elektrodinamika

ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ
1. Сила взаимодействия двух неподвижных точечных зарядов q1 и q 2 (сила
Кулона):

F

q1q2 r
,
40 r 2 r
1

где r — радиус-вектор, соединяющий заряды, 0 — электрическая постоянная.
2. Напряженность электрического поля

 F
,
E
q

где q – положительный точечный заряд, помещенный в данную точку поля, F - сила,
действующая на него со стороны поля.
Напряженность поля точечного заряда q:

E

q r
.
40 r 2 r
1

3. Теорема Остроградского-Гаусса для вектора E : поток вектора напряженности
электрического поля через произвольную замкнутую поверхность
   q внутри
E
.
 dS 
0
В дифференциальной форме:
 
divE 
0
(  - объемная плотность электрического заряда).
4. Циркуляция вектора напряженности электростатического
произвольному замкнутому контуру:
 
 Edl  0 .
поля
5. Разность потенциалов
2
 
 1   2   Edl .
1

Связь между E и  :



E   grad , или E x  
, Ey  
.
x
y



6. Электрический дипольный момент p  ql , причем вектор l направлен от
отрицательного заряда диполя к положительному.

E
по
7. Энергия взаимодействия двух точечных зарядов, находящихся в вакууме на
расстоянии r друг от друга:
W
q1q2
.
40 r
Электростатическая энергия взаимодействия системы точечных зарядов:
W
1
1 qi q k 1

   i qi ,

2 i  k 40 rik
2 i
где  i - потенциал в точке нахождения заряда qi , созданный всеми остальными зарядами.
Полная электрическая энергия системы с непрерывным распределением заряда:
W
1
  dq ,
2
где  - потенциал, создаваемый всеми зарядами системы в месте нахождения заряда dq .
8. Плотность энергии электрического поля в вакууме
w
0E2
2
.
ПРОВОДНИКИ В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ
1. Напряженность электрического поля внутри проводника E  0 .
2. Вблизи поверхности проводника E 

0
(
- локальная поверхностная

плотность заряда), причем вектор E перпендикулярен поверхности.
3. Объемная плотность заряда внутри проводника равна нулю. Заряд распределен
только по внешней поверхности проводника.
4. Электрическая сила, действующая на единицу площади заряженной
поверхности проводника, направлена по внешней нормали и равна
F 2

.
S 2 0
5. Собственная электростатическая энергия заряженного проводника
W 
q
,
2
где q - заряд проводника,  - его потенциал.
ДИЭЛЕКТРИКИ В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ

Поляризованность P диэлектрика – это дипольный момент единицы

объема. Теорема Гаусса для поляризованности: поток вектора P через произвольную
замкнутую поверхность
1.
 
 PdS  q
внутри
,
где q в нутри - избыточный связанный заряд в объеме, охватываемом этой поверхностью. В
дифференциальной форме:
divP     ,
где   - объемная плотность связанного заряда.
2. Поверхностная плотность связанных зарядов на границе диэлектрика
   Pn
( Pn - проекция поляризованности на внешнюю нормаль к поверхности диэлектрика).
3. Вектор электрического смещения

 
D  0E  P .

4.
Теорема Остроградского-Гаусса для потока D через произвольную
замкнутую поверхность:
 
D
 dS  q ,
где
q
-
алгебраическая
сумма
сторонних
зарядов
внутри
поверхности.
дифференциальной форме:
divD   ,
где  - объемная плотность стороннего заряда.
5. Для изотропных диэлектриков

 

P   0 E , D   0E ,   1   ,
где  - диэлектрическая восприимчивость,  - диэлектрическая проницаемость. Из этих


формул вытекает следующая связь векторов P и D :
  1 
P
D.

