Document 976592

1. ЦЕЛИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
Дисциплина «Спецглавы математики. Теория вероятностей» является составной
частью относится к дисциплинам, составляющим фундамент математического образования специалиста. В любой области человеческой деятельности имеют место случайные явления, которые не позволяют осуществить точный прогноз исследуемых
процессов. Теория вероятностей и математическая статистика изучают закономерности случайных явлений. Знание этих закономерностей помогает принимать решения в
условиях неопределённости, направленные на достижение поставленных целей.
Целью учебной дисциплины является:
в области обучения – формирование знаний по основным разделам теории вероятностей; приобретение умений, навыков и компетенций по анализу случайных событий и величин с помощью математических методов;
в области воспитания – формирование убеждения о роли математических методов, в частности теории вероятностей, при подготовке магистерских диссертаций и в
профессиональной деятельности специалистов;
в области развития – повышение общей культуры применения математических
методов, позволяющих успешно работать в избранной сфере деятельности.
2. МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ ООП
Дисциплина относится к вариативной части математического и естественнонаучного цикла дисциплин. Согласно учебному плану пререквизитом данной дисциплины
являются дисциплины «Математика», «Информатика» и «Информационные технологии», а кореквизитами – дисциплина «Математика».
Для успешного освоения дисциплины «Спецглавы математики. Теория вероятностей» студенты должны знать:
основные понятия и методы теории множеств и математического анализа;
технологию работы на персональных компьютерах;
должны уметь:
решать задачи по теории множеств и математическому анализу;
выполнить математические расчеты на компьютере с использованием системы
MatchCAD.
3. РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
1. В результате изучения дисциплины студент должен:
знать:
понятия случайного события, операции над событиями, вероятность события,
правила вычисления вероятностей;
понятие случайной величины, функции и плотности распределения вероятностей,
числовые характеристики случайных величин;
понятия многомерной случайной величины, условные и безусловные законы распределения;
законы больших чисел в форме Чебышева и центральной предельной теоремы;
уметь:
вычислять вероятности простых и сложных событий;
решать задачи на вычисление числовых характеристик;
решать задачи на вычисление характеристик связи между величинами;
применять законы больших чисел для оценки вероятности попадания случайной
величины в заданные интервалы.
владеть методами:
2
углубления знаний по разделам данной дисциплиной;
использования ресурсов сети Интернет для изучения данной дисциплины.
2. В процессе освоения дисциплины у студентов развиваются следующие компетенции:
универсальные (общекультурные):
способность владеть культурой мышления, способностью к обобщению, анализу,
восприятию информации, постановке цели и выбору путей ее достижения (ОК-1);
способность использовать основные законы естественнонаучных дисциплин в
профессиональной деятельности, применять методы математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования (ОК-10);
способность владеть основными методами, способами и средствами получения,
хранения, переработки информации, иметь навыки работы с компьютером как средством управления информацией (ОК-12);
профессиональные:
способность выявлять естественнонаучную сущность проблем, возникающих в
ходе профессиональной деятельности, привлекать для их решения соответствующий
физико-математический аппарат (ПК-2);
способность владеть основными приемами обработки и представления экспериментальных данных (ПК-5);
способность строить простейшие физические и математические модели приборов,
схем, устройств и установок электроники и наноэлектроники различного функционального назначения, а также использовать стандартные программные средства их компьютерного моделирования (ПК-19);
готовность анализировать и систематизировать результаты исследований, представлять материалы в виде научных отчетов, публикаций, презентаций (ПК-21).
4. СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
4.1. Содержание разделов дисциплины
1. Введение
Предмет теории вероятностей. Краткие исторические сведения. Теория вероятностей как раздел математики. Роль теории вероятностей в современной науке и технике.
Вклад отечественных учёных в развитие теории вероятностей.
Практическое занятие. Входной контроль.
2. Случайные события
Лекции. Испытания и события. Виды случайных событий. Сумма и произведение
событий. Частота события и её свойства. Классическое определение вероятности. Основные формулы комбинаторики. Примеры непосредственного вычисления вероятностей. Теорема сложения вероятностей. Теорема умножения вероятностей. Теорема
сложения вероятностей для совместных событий. Формула полной вероятности. Теорема гипотез (формула Байеса). Повторение испытаний. Формула Бернулли. Относительная частота. Устойчивость относительной частоты. Ограниченность классического
определения вероятности.
Практические занятия:
1. Теорема сложения и умножения вероятностей.
2. Формула полной вероятности. Формула Бейеса.
3. Последовательность испытаний. Формула Бернулли.
3
3. Случайные величины
Лекции. Дискретные случайные величины. Закон распределения вероятностей
дискретной случайной величины. Функция распределения. Числовые характеристики
дискретных случайных величин: математическое ожидание, мода и медиана, дисперсия
и среднее квадратическое отклонение. Биномиальное распределение. Распределение
Пуассона.
