Тема «Четные и нечетные функции».

Четные и нечетные функции
1. Чётные функции.
Определение. Функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) называется чётной, если выполнены
следующие два условия:
1. если 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓), то и −𝑥 ∈ 𝐷(𝑓)
2. 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) для любого 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓),
Первое условие требует, чтобы область определения функции была
симметрична относительно нуля. Поэтому, например, областью определения
четной функции не может быть, отрезок [−3; 4], поскольку он не
симметричен относительно нуля. Действительно, точка 4
принадлежит
отрезку, а противоположная точка, −4, не принадлежит. Заметим, что если
𝐷(𝑓) = 𝑅, то условие 1 выполняется автоматически.
Второе условие определения означает, что в противоположных точках
функция принимает равные значения.
Пример 1. Доказать, что у = |𝑥| является четной функцией.
Решение. Первое условие определения четной функции выполнено,
поскольку 𝐷(𝑓) = 𝑅. Проверим второе условие: 𝑓(−𝑥) = |−𝑥| = |𝑥| = 𝑓(𝑥).
Оно также выполнено. Значит, функция четная.
Пример 2. Выяснить, является ли функция у = √𝑥 четной.
Решение. Областью определения функции является луч [0; +∞). Так
как область определения не симметрична относительно нуля, то функция не
является четной.
Пример 3. Доказать, что у = 𝑥 2 является четной функцией.
Решение. Учитывая, что 𝐷(