09-14-01

Тема 14. Элементы геометрии Лобачевского
В этой теме вы познакомитесь с геометрией Лобачевского, отличной от геометрии
Евклида. Будет рассмотрена симметрия относительно Евклидовой окружности, а ее
свойства будут использованы при решении задач на построение в плоскости Лобачевского
на модели Пуанкаре.
09-14-01. Симметрия относительно прямой и окружности
Теория
1.1.* Мы знаем, что различные точки A и A1 называются симметричными
относительно прямой a в заданной плоскости, если отрезок AA1 перпендикулярен
прямой a и делится прямой a пополам (рисунок 1). Каждая точка прямой a симметрична
сама себе.
Определим теперь симметрию относительно окружности.
Пусть дана окружность радиуса r с центром O и точка A , отличная от точки O .
Будем обозначать эту окружность буквой
.
Точка A1 , симметричная точке A относительно окружности  , строится
следующим образом.
Рассмотрим три возможных случая.
Первый случай. Пусть точка A лежит вне окружности. Тогда проведем касательную
AB к окружности и из точки касания B опустим перпендикуляр на луч OA . Основание
A1 этого перпендикуляра и есть искомая точка, симметричная точке A относительно
данной окружности (рисунок 2).
Второй случай. Пусть точка A лежит внутри окружности  . Тогда к лучу OA в
точке A восстанавливаем перпендикуляр до пересечения с окружностью в некоторой
точке B , а затем через точку B проведем касательную BA1 к окружности до пересечения
с лучом OA . Точка A1 и есть искомая точка, симметричная точке A относительно данной
окружности.
Третий случай. Пусть точка A лежит на окружности  . Тогда точка симметрична
самой себе, то есть A1 совпадает с A .
Сравнивая рисунки 2 и 3, видим, что если точка A1 симметрична точке A , то и точка
A также симметрична точке A1 , то есть точки A и A1 взаимно симметричны
относительно окружности.
1.2.* На рисунке 2 радиус OB перпендикулярен касательной AB . Поэтому OA1 есть
проекция катета OB прямоугольного треугольника ABO на гипотенузу OA .
Следовательно, для точек A и A1 выполняется соотношение
OA  OA1  OB 2  r 2 
Для точки A , лежащей на данной окружности  , симметричная ей точка A1
совпадает с точкой A , а поэтому также выполняется соотношение
OA  OA1  OB 2  r 2 
Следовательно, симметрию относительно данной окружности можно определить как
преобразование, при котором каждая точка A , отличная от точки O переходит в точку A1
на луче OA такую, что OA  OA1  r 2 (рисунок 4).
Если для каждой точки A фигуры F построить точку A1 , симметричную A
относительно данной окружности  , то получим фигуру F1 , симметричную фигуре F
(рисунок 5).
Говорят также, что F преобразуется в F1 при симметрии относительно
окружности.
1.3.* Перейдем к изучению основных свойств симметрии относительно окружности,
которые потребуются в дальнейшем.
Так как симметрия относительно окружности не определяется для центра O этой
окружности, то всюду в дальнейшем будем предполагать, что при преобразовании любой
геометрической фигуры мы точку O не рассматриваем.
Свойство 1. Прямая, проходящая через точку O , при симметрии относительно
окружности преобразуется в себя.
Доказательство. Рассмотрим на рисунке 6 прямую a . Из определения симметрии
относительно окружности любая точка A этой прямой переходит в точку A1 луча OA , то
есть в точку этой же прямой. В результате сможем получить любую точку B прямой a ,
потому что при симметрии относительно окружности  в точку B перейдет точка B1 ,
симметричная точке B .
r2
Из равенства OA1  OA
видно, что если точка A будет неограниченно удаляться вдоль
прямой OC вправо от точки C , то симметричная ей точка A будет двигаться влево от
точки C , приближаясь к точке O .
Свойство 2. Пусть точка A1 симметрична точке A и точка B1 симметрична точке B
относительно окружности. Тогда
OAB  OB1 A1иOBA  OA1B1
Доказательство. Рассмотрим рисунок 7 Из равенства OA  OA1  r 2 и OB  OB1  r 2
получим равенство OA  OA1  OB  OB1 , откуда OA  OB  OB  OA . Следовательно,
треугольники OAB и OB1 A1 , имеющие общий угол AOB , подобны. Указанные углы в
этих треугольниках соответственные, а поэтому равны.
1.4.* Продолжим рассматривать свойства симметрии относительно окружности.
Свойство 3. Прямая, не проходящая через точку O , при симметрии преобразуется в
окружность, проходящую через точку O .
Доказательство. Рассмотрим прямую l , как на рисунке 8. Опустим на эту прямую
перпендикуляр OA из центра O . Построим для точки A симметричную ей точку A1 , и на
отрезке OA1 , как на диаметре, построим окружность S .
Проведем с началом в точке O любой луч, пересекающий прямую l в некоторой
точке B . Построим для точки B симметричную ей точку B1 . По свойству 2 имеем
равенство OB1 A1  OAB  90 . Следовательно, точка B1 лежит на окружности S .
Указанным построением можем получить любую точку B1 окружности (за
исключением точки O ), поэтому прямая l при симметрии преобразуется в окружность S .
Иногда в этом случае говорят, что при симметрии относительно окружности образом
прямой l является окружность S .
Так как при симметрии относительно окружности соответствующие друг другу точки
взаимно симметричны, то выполняется свойство, обратное свойству 3:
Свойство 4. Окружность, проходящая через точку O , преобразуется при симметрии в
прямую, не проходящую через точку O .
1.5.* Продолжаем изучение свойств симметрии относительно окружности.
Свойство 5. Окружность, не проходящая через точку O , преобразуется при
симметрии в окружность, также не проходящую через точку O .
Доказательство. Пусть дана окружность l , не проходящая через точку O
(рисунок 10). Через точку O и центр окружности l проведем прямую.
Пусть она пересечет l в точках A и B . Для точек A и B построим симметричные им
точки A1 и B1 и на отрезке A1 B1 , как на диаметре, опишем окружность l1 .
Проведем любой луч с началом в точке O , пересекающий окружность l . Рассмотрим
одну из точек пересечения — точку C . Построим для нее симметричную точку C1 . По
свойству 2 имеем равенства:
OAC  OC1 A1 OBC  OC1B1
Вычитая из первого равенства второе, получим
ACB  A1C1B1
Следовательно, A1C1 B1  90 , и поэтому точка C1 лежит на окружности l1 .
Указанным построением можно получить любую точку C1 окружности l1 . Значит,
окружность l1 является образом окружности l при симметрии относительно окружности с
центром O .
Из рисунка 10 можно получить, что если D — другая точка пересечения луча OC с
окружностью l , то симметричная ей точка D1 является второй точкой пересечения луча
OC с окружностью l1
1.6.* При симметрии относительно окружности две различные точки переходят в две
различные точки. Отсюда следует, что общие точки двух фигур F и G переходят в
общие точки симметричных им фигур F1 и G1 . При этом других общих точек фигуры F1 и
G1 не имеют (напомним, что точки O исключается из рассмотрения).
1.7.* Разберем случай преобразования окружности l , когда окружность l пересекает
окружность