Непрерывные случайные величины Числовые характеристики непрерывной случайной величины: математическое ожидание, мода и медиана, дисперсия и среднее
квадратическое отклонение. Моменты случайной величины. Равномерное распределение. Экспоненциальное (показательное) распределение. Нормальное распределение.
Практические занятия:
1. Числовые характеристики дискретных случайных величин.
2. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона.
3. Числовые характеристики непрерывной случайной величины.
4. Равномерное, экспоненциальное и нормальное распределения.
4. Системы случайных величин
Лекции. Понятие о системе случайных величин. Закон распределения системы
случайных величин. Таблица распределения. Функция распределения системы двух
случайных величин. Плотность распределения системы двух случайных величин. Зависимые и независимые случайные величины. Условные функции распределения. Нормальное распределение на плоскости.
Числовые характеристики системы двух случайных величин. Корреляционный
момент. Коэффициент корреляции.
Практические занятия:
1. Закон распределения двумерной случайной величины. Таблица распределения.
2. Функция и плотность распределения системы двух случайных величин
3. Числовые характеристики непрерывной системы двух случайных величин.
5. Закон больших чисел. Предельные теоремы теории вероятностей
Лекции. Последовательности случайных величин. Виды вероятностной сходимости случайных последовательностей. Неравенство Чебышева, закон больших чисел Чебышева, обобщенная теорема Чебышева. Центральная предельная теорема (теорема
Ляпунова). Теорема Бернулли. Интегральная и локальная формулы Муавра-Лапласа.
Предельная теорема Пуассона.
Практические занятия:
1. Неравенство и теорема Чебышева.
2. Центральная предельная теорема (теорема Ляпунова).
3. Теорема Муавра-Лапласа.
6. Случайные функции
Лекции. Определение случайной функции. Многомерные плотности вероятности.
Математическое ожидание случайной функции. Свойства математического ожидания
случайной функции. Дисперсия случайной функции. Свойства дисперсии случайной
функции. Корреляционная функция случайной функции. Нормированная корреляционная функция. Взаимная корреляционная функция. Операции над случайными функциями.
Стационарные случайные функции. Эргодическое свойство стационарной случайной функции. Свойства корреляционной функции стационарной случайной функции. Нормированная корреляционная функция стационарной случайной функции.
4
Спектральная плотность стационарной случайной функции. Нормированная спектральная плотность. Взаимная спектральная плотность стационарных и стационарно связанных случайных функций. Преобразование стационарной случайной функции линейной
системой.
Практические занятия:
1. Характеристики случайной функции.
2. Корреляционные функции производной и интеграла случайной функции.
3. Корреляционные функции и спектральная плотность стационарной случайной
функции.
4. Преобразование стационарной случайной функции стационарной линейной динамической системой.
4.2. Структура дисциплины
Структура дисциплины по разделам и видам учебной деятельности c указанием
временного ресурса в часах. представлена в табл.1.
Таблица 1
Структура модуля (дисциплины)
по разделам и формам организации обучения
Название модуля
1. Введение
2. Случайные события
3. Случайные величины
4. Системы случайных величин
5. Предельные теоремы теории
вероятностей
6. Случайные функции
Итого
Аудиторная
работа (час)
Лекции Практ.
занятия
2
2
6
6
8
8
6
6
6
6
8
36
8
36
Формы текущего
контроля и аттестации
СРС
(час)
Итого
4
12
16
12
12
8
24
32
24
24
Контр. раб. №1
Контр. раб. №1
Контр. раб. №2
Контр. раб. №2
16
72
32
144
Контр. раб. №3
Экзамен
4.3 Распределение компетенций по разделам дисциплины
Распределение по разделам дисциплины планируемых результатов обучения по
основной образовательной программе, формируемых в рамках данной дисциплины и
указанных в пункте 3.
Таблица 2
Распределение по разделам дисциплины планируемых результатов обучения
№
1
Формируемые компетенции
ОК-1
1
+
2
+
Разделы дисциплины
3
4
+
2
ОК-10
+
+
+
3
ОК-12
+
+
4
ПК-2
+
+
5
ПК-5
+
+
6
ПК-19
7
ПК-21
+
5
+
6
+
+
+
+
+
+
5
+
5. ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
Методы и формы организации обучения по дисциплине отражены в табл. 3.
Таблица 3
Методы и формы организации обучения (ФОО)
ФОО
Методы
IT-методы
Работа в команде
Case-study
Игра
Методы проблемного обучения.
Обучение на основе опыта
Опережающая самостоятельная
работа
Проектный метод
Поисковый метод
Исследовательский метод
Другие методы
Лабор. Практ.