6. Условия на границе раздела двух диэлектриков:
E1t  E2t - следствие потенциальности электростатического поля;

D2 n  D1n   - следствие теоремы Гаусса для вектора D ;

P2 n  P1n    - следствие теоремы Гаусса для вектора P ,
где  и   - поверхностные плотности соответственно сторонних и связанных зарядов
на границе (направление нормали из среды 1 в среду 2).
7. Плотность энергии электрического поля в диэлектрике

 0E 2 ED
w

.
2
2
В
ЭЛЕКТРОЕМКОСТЬ
1.
Емкость уединенного проводника C 
q

, где q – заряд проводника,  - его
потенциал.
2.
Емкость конденсатора C 
q
, где q – величина заряда каждой из обкладок,
U
U – напряжение между ними.
3.
При последовательном соединении конденсаторов их заряды равны, а
эквивалентная емкость определяется соотношением:
1
1
 .
C
i Ci
4.
При параллельном соединении конденсаторов напряжения на них равны, а
эквивалентная емкость
C   Ci .
i
5.
Емкость плоского конденсатора, полностью заполненного диэлектриком
проницаемостью  :
C
 0 S
d
( S - площадь пластин, d - расстояние между ними).
6. Энергия заряженного конденсатора
CU 2 q 2
W

.
2
2C
ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
1.
Сила тока I 
dq
, где dq  заряд, протекающий через сечение проводника
dt
за время dt .1
dI
, где dI - ток, протекающий через сечение площадью
dS
dS , перпендикулярное линиям тока.
2.
Плотность тока j 
3.
Сопротивление проводника длины l с постоянным сечением S : R  
l
,
S
где  - удельное сопротивление материала.
4.
Зависимость удельного сопротивления от температуры t (оС):    0 (1  t )
, где  0 - сопротивление при 0 оС,  - температурный коэффициент сопротивления.
1
Подробнее о правилах знаков см. решение задачи 5.35.
Закон Ома в дифференциальной (локальной) форме:


 E
на однородном участке цепи j  = E ,
5.


 

 на неоднородном участке цепи j   ( E  Eст ) ,


где E - напряженность электрического поля, E ст - напряженность поля сторонних сил,
  1  - удельная проводимость.
6.
Закон Ома в интегральной форме:
 для однородного участка цепи сопротивлением R12 при разности потенциалов на
концах участка 1   2 : I R12  1   2 ;
 для неоднородного участка цепи сопротивлением R12 :  IR12  1   2   ;
(знаки соотносятся с направлением обхода участка);
 для полной неразветвленной цепи   I ( R  r )
( r - внутреннее сопротивление источника, R - сопротивление внешней цепи).
7.
При последовательном соединении проводников эквивалентное
сопротивление
R   Ri ;
8. При параллельном соединении проводников эквивалентное сопротивление
1
1
 .
R
Ri
9. Правила Кирхгофа для разветвленных цепей:
 для алгебраической суммы токов в узле
I
i
0
(токи, входящие в узел и исходящие из узла, следует считать величинами разных знаков);
 для произвольного замкнутого контура
 I R  
i
i
i
k
k
(знаки соотносятся с направлением обхода контура).
10. Закон Джоуля-Ленца:
 тепловая мощность, выделяющаяся в единице объема среды,
dP
 j2 ;
dV
 тепловая мощность, выделяющаяся в проводнике сопротивлением R , P  I 2 R .
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК В РАЗЛИЧНЫХ СРЕДАХ
1. Удельная проводимость электролита
  zen (     ) ,
где n - концентрация молекул растворенного вещества,  - коэффициент диссоциации,
  и   - подвижности ионов, zе – заряд ионов2.
2. Обобщенный закон Фарадея : масса вещества, выделившегося при электролизе,
пропорциональна заряду q , протекшему через электролит:
m
1 M
 q = kq ,
F z
где F  eN A – постоянная Фарадея ( N A - число Авогадро), М – молярная (или атомная )
масса вещества, z – валентность. Электрохимический эквивалент вещества k  M (Fz) .
3. Плотность тока насыщения при термоэлектронной эмиссии
j н  BT 2 exp( 
Aвых
),
kT
где В – эмиссионная постоянная, Авых - работа выхода (В и Авых зависят от рода металла), Т
- абсолютная температура, k – постоянная Больцмана.
4. При небольших плотностях тока в газах выполняется закон Ома:


j  qn(      ) E ,
где q – заряд иона, n – концентрация пар ионов,   и   - подвижности ионов.
5. Число пар ионов, рекомбинирующих за единицу времени в единице объема,
n  n 2 ,
где  - коэффициент рекомбинации, n – концентрация пар ионов.
ПОСТОЯННОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ
1.
Закон Био-Савара-Лапласа: магнитная индукция, создаваемая элементом


тока Idl (или j dV )


  0 j , r
  0 I dl , r
dB 
dB 
dV ,
,
4 r 3
4 r 3

где r - радиус-вектор, проведенный от элемента тока к точке наблюдения.

