Интеграл

1
Лекция 2.
11 класс.
Тема: « Интеграл».
Цель урока: В результате изучения темы учащиеся должны знать формулировку
теоремы о площади криволинейной трапеции, формулу Ньютона – Лейбница,
в
∫а 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 и 𝐹(𝑥)|ab. Уметь объяснить, что такое интеграл,
вычислять интегралы, площадь криволинейной трапеции в задачах.
обозначение:
1.Площадь криволинейной трапеции.
По учебнику на стр. 185 рассмотреть рис.119.
Выделены площади фигур, ограниченные линиями: у = 𝑓(𝑥), у=0, х=а, х=в.
Пусть на интервале [а; в] задана функция 𝑓, не меняющая на нем знака
(обратить на это внимание по рис).
Определение: Фигуру, ограниченную графиком этой функции на отрезке [а; в] и
прямыми х=а, х=в называют криволинейной трапецией.
Для вычисления площадей криволинейных трапеций применяется теорема:
Если 𝑓 - непрерывная и неопределенная на отрезке [а; в] функция, а 𝐹 −её
первообразная на этом отрезке, то площадь S соответствующей криволинейной
трапеции равна приращению первообразной на отрезке [а; в], то есть
S= 𝑭(в) − 𝑭(а).
Доказательство:
Смотри рис.120 на стр. 186.
Если S(х)- определена на [а; в] и а< х ≤ в, то S(х)- площадь той части
криволинейной трапеции, которая расположена левее вертикальной прямой,
проходящей через точку М(х;0). Если х =а, то S(х)=0, S(в)= S (S – площадь
криволинейной трапеции).
Докажем, что S/(х)= 𝑓(𝑥), то есть надо доказать, что
∆S(х)
∆х
→ 𝑓(𝑥) при ∆х → 0.
2
∆ S(х)= S(х+∆х)- S(х), то ∆ S(х)- площадь фигуры, заштрихованной на рис.
Возьмем прямоугольник той же площади ∆ S(х), опирающейся на отрезок
[х; х + ∆х]. В силу непрерывности функции 𝑓 верхняя сторона прямоугольника
пересекает график функции в некоторой точке с абсциссой с∈ [х; х + ∆х], высота
прямоугольника равна 𝑓(с).
∆ S(х)= 𝑓(с)∆х- площадь прямоугольника, где 𝑓(с) − высота, ∆х - вторая сторона,
откуда
∆S(х)
∆х
= 𝑓(с) (это верно и при ∆х = 0.
Так как с∈ [х; х + ∆х], то с→ х при ∆х → 0.
Так как функция 𝑓 непрерывна, 𝑓(с) → 𝑓(𝑥) при ∆х → 0.
Итак ,
∆S(х)
∆х
→ 𝑓(𝑥) при ∆х → 0, следовательно, формула S/(х)= 𝑓(𝑥) верна.
Мы
получили,
что
S
есть
первообразная
для
𝑓. Поэтому в силу основного свойства первообразной для всех х ∈ [а; в]
имеем:
S(х)= 𝑭(х) + С,
где
снекоторая
постоянная.,
𝑭(х) −
одна из первообразных для функции 𝑓.
Для нахождения С подставим х=а: 𝑭(а) + С = S(а)=0. С=- 𝑭(а).
Следовательно, S(х)= 𝐹(х) − 𝐹(а).
Поскольку площадь криволинейно трапеции равна S(в), подставляя х=в имеем
S= S(в) = 𝑭(в) − 𝑭(а). Любая непрерывная на промежутке функция имеет на
этом промежутке первообразную.
2. Понятие об интеграле.
Использовать для наглядности рис.122-123 стр. 189.
Второй способ определения площади трапеции.
Разобьем отрезок [а; в] на 𝑛 отрезков одинаковой длины точками х0=а< х1 <
х2 < ⋯ х𝑛−1 = х𝑛 = в и пусть ∆х =
в−а
𝑛
= хк − хк−1 , где к=1,2,…, х𝑛−1 , х𝑛 на
каждом из отрезков [хк−1 ; хк ] как на основании построим прямоугольник высотой
3
𝑓(хк−1 ), площадь этого прямоугольника равна: 𝑓(хк−1 )∆х =
в−а
𝑛
𝑓(хк−1 ), а сумма
площадей всех таких прямоугольников равна Sn=( 𝑓((х0 ) + 𝑓((х1 ) + ⋯ +
𝑓((х𝑛−1 )). Так как функция 𝑓 непрерывна, то объединение построенных
прямоугольников при большом n, то есть при малом ∆х, « почти совпадает» с
интересующей нас криволинейной трапецией. Значит, Sn≈ S при большом n.
в
(Sn→S при n→ ∞0) Sn=∫а 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 при
n→ ∞ это число называют ( по
определению) интегралом функции 𝑓 от х.
Числа а и в называют пределами интегрирования. а- нижним пределом, вверхним
пределом. Знак ∫ -знаком интеграла. Функция 𝑓 называют
подынтегральной функцией, а переменная х- переменной интегрирования.
в
Вывод. Итак, если 𝑓(х) ≥ 0 на [а; в] , то 𝑆кр.тр. = ∫а 𝑓(х) 𝑑𝑥.
