СД.Ф.12.1. Элементарная мат_Элементарные функции

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
“Мурманский государственный педагогический университет”
(МГПУ)
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕКИЙ КОМПЛЕКС
ДИСЦИПЛИНЫ
СД.12. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИКА: ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ.
ОСНОВНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ПРОГРАММА ПОДГОТОВКИ СПЕЦИАЛИСТА
ПО СПЕЦИАЛЬНОСТЯМ
050201 – математика с дополнительной специальностью
Утверждено на заседании кафедры
математического анализа и методики
преподавания математики
физико-математического факультета
(протокол № 9 от 9 июня 2010 г.)
Зав. кафедрой
_______________________________
Структура учебно-методического комплекса дисциплины
РАЗДЕЛ 1. Программа учебной дисциплины
Структура программы учебной дисциплины
1.1
1.2
Автор программы: старший преподаватель кафедры математик и МОМ Шупова Г.М..
Рецензенты: Иванчук Н.В., к.п.н., доцент кафедры математики и МОМ МГПУ, Беляев
Владимир Яковлевич кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры Высшей математики и ПО
ЭВМ МГТУ.
1.3
Пояснительная записка:
Цели: Ознакомление студентов с различными способами построения элементарных функций,
которые не изучаются в основном курсе математического анализа;
развитие логического мышления студентов;
повышение общего уровня математической культуры студентов.
Задачи: усвоение студентами основных принципов построения элементарных функций..
Место курса в общей системе подготовки специалиста: Данный курс тесно связан с курсом
математического анализа, а потому способствует закреплению и углублению знаний по этой
дисциплине и подготовке студента к государственному экзамену по основной
специальности. Материал курса может быть использован при проведении факультативных
занятий по математике в старших классах школ, лицеев и гимназий.
Требования к уровню освоения содержания дисциплины студентами Должны знать основные принципы построения элементарных функций;
Должны уметь решать задачи по изученному курсу.
При подготовке
использовалась авторская программа курса, опубликованная в
сборнике [1].
1.4 Извлечение (в виде ксерокопии) из ГОС ВПО.
1.5 Объем дисциплины и виды учебной работы
№
п/п
Шифр и
наименование
специальности
Курс
Семестр
5
9
Виды учебной работы в часах
Трудоем Всего
ЛК ПР/ ЛБ
Сам.
кость
аудит.
СМ
Работа
Вид
итогового
контроля
(форма
отчетности)
050201 –
1
математика с
дополнительной
специальностью
60
34
14
20
-
26
ЗАЧЕТ
1.6 Содержание дисциплины.
1.6.1 Разделы дисциплины и виды занятий (в часах). Примерное распределение учебного времени:
№
п/п
1
2
3
Наименование раздела, темы
Введение.
Глава 1.Построение элементарных функций с помощью
функциональных уравнений.
Глава 2. Построение элементарных функций с помощью
Всего
ауд.
2
Количество часов
Вариант 2
ЛК
ПР/
ЛБ
СМ
2
-
Сам.
раб
-
10
4
6
-
6
12
4
8
-
6
4
5
интеграла.
Глава 3. Построение элементарных функций с помощью
степенных рядов.
Глава 4. Построение элементарных функций с помощью
дифференциальных уравнений.
ВСЕГО
6
2
4
-
8
4
2
2
-
6
34
14
20
-
26
1.6.2 Содержание разделов дисциплины.
Введение: Понятие основных элементарных функций и элементарных функций. Построение
основных элементарных функций в курсе математического анализа. Обзор сведений из
математического анализа, необходимых для изложения изучаемой дисциплины.
Глава 1. Построение элементарных функций с помощью функциональных уравнений.
Определение линейной функции с помощью функционального уравнения f(x+y)=f(x)+f(y).
Определение показательной функции с помощью функционального уравнения
f(xy)=f(x)+f(y).Определение степенной функции с помощью функционального уравнения
f(xy)=f(x)f(y). Определение функции косинус с помощью функционального уравнения
f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y). Определение и свойства функций sin, tg и ctg.
Глава 2. Построение элементарных функций с помощью интеграла. Интегральное определение
логарифмической функции y=lnx, ее свойства и график. Число “e”. Определение функции
y=logax, ее свойства. Десятичные логарифмы. Характеристика числа x>0 и мантисса lg x.
Показательная функция y=ex, ее свойства и график. Определение функции y=ax (a>0, a1),
ее свойства и график. Действие со степенями вещественных чисел. Интегральное
определение функций arctg и arcctg, их основные свойства. Число “” и его вычисление.
Определения и свойства функций tg, ctg, sin, cos. Интегральные определения функций
arcsin и arccos. Гиперболические и обратные гиперболические функции.
Глава 3. Построение элементарных функций с помощью степенных рядов. Определение
показательной функции, косинуса и синуса с помощью степенных рядов.
Глава 4. Построение элементарных функций с помощью дифференциальных уравнений.
