Понятие об обратной функции. Логарифмы. Логарифмическая

1
Лекция 5.
11 класс.
Понятие об обратной функции. Логарифмы.
Логарифмическая функция, Логарифмические уравнения,
неравенства и системы.
Цель урока: Знать понятие обратной функции. Уметь задавать область
определение и область значение для обратной функции. Формулу обратной
функции и построение графика обратной функции. Знать определение
логарифмической функции, построение графика, свойства логарифмической
функции. Уметь использовать свойства при решении уравнений и
неравенств.
1. Понятие обратной функции.
f(x) = x5.
D(f) = R, E(f) = R.
Одному значению х соответствует одно значение функции и наоборот.
Функция возрастающая, следовательно, существует обратная функция. Где
D(q)=R , E(q)=R.
Способ задания: меняем х на у, у на х и выражаем у через х.
5
5
У=х5, х=у5, у= √х, q(x)= √х, x∈ 𝑅, 𝑦 ∈ 𝑅.
Построение графика
y
У =х
5
q(x) = √х
0
f( x )=x5
𝜋 𝜋
У=sin х D(f) = [− ; ] , Е(f) = [−1; 1].
2 2
x
2
Одному значению х соответствует одно значение функции и наоборот.
Функция возрастающая, следовательно, существует обратная функция.
𝜋 𝜋
Где D(q)= [−1; 1], Е(f) = [− ; ].
2 2
𝜋 𝜋
Х=sin у, у=arcsin x, q(x) = arcsin x, где D(q)= [−1; 1], Е(f) = [− ; ].
2 2
Построение графика.
y
y =х
1
−
𝜋
2
У=sin х
𝜋
2
0
x
у=arcsin x
2. Показательная функция ⇔ Логарифмическая функция.
У=ах
D(f)=R,
E(f)=R+
⇔ у = log а х
D(f)=R+,
E(f)=R .
х=ау , у== log а х.
Если а> 1, то функции возрастающие.
Если 0 < а < 1, то функции убывающие.
y
y 10
10
8
8
y=2𝑥
1
y=(2)𝑥
y =х
6
y =х
6
4
4
y = log 2 х.
2
2
0
-4
-2
0
-2
2
4
6
8
10
x
0
-4
-2
0
2
4
6
8
-2
-4
-4
10
x
y = log 1 х.
2
3
Докажем, что если а> 1, то функции возрастающие.
Пусть х1<х2. Доказать, что log а х2 > log а х1 .
Предположим, что log а х2 ≤ log а х1 . Так как у=ах при а> 1возрастает из
неравенства следуетаlogа х2 ≤ аlogа х2 , но аlogа х2 = х2 и аlogа х1 = х1 ( по
определению логарифма), то есть х2 ≤ х1 , что противоречит условию х1<х2.
log а 1 = 0 ⇒ а0 = 1.
а> 1 при х >
1 логарифмическая функция принимает положительные значения ,
а при 0 < а < 1 отрицательные.
Пример 1.
Найдите область определения функции f( x )=log 4 (3х − 2).
3х-2> 0,
3х > 2,
2
х> ,
3
2
(3 ; ∞).
Пример 2.
Сравните
числа
log 4 5 и log 4 8.
Так
как
а>
1 функция возрастающая, следовательно х1<х2 и log а х1 < log а х2 , поэтому
log 4 5 < log 4 8.
Пример 3.
Что больше log 2 3 + log 2 7 или log 2 (3 + 7)?
log 2 21 > log 2 10.
3.Понятие логарифма.
ах = в, где а> 0, а ≠ 1.
Уравнение не имеет решения, если в≤ 0.
Уравнение имеет единственное решение, если в> 0.
Этот корень называют логарифмом в по основанию а и обозначают
log а в , то есть аlogа в = в, в > 0, а > 0, а ≠ 1. Это основное
логарифмическое тождество.
4
Определение.
Логарифмом числа в по основанию а называется показатель степени, в
которую надо возвести основание а, чтобы получить число в.