в
S(х)= 𝐹(х) − 𝐹(а) и S=∫а 𝑓(х) 𝑑𝑥.
в
∫а 𝒇(х) 𝒅𝒙= 𝑭(х) − 𝑭(а) – формула Ньютона − Лейбница.
Эта формула верна для любой функции 𝑓, непрерывной на [а; в].
3.Применение интеграла.
Использовать рис. 125 стр. 194.
Дано тело объемом V. Дана прямая х, такая, что плоскость перпендикулярная
этой оси и пересекающая тело имеет в сечении плоскость площадью S.
Плоскость, перпендикулярная оси ОХ пересекает её в некоторой точке х х∈ [а; в]
поставлено в соответствие S(х) – площадь сечения тела этой плоскостью.
Следовательно, на [а; в] задана функция S(х),если она непрерывна на[а; в], то
в
справедлива формула V=∫а S(х) 𝑑𝑥.
Доказательство:
Разобьем отрезок [а; в] на 𝑛 отрезков одинаковой длины точками х0=а< х1 <
х2 < ⋯ х𝑛−1 = х𝑛 = в и пусть ∆х =
в−а
𝑛
= хк − хк−1 , где к=1,2,…, х𝑛−1 , х𝑛 .
Через каждую точку хк проведем плоскость, перпендикулярную оси Ох. Эти
плоскости разрезают заданное тело на слои, объем слоя, заключенного между
4
плоскостями 𝛼к−1 и 𝛼к при достаточно большом n ≈ равен площади S(хк−1 )
сечения, умноженное на толщину слоя ∆х и поэтому 𝑉 = S(х0 )∆х + S(х1 )∆х +
⋯ S(х𝑛−1 )∆х=Vn, чем больше слои, тем выше точность.
в
𝑉𝑛 → 𝑉 при 𝑛 → ∞ по определению интеграла : 𝑉𝑛 = ∫а S(х) 𝑑𝑥 при n→ ∞.
𝟒. Опорные задачи.
Пример 𝟏.
У=х2, у=0, х=3. Найти площадь криволинейной трапеции.
𝑥3
33
3
3
F(x)= . S=F(3)-F(0)=
0
− =9.Следовательно, площадь криволинейной трапеции
3
равна 9.
Пример 𝟐.
1
𝜋
𝜋
2
2
2
у = 1 + cos х. у=0, х=- , х = . Найти площадь криволинейной трапеции.
1
𝜋
𝜋
1
𝜋
𝜋
1
𝜋
𝜋
1
𝜋
𝜋
1
F(x)=х+ sin х; F( )= + sin = + ; F(- )=(− )+ sin(− ) = − − ;
2
2 2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
𝜋
𝜋
𝜋
1 𝜋
1
2
2
2
2 2
2
S=F( )-F(- )= + + + =𝜋 + 1.
площадь криволинейной трапеции равна 𝜋 + 1.
Пример 𝟑.
2
Найти: ∫−1 х4 𝑑𝑥 =
х5 2 25
| -1=
5
5
−
(−1)5
5
=
32
5
1
33
5
5
+ =
3
=6 .
5
Пример 𝟒.
1
2
Доказать: ∫0 (2𝑥 + 1)𝑑𝑥 = ∫0 (х3 − 1)𝑑𝑥
1
∫0 (2𝑥 + 1)𝑑𝑥 = (𝑥 2 + х)|10=1+1=2/
2
∫0 (х3
𝑥4
− 1)𝑑𝑥=(
4
− 𝑥)|20=(4-2)-(0-0)=2.
Пример 𝟓.
Найдите площадь фигуры ограниченной линиями: у=х2-4х+5 и у=5.
5
у=х2-4х+5- парабола хв=-
в
=−
2а
−4
2
= 2, ув=1.
Найдем точки пересечения параболы и прямой, параллельной оси х у=5.
х2-4х+5=5; х2-4х=0; х(х-4)=0; х=0 и х=4.
4
4
S=∫0 (5 − x 2 + 4х − 5) 𝑑𝑥=∫0 (− x 2 + 4х) 𝑑𝑥 = (−
64
1
2
3
3
3
х3
3
+
4𝑥 2
2
43
)|40=-
3
+
4×42
2
− 0=
- +32=32-21 =10 .
2
Площадь фигуры равна 10 .
3
Рассмотрим пример 𝟐 стр. 𝟏𝟗𝟓.
Пример 𝟔.
Найти объем фигуры ограниченной линиями: у = 𝑥 2 + 1, х = 0, х = 1, у = 0.
2
𝑏
1
1
V=∫𝑎 𝜋(𝑓(𝑥)) 𝑑𝑥=∫0 𝜋(𝑥 2 + 1)2 𝑑 = 𝜋 ∫0 (𝑥 4 + 2𝑥 2 + 1)2 𝑑𝑥 =
𝑥5
𝜋(
5
3
+
V=5 𝜋.
5
2𝑥 3
3
1
2
28
5
3
5
+ 𝑥) |10=𝜋( + + 1) − 0 =
3
𝜋 = 5 𝜋.
5