Арифметическая и геометрическая прогрессия».

Урок по теме:
«Арифметическая и геометрическая прогрессия».
Цель урока: 1) рассмотреть два типа прогрессии: арифметическая и
геометрическая;
2) вывести формулы n-го члена арифметической и геометрической
прогрессий;
3) рассмотреть характеристические свойства прогрессий;
4) активизировать знания учащихся при изучении нового материала.
Ход урока.
I.
Организационный момент.
II.
Фронтальный опрос. Повторение.
Учитель: На предыдущем уроке мы познакомились с понятием последовательности, ее
видами и рекуррентной формулой. Ответьте на вопросы:
1) Какие последовательности вам известны?
2) Какая последовательность называется конечной?
3) Приведите примеры бесконечной и конечной последовательности.
4) Как можно задать последовательность?
5) Какая формула называется рекуррентной?
6) Последовательность задана формулой хn=n2. Какой номер имеет член этой
последовательности, равный 100, 144, 225? Является ли членом
последовательности число 48, 49, 169?
7) Какой член последовательности
а) следует за членом х59, х300, хn, хn-1, хn+1, х3n;
б) предшествует члену х61, х100, хn-3, хn+4, х3n;
в) перечислите члены последовательности (аn), которые расположены между аn и
аn+3, аn-5 и аn, аn-2 и аn+2.
III. Объяснение нового материала.
Открыли тетради, записали число, тему урока:
«Арифметическая прогрессия», «Геометрическая прогрессия».
Разделите лист тетради на 2 части. В одной колонке мы будем записывать все об
арифметической прогрессии, во второй – о геометрической прогрессии.
1) Продолжительность года приблизительно равна 365 суткам. Более точное значение
равно 365 ¼ суткам, поэтому каждые четыре года накапливается погрешность, равная
одним суткам. Для учета этой погрешности к каждому четвертому году добавляются
сутки, и удлиненный год называют високосным. Например, в третьем тысячелетии
високосными годами будут годы:
2004, 2008, 2012, 2016, 2020,…
Получилась последовательность. Что можно сказать о последовательности, как она
получилась?
Ученики: В этой последовательности каждый ее член, начиная со второго, равен
предыдущему, сложенному с одним и тем же числом 4.
Учитель: Такие последовательности называют арифметическими прогрессиями.
Определение: Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый
член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем
же числом.
аn – арифметическая прогрессия, если для любого натурального n выполняется условие:
аn+1=аn+d, где d-разность арифметической прогрессии
Из формулы следует
аn+1 – аn =d.
Теперь перейдем к геометрической прогрессии:
2) (Чертеж заранее сделан на доске). Рассмотрим
равносторонний треугольник со стороной 4 см. В
нем построен треугольник, вершинами которого
являются середины сторон данного треугольника.
По свойству средней линии сторона треугольника
равна 2 см. Продолжая аналогичные рассуждения,
получим треугольники со сторонами 1, ½; ¼; 1/8…см
Запишем последовательность длин сторон треугольников: 1, ½, ¼, 1/8…см. Что можно сказать об этой
последовательности? Как можно ее получить?
Ученик: В этой последовательности каждый член , начиная со второго, равен
предыдущему, умноженному на одно и то же число ½.
Учитель: Такие последовательности называют геометрическими прогрессиями.
Определение: Геометрической прогрессией называется последовательность, отличных
от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену,
умноженному на одно и то же число.
Последовательность (вn)-геометрическая, если для любого натурального n
выполняется условие:
вn+1=вn g, вn не равно 0, где g-некоторое число, не равное нулю
Из формулы следует, что
вn+1
вn =g, число g-знаменатель геометрической прогрессии.
Задание: 1. Составьте арифметическую прогрессию
1. Напишите арифметическую прогрессию, т.е. последовательность целых
отрицательных чисел, если а1=1, а разность d=-1.
(-1, -2, -3,-4,…).
2. Составьте последовательность, если с1=3, а разность равна 0.
3. Составьте геометрическую прогрессию.
4. Напишите последовательность (вn), если в1=3, g=-2.
(3, -6, 12, -24,…).
6. Напишите последовательность (вn), если в1=7, g=1.
