Экзаменационные материалы по математике за 10 класс

Экзаменационные материалы по математике
за 10 класс
(физико – математическое направление,
учитель Гайфуллина Г.И.)
Устный экзамен
Экзаменационные билеты по математике.
Билет № 1
1. Функция. Способы задания. График функции. Графики элементарных
функций. Преобразование графиков. График дробно-линейной функции.
Графики функций, связанных с модулем.
2. Решить тригонометрическое уравнение.
Билет № 2
1. Взаимно - обратные функции и их графики (примеры, в том числе
тригонометрические).
Условие существования обратной
функции.
Производная обратной функции.
2. Задача на нахождение периода периодической функции.
Билет № 3
1. Радиан. Радианное измерение дуг и углов. Тригонометрические функции
числового аргумента: sin, cos, tg, ctg. Основное тригонометрическое
тождество. Формула приведения.
2. Продифференцировать сложную функцию.
Билет № 4
1. Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов. Синус, косинус и
тангенс двойного, тройного и половинного углов. Преобразование суммы
тригонометрических выражений в произведение и произведения в сумму.
2. Задача на применение теоремы Лагранжа или Ролля.
Билет № 5
1. Свойства периодичности функции. Примеры периодических функций.
Периодичность
тригонометрических
функций.
Основной
период.
Нахождение основного периода сложных функций, суммы, произведения и
частного двух функций.
2. Задача на применение уравнения касательной.
Билет № 6
1. Свойства и графики тригонометрических функций. Непрерывность
тригонометрических функций (доказательство непрерывности на языке
   ). Графики гармонических колебаний.
2. Исследовать функцию и построить эскиз графика.
Билет № 7
1. Обратные тригонометрические функции. Свойства и графики обратных
тригонометрических функций. Преобразование выражений, содержащих
обратные тригонометрические функции. Производные тригонометрических
функций. Производные обратных тригонометрических функций.
2. Задача на нахождение наибольших и наименьших значений функции.
Билет № 8
1. Тригонометрические уравнения. Простейшие тригонометрические уравнения
и их решения. Основные методы решения тригонометрических уравнений.
Отбор корней. Запись решения. Тригонометрические неравенства.
Характерные тригонометрические неравенства.
2. Исследовать непрерывность функции.
Билет № 9
1. Предел числовой последовательности (два определения). Вычисление
пределов.
Единственность
предела.
Ограниченность
сходящейся
последовательности. Существование предела монотонной ограниченной
последовательности (признак Вейерштрасса). Предел функции на
бесконечности. Его свойства.
2. Решить тригонометрическое неравенство.
Билет № 10
1. Окрестность точки. Предел функции в точке. Теоремы о пределах функции.
Характерные пределы. Односторонние пределы. Бесконечные пределы.
2. Преобразовать выражение с обратными тригонометрическими функциями.
Билет № 11
1. Непрерывность функции в точке и на промежутке. Исследование
непрерывности функции (на языке    ). Пример. Свойства непрерывных
функций. Непрерывность сложной и обратной функции. Непрерывность
элементарных функций.
2. Решить тригонометрическое уравнение.
Билет № 12
1. Свойство функций непрерывных на отрезках. Теорема о промежуточном
значении. Следствия. Поиск корней.
2. Вычислить предел.
Билет № 13
1. Приращение функции. Производная. Дифференциал. Геометрический и
механический смысл производной. Непрерывность и дифференцируемость
функций. Производная суммы, произведения и частного. Производная
сложной и обратной функции. Производная степенной функции.
2. Установить период периодической функции.
Билет № 14
1. Вторая производная и ее механический смысл. Производные высших
порядков. Формула Тейлора для многочлена. Бином Ньютона. Приближенное
значение элементарных функций.
2. Задача на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции.
Билет № 15
1. Приложение первой производной к исследованию функций. Теорема
Лагранжа и ее следствия. Теорема Ролля. Исследование функций на
возрастание и убывание. Необходимое условие экстремума. Достаточное
условие экстремума.
2. Преобразовать выражение с обратными тригонометрическими функциями.
Билет № 16
1. Приложение второй производной к исследованию функций. Выпуклость
функции. Точки перегиба. Наклонные и асимптоты. Построение графика
функции. Отыскание наибольших и наименьших значений функции на
промежутке (конечном или бесконечном).
2. Доказать тригонометрическое тождество.
Билет № 17
1. Применение производной для решения неравенств. Применение производной
к приближенным вычислениям. Применение производной к вычислению
пределов.
2. Задача на уравнение касательной.
Билет № 18
1. Определение корня n-ой степени из числа. Свойства корней n-ой степени.
Степень с рациональным показателем. Свойства. Степени и корни. Основные
принципы решений иррациональных уравнений и неравенств. Формула
сложного радикала.
2. Продифференцировать сложную функцию.
Билет № 19
1. Основные принципы решения рациональных уравнений. Разложение на
множители. Разложение на множители выражений: x n  y n ; x n  y n (при n
нечетном). Деление многочлена на многочлен с остатком. Теорема Безу.
Следствие.
2. Исследовать функцию на дифференцируемость.
Билет № 20
1. Нахождение рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами.
Обобщенная теорема Виета. Возвратные уравнения. Обобщенные возвратные
уравнения. Однородные уравнения.
