Document 964329

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
М атемат ик а. Ме ханик а. Ин формат ик а
2013
Вып. 1(13)
МАТЕМАТИКА
УДК 517.988
О периодических решениях обыкновенного
дифференциального уравнения третьего порядка
А. Р. Абдуллаев
Пермский национальный исследовательский политехнический университет
Россия, 614990, Пермь, Комсомольский проспект, 29
Е. А. Скачкова
Пермский государственный национальный исследовательский университет
Россия, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15
skachkovaea@gmail.com; 8 (342) 2-396-345
Получены достаточные условия разрешимости краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения третьего порядка в случае резонанса.
Ключевые слова: дифференциальное уравнение третьего порядка; краевая задача;
резонанс.
x W p ,3 0; l  , удовлетворяющую почти всюду

Рассмотрим периодическую краевую
задачу для обыкновенного дифференциального уравнения:
(1)
xt   f (t , x(t ), x(t ), x(t ))  g (t ),
x0  xl , x 0  x l , x 0  x l , (2)
на 0; l  уравнению (1) и периодическим краевым условиям задачи (2).
Обозначим через W p0,3 пространство:
W p0,3   x W p,3 0; l  / x0  xl , x 0  x l ,
где t  0; l , функция g : 0; l   R ограни-
x0  xl  .
чена в существенном, f : 0; l  R 3  R1
удовлетворяет условию Каратеодори.
W
Введем в рассмотрение пространства.
Пусть L p  L p 0; l  – пространство
p -ой степени функций
x : [0, l ]  R ; W p ,3  W p ,3 0; l  – простран-
следующим образом:
( Lx)(t )  x (t ) ,
( Fx)(t )  f (t , x(t ), x (t ), x (t ))  g (t ) .
Приведем необходимые в работе вспомогательные утверждения.
Для линейного оператора L : X  Y
через imL и ker L соответственно обозначим
образ и ядро оператора L .
Определение. Линейный оператор
P : X  X называется проектором, если
P2  P .
ство абсолютно непрерывных вместе с третьей производной функций x : [0, l ]  R1 , таких, что x  L p , с нормой
(2)
 x(0)  x(0)  x(0)  x(t )
p,3
Lp
Запишем задачу (1), (2) в пространстве
в виде операторного уравнения
(3)
Lx  Fx ,
0
где операторы L, F : W p ,3  L p определяются
суммируемых в
xW
0
p ,3
.
Определение. Под решением задачи (1),
будем понимать всякую функцию
© Абдуллаев А. Р., Скачкова Е. А., 2013
5
А. Р. Абдуллаев, Е. А. Скачкова
Лемма 1. Ядро и образ оператора
L : Wp0,3  L p определяются равенствами:
Определение
[1].
Оператор
K p : imL  X будем называть обобщенно
обратным к оператору L : X  Y , ассоци-
ker L  {x Wp0,3 / x(t )  C, C  R} ,
ированным с проектором Р, если справедливы равенства:
1) LK p  I 0 , где I 0 : imL  Y – есте-
l
imL  { y  LP /  y( )d  0}.
0
P : Wp0,3  Wp0,3
Операторы
ственное вложение;
и
2) K p Lx  P c x для любого x  X ;
Q : L p  L p , определяемые равенствами
Px  x(0) ,
3) P c K p  K p .
(4)
l
Qy  y 
1
y ( s)ds ,
l 0
Лемма 2. Обобщенно обратный для
оператора Lx(t )  x(t ) , ассоциированный
с проектором P (4) имеет вид
(5)
являются проекторами соответственно на ядро и образ оператора L.
KP y 
Доказательство. Справедливость первого равенства леммы очевидна.
Проверим справедливость второго равенства. Для этого воспользуемся представлением решения уравнения
x(t )  y(t )
в виде:

l

периодические
0
р ,3
краевые
 y( )d  0 .
0
LK p у 
t
t2 t l
d3 1
2

 3   (t  s) y ( s)ds     sy ( s)ds 
dt  2 0
 2l 2  0
Для доказательства второго утверждения
достаточно проверить, что оператор (дополнительный проектор) Q C  I  Q , определенный
равенством
l

t 
  s y ( s)ds   y (t ).
2l 0

l
1
y( s)ds ,
l 0
Проверим выполнение равенства
K p Lx  P c x .
является проектором. Действительно,
K P Lx 
l
l

1 1
Q C Q C y     y ( s)ds dt  Q C y.
l 0l 0


. (6)
Имеем
Справедливость равенства P 2  P проверяется непосредственно.
QС y 
LP
Доказательство. Проверим справедливость равенства
LK p  I .
l
условия, получим
t
s  y ( s )ds.
2l 0
и справедлива оценка:
 l
l
l 
 l
y
K P y W  1    1q
 q