7. Как вы думаете, какая прогрессия (арифметическая или геометрическая)
реализуется в игре «О, счастливчик!»?
Зная первый член и разность арифметической прогрессии, можно найти любой ее
член, вычисляя последовательно второй, третий, четвертый и другие члены. Однако для
нахождения члена прогрессии с большим номером, такой способ неудобен.
Найдем такой способ.
Ученики самостоятельно выводят формулу n-ого члена арифметической прогрессии.
а2 = а1+d;
а3 = а2+d=а1+2d;
а4 = а3+d=а1+3d;
--------------------аn = а1+d(n-1).
Задание 2. Найдите сотый член арифметической прогрессии, если а1=-6, d=4.
а100=-6+4(100-1)=390.
Выведем формулу n-ого члена геометрической прогрессии.
в2 =в1g;
в3= в2g=в1g2;
в4 = в3g=в1g3;
------------------вn=в1gn-1.
Задание 3. Найти седьмой член геометрической прогрессии, если в1=81, g=1/3.
в7=в1g6, в7=81*1/3=34:36=1/9.
Метод, с помощью которого мы вывели формулы n-ого члена, называется методом
математической индукции. Более подробно этот метод рассматриваться позже, я же
введу понятие, чтобы вы имели представление, что такой метод существует.
Индуктивными называют рассуждения, в которых осуществляется переход от частных
заключений к общим. Некоторое свойство подмечается на каком-то числе примеров, в
какой-то момент высказывается общая гипотеза, которая затем подвергается дальнейшей
экспериментальной проверке. В естественных науках наступает момент, когда проверка
считается достаточной для того, чтобы принять гипотезу, посчитать ее доказанной.
Задание 4. Выяснить, является ли число 99 членом арифметической прогрессии 3; 5; 7;
9;…? Найти номер этого члена.
а1=3, d=2, аn=99.
аn=а1+d(n-1);
99=3+2(n-1);
2n=98; n=49. Ответ: n=49.
Задание 5. Число 486 является членом геометрической прогрессии 2; 6; 18;..
Найти номер этого члена.
вn=486, в1=2, g=3.
вn=в1gn-1;
486=2*3n-1;
3n-1=243;
3n-1=35;
n-1=5;
n=6.
Ответ: n=6.
IV. Исторические сведения.
Ученик 1: А теперь совершим экскурсию в историю. Термин «прогрессия» (от
латинского «progressio», что означает движение вперед) был введен римским автором
Боэцием (VI в) и понимался в более широком смысле, как бесконечная числовая
последовательность. Название «арифметическая и геометрическая» были перенесены на
прогрессии из теории непрерывных пропорций, изучением которых занимались древние
греки.
Равенство вида аk-1-аk=аk-аk+1, они называли непрерывной арифметической
пропорцией, а равенство вk-1:вk=вk:вk+1 непрерывной геометрической пропорцией. Из
этих равенств следует, что аk=(аk-1+аk+1):2, вk= вk-1вk+1, т.е. этими соотношениями
выражаются характеристические свойства арифметической и геометрической
прогрессии.
Ученик 2: Отдельные факты об арифметических и геометрических прогрессиях знали
китайские и индийские ученые. Известная индийская легенда об изобретателе шахмат
встречается впервые у хореземского математика Аль-Бируни (973-1050 г.). Легенда
рассказывает, что изобретатель шахмат попросил в награду за свое изобретение столько
пшеничных зерен, сколько их получится, если на первую клетку положить 1 зерно, на
вторую - в 2 раза больше, т.е. 2 зерна, на третью – в 2 раза больше, т.е. 4 зерна и т. д. до
64 клетки. Сколько зерен должен был получить изобретатель шахмат?
Число зерен является суммой 64 членов геометрической прогрессии, первый член
которой равен 1, а знаменатель 2.
S=1+2+22+23+…+263=264-1.
Масса такого числа пшеничных зерен больше триллиона тонн. Это заведомо
превосходит количество пшеницы, собранной человечеством до настоящего времени.
V. Закрепление. №348(б), №391(г).
VI. Домашнее задание. п.16, №343(в), №387(б),
п.17, №347.