2.

скоростью v :

 
Магнитное поле точечного заряда q , движущегося с нерелятивистской
  0 qv, r 
.
B
4 r 3

3.
Поток вектора магнитной индукции B через произвольную замкнутую
поверхность S
2
Строго говоря, в этой формуле zе – заряд того сорта ионов, концентрация которых равна концентрации
n
H 2 SO4  2 H   SO42 концентрация
отрицательных ионов n  n , а для положительных n  2n . Но в силу электронейтральности
раствора n z   n z  и для сокращения вводят обозначение nz  n z   n z  .
диссоциировавших молекул. Например, при диссоциации
 
 BdS  0 .
S
4.
Напряженность магнитного поля в вакууме


B
.
H
0


5.
Циркуляция векторов B и H (в вакууме) по произвольному замкнутому
контуру L (закон полного тока):
 
 
,
B
d
l


I
H
0

 dl  I ,
L
L
где I - алгебраическая сумма токов, охватываемых контуром.
6.
Магнитная индукция прямого провода, сила тока в котором I , в точке,
кратчайшее расстояние которой от провода равно R :
0 I
(cos 1  cos  2 ) ,
4R

где  1 и  2 - углы между вектором Il и радиус-векторами, проведенными от концов
B
провода в точку наблюдения (см. рис. 7.1).
7. Сила Ампера:


 
 

dF  I dl , B ,

 
dF  j , B dV .
8. Работа силы Ампера при перемещении контура с током
dA  I  dФ ,
 

где    BdS - поток вектора B через поверхность S , ограниченную этим контуром.
S
9. Сила Лоренца:
 


 
F  qE  q v , B .
10. Магнитный момент витка с током:


pm  IS

(вектор площади витка S связан с направлением тока I соотношением правого винта).
11. Момент сил, действующих на виток с током:

 
M  pm , B .

12.

Сила, действующая на виток с током в неоднородном магнитном поле:
Fx  pm
Bx
x


(плоскость витка перпендикулярна вектору B ; ось Х направлена вдоль вектора p m ).
13. Плотность энергии магнитного поля в вакууме
wm 
B2
BH  0 H 2
.


2 0
2
2
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ


Намагниченность J – это магнитный момент единицы объема вещества; J


 n pm , где п – концентрация молекул, pm - средний магнитный момент молекулы.

2.
Циркуляция вектора J
 
J
 dl  I  ,
1.
где I  - алгебраическая сумма токов намагничивания, охватываемых контуром.
3.
Напряженность магнитного поля в магнетике


B 
H
J.
0
4.

Циркуляция вектора H
 
H
 dl  I ,
где I - алгебраическая сумма токов проводимости, охватываемых контуром.
5.
Для однородных изотропных сред




J  H ,
B   0 H ,
  1  ,
где  - магнитная восприимчивость,  - магнитная проницаемость.
6.
Условия на границе раздела двух магнетиков:
B1n  B2 n ,
7.
H 1t  H 2t (в отсутствие токов проводимости на границе).
Для диамагнетиков  <0,  <1;
Для парамагнтиков  >0,  >1.
 