в точках A и B , причем радиус OA перпендикулярен радиусу FA
окружности l , проведенному в точку A . В этом случае касательные к окружностям  и
l в точке A будут перпендикулярны друг другу. Поэтому говорят, что окружность l
перпендикулярна окружности с центром O (рисунок 11). Иногда в этом случае говорят,
что окружность l ортогональна окружности с центром O .
Свойство 6. Окружность l , ортогональная окружности  , преобразуется при
симметрии в себя, причем ее внешняя дуга преобразуется во внутреннюю дугу и
наоборот.
Доказательство. Пусть при симметрии относительно окружности  окружность l
переходит в окружность l1 . Поскольку прямая OA — касательная к окружности l , то она
должна быть касательной и к l1 . Таким образом, окружность l1 должна пройти через точки
A и B и иметь в точке A касательную O A. Следовательно, центр окружности l1 должен
лежать на перпендикуляре к OA , проведенном через точку A , и на линии центров,
которая является серединным перпендикуляром к отрезку AB . Значит, центр окружности
l1 совпадает с центром окружности l .
1.8.** Рассмотренное в этом параграфе преобразование симметрии относительно
окружности иногда называют инверсией. Пусть O -центр окружности
Для инверсии относительно окружности
k  r 2 называют степенью инверсии.

, r
– - ее радиус.
точку O называют центром инверсии, число
Контрольные вопросы
1. Как построить точку, симметричную данной точке A относительно данной
окружности?
2. Как построить циркулем и линейкой фигуру, симметричную данной прямой
относительно данной окружности?
3. Как построить циркулем и линейкой фигуру, симметричную данной окружности
относительно другой данной окружности?
Задачи и упражнения
1. Построить фигуру, симметричную данной прямой l относительно окружности,
касающейся прямой l .
2. В правильный треугольник вписана окружность. Во что преобразуются стороны
треугольника при симметрии относительно вписанной окружности? Выполнить точные
построения.
3. Две окружности имеют общую хорду. Когда они симметричны одна другой
относительно третьей окружности, проходящей через концы хорды?
4. Две окружности пересекаются в точках A и B и каждая из них ортогональна к
окружности с центром O . Доказать, что точки пересечения A и B симметричны друг
другу относительно окружности с центром O .
Ответы и указания
Задача 1. Постройте фигуру, симметричную данной прямой l относительно
окружности, касающейся прямой l .
Указание. Воспользуйтесь свойством 3 симметрии относительно окружности, которая по
условию касается прямой l .
Задача 3. Две окружности имеют общую хорду. Когда они симметричны одна другой
относительно третьей окружности, проходящей через концы хорды?
Указание. Пусть A и B — концы хорды и  — окружность, проходящая через точки A ,
B . Рассмотрите теперь две окружности k и l , которые проходят также через точки A и
B и симметричны друг другу относительно  . При симметрии относительно 
внешняя дуга AB окружности l переходит во внутреннюю дугу окружности k .
Следовательно, угол с вершиной A , образованной внешней дугой AB окружности l с
дугой AB окружности  , преобразуется при симметрии относительно  в угол с той
же вершиной A , образованный внутренней дугой AB окружности k с дугой AB
окружности
 . Поэтому угол между касательными в точке
A к окружностям l и
равен углу между касательными в точке A к окружностям k и
.

Таким образом,
касательная к  в точке A делит пополам угол между касательными в той же точке A к
окружностям k и l . Обратно, если это условие выполняется, то k и l симметричны
относительно  .
Задача 4. Две окружности пересекаются в точках A и B и каждая из них ортогональна
окружности с центром O . Докажите, что точки пересечения A и B симметричны друг
другу относительно окружности с центром O .
Указание. Докажите сначала, что окружность, ортогональная окружности с центром
O , симметрична самой себе относительно окружности с центром O .