рабозаняты
тия
Лекции
Тренинг,
Мастеркласс
СРС
К. пр.
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
6. ОРГАНИЗАЦИЯ И УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ
6.1. Текущая самостоятельной работы студентов (СРС)
СРС, направленная на закрепление знаний студента и развитие практических
умений, включает:
– работу с лекционным материалом;
– подготовку к практическим занятиям;
– подготовку к контрольным работам, коллоквиумам и экзамену;
– изучение тем, вынесенных на самостоятельную проработку.
6.2. Содержание самостоятельной работы студентов по дисциплине
Темы индивидуальных заданий:
1. Случайные события и случайные величины.
2. Предельные теоремы теории вероятностей.
Темы работ выносимые на самостоятельную проработку:
1. Комплексная случайная величина.
2. Комплексные случайные функции.
6.3. Контроль самостоятельной работы
Для самоконтроля работы студентов в материалах к лекциям и в методических
указаниях по выполнению лабораторных работ предусмотрены контрольные вопросы и
упражнения.
Контроль со стороны преподавателя за работой студентов осуществляется во время собеседования по всем выполненным индивидуальным заданиям и лабораторным
работам.
6
6.4. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов
Для самостоятельной работы студентов рекомендуется использовать рекомендуемую литературу и ресурсы Интернет (см. раздел 9).
7. СРЕДСТВА ТЕКУЩЕЙ И ИТОГОВОЙ ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА
ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
7.1. Текущая оценка качества. Образцы билетов к контрольным работам
1. Контрольная работа № 1.
«Случайные события», «Случайные величины»
1. Для контроля качества изделий из партии наугад выбрано 100 изделий, среди
которых 3 изделия оказались бракованными. Определить частоту брака.
2. В корзине 100 фруктов: 10 груш и 90 яблок. Наугад взяты четыре фрукта.
Найти вероятность того, что: а) взято четыре яблока; б) взято четыре груши.
3. Найдите вероятность того, что дискретные значения случайного процесса попадут в интервал [2;5].
4. Функция распределения вероятностей случайной величины имеет следующий
вид:
   x  0,
 0,
Fx ( x )  
x
1  e , 0  x  .
Найдите вероятность того, что а) x  0,5 ; б) x  0, 25 ; в) 0,3  x  0,7 .
2. Контрольная работа № 2.
«Системы случайных величин»,
«Предельные теоремы теории вероятностей»
1. Дайте определение функции распределения системы двух случайных величин и
укажите её свойства.
2. Пусть  и  – независимые случайные величины,  имеет нормальное распределение N (1, 3) ,  имеет нормальное распределение N (2, 9) . Найти плотность распределения случайной величины   2  3  1 .
3. Дана случайная величина X с математическим ожиданием m x и средним квадратическим отклонением  x . С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность
того, что случайная величина X отклонится от своего математического ожидания
больше, чем на 3 x .
4. Время безотказной работы усилителя подчиняется закону Эрланга с математическим ожиданием 400 ч и дисперсией 40000 ч. Испытывается 200 усилителей. Найти
вероятность того, что среднее арифметическое значение времени безотказной работы
усилителей будет находиться в промежутке от 350 до 450 ч.
7
3. Контрольная работа № 3
«Случайные функции»
1. Какой случайный процесс называется стационарным?
2. Найдите нормированную корреляционную функцию случайного процесса по
известной корреляционной функции:


Rx ( )  2  cos     .
3

3. Найдите корреляционную функцию Rx ( ) случайного процесса X ( t ) , если его
спектральная плотность имеет вид
sin( ) ï ðè - 0    0 ,
S x ()  
0
ï ðè äðóãèõ  .

7.2. Итоговая оценка качества. Вопросы, выносимые на экзамен
Теоретические вопросы
1. Случайные события. Отношения между событиями. Вероятность события.
2. Простейшие свойства вероятности. Классическое определение вероятности.
3. Условная вероятность. Формула умножения вероятностей. Зависимые и независимые события
4. Формула полной вероятности и формула Байеса
5. Последовательность независимых испытаний. Формула Бернулли
6. Функция и плотность распределения вероятностей дискретной случайной величины и её свойства.
7. Числовые характеристики случайных величин дискретной случайной величины
и их свойства.
8. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона.
9. Функция и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины и её свойства.
10. Числовые характеристики случайных величин непрерывной случайной величины и их свойства.
11. Равномерное распределение.
12.Экспоненциальное (показательное) распределение.
13. Нормальное распределение.
14. Функция распределения вероятностей двухмерной случайной величины
15. Плотность распределения вероятностей двухмерной случайной величины
16. Условные законы распределения. Статистическая зависимость
17. Числовые характеристики системы двух случайных величин. Корреляционный
момент. Коэффициент корреляции.