2. Исследовать функцию и построить эскиз графика.
Билет № 21
1. Уравнение касательной и нормали к кривой.
2. Решить тригонометрическое неравенство.
Вопросы по стереометрии
1. Основные понятия и аксиомы стереометрии. Их связь с аксиомами
планиметрии. Понятие о фигуре в пространстве.
2. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Признак
скрещивающихся прямых. Теорема о скрещивающихся прямых.
3. Теорема о параллельных прямых. Лемма о пересечении плоскости
параллельными
прямыми.
Теорема
о
параллельности
прямых
(транзитивность).
4. Взаимное расположение прямой и плоскости. Признак параллельности
прямой и плоскости. Теоремы о линиях пересечения плоскостей (три).
5. Параллельное проектирование. Свойства параллельного проектирования.
Изображение пространственных фигур на плоскости (Рыжик стр. 34-40).
Ортогональное проектирование (Рыжик стр. 94-97).
6. Углы с сонаправленными сторонами. Теорема об углах с сонаправленными
сторонами. Угол между пересекающимися прямыми. Угол между
скрещивающимися прямыми.
7. Взаимное расположение плоскостей. Признак параллельности двух
плоскостей. Свойства параллельных плоскостей.
8. Перпендикулярность прямых. Перпендикулярность прямой и плоскости.
Связь между параллельностью прямых и их перпендикулярности к
плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Теорема о
прямой, перпендикулярной плоскости.
9. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние между параллельными
плоскостями. Расстояние от прямой до параллельной ей плоскости.
Перпендикуляр и наклонная. Теорема о трех перпендикулярах. Расстояние
между фигурами (Рыжик стр. 106).
10. Проекция точки на плоскость. Проекция фигуры на плоскость. Угол между
прямой и плоскостью. Двугранный угол. Линейный угол двугранного угла.
Перпендикулярные плоскости. Признак перпендикулярности двух
плоскостей.
11. Расстояние между скрещивающимися прямыми. Общий перпендикуляр двух
скрещивающихся прямых (Рыжик стр. 109). Определение расстояния между
скрещивающимися прямыми векторным методом. Геометрический подход к
определению расстояния между скрещивающимися прямыми (теорема,
тетрадь).
12. Векторы в пространстве. Равенство векторов. Сложение, вычитание
векторов. Умножение вектора на число (законы). Правило ломанной.
Правило параллелепипеда. Соотношения, используемые при решении задач
векторными методами (тетрадь).
13. Компланарность векторов. Колинеарность и компланарность векторов.
Базис в пространстве. Разложение вектора по трем некомпланарным
векторам (существование и единственность).
14. Угол между векторами. Скалярное произведение векторов. Свойства
скалярного произведения. Скалярное произведение в ортонормированном
базисе.
15. Векторный метод определения угла между прямой и плоскостью и
расстояния от плоскости до прямой.
16. Пространственная область. Геометрическое тело. Многогранники и их
элементы. Правильные многогранники. Теорема Эйлера (тетрадь).
17. Тетраэдр, параллелепипед, призма. Прямоугольный параллелепипед.
Свойства прямоугольного параллелепипеда. Прямая призма, правильная
призма. Площадь боковой поверхности.
18. Пирамида. Правильная пирамида. Апофема. Площадь боковой поверхности
пирамиды. Свойство параллельных сечений пирамиды. Усеченная пирамида.
19. Понятие объема (тетрадь). Объем прямоугольного параллелепипеда. Объем
прямой призмы, пирамиды.
20. Прямоугольная система координат в пространстве. Расстояние между двумя
точками. Задание фигур уравнениями и неравенствами. Применение метода
координат к решению задач по стереометрии (Рыжик стр. 350-359, 361).
21. Уравнения прямой и плоскости в пространстве (в векторной и координатной
форме) (Рыжик стр. 331-333, 359-360, 366-367).
Примеры задач.
Задача № 1
На рисунке точки M, F и E - середины отрезков CD, BC и AB соответственно.
1) Построить линии пересечения плоскости MFE с плоскостями ABC, CDB,
ADC и ADB.
2) Найдите угол между прямыми AC и DB, если AC=10, BD=20, а площадь
четырехугольника, образованного построенными линиями пересечения равна
25 3 .
Задача № 2
Дана наклонная призма ABCA 1 B1C1 . M лежит в плоскости AA 1C1 . Через точку
М проведена плоскость, параллельная плоскости B1 BK . Постройте линию
пересечения этой плоскости с плоскостью AA 1 B1 .
Задача № 3
Дан куб ABCDA 1 B1C1 D 1 , ребро которого равно 4 см. Диагонали оснований
ABCD и A 1 B1C1 D 1 пересекаются в точках О и О1 соответственно. Р - середина
AD, а T - середина CD. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью,
проходящей через точки P, T и середину отрезка ОО1 и найдите площадь
сечения.
Задача № 4
В тетраэдре DABC AC=12; DB=9; O - точка пересечения медиан треугольника
ABC. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, которая проходит через точку
О и параллельна прямым AC и DB. Найдите площадь сечения, если угол между
прямыми AC и DB равен 60 o .
ПИСЬМЕННАЯ ЭКЗАМЕНАЦИОННАЯ РАБОТА