы (ЛР);
2. Расчетно-графическое задание (РГЗ);
3. Домашнее задание (ДЗ);
4. Реферат (Р);
5. Эссе (Э);
6. Коллоквиум (К);
7. Рубежный контроль (РК);
8. Тестирование (Т);
9. Проект (П);
10. Контрольная работа (КР);
11. Деловая игра (ДИ);
12. Опрос (Оп);
15. Рейтинговая система (РС);
16. Обсуждение (Об).
Стр. 8 из 14
9. Место дисциплины в структуре ООП ВПО
1. по выбору.
2. вариативная часть, профессиональный блок, дисциплина профиля.
3. Является основой для чтения дисциплин кафедры квантовой электроники. Необходимо
знание матанализа, теории колебаний (знание основных свойств свободных и вынужденных колебаний линейного осциллятора в пределах курса общей физики), элементов теоретической механики и статистической физики.
3.1. Математический анализ, линейная алгебра, дифференциальные уравнения, общая
физика.
3.2. Кинетика сложных систем, теоретические основы квантовой радиофизики.
10. Образовательные технологии
 включение студентов в проектную деятельность,
 дискуссии,
 применение компьютерных симуляторов,
 использование средств дистанционного сопровождения учебного процесса,
11. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости и промежуточной аттестации.
Образцы задач из домашних заданий:
1. Модель экономической динамики Самуэльсона – Хикса задана отображением
yn1  A  yn    yn  yn1  ,
где yn - ВВП в году n , а A ,  и  - положительные параметры.
Найти условия, при которых поведение yn немонотонно. Может ли эта модель иметь
хаотические решения?
2. Диссипативное обобщение отображения Фибоначчи единичного квадрата на себя дается
формулами
x   x  ky , y   x ,
(*)
где , - символ дробной части, k - управляющий параметр.
a) Построить (численно) график предельной траектории (траектории, взятой начиная
с достаточно большого момента времени, когда выбор начальных условий уже не сказывается) для отображения (*) при k  0.9 .
b) Найти зависимость показателя Ляпунова   k  для отображения (*). Что происходит с показателем Ляпунова с ростом диссипации?
c) Найти зависимость скорости перемешивания   k  для отображения (*). Что происходит с показателем Ляпунова с ростом скорости перемешивания?
3. Исследовать свойства одномерного отображения отрезка  0,1 в себя