18. Неравенство Чебышева
19. Теорема Чебышева
20. Теорема Бернулли
21. Центральная предельная теорема
22. Многомерные плотности вероятности.
23. Математическое ожидание и дисперсия случайной функции.
24. Корреляционная функция случайной функции. Нормированная корреляционная функция. Взаимная корреляционная функция.
8
25. Свойства корреляционной функции стационарной случайной функции. Нормированная корреляционная функция стационарной случайной функции.
26. Спектральная плотность стационарной случайной функции. Нормированная
спектральная плотность.
27. Взаимная спектральная плотность стационарных и стационарно связанных
случайных функций.
28. Преобразование стационарной случайной функции линейной системой.
Образец экзаменационного билета
Билет №
Теоретические вопросы
1. Функция и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины и её свойства (12 баллов).
2. Спектральная плотность стационарной случайной функции. Нормированная
спектральная плотность (12 баллов).
Задачи
3. Задача 1 (8 баллов). В тире имеется 5 ружей, вероятность попадания из которых
равна 0,5, три ружья с вероятностью попадания 0,7 и два ружья с вероятностью попадания 0,8. Определить вероятность попадания в мишень при одном выстреле, если
стрелок берёт одно из ружей наудачу.
4. Задача 2 (8 баллов) Функция распределения двухмерной случайной величины
( X , Y ) имеет следующий вид:
F ( x, y )  1  e ax  eb y  e ax b y , x  0, y  0, (a  0, b  0)
Определить одномерные функции распределения и одномерные плотности распределения вероятностей величин X, Y.
8. РЕЙТИНГ КАЧЕСТВА ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
В соответствии с рейтинговой системой текущий контроль производится в течение семестра путем балльной оценки качества усвоения теоретического материала
(контрольные работы) и результатов практической деятельности (индивидуальные
домашние задания).
Рейтинг-план освоения модуля приведен в приложении.
9. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ
И ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
9.1. Основная литература
1. Хрущёва И.В. Теория вероятностей: учебное пособие. – СПб: Издательство
«Лань», 2009. – 304 с.
2. Зубков А.М., Севастьянов Б.А., Чистяков В.П. Сборник задач по теории вероятностей: учебное пособие; 3-е изд., стер. – СПб: Издательство «Лань», 2009. – 320 с.
3. Практикум и индивидуальные задания по курсу теории вероятностей (типовые расчёты): учебное пособие. – СПб: Издательство «Лань», 2010. – 288 с.
4. Туганбаев А.А., Крупин В.Г. Теория вероятностей и математическая статистика: учебное пособие. – СПб: Издательство «Лань», 2011. – 224 с.
9
5. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Задачи и упражнения по теории вероятностей:
учебное пособие. – 8-е изд., стер. – М.: КноРус, 2010. – 493 с.
6. Михальчук А.А., Крицкий О.Л., Трифонов А.Ю., Шинкеев М.Л. Теория вероятностей и математическая статистика: учебное пособие. – Томск: Изд-во Томского
политехнического университета, 2010. – 212 с.
(доступ: http://www.lib.tpu.ru/fulltext2/m/2011/m309.pdf )
9.2. Дополнительная литература
7. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и ее инженерные
приложения: учебное пособие. – 5-е изд., стер. – М.: КноРус, 2011. – 441 с.
8. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие для вузов. – 9-е изд., стер. – М.: Высш. шк., 2003. – 479 с.
9. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: учеб. пособие для студентов вузов. – 9-е изд., стер. – М.: Высш.
шк., 2004. – 404 с.
10. Золотаревская Д.И. Теория вероятностей. Задачи с решениями: учебное пособие; изд. 2-е, перераб. и доп. – М.: Едиториал УРСС, 2003. – 168 с.
9.3. Программное обеспечение и Интернет-ресурсы:
11. Система программирования MathCAD.
12. http://www.exponenta.ru/ – общероссийский математический портал
13. http://www.mathnet.ru.ru/ – общероссийский математический портал.
14. http://www.lib.mexmat.ru – электронная библиотека механико-математического
факультета Московского государственного университета.
10. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Компьютеры, установленные в учебной аудитории кафедры промышленной и медицинской электроники.
Программа составлена на основе Стандарта ООП ТПУ в соответствии с требованиями ФГОС по направлению и профилю подготовки:
направление 210100 – «Электроника и наноэлектроника»;
профиль подготовки «Промышленная электроника»
Программа одобрена на заседании кафедры промышленной и медицинской электроники ИНК ТПУ.
(протокол № 14.11 от «25» августа 2011 г.).
Автор: Олег Самигулович Вадутов,
доцент каф. промышленной и медицинской электроники.
Рецензент: Анатолий Филиппович Глотов,
доцент каф. промышленной и медицинской электроники.
10