Дисконтинуальное заполнение трехмерного пространства

Дисконтинуальное заполнение трехмерного пространства тетраэдрическими
частицами . Молекулярная динамика как трехмерная машина Тьюринга вообще и
вычисление в частности. Структура воды и макромолекул как частный случай.
Соловей Алексей Борисович
Дата рождения: 28.11.1979
Телефон: моб. (916)193-19-61
Email: [email protected]
Попытка постановки задачи и описания модели.
В условии конкурса указано, что решаемая задача должна быть поставлена в явном
математическом виде. Размышляя над своей задачей я понял, что задача, которую я решал
явно математическая, но математическими терминами я ее записать не могу, поскольку
такое описание в моей интерпретации очень сильно ее ограничивает, а ограниченная
задача выглядит довольно маргинальной.
Вообще говоря, мне кажется, что ценность данной задачи состоит не в решении ее,
а в большей степени в возможности получить альтернативный взгляд на известные вещи,
а также связать не очень хорошо связанные понятия.
С помощью постановки и части решения этой задачи удалось связать или по
крайней мере нащупать связи помимо уже известных между такими тематиками как:
плотное заполнение трехмерного пространства, трехмерная машина Тьюринга, клеточные
автоматы, мозаика Пенроуза, сеть Аммана-Маккея а также показать, что эти
математические абстрактные построения могут быть вполне применимы к объектам,
существующим в физичесом и биологическом мире, таким как насыщенные
углеводородные структуры, вопрос о структуре и связанными со структурой свойствами
воды,
трехмерной
структурой
белков
и
некоторыми
другими
более
узкоспециализированными тематиками.
Постановка задачи в общем виде выглядит примерно таким образом: в
пространстве (например евклидовом трехмерном) заданы некоторые объекты. Эти
объекты могут взаимодействовать друг с другом так, что при этом взаимодействии
должны сохраняться топологические и геометрические инварианты, но сохраняться не
строго, а с некоторым «разумным» допущением. То есть некоторый инвариант I может
сохраняться в данной структуре с некоторой заданной точностью dI. Спрашивается, какие
регулярные в самом общем смысле (в смысле симметрии в самом общем смысле, включая
самоподобие) структуры можно получить при заданном типе взаимодействия и как это
может быть использовано.
В поставленной формулировке задача выглядит достаточно общо и решения в
общем виде, скорее всего, не имеет.
Природа устроена чрезвычайно разнообразно в смысле форм. Природные формы и
на молекулярном уровне, и на человеческом поражают своим разнообразием. При этом
хорошо известно, что все молекулы состоят из примерно одного и того же набора атомов
– углерода, кислорода, азота, водорода. Все остальное можно в принципе считать
несущественным. Известных топологических и геометрических инвариантов в природе
открыто не так много, например это спирали – двойная ДНК и альфа-белков, структура
мембран, некоторые интересные закономерности в структуре шаперонов.
Довольно давно был задан вопрос о существовании «матрицы жизни», и было дан
ответ Дж. Берналом, что, вероятно, это жидкая вода. Однако, вопрос о том, как структура
молекулы воды, привела к отбору биологических структур, остается до сих пор открытым.
В работах Н. А. Бульенкова было показано, что на основе тетраэдрических
структур из молекул воды можно построить разные интересные дисконтинуальные
структуры. Я в своей работе попытался продолжить и обобщить насколько возможно
структуры, построенные из тетраэдрических частиц.
Удалось показать некоторые интересные структурные, то есть топологические и
геометрические инварианты.
Далее мы предполагаем, что все структуры построены из «почти тетраэдрических»
частиц, то есть таким частиц, ближайшие расстояния между которыми «почти» равны, а
валентный угол «почти» равен тетраэдрическому углу, то есть arcos(-1/2) ~ 109. Все
тетраэдрические частицы должны быть организованы в гексациклы конформации «твистванна», при этом все «твист-ванны» структуры должны быть соединены определенным
образом.
На этом можно закончить описание модели и физической и математической и в
общем перейти к некоторым частным случаям и результатам, которые, как обычно и
составляют самое интересное в довольно большом числе математических и физических
моделей.
Некоторые интересные частные решения и следствия.
Гексацикл «твист-ванна», далее без кавычек, из которого все строится, устроен
следующим образом:
Рис. 1 гексацикл «твист-ванна» в различных проекциях.
Твист-ванна хиральна, то есть существует в правой и левой конформациях в
трехмерном пространстве. К взятой твист-ванне можно присоединить тетраэдрический
димер таким образом, чтобы получился кластер из трех твист-ванн.
Рис. 2. Кластер из трех твист-ванн.
Эта структура будет неустойчива в любом естественном тетраэдрическом потенциале,
Устойчивой структурой данной топологии является кластер из трех ванн:
Рис. 3. Кластер из трех ванн.