Построение с помощью дифференциальных уравнений
функций y=lnx, y=arctg x,
x
y=arcsin x, y=sin x, y=cos x, y=e .
1.6.3 Темы для самостоятельного изучения.
№
п/п
1
Наименование раздела
Дисциплины.
Тема.
Форма
самостоятельной
работы
Интегральное определение
логарифмической функции
и её свойства.
Доказать свойства
функции y=logax
Интегральное определение
показательной функции и
её свойства.
2
Интегральное определение
функции arcctg и ее
свойства.
Интегральное определение
функции ctg и ее свойства.
3
Интегральное определение
функций sin и cos и их
свойства.
Доказать свойства
действий над
степенями чисел и
монотонность
показ. функции.
Установить
свойства функции
arcctg.
Установить
свойства функции
ctg.
Установить
свойства функций
sin и cos.
Форма контроля
выполнения
самостоятельной
работы
Количество
Часов
Проверка на ПР.
2
Защита реферата.
Защита реферата.
2
Защита реферата.
Защита реферата.
2
Определить
тригонометрическ
ие функции на
основе arcsin и
arccos.
Установить
свойства
Гиперболические и
гиперболических и
обратные гиперболические
обратных
функции
гиперболических
функций.
Установить
Построение элементарных
свойства функций
функций с помощью
sin, tg, ctg исходя
функциональных
из свойств
уравнений.
функции cos.
Определение с
Построение элементарных
помощью
функций с помощью
степенных рядов
степенных рядов.
функций sin и cos.
Определение с
Построение элементарных
помощью
функций с помощью
дифференциальны
дифференциальных
х уравнений
уравнений.
функций sin и сos.
ВСЕГО:
Построение
тригонометрических
функций на основе arcsin и
arccos.
4
5
1.7
1.7.1
Защита реферата.
Защита реферата,
контрольная
работа.
2
Защита реферата.
Защита реферата.
2
Защита
рефератов.
10
Методические рекомендации по организации изучения дисциплины.
Тематика и планы аудиторной работы на практических занятиях
Практическое занятие № 1, 2, 3. Защита рефератов:
Определение
линейной,
показательной, логарифмической, степенной функций и функции косинус с помощью
функциональных уравнений. Установление свойств этих функций, определенных как
решения соответствующих функциональных уравнений. Литература: [2],[3],[5].
Практическое занятие № 4. Защита рефератов: Интегральное определение и свойства
функций lnx и logax. Число е. Характеристика и мантисса. Литература: [3],[5],[1].
Практическое занятие № 5. Защита рефератов: Показательная функция и её свойства.
Свойства действий над степенями вещественных чисел Литература: [1], [3], [6].
Практическое занятие № 6. Защита рефератов: Интегральное определение и свойства
функции arcctg. Свойства функции tg. Установление свойств функций синус и косинус
исходя из определения и свойств функции тангенс. Литература: [3],[5].
Практическое занятие № 7. Защита рефератов: Определение тригонометрических
функций на основе интегрального определения функций arcsin и arccos. Литература: [3].
Практическое занятие №
8. Защита рефератов: Определение
гиперболических и обратных гиперболических функций. Литература: [3].
и
свойства
Практическое занятие № 9. Защита рефератов: Определение некоторых элементарных
функций с помощью степенных рядов. Литература: [2],[3],[5].
Практическое занятие № 10. Защита рефератов: Определение некоторых элементарных
функций с помощью дифференциальных уравнений Литература: [1],[3],[5].
1.8
1.8.1
Учебно-методическое обеспечение дисциплины.
Рекомендуемая литература, учебные издания: Учебники и учебные пособия:
Основная:
[1]. Зотиков С.В. Программа курса по выбору и/или факультативного курса «Построение
элементарных функций».- Базис: Сборник научно-методических работ и нормативных
документов кафедры МА и МПМ МГПУ.- Мурманск: МГПУ, 2005, том 1, с. 42 -44.
Дополнительная:
[2]. Лихтарников Л. М. Элементарное введение в функциональные уравнения. – СПб.:
”Лань”, 1997.-160с.
[3]. Одинец В. П., Поволоцкий А. И. Построение элементарных функций: Учебное пособие –
СПб.: Образование, 1995 – 71с.
[4]. Виленкин Н. Я, Мордкович А. Г., Куницкая Е. С. Математический анализ. Интегральное
исчисление: Учебное пособие. – М.: Просвещение, 1998 – 142с.
[5]. Новоселов С. И. Специальный курс тригонометрии. – М.: Наука, 1957
[6]. Новоселов С. И. Специальный курс элементарной алгебры. – М.: Наука, 1958
1.9 Материально-техническое обеспечение дисциплины.
Не предусмотрено учебным планом.
1.10 Примерные зачетные тестовые задания: см. пункт 1.6.3
1.11 Примерный перечень вопросов к зачету: см. пункт 1.7.1.