ах = в ⇔ х = log а в.
Пример 1.
9х = 81 , х=2.
log 9 81=х ,
Пример 2.
х
1
х
1
х
log √2 = х (√2) = ; 22 = 2−2 ; = −2; х=-4.
4
4
2
Пример 3.
log 2 в = 5; в = 25 ; в = 32.
4.Основные свойства логарифмов.
Смотри таблицу свойств в справочнике для 11 класса.
Доказательство свойства:
log а(ху) = log а х + log а у.
Xу =аlogа х × аlogа у =аlogа х+logа у
log а ( ху) = log а аlogа х+logа у = log а х + log а у.
log а хр = р log а х.
р
Х=аlogа х ; хр = (аlogа х ) = арlogа х ; log а хр = log а арlogа х = р log а х.
Пример 1.
log 4 5 =
lg 5 0,6990
=
lg 4 0,6021
=1,161.
Пример 2.
а= log 2 5 и в = log 2 3
Выразить log 2 100 через а и в.
log 2 (3 × 52 × 22 )=log 2 3 + 2 log 2 5 + 2 log 2 2=в+2а+2.
5
Пример 3.
4
Прологарифмируйте выражение: 4а5 √с3 . Через log 2 а и log 2 с.
4
3
4
log 2 (4а5 √с3 ) = log 2 4 + log 2 а5 + log 2 √с3 = 2 + 5 log 2 а + log 2 с.
4
Пример 4.
Найти х, если log 3 х = log 3 5 + 3 log 3 4 − 2 log 3 2.
log 3 х = log 3 5 + log 3 43 − log 3 22 = log 3
5×64
4
=log 3 80,
Х=80.
Пример 5.
Найти значение выражения.
lg 72−lg 9
lg 28−lg 7
=
lg 8
lg 4
=
3 lg 2
2 lg 2
3
= = 1,5.
2
5.Решение логарифмических уравнений и неравенств.
1) log 3 (𝑥 2 + 6х + 20) = 3.
2
х = −7
.
{ 𝑥2 + 6х + 20 > 0 ; 𝑥 2 + 6х + 20 = 27; 𝑥 2 + 6х − 7 = 0; |
х=1
𝑥 + 6х + 20 = 27
Ответ: -7; 1.
2) log х (𝑥 2 − 2х + 2) = 1.
𝑥 2 − 2х + 2 > 0 (0;
(0; 1) ∪ (1; ∞)
1) ∪ (1; ∞)
;{
; х=2.
{ х > 0, х ≠ 1 ; { 2
х=2
𝑥 − 3х + 2 = 0
2
х=1
𝑥 − 2х + 2 = х
Ответ: 2.
3) (log 5 х)2-log √5 х − 3 = 0.
log 5 х=а.
а2-2а-3=0;
log 5 х = 3 х = 125
а=3
1 , т. к. х> 0, то оба
|
;|
;|
а = −1 log 5 х = −1 х = 5
значения являются решениями уравнения
Ответ: 0,2 и 125.
6
4) 71−2х = 5.
log 7 71−2х = log 7 5; 1-2х=log 7 5; -2х=log 7 5 − 1; х=0,5-0,5log 7 5.
Ответ: 0,5-0,5log 7 5.
5) log 2 (𝑥 2 − х − 12) < 3.
х>4
2
2
(х − 4)(х + 3) > 0
|
𝑥
−
х
−
12
>
0
𝑥
−
х
−
12
>
0
; {
; {
; { х < −3 ;
{ 2
𝑥 − х − 12 < 8 𝑥 2 − х − 20 < 0 (х + 4)(х − 5) < 0 −4 < х < 5
(-4;-3)∪ (4; 5).
Ответ: (-4;-3)∪ (4; 5).
х=7
{
х + у = 16
у=9
log 4 (х + у) = 2
6) {
; {
; |
.
х=9
ху = 63
log 3 х + log 3 у = 2 + log 3 7
{
у=7
Ответ: (7;9), (9;7).