Для ферромагнетиков зависимость J (H ) нелинейная;  >>1 и зависит от Н
и от предыстории магнетика.
ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ
1. Закон электромагнитной индукции Фарадея:
i  
dФ
.
dt
2. Индуктивность контура
L
Ф
,
I
где Ф – поток через поверхность, ограниченную этим контуром, созданный током I,
текущим в контуре.
3. Индуктивность соленоида длины l с числом витков N
L
Фсц
I

 0 N 2 S
l
  0   n 2V ,
где Фсц  NФ  поток сцепления (Ф – поток через один виток соленоида), n – число
витков на единицу длины, V – объем соленоида.
4. Энергия магнитного поля контура с током
W
LI 2
.
2
5. Плотность энергии магнитного поля
w
B2
2 0 

 0 H 2
2
.
ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
1. Средние значения силы тока и напряжения:
T
I ср
T
1
  I  dt ,
T 0
U ср
1
  U  dt .
T0
2. Действующие (эффективные) значения силы тока и напряжения
T
Ie 
2
1 2
I  dt ,
T 0
T
Ue 
2
1
U 2  dt ;
T 0
для синусоидального тока
Im
Ie 
2
,
Ue 
Um
2
,
где I m и U m - максимальные (амплитудные) значения тока и напряжения.
3. Закон Ома для цепи переменного тока:
Ie 
Ue
,
Z
Im 
Um
,
Z
где Z - полное сопротивление (импеданс) цепи.
4. Индуктивное и емкостное сопротивления:
X L  L ,
XC 
1
.
C
5. Для последовательного контура
Z  R2  ( X L  X C )2 .
6. Средняя мощность, выделяемая в цепи переменного тока,
P  U e I e cos  ,
где  - фазовый сдвиг между током и напряжением в контуре (коэффициент мощности).
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Уравнение собственных колебаний
1.
0 
1
LC
LC - контура:
2
q  0 q  0 , где
- циклическая частота собственных колебаний; период колебаний T0  2 LC
.
2
Уравнение затухающих колебаний в LCR - контуре: q  2q  0 q  0 , где
2.
  R 2L - коэффициент затухания. Затухающие колебания происходят по закону:
q  q m e   t cos(t   ) ,
где    0   2 - циклическая частота; постоянные qm и  определяются начальными
2
условиями. Колебания возможны при условии, что  <  0 .
3. Амплитуда затухающих колебаний a (t )  q m e  t .
4. Логарифмический декремент затухания
  ln
a(t )
= T ,
a(t  T )
где Т – период; при слабом затухании (  <<  0 )   R
C
.
L
5. Добротность контура Q    ; при слабом затухании Q 
1 L
.
R C
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
1. Уравнения Максвелла в интегральной форме:

 
 
B 
E
d
l


d
S
,
D
 dS   dV ,

 t

 
 
  D  
 BdS  0 ,
 Hdl    j  t dS ,

где  - объемная плотность сторонних зарядов, j - плотность тока проводимости.
2. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме:



B
divD   ,
rotE  
,
t

  D
,
rotH  j 
t

divB  0 .
3. Плотность тока смещения





D
; плотность полного тока j пол н  j см  j .
jсм 
t
4. Инварианты электромагнитного поля:

E 2  c 2 B 2  inv
EB  inv ,
5. Фазовая скорость электромагнитных волн
v
c

,
где c 
1
- фазовая скорость в вакууме.
 0 0
6. Объемная плотность энергии в электромагнитной волне
w
 0E 2
2

 0 H 2
2
,
причем в бегущей электромагнитной волне оба слагаемых равны.
7. Связь Е и Н в бегущей электромагнитной волне:
E

H
0 

,
 Z0
 0

где Z 0   0  0  377 Ом – волновое сопротивление вакуума.
Связь Е и В в бегущей электромагнитной волне:
E  vB ( в вакууме E  cB ).
8.
Для электромагнитных волн, распространяющихся вдоль проводов,
напряжение между проводами и сила тока в них связаны соотношением: U  ZI , где
Z
L1
- волновое сопротивление линии ( L1 и C1 - соответственно индуктивность и
C1
емкость на единицу длины линии).
9. Плотность потока энергии в волне (вектор Умова-Пойнтинга)

 
I  E, H .


10. Интенсивность волны I равна средней (по времени) плотности потока энергии.
Связь интенсивности со средней плотностью энергии w и с амплитудой напряженности
2
E m в волне: I  w v 
1 Em
1
2
v 0 E m . В вакууме I 
.
2
2 Z0