1.12 Комплект экзаменационных билетов:
Экзамен по дисциплине не предусмотрен учебным планом
1.13 Примерная тематика рефератов.
Указано в пункте 1.7.1
1.14 Примерная тематика курсовых работ:
1)
2)
3)
4)
Построение элементарных функций с помощью интеграла.
Построение элементарных функций с помощью функциональных уравнений.
Построение элементарных функций с помощью степенных рядов.
Построение элементарных функций с помощью дифференциальных уравнений.
1.15 Примерная тематика квалификационных (дипломных) работ:
1) Построение элементарных функций с помощью интеграла.
2) Построение элементарных функций с помощью функциональных уравнений.
1.16 Методика исследования – изучение студентами рекомендуемой литературы и консультации
с преподавателем.
1.17 Бально-рейтинговая система, используемая преподавателем для оценивания знаний
студентов по данной дисциплине: “зачтено”, “не зачтено”
РАЗДЕЛ 2. Методические указания по изучению дисциплины и контрольные
задания для студентов заочной формы обучения.
Данная дисциплина не предусмотрена для заочной формы обучения.
РАЗДЕЛ 3. Содержательный компонент теоретического материала
Лекционный материал не предусмотрен учебным планом.
РАЗДЕЛ 4. Словарь терминов (глоссарий)
Функциональным называется уравнение относительно неизвестной функции.
Решением функционального уравнения называется всякая функция, обращающая
данное уравнение в тождество.
Функциональные уравнения Коши – это следующие уравнения
f(x+y)=f(x)+f(y), f(x+y)=f(x)f(y), f(xy)=f(x)+f(y), f(xy)=f(x)f(y).
Основные элементарные функции – это линейная, степенная, показательная,
логарифмическая, тригонометрические и обратно – тригонометрические функции.
Элементарными функциями называются функции, полученные из основных
элементарных функций и постоянных с помощью конечного числа арифметических
операций и композиций.
Функция называется непрерывной в точке, если её предел в этой точке равен
значению функции в данной точке.
Функция непрерывна на множестве, если она непрерывна в каждой точке данного
множества.
Функция дифференцируема на интервале, если в каждой точке этого интервала она
имеет конечную производную.
Функция F называется первообразной для функции f на данном интервале.
|
если всюду на этом интервале F(x) f (x).
Неопределённым интегралом от функции f называется множество всех первообразных
для этой функции:
 f (x) dx = F(x) + C
Для каждой непрерывной на [a,b] функции f существует определённый интеграл
b
 f (x)dx.
a
x
Определённый интеграл с переменным верхним пределом
f(t)dtF(x)определяет
a
непрерывную функцию F.
Теорема Барроу утверждает, что, если функция f - непрерывна на [a,b], то указанная выше
функция F является первообразной для функции f на данном отрезке.
РАЗДЕЛ 5. Практикум по решению задач по темам лекций.
Примеры решения задач.
Пример 1. Вывести формулу для натурального логарифма частного, зная правило
логарифмирования произведения.
Решение Имеем: lna.=ln(b(a/b))=lnb+ln(a/b), Отсюда получаем ln(a/b)=lna-lnb.
Пример 2. Вывести
основанием b.
формулу перехода от логарифмов с основанием а
к логарифмам с
lnx
Решение. Используя определение log
, получаем
a x
lna
1 ln
x
1

log
lnx
b
aln
log
b log
= ln
x.
a x
ba
lna
ln
b
Пример 3. Доказать, что, если 1<a<b, то при x>0 b x  a x , а при x<0 b x  a x .
Решение. Из условия имеем: lnb>lna>0. Поэтому при х>0 получаем
xlnb>xlna, а при x<0 --------- xlnb<xlna.
Остаётся воспользоваться строгим ростом логарифмической функции ln.
Тексты задач для самостоятльного решения.
Задача 1. Сравнить х-овые степени а и
b при
0<a<b<1.
Задача 2. Вывести свойства операций над степенями положительных чисел.
Задача 3. Доказать теорему сложения для функций тангенс и котангенс.
Задача 4. Вывести формулы сложения синусов и косинусов.
РАЗДЕЛ 6. Изменения в рабочей программе, которые произошли после утверждения
программы.
Характер
изменений в
программе
Не было
Номер и дата
протокола заседания
кафедры, на котором
было принято
данное решение
-
Подпись заведующего
кафедрой,
утверждающего
внесенное изменение
-
Подпись декана
факультета (проректора
по учебной работе),
утверждающего данное
изменение
-
РАЗДЕЛ 7. Учебные занятия по дисциплине ведут:
Ф.И.О., ученое
звание и степень
преподавателя
Шупова Г.М.,
старший
преподаватель
Шупова Г.М.,
старший
преподаватель
Учебный
год
Факультет
Специальность
2010-2011
ФМОИиП
050201 – математика с дополнительной
специальностью
2011-2012
ФМОИиП
050201 – математика с дополнительной
специальностью