Образцы заданий для контрольны

Приложение 3
ОБРАЗЦЫ ЗАДАНИЙ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
Раздел I. Интегральное исчисление функции одной
и нескольких переменных
1) Найти интегралы:
1)

e x  1dx (1 балл)
6)
2)  ( x  1) sin 3xdx (1 балл)
7)

a 2  x 2 dx (1 балл)
dx
2 x x
2
; (1 балл)


8) sin 3 x sin 2 xdx (1 балл)

9) cos3 2 xdx (1 балл)
xdx
(2 балла)
( x  1)( x 2  4 x  5)
dx
4)
(2 балла)
2
( x  1)( x  1)
x3 x 6 x
5)
dx (1 балл)
x  3 x4
2) Вычислить определенный интеграл:
3)



10)
e2 1
dx
 3 cos x  2
(1 балл)
16
1  ln( x  1)
а)
dx (1 балл);
x

1
e 1

б)

256  x 2 dx (1 балл).
0
3) Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой  2  a 2 cos 4  (2 балла).
2x
4) Вычислить площадь области, ограниченной кривыми y 
, y  sin x (1

балл).
x  t 2

5) Вычислить длину дуги кривой 
0  t  3 (1 балл).
1 3
y

(
t

3
t
)

3

6) Найти длину дуги кривой y  ln x , 3  x  15 (1 балл).
7) Исследовать несобственный интеграл на сходимость:

2
xd x
dx
а) 
(1 балл);
б) 
(1 балл).
2
x
x

1
1 4x
1
8) Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси OY фигуры, ограниченной линиями y 2  x  4  0 , x  0 (2 балла).
9) Измените порядок интегрирования
1
0
0
0
2
 2 y
1
 y
 dy  f ( x) dx   dy  f ( x) dx (1 балл).
10) Найти массу плоской области, ограниченной линиями y  x , y 2   x ,
y  2 , если плотность распределения массы  ( x, y )  y (2 балла).
11) Найти площадь плоской области, заданной неравенствами
x 2  ( y  3 )2  9 , y  3x (2 балла).
12) Найти массу тела, ограниченного поверхностями
2 x  3 y  3z  6 ,
2 x  3 y  6 , x  0 , y  0 , z  0 , z  2 , если плотность распределения массы
 ( x, y, z )  y (2 балла).
13) Найти объем тела, ограниченного нижней частью конуса ( z  6 )2  x 2  y 2
и поверхностью z  x 2  y 2 (2 балла).
14) Найти длину дуги кривой (l ) : x  cos t , y  sin t , z  0,5  t 2 , где 0  t  2
(1 балл).
15) Найти работу, которую совершает сила F  { y 2 ; x 2 } при перемещении маx y
териальной точки вдоль линии (l ) :   1 из точки M 1 (3;0) в точку
3 2
M 2 (0;2) (1 балл).
z  6  ( x 2  y 2 )
16) Найти массу поверхности, вырезаемой из параболоида
x 2  y2  4 ,
цилиндром

 ( x , y, z )  1  4 x 2  4 y 2
17) Найти
 ( x
2

1
если
плотность
распределения
массы
(2 балла).
 yz )dxdy  (3 y  z )dxdz , где (S ) – внешняя сторона цилин-
(S )
дра x  0,25 y 2 , вырезаемая плоскостями z  0 , z  4 , x  1 (3 балла).
Раздел II. Дифференциальные уравнения
1) Найти общее решение или общий интеграл уравнений
а) ( x 2  x 2 y 3 )dx  ( y  x 2 y )dy  0 (1 балл);
в) x 2 y   y  cos x (1 балл).
y
б) ( xy   y ) sin  x (1 балл);
x
2) Решите задачу Коши y   y tg x  y 2 sin x , y(0)  1 (1 балл).
3) Найти общее решение или общий интеграл уравнений
а) y  sin 4 x  sin 2 x (1 балл);
г) y   4 y  x cos x  sin x (2 балла);
y 
y 
б) y    3  ln  (1 балл);
д) y   4 y  sin( 2 x) (2 балла);
x
x
в) 2 y ( y  )  y   0 (1 балл);
3
е) y   2 y   3 y 
e3 x
4 x
2
(2 балла).