2
q

1
2
2
q

1




t
1
x(t )  C1t 2  C2t  C3   (t  s) 2 y( s)ds.
20
Применив
t
t2 t l
1
2
    sy ( s )ds 
(
t

s
)
y
(
s
)
ds

2 0
 2l 2  0

t
t2 t l
1
2
  (t  s) x ( s)ds      sx ( s)ds 
20
 2l 2  0
Это и означает, что оператор Q C является проектором, называемым дополнительным к Q . Равенство imQ  imL очевидно.
Лемма доказана.
l
t
t
1

s  x ( s )ds   (t  s ) 2 x ( s ) 
0
2l 0
2

t

 2 (t  s ) x ( s )ds  

0


6
О периодических решениях обыкновенного дифференциального уравнения…
Лемма 3 [3]. Пусть L : X  Y – линейный ограниченный нормально разрешимый оператор, ядро которого дополняемо.
Для любого ограниченного проектора
P : X  X на ker L обобщенно обратный
K P : imL  X к оператору L ограничен,
l

 t 2 t 
l



    sx ( s ) 0   x ( s )ds  
 2l 2 
0

l
t
  s  x ( s ) 
0
2l 

 2 sx ( s )ds  
0

l
причем норма оператора K P удовлетворяет
неравенству
t


t


  (t  s ) x ( s ) 0   x ( s)ds  
0


l

t
l
 sx ( s ) 0   x ( s )ds   P C x.
l
0

KP
Определение

b( F )  lim
x
Проверим справедливость оценки (6).
Имеем
1
 1 1
     sy ( s )ds 
2l
2 l0
l
 y
LP
2
y ( s )ds 
0
l
 1 1 l

1
    q  s q ds  q  s 2 q ds  1 y
 2 l  0

2l 0


 l  l
l 
y
 1    1q
q

2
q

1
2
q

1




LP
LP
.
x
 ,
X
что для каждого элемента х0  Х 0 существует элемент u  ker L такой, удовлетворяюF ( x0  u )  imL ,
щий
требованиям
u   x0   ;
4) b( F )(1   )  q ( L) .
Тогда уравнение (3) имеет хотя бы одно решение.
Оператору L поставим в соответствие
линейный ограниченный сюръективный оператор
Лемма 4. Для любого элемента
x(t ) W p0,3 справедливы неравенства
L0 : Wp0,3  imL , L0 x  Lx, x Wp0,3
x(t )  k0 x W 0 ,
p ,3
*
0
и обозначим через L сопряженный к L оператор.
Определение [3]. Относительным коэффициентом сюръективности оператора L
назовем число q (L ) , определяемое равенством
z

1) L – нетеров;
2) F – вполне непрерывен;
3) существуют такие числа  ,   0 ,
Wp,3  ker L  X 0 , L p  imL  Y0 .
z 0
X
Fx Y
вия:
Соответствующие выбранным проекторам P и Q разложения пространств представим в виде
q ( L)  inf
оператор
Теорема 1 [2]. Пусть выполнены усло-

Лемма доказана.
L*0 z
Если
то он называется квазиограниченным, а число
b(F ) – квазинормой оператора F .
Для определения условий разрешимости уравнения (3), а следовательно, и задачи
(1), (2), воспользуемся следующей теоремой.
l
s
[3].
множествах и
Выполнение равенства P K p  K p очевидно.
W р0, 3
 q ( L) .
F : X  Y ограничен на ограниченных под-
c
KP y
1
x(t )  k1 x W 0 ,
p,3
x(t )  k 2 x W 0 ,
p ,3
 l2 l2
l 
k 0  max 1; l ; ; q
,
2 2 2q  1 


l 
q
k1  max 1; l ; l q
 , k 2  max 1; l .
q 1

где
, z  (imL)* .
 
Для оценки коэффициента сюръективности оператора L нам потребуется следующее утверждение.
Доказательство. Докажем первое неравенство, используя представление
7
А. Р. Абдуллаев, Е. А. Скачкова
x(t ) 

sign (u1 ) f (t , u1 , u 2 , u 3 )  g
t
2
( sign (u1 ) f (t , u1 , u 2 , u 3 )  g
t
1
x (0)  tx (0)  x(0)   (t  s) 2 x ( s)ds.
2
20
 l  l
lq l 
 ,
3)  (1  k 0 )1    1q

  2  q  1 2 2q  1   1


1
 t
 q
1
 x ( s ) L  (t  s ) 2 q ds  
p
2
 0

l2

x (0)  l x (0)  x(0) 
2
q
l2 l
 q
x ( s) L  k 0 x W 0 ,
p
p,3
2 2q  1



l2 l2
;
2 2
q
где
 
l 
.
2q  1 
Тогда задача (1), (2) имеет хотя бы одно
решение в пространстве W p , 3 .
Доказательство. Для доказательства
теоремы проверим выполнение условий теоремы 1. Первые два условия выполнены. Действительно, оператор L – фредгольмов (лемма 1) и оператор F : W p0,3  L p , определен-
Лемма 5. Пусть существуют неотрицательные постоянные a, b, c и неотрицатель-
h()  L [0, l ] ,
функция
такие,
что
ный равенством
( Fx)(t )  f (t , x(t ), x (t ), x (t ))  g (t ) ,
вполне непрерывен.
Для проверки выполнения условия 3)
теоремы 1 рассмотрим уравнение
f (t , u1 , u 2 , u3 )  a u1  b u 2  c u3  h(t )
почти всюду при t  [0, l ] и u1 , u 2 , u 3  R 1 .
Тогда для оператора F справедлива оценка