x  sin  x 
4
при 0    4 .
a) Найти неподвижные точки и определить их устойчивость.
Стр. 9 из 14
b) Найти (минимальные) значения  , при которых рождаются циклы длины 2, 4 и 8
и вычислить первое приближение для константы Фейгенбаума  .
c) Найти нижнюю границу области хаоса  c .
d) Найти границы (по  ) окна периодичности периода 3.
e) Вычислить показатель Ляпунова  при   4 .
Сравнить результаты с соответствующими значениями для логистического отображения.
Образцы тестовых вопросов
1. Для линейного датчика случайных чисел
k
p
x  Kx  
выражение для автокорреляционной функции переменной
Bx  n  
справедливо
A при любых  и K
B при   0 и любых K
C при любых  и целочисленных
D при   0 и целочисленных K
<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<
x
1 n
K
12
K
2. Для двумерного отображения с уравнениями движения
x'  1  y  ax2 ,
y   bx
диссипация равна
A
B
  2ax
   ln 2a  b x
  1  b  2ax
   ln b
a
f
C
D
<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<
3. Для двумерного отображения единичного квадрата на себя, заданного формулами
k p
k p
x  2 x  y , y  x  y ,
kp
(где , - символ дробной части) показатель Ляпунова  равен
.
A   013
B   0.35
C   0.96
D   2.62
<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<
Стр. 10 из 14
Полный список вопросов к экзамену
Введение
1. Конечномерные динамические системы. Потоки и отображения. Основные задачи
теории динамических систем: задача Коши, исследование устойчивости, исследование
структуры фазового пространства, исследование динамической системы.
2. Классификация динамических систем. Локальная диссипация: консервативные и
диссипативные системы (потоки и отображения). Аттракторы диссипативных систем и их
бассейны.
3. Основные свойства хаотического движения в консервативных и диссипативных
системах, их сходства и отличия.
4. Простейшая модель хаотической динамики - линейный датчик случайных чисел;
его основные характеристики. Связь скорости перемешивания с показателем Ляпунова.
5. Неавтономные системы с одной степенью свободы с периодически зависящим от
времени гамильтонианом. Отображение Пуанкаре за период. Отображения, сохраняющие
площадь.
Хаотическая динамика консервативных систем
6. Стандартное отображение и его физический прототип - ротатор с периодическими
толчками. Неподвижные точки. Матрица устойчивости, локальная устойчивость. Главный
резонанс и сепаратриса. Расщепление сепаратрисы; гомо- и гетероклинная структура.
7. Стохастическая (хаотическая) компонента фазового пространства консервативных
систем, ее размерность. Мера стохастической компоненты в фазовом пространстве и способ
ее вычисления.
8. Глобальная стохастичность движения консервативных систем. Критерий перекрытия резонансов (Чирикова).
9. Диффузия по действию в консервативных системах с периодическим возмущением, коэффициент диффузии.
10. Стандартное отображение: циклы отображения и высшие резонансы; полуцелый
резонанс. Торы с иррациональными числами вращения. Критерий разрушения "золотого"
инвариантного тора.
11. Стандартное отображение: зависимость показателя Ляпунова от параметра K .
Приближенное значение показателя Ляпунова как среднего показателя локальной неустойчивости.
12. Сепаратрисное отображение: построение, основные свойства модели и ее связь со
стандартным отображением.
13. Свойства стандартного отображения при малых K . Ширина стохастического
слоя главного резонанса и величина показателя Ляпунова.
14. Описание модели Паллена - Эдмондса в переменных “действие - угол”: резонансный гамильтониан. Слабая стохастичность, резонанс и сепаратриса усредненного гамильтониана.
15. Свойства движения модели Паллена – Эдмондса в эргодическом режиме (при
E  1). Зависимость от энергии показателя Ляпунова и спектра мощности координаты.
16. Порог стохастичности в автономных консервативных системах и критерий Тоды.
Ограничения на применимость критерия Тоды.
17. Хаотическое движение в биллиардах. Зависимость показателя Ляпунова и скорости перемешивания от энергии. Зависимость спектра мощности координаты от частоты и
энергии.
18. Характеристические показатели Ляпунова, свойства их спектра для систем - потоков. Способ численного отыскания спектра ХПЛ.
Хаотическая динамика диссипативных систем
Стр. 11 из 14
19. Логистическое отображение. Бифуркация удвоения периода. Сценарий Фейгенбаума: переход к хаосу через последовательные удвоения периода. Универсальные свойства
сценария.
20. Показатель Ляпунова для одномерных отображений: инвариантное распределение, уравнение Фробениуса – Перрона. Показатель Ляпунова для логистического отображения.
21. Тангенциальная бифуркация. Сценарий Помо - Манневиля: переход к хаосу через
перемежаемость, его универсальные свойства.
22. Окна периодичности логистического отображения, их универсальные свойства.
Окно периода 3 и переход к хаосу через перемежаемость.
23. Двумерные диссипативные отображения. Отображение Хенона. Сценарий перехода к хаосу. Приближенное описание формы странного аттрактора.
24. Канторово множество и фракталы. Размерность самоподобия и емкость. Связь
фрактальной размерности аттрактора с характеристическими показателями Ляпунова.
25. Синусное отображение окружности. Области синхронизации (языки Арнольда).
Сценарии перехода к хаосу. Общее очертание границы хаотического режима.
26. Двумерные диссипативные отображения. Отображения Хенона и Канеко. Сходства и отличия сценариев перехода к хаосу в этих моделях.
27. Бифуркация Хопфа. Квазипериодическое движение и торы в диссипативных системах. Переход "тор - хаос", синхронизация. Сценарий Рюэля - Такенса - Ньюхауса.
28. Модель Лоренца и ее физический прототип - задача о термоконвекции Рэлея - Бенара. Основные свойства модели: финитность движения, неподвижные точки и условия их
устойчивости.
29. Модель Лоренца: свойства хаотического движения на стандартной прямой
( b  8 3,   10 ). Очертания странного аттрактора и его структура. Неустойчивые многообразия неподвижных точек и странный аттрактор.
Задачи
01. Вычислить зависимость показателя Ляпунова 2  от параметра K для отображения отрезка  0,1 на себя, заданного формулами
n
0  x  K ,
Kx  1
x 
 K  x  1.
K 1
1
x  Kx
1
02. Для системы Ресслера с уравнениями движения
x   y  z, y  x  ay, z  b  cz  xz ,
где a , b и c - положительные параметры, доказать, что среднее по времени значение переменной y при финитном движении отрицательно: y  0 .
03. Может ли быть хаотическим движение в двумерной модели, представляющей
отображение квадрата  0,1   0,1 на себя, заданное формулами
y 
y 
 x
 x
x  