Присоединяя твист-ванны к уже заданной можно получать различные протяженные
структуры:
Рис.4 L – кластер.
Без доказательства отмечу, что плотное заполнение трехмерного пространства
невозможно (это аналогично плотному заполнению трехмерного пространства
тетраэдрами , а поэтому невозможно)
Иногда получается удивительная вещь. Оказывается, что при определенном
заданном соединении твист-ванн друг с другом можно получать структуры, которые
обладают явно некристаллографической симметрией, например винтовой 11-ого порядка.
Откуда она берется, я не смог понять, возможно, что из оси 11-ого порядка
четырехмерного политопа {3,3,5}, в который схлопываются структура из правильных
тетраэдров, если их лепить друг к другу в кучку. Примерно подобно тому, как кучка
двумерных правильных пятицугольников схлопывается в трехмерный додэкаэдр, если их
лепить друг к другу без промежутков, пытаясь ими замостить бесконечную плоскость.
Вот тут как первый раз возникает мысль о мозаике Пенроуза. Мозаика Пенроуза,
как известно, это такое некристаллографиское нетрансляционное замощение плоскости
плитками двух видов. У нее много известных замечательных свойств.
Тут примерно походая задача – попытаться замостить пространство тем, чем
замостить пространство нельзя – только тетраэдрами. Существует трехмерный аналог
мозаики Пенроуза – сеть Аммана-Маккея, но там замощение происходит также с
помощью двух ромбоэдров.
А что если замощать не все пространство вообще (не получится), а замостить
сколько получится (дисконтинуально)? Разумеется, это сделать можно. При этом
получаются спирали некристаллографических симметрий.
Вообще говоря, я считаю построение таких спиралей одним из главных
достижений, полученных в данной работе. Из тетраэрдов и хорошо известной точечной
группой тетраэдра, в которой совсем нигде нет ни симметрии 11-ого порядка, ни
симметрии 7-ого порядка удалось их так «правмильно» исказить (кстати, это искажение
соответствует локальному минимуму «ествественной» энергии, то есть структуры
устойчивы в тетраэдрическом потенциале), то получаются эти необычные симметрии не
существующие нигде в неживой природе и очень часто встречающиеся в живой:
Рис. 5. Различные винтовые симметрии стрержней, построенных из тетраэдрических
частиц, связанных в твист-ванны.
Рис 6. Спираль 7-ого порядка симметрии (71). Цветом выделен элемент, ее образующий.
Большое впечатление оставляют фрактальные структуры, которые также могут быть
построены по тому же принципу (существование фрактальных структур показано Н.А.
Бульенковым):
Рис 7 L2 – кластер (68100 тетраэдрических частиц) и фрактальный аналог стержня 111.
У получающихся фракталов есть интересная особенность – их фрактальная
размерность (в смысле Минковского равна 2), то есть количество «повержностных»
частиц растет прямо пропорционально общему числу частиц в структуре, но при этом
структура растет во все три трехмерные стороны.
Тетраэдрические параметры больших фракталов сохраняются в основном, но
разброс становится довольно большим (что еще раз говорит о том, что трудно поставить
задачу на языке математических терминов):
Рис 8 Распределение валентных углов в твист-ванне второго порядка.
Оказалось, что для каждой хиральной структуры, построенной из хиральных
гексациклов «твист-ванна» можно поставить в соответствие ее аналог, так называемый Тцикл, построенный из плоских циклов, построенных из треугольных звезд. Без
доказательства покажу примеры этого преобразования:
Рис. 9 Редукция частиц в структурах.
Для построения “Т-циклов” можно пользоваться гексагональной сеткой. с
указанием позиций, по которым следует склеивать эти структуры. Будем прикладывать
гексагональную сетку к “T-циклу” и считать, что в месте приложения “T-цикл” плоский.
Отмечая на гексогональной сетке «след» “T-цикла”, можно описать алгоритм как его
построения, так и восстановления по нему исходной структуры. Следуя изложенному
выше алгоритму, “th-цикл” – “спираль-3011” можно описать следующим алгоритмом на
гексагональной сетке: 0, 01, 012, 0121, 01212, 012121. “T-цикл”, соответствующий Lкластеру, может быть описан на гексагональной сетке так: 0, 03, 031, 0312, 03123, 031232,
0312321, 03123213, 031232131, 0312321312. Можно ввести краткую запись алгоритма “Tцикла”. В этой записи “T-цикл” L-кластера будет выглядеть так: 0123132123:
Рис 10 Описание исходных структур: спирали 3011, L-кластера, “пропеллера" "пропеллера" на гексагональной сетке
Аналогичным образом “T-цикл” спирали 409 на гексагональной сетке опишется,
следующим алгоритмом: 0, 01, 012, 0123, 01231, 012312, 0123123, …
Для описания “T-цикла” на гексагональной сетке необходимо знать не только
координаты составляющих ее вершин, но и пути к этим вершинам.