Fx
где   l h
p
L
Lp
  x W ,
Q C F ( x  u)  0,
,   k a  k b  k c .
p,3
 g
L
0
1
где u  ker L , x – некоторый элемент X 0 .
Если при каждом фиксированном x  X 0 данное уравнение имеет решение, то существует
элемент u  ker L , удовлетворяющий условию F ( x0  u )  imL .
Произвольно зафиксируем элемент
x  X 0 и определим непрерывное отображе-
2
Доказательство. Действительно,
Fx
Lp

 a x(t )  b x (t )  c x (t )  h(t )  g (t )
 l h
p
L
 g
L
 k a  k b  k c x
0
1
2
  k 0 a  k1b  k 2 c ,
 l2 l2
l 
k 0  max 1; l ; ; q
,
2 2 2q  1 


l 
q
k1  max 1; l ; l q
 , k 2  max 1; l .
q 1

Аналогично доказываются остальные
неравенства. Лемма доказана.
ная
 0)
t  [0, l ] ;
l2
x(0)  l x (0)  x(0) 
2
где k 0  max 1; l ;
L
0
при u1  u*, u1 , u 2 , u3 , u 4  R1 и почти всех
Имеем
x(t ) 
L
Wp ,3
Lp

.
Лемма доказана.
Перейдем к формулировке основного
результата статьи.
ние  : R 1  R 1 равенством
 (С ) 
Теорема 2. Пусть выполнены следующие условия:
1) существуют неотрицательные постоянные a, b, c и неотрицательная функция
l
l
0
0
  f (t , x(t )  C , x (t ), x (t )) dt   g (t )dt.
Далее мы воспользуемся следующим
двойным неравенством
 k 0 x W 0  x(t )  k 0 x W 0 , t  [0, l ]
h()  L [0, l ] , такие, что
f (t , u1 , u 2 , u3 )  a u1  b u 2  c u3  h(t )
p,3
p,3
(см. лемму 4). Положим C1  u * k 0 x
при u1 , u 2 , u 3  R 1 и почти всех t  [0, l ] ;
2) существует u*  0 , такое, что
Тогда
8
для
всех
C  C1
Wp , 3
.
справедливо
О периодических решениях обыкновенного дифференциального уравнения…
x(t )  C  u * , а следовательно  (C )  0 .
Аналогично  (C )  0 для всех
Замечание. Возможен и следующий
вариант применения теоремы 2. Если отрезок
0; l  не зафиксирован и требуется найти такое значение l , при котором существует решение задачи (1), (2), то за счет подбора
(например, уменьшения значения l ) можно
добиться выполнения условия 3) теоремы 2.
C  C2  u * k 0 x W .
p ,3
Тогда в силу непрерывности функции  су-
~
ществует константа C  C ( x) , удовлетворяющая неравенству
~
C  max{ C1 , C2 }  k 0 x
~
такая, что (C )  0 .
 u *,
Список литературы
W p,3
1. Абдуллаев А.Р., Бурмистрова А.Б. Элементы теории топологически нетеровых операторов. Челябинск, 1994. 93 с.
2. Абдуллаев А.Р. О разрешимости квазилинейных краевых задач для функциональнодифференциальных уравнений // Функционально-дифференциальные
уравнения:
межвуз. сб. науч. тр. / Перм. политехн. ин-т.
Пермь, 1992. С. 80–87.
3. Абдуллаев А.Р., Бурмистрова А.Б. Об одной
схеме исследования на разрешимость резонансных краевых задач // Известия высших
учебных заведений. Математика. 1996, №11.
С. 14–22.
Таким образом существует элемент
~
C  u  ker L , удовлетворяющий требованиям F ( x0  u )  imL , u   x0   , причем
  k0 ,   u * .
В случае, когда выполнено условие
sign (u1 ) f (t , u1 , u 2 , u 3 )  g L  0 ,
доказа
тельство проводится по той же схеме.
Выполнение четвертого условия теоремы 1 следует из условия 3) теоремы 2. Теорема доказана.
On a periodic solutions of the third order
ordinary differential equation
A. R. Abdullaev, E. A. Skachkova
Perm State University, Russia, 614990, Perm, Bukireva st., 15
skachkovaea@gmail.com; 8 (342) 2-396-345
In this paper sufficient conditions of solvability of boundary value problem for third order ordinary differential equation at resonance case are given.
Key words: ordinary differential equation of the third order; boundary value problem; resonance.
9