 , y  

3
2
 2
 3
( , - символ дробной части)?
04. Доказать, что для отображения отрезка [0,1] на себя, заданного формулой


x  16 x3  24 x 2  9 x ,
( , - символ дробной части) показатель Ляпунова  не превосходит 5/2.
Стр. 12 из 14
 
1
05. Отображение отрезка  0,1 на себя, заданное формулой x  x
, где , -
символ дробной части, называется отображением Гаусса. Доказать, что инвариантная плотность отображения Гаусса есть
W  x 
1
.
ln 2  1  x 
06. С помощью критерия Тоды найти порог стохастичности для системы с гамильтонианом

 

1 2
1
px  p 2y  x 2  y 2  x 2 y 2 .
2
2
n
07. "Рассмотрим первые цифры чисел 2 :
H  p, r  
1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5, 1, 2, 4...
Есть ли в этой последовательности цифра 7? И какая цифра встречается чаще: 7 или 8? И во
сколько раз?" (В.И. Арнольд)
08. Для отображения, заданного формулой
x  x  x2   ,
вычислить зависимость показателя Ляпунова  от  при движении на аттракторе при   0 .
09. При каком значении параметра  для датчика случайных чисел x  2 x  
корреляция значений x и x минимальна (корреляционная функция Bx 1  0 )?
10. Найти вид неустойчивого многообразия Wu вблизи неподвижной точки o отображения Хенона,
x   1  y  ax 2 ,
. .
при b  0.3 и a  12
y   bx
11. Вычислить функцию распределения w  r  в координатном пространстве для системы с тремя степенями свободы с гамильтонианом
p2
H  p, r  
 U  x, y , z 
2m
и микроканоническим распределением в фазовом пространстве.
12. С помощью критерия Тоды найти пороги стохастичности по параметру K для
модели Карнеги - Персиваля (CP) - семейства потенциалов

U 4  x, y   A x 4  Kx 2 y 2  y 4

Указать значения K , при которых модель CP допускает разделение переменных (и, соответственно, не обладает хаотическим движением).
13. Может ли быть хаотическим движение в двумерной модели, представляющей
отображение квадрата  0,1   0,1 на себя, заданное формулами
x  3x  y , y  x  2 y
( , - символ дробной части)?
14. Вычислить фрактальную размерность (емкость) последовательности точек  xn  ,
( n  1 ), где
xn 
1
.
n2
Стр. 13 из 14
15. Для частицы массы m , совершающей хаотическое движение в двумерном одно-
родном степенном потенциале степени  ( U  x, y    U  x, y  ), найти зависимость по
казателя Ляпунова  от энергии частицы E .
16. Для модели Лоренца при значениях параметров   10 , b  8 3 и r  28 найти
вид неустойчивого многообразия Wu начала координат (в низшем приближении).
17. Диссипативным обобщением стандартного отображения является отображение
Заславского с уравнениями движения
1  e
I   e  I  K sin   ,    
 I  K sin  .

Доказать, что при любых значениях K и   0 движение этой системы финитно по дей
ствию.
12. Учебно-методическое обеспечение дисциплины
Основная литература
1. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. М.: Мир, 1984. 528 с. - 148 ил.
2. Шустер Г. Детерминированный хаос. Введение. М.: Мир, 1988. - 240 с. - 126 ил.
3. Лоскутов А.Ю., Михайлов А.С. Введение в синергетику. М.: Наука, 1990. - 272 с. - 151
ил. [Гл. 2 "Динамический хаос" (с. 90 - 179).]
Дополнительная литература
1. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1987. 424 с. - 331 ил.
2. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику. От маятника до турбулентности и хаоса. М.: Наука, 1988. - 368 с. - 237 ил.
3. Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения,
структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах. М.: Наука, 1990. 312 с. - 156 ил.
4. Мун Ф. Хаотические колебания. Вводный курс для научных работников и инженеров.
М.: Мир, 1990. - 312 с. - 176 ил.
5. Берже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе. О детерминистском подходе к турбулентности. М.: Мир, 1991. - 368 с. - 189 ил.
6. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З., Усиков Д.А., Черников А.А. Слабый хаос и квазирегулярные структуры. М.: Наука, 1991. - 240 с. - 175 ил.
7. Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны. М.: Наука, 1997. - 496 с. - 222 ил.
8. Табор М. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике. М.: Эдиториал УРСС, 2001. 320 с. - 106 ил.
Интернет – ресурс
http://shg.phys.msu.ru/educat/vibrat.html
13. Материально-техническое обеспечение
Черная доска и мел; белая доска и фломастеры; демонстрационные печатные материалы
(графики, отпечатанные на листах формата А4). Компьютер и проектор для демонстрации
слайдов.
Стр. 14 из 14