“T-цикл” Т-кластера можно описать объединением четырех “T-циклов” Lкластеров: 1. 0123132123; 2. 0121323121; 3. 0132123132; 4. 0131232131.
Для восстановления исходной структуры из “T-цикла” (то есть алгоритма
соединения твист-ванн исходной структуры) помимо алгоритма соединения твист-ванн по
«выступам» необходимо также указать знак хиральности исходной структуры.
Получается алгоритм, подобный известному компьютерному алгоритму
«черепашьей графики», но полем для этого алгоритма является не плоскость, а
бесконечная стопка плоскостей, склеенная по определенным линиям.
Примерно здесь можно отметить информационный и дискретный характер того,
что мы строим. Например, одна из простых тетраэдрических структур, построенная из
частиц одного типа – спираль 3011 может быть закодирована кодом (12121212) , то есть
(12)n
=
=
= (12)n
= (123)n
Рис. 11. Примеры кодирования простых спиралей.
Все данные структуры можно кодировать последовательностями целых чисел. А
что будет, если эти структуры можно динамически изменять. Смотрите, что получается: в
трехмерном пространстве есть некоторые «молекулярные» структуры, и они меняются,
связи между одними частица рвутся, между другими – появляются. Это почти точное
описание того, что происходит в жидкости, например – это молекулярная динамика.
С другой стороны если жидкость устроена примерно таком образом, как показано
выше, то есть ее структура может быть закодирована некоторым числовым рядом. Тогда
динамика ее, динамика топологии связей ее частиц– это изменение структуры, то есть
изменение ее числового кода. Классическая машина Тьюринга, построенная на
одномерной бумажной ленте, преобразует структуру этой ленты, то есть числа,
записанные на ней, при этом логика самой машины может быть довольно простой, то есть
вся сложность алгоритма работы машины может быть записана на самой ленте – это
хорошо известный и доказанный факт.
Точно так же молекулярную динамику можно представить как работу некоторой
трехмерной машины Тьюринга. Пример такой машины построен – он перевязывает
спираль 3011 из состояния (12)n в другое состояние – это было названо «волна структурной
перестройки», тут я воспользовался хорошо известным термином, впервые предложенным
в работе С.Э. Шноля:
1
3
2
4
Рис 12. Алгоритм перемещения возмущения по спирали 3011 (волна структурной
перестройки – элементарный акт работы трехмерной машины Тьюринга)1. Исходная
структура. 2. Переключение связей в гексамере (1,2,3,5,A)
3. Структура 2, минимизированная по энергии. 4. Та же структура, что и на рисунке 3,
повернутая на некоторый угол относительно оси спирали.
Следует отметить, что сама «машина Тьюринга» по структуре отличается от «ленты»,
например потому, что она не состоит из гексациклов твист-ванна, а состоит из
тетрациклов. Однако же она в состоянии перевязывать структуру гексациклов.
И можно перейти к выводам:
На этом можно закончить очень беглый обзор результатов, которые были получены.
Основными результатами данной работы, мне кажется, являются новые вопросы, которые
можно поставить.
1. Можно ли считать хаотическое молекулярное движение, происходящие в
конденсированных жидких средах не хаотическим движением, а постоянно
происходящим трехмерным «вычислением»? Если да, то: какие исходные
данные этого вычисления, какие у него результаты, можно ли им управлять и,
если да, то как?
2. Можно ли считать таким полем для вычислений некоторую наперед заданную
нерегулярную, но заполняющую структуру. Иначе говоря, можно ли относиться
к динамике (то есть переключению связей, изменению) мозаики Пенроуза (или
подобной структуры) как к вычислению?
Также можно отметить действительно новые результаты, но, мне кажется, они не так
значимы как новые вопросы:
Получены большие совершенно новые фрактальные структуры, реализован
алгоритм волны структурной перестройки.
Важным материаловедческим приложением может быть то, что получены новые
«почти-ненапряженные» тетраэдрические спирали различных симметрий. Можно
отметить, что подобные структуры должны существовать в углеродном мире. То есть,
если они будут построены из атомов углерода, соединенных валентными связями, то
подобные структуры могут быть гораздо более интересными, чем популярные в нынешнее
время «нанотрубчатые» структуры. Это должно быть так потому, что у этих структур все
связи насыщены, в отличие от нанотрубок, следовательно они должны быть более
устойчивы. По сути то, что получено можно считать диспирационно-преобразованной
структурой алмаза, мледовательно и физико-химические свойства должны быть
подобными.
Также большой интерес может представлять изготовление углеродных волокон на
основе предложенных структур по причинам указанным выше
Спасибо за внимание!