dddddddd
advertisement
Об учебно-методическом комплекте “Геометрия” для общеобразовательной школы (авторы: В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев, В.В.Прасолов) под редакцией академика В.А. Садовничего 1. Авторский коллектив, указанный в заглавии, под руководством академика В.А. Садовничего и совместно с издательством “Просвещение”, ведут работу по созданию нового учебно-методического комплекта “Геометрия” для общеобразовательной школы. В 2010 году опубликованы учебник «Геометрия, 7» и сопутствующие пособия «Дидактические материалы» (по 7 классу) и «Поурочные разработки» (пособие для учителя). В 2011 году будут опубликованы аналогичные книги по 8 классу. Идёт работа по созданию учебников и соответствующих пособий для следующих классов. Содержание учебников полностью соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту. Авторы стремятся к доступности, чёткости и наглядности изложения материала в сочетании со строгой логикой, используя свой многолетний опыт работы над школьными учебниками и учебными пособиями по геометрии. Учебники для 7 и 8 классов получили высокую оценку экспертных комиссий РАН и РАО по школьному математическому образованию. 2. Содержание учебников Последовательность изложения тем в нашем учебнике отличается от известных учебников Л.С. Атанасяна и др. и А.В. Погорелова. Приведём оглавление учебников по классам. 7 класс Глава 1. Начальные геометрические сведения § 1. Простейшие геометрические фигуры § 2. Сравнение углов и отрезков § 3. Измерение отрезков и углов § 4. Перпендикулярные прямые Глава 2. Треугольники. § 5. Равнобедренный треугольник § 6. Признаки равенства треугольников § 7. Прямоугольные треугольники § 8. Соотношения между сторонами и углами треугольника Глава 3. Окружность § 9. Отрезки и углы, связанные с окружностью § 10. Задачи на построение 8 класс Глава 4. Параллельность 1 § 11. Параллельные прямые § 12. Вписанная и описанная окружности Глава 5. Многоугольники § 13. Многоугольник § 14. Параллелограмм и трапеция § 15. Теорема Фалеса Глава 6. Решение треугольников § 16. Косинус и синус острого угла § 17. Теоремы синусов и косинусов § 18. Подобные треугольники Приложение. Об аксиомах и основных понятиях планиметрии 9 класс Глава 7. Векторы и координаты § 19. Координаты точки и координаты вектора § 20. Операции с векторами § 21. Геометрические преобразования Глава 8. Площадь § 21. Площадь многоугольника § 22. Длина окружности и площадь круга Глава 9. Некоторые сведения из стереометрии § 23. Многогранники § 24. Тела и поверхности вращения 3. Особенности изложения материала Основные геометрические понятия вводятся в первой главе на основе наглядных представлений о прямых, отрезках, углах, что делает учебник, на наш взгляд, доступным для самостоятельного изучения школьниками. Равенство геометрических фигур (одно из важнейших понятий в геометрии) определяется с помощью наглядно ясного понятия наложения: две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением. При этом на раннем этапе изучения геометрии (в 7 классе) используются только наглядно очевидные свойства наложений, и это понятие не связывается с отображением плоскости на себя. И только в приложении, посвящённом системе аксиом данного курса (в конце учебника 8 класса), разъясняется, что понятие наложения относится к основным понятиям, а его свойства выражены в аксиомах о наложении и равенстве фигур. Сами эти аксиомы, разумеется, соответствуют наглядным представлениям о наложении. Понятие теоремы и её доказательства появляются в конце первой главы, и первыми теоремами выступают теорема о существовании перпендикуляра к прямой, проведённого из данной точки, и теорема о 2 единственности такого перпендикуляра. В доказательствах этих теорем используется перегибание плоскости по прямой, понимаемое наглядно, и такого наглядного понимания достаточно, по нашему мнению, на начальном этапе изучения геометрии. Но потом, в упомянутом приложении об аксиомах планиметрии, разъясняется, какое именно наложение, понимаемое уже как отображение плоскости на себя, следует называть перегибанием плоскости по прямой. Во второй главе, посвящённой треугольникам, целый ряд теорем доказывается также с помощью наглядно понимаемого наложения: теорема об углах равнобедренного треугольника, теорема, выражающая признак равнобедренного треугольника, теорема о высоте равнобедренного треугольника, теоремы о первом и втором признаках равенства треугольников. Принципиальной особенностью, отличающей данный курс школьной геометрии от многих других, является то, что вместо традиционной аксиомы параллельных принимается более простое утверждение о существовании прямоугольника, у которого две смежные стороны равны данным отрезкам. Это утверждение является наглядно очевидным, и в этом состоит его преимущество перед аксиомой параллельных, требующей обращения к бесконечно протяжённым объектам. Отметим, что у Евклида в его знаменитом пятом постулате речь также идёт по существу не о бесконечных прямых, а о продолжениях отрезков, хотя и используется слово «прямая». Аксиома существования прямоугольника позволяет дать весьма простые доказательства некоторых теорем школьной геометрии. Во второй главе на основе этой аксиомы (хотя она и не называется пока аксиомой, а трактуется как наглядно очевидное утверждение) без использования параллельности доказано сначала, что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 , а затем доказаны классические теоремы о соотношениях между сторонами и углами треугольника, в том числе теорема о сумме углов треугольника. Позднее, в 8 классе (в главе 4) при обсуждении вопроса об аксиомах планиметрии объясняется, что аксиома существования прямоугольника, принятая в нашем учебнике, эквивалентна аксиоме параллельных. Само же утверждение о том, что через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной, становится у нас теоремой, которую мы назвали основной теоремой о параллельных прямых. Она доказана в главе 4. Последняя глава учебника 7 класса посвящена окружности – второй фигуре, которая наряду с треугольников играет важнейшую роль во всём курсе геометрии. Здесь доказаны теоремы о свойстве и 3 признаке касательной к окружности, об измерении угла между касательной и хордой, о вписанном угле и введён новый класс задач – задачи на построение с помощью циркуля и линейки. Рассмотрены классические (базовые) задачи о построении угла, равного данному, о построении биссектрисы угла, о построении серединного перпендикуляра к отрезку и прямой, перпендикулярной к данной. К числу базовых задач мы отнесли также рассмотренные в учебнике задачи о построении прямоугольного треугольника по гипотенузе и катету и о построении касательной к окружности. Таким образом, теоретический материал учебника 7 класса вводит учащихся в мир двух важнейших геометрических фигур – треугольника и окружности. В отношении изложения теоретического материала в учебнике 8 класса наряду с уже описанной особенностью в теме «Параллельность» отметим ещё две особенности, относящиеся к главе 6 «Решение треугольников». Первая особенность связана с нетрадиционным определением синуса и косинуса для произвольных углов. Для острых углов синус и косинус определяются с помощью прямоугольного треугольника, как отношение соответствующего катета к гипотенузе, и для углов из промежутка от 90 до 180 с помощью формул, позволяющих выразить синус и косинус любого угла из этого промежутка через синус и косинус острого угла (своего рода аналитическое продолжение). С этой целью сначала доказано, что для любого угла из промежутка 0 90 справедливы равенства sin 2 sin 2 cos 2 , cos 2 cos 2 Если 90 180 , то 45 2 2 1 . (1) 90 , и, следовательно, для каждого из указанного промежутка правые части в формулах (1) принимают определённые числовые значения. Эти значения мы и называем (по определению) значениями синуса и косинуса для данного угла из промежутка 90 180 . Используя формулы (1), нетрудно найти значения sin 90 и cos 90 , а затем по этим же формулам определить sin 180 и cos180 . Для 0 по определению полагаем sin 0 0 , cos 0 1. Описанный способ определения синуса и косинуса для углов из промежутка от 0 до 180 позволяет весьма просто доказать sin( 180 ) sin , справедливость формул приведения cos(180 ) cos . 4 Вторая особенность связана с определением подобных треугольников. В учебнике даётся такое определение: два треугольника называются подобными, если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника. Это определение отличается от определения подобных треугольников в некоторых других учебниках, например, в учебнике Л.С.Атанасяна и др., где наряду с пропорциональностью сторон требуется, чтобы углы треугольников были соответственно равны. В приведённом определении из нашего учебника углы никак не задействованы. Тем самым данное определение подобных треугольников в большей мере соответствует общему понятию подобия фигур. Что касается равенства углов подобных треугольников, то оно не следует теперь из определения (как в учебнике Л.С.Атанасяна и др.), а требует обоснования, что и сделано в виде теоремы об углах подобных треугольников. Сделаем несколько замечаний об особенностях изложения материала в учебнике 9 класса, значительная часть которого посвящена векторно-координатному методу в геометрии. Координаты вектора вводятся как разности соответствующих координат его конца и начала, но операции с векторами (сложение, умножение на число, скалярное произведение) определяются не через координаты векторов (в отличие от учебника А.В.Погорелова), а так, как это принято в физике, т.е. как действия с направленными отрезками. В главе 7 наряду с векторно-координатным аппаратом геометрии рассматриваются геометрические преобразования: движения плоскости и частные виды движений – осевая симметрия, параллельный перенос, поворот, центральная симметрия, а также преобразования подобия и, в частности, центральное подобие (или гомотетия). В главе 8 «Площадь» предложен нестандартный вывод площади прямоугольника, опирающийся на процедуру измерения отрезков, что даёт возможность весьма просто получить искомую формулу единым образом, независимо от того, конечной или бесконечной десятичной дробью выражаются длины сторон прямоугольника. В этой главе введены также понятия равносоставленных многоугольников и доказано, что любой треугольник равносоставлен с прямоугольником, одна из смежных сторон которого равна половине периметра треугольника, а другая – радиусу вписанной в него окружности. Последняя (девятая) глава учебника «Некоторые сведения из стереометрии» является введением в ту часть геометрии, которая занимается изучением геометрических фигур в пространстве. Здесь говорится о некоторых видах многогранников (пирамида, призма, параллелепипед, правильные многогранники) и о простейших телах и 5 поверхностях вращения (цилиндр, конус, сфера, шар). Приведены формулы для вычисления объёмов и площадей поверхностей некоторых тел, а также рассмотрены задачи на построение сечений параллелепипеда. В конце каждой главы приведены вопросы для повторения, а в конце каждого учебника имеется предметный указатель. Они призваны способствовать у учащихся умения выполнять такие универсальные учебные действия (УУД), как поиск и выделение необходимой информации; оценка качества и уровня усвоения материала; контроль и оценка процесса и результатов деятельности; структурирование знаний. 4. Система задач. В учебнике содержится большой задачный материал, систематизация которого тщательно продумана. Непосредственно после каждого параграфа предлагаются основные (обязательные) задачи, которые сгруппированы в виде заданий так, что каждое задание состоит из нескольких задач по определённой теме, расположенных в порядке постепенного возрастания сложности. Более того, по каждой теме даются два задания (с нечётным и следующим за ним чётным номером) с одинаковым числом задач в обоих заданиях, причём задачи в задании с чётным номером, как правило, аналогичны соответствующим задачам (т.е. отмеченным той же буквой) в задании с нечётным номером. В классе рекомендуется решать задачи из заданий с нечётными номерами, а на дом задавать аналогичные задачи из заданий с чётными номерами. Это позволит закрепить навыки, полученные при решении задач в классе. Приведём пример таких парных заданий из учебника 7 класса. Задачи 37 и 38 содержат задачи на применение второго признака равенства треугольников. 37. а) На рисунке 89 CQP CQR , AC=BC и AQ=BQ. Докажите, что AQR BQP . б) Докажите, что если биссектриса треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный. в) На рисунке 88 CMP CNQ , AC=BC и MC=NC. Докажите, что MP=NQ. г) На рисунке 87 ABO BAO и OAC OBC . Докажите, что AP=BR. д) На рисунке 87 OA=OB и AQ=BQ. Докажите, что OP=OR. 38. а) На рисунке 89 CPQ CRQ , AC=BC и AR=BP. Докажите, что AQR BQP . 6 б) На рисунке 87 луч CQ – биссектриса угла ACB, луч OQ – биссектриса угла AOB. Докажите, что AC=BC. в) Углы ACQ и BCP на рисунке 88 равны и AC=BC. Докажите, что CP=CQ. г) На рисунке 87 AC=BC и OA=OB. Докажите, что AP=BR. д) Углы ACO и BCO на рисунке 87 равны и CP=CR. Докажите, что AR=BP. Наряду с основными задачами к каждому параграфу в учебниках имеются дополнительные задачи в конце каждой главы (они, как правило, немного труднее обязательных), а в конце каждого учебника – задачи повышенной трудности к каждой главе. Они позволяют осуществить дифференцированный подход к обучению школьников, организовать индивидуальную работу с учениками, проявляющими особый интерес к геометрии, развить и повысить этот интерес. И, наконец, в конце каждого учебника содержится небольшой набор задач и вопросов с практическим содержанием, показывающих, как геометрия может использоваться на практике, в том числе в простых жизненных ситуациях. Вот несколько примеров задач и вопросов такого рода из учебника 7 класса: Как на садовом участке прокопать узкую прямолинейную канавку между двумя вбитыми в землю колышками, если в вашем распоряжении есть веревка, которая короче расстояния между колышками? Как, пользуясь только веревкой и острыми колышками, начертить на земле прямой угол? Предложите способ измерения расстояния между двумя точками, если нельзя пройти по прямой от одной точки к другой. (В случае затруднения обратитесь к рис.176.) Имеется пластина в форме четырехугольника. Как с помощью только нити убедиться в том, что это: а) прямоугольник; б) квадрат? Плотнику нужно заделать квадратное отверстие размером 12 на 12 см, а у него есть только кусок доски размером 9 на 16 см. Как разрезать этот кусок на две части, чтобы ими можно было точно закрыть отверстие? На листе бумаги нарисована дуга окружности. Как (с помощью циркуля и линейки) построить всю окружность? В плоскости расположено 5 зубчатых колес так, что первое колесо сцеплено своими зубцами со вторым, второе – с третьим, третье – с четвёртым, четвёртое – с пятым, а пятое – с первым. Могут ли вращаться колеса такой системы? 5. О других положительных качествах учебников 7 Уже вышедший учебник 7 класса хорошо иллюстрирован, и это качество будет сохранено в учебниках для следующих классов. Доказательства теорем сопровождаются рисунками, многие из которых снабжены подписями, позволяющими ученику разобраться в доказательстве теоремы, даже не читая основного текста, а переходя от рисунка к рисунку. Наряду с рисунками имеются слайды, показывающие реальные прообразы тех или иных геометрических понятий. Для многих геометрических терминов, с которыми школьник встречается впервые, объяснено их происхождение. Каждый учебник снабжён исторической справкой, отражающей этапы развития геометрии и роль великих учёных-геометров в её становлении. Всё перечисленное, начиная от теоретического материала и системы задач, направлено на достижение не только предметных результатов освоения школьниками программы по геометрии (овладение знаниями о геометрических фигурах и умение применять эти знания), но также личностных результатов (умение ясно, точно и грамотно излагать свои мысли; критичность мышления; умение контролировать процесс и результат учебной деятельности; способность к эмоциональному восприятию математических понятий, утверждений, рассуждений) и метапредметных результатов (представление о математике, её идеях и методах, как универсальном средстве моделирования реальных явлений и процессов; умение выдвигать гипотезы и понимание необходимости их проверки; умение планировать и осуществлять деятельность исследовательского характера). 6. Методическое обеспечение курса геометрии Методическую помощь учителю, ведущему занятия по данным учебникам, окажут пособия «Поурочные разработки» и «Дидактические материалы». Пособие «Поурочные разработки» содержит рекомендации по проведению уроков. Для каждого урока указаны его основные задачи, во многих случаях даны комментарии к теоретическому материалу, изучаемому на уроке, а также к задачам, которые рекомендуется рассмотреть на данном уроке. Приведены образцы возможного оформления решений задач. По каждой теме (а часто и по каждому уроку) сформулированы основные требования к учащимся: что они должны уметь (формулировать, доказывать, решать, выполнять те или иные универсальные учебные действия) в результате изучения этой темы. 8 По каждой теме предлагается провести на определённом уроке самостоятельную работу, а по окончании изучения каждой главы и в конце учебного года – контрольную работу. Варианты самостоятельных и контрольных работ содержатся в пособии «Дидактические материалы». Пособие «Дидактические материалы. 7 класс» содержит 12 самостоятельных работ по всем темам учебника для 7 класса, 4 контрольные работы , 3 математических диктанта, примерные задачи к экзамену по геометрии и тестовые задания. Каждая самостоятельная и контрольная работа даётся в четырёх вариантах, причём третий и четвертый варианты более сложные, чем первый и второй. Математические диктанты предназначены для итоговой проверки знаний по каждой из трёх глав. Аналогичную структуру имеют «Поурочные разработки» и «Дидактические материалы» по следующим классам. Учителю следует иметь в виду, что все рекомендации, содержащиеся в «Поурочных разработках», являются примерными, их не нужно рассматривать как обязательные. В зависимости от уровня учащихся класса учитель может и должен вносить коррективы как в саму процедуру проведения уроков, так и в подбор заданий для классной и домашней работы учащихся. На всех уроках геометрии нужно исходить из того, что изучение этого предмета наряду с чисто предметными целями должно активно способствовать решению более важных задач – формированию личности учащегося, развитию его логического мышления, пространственных представлений, формированию умения использовать геометрический язык и выполнять грамотные чертежи и рисунки в практической деятельности, развитию творческих способностей учащихся. Авторы учебно-методического комплекта надеются, что их учебники и методические пособия помогут решению этих задач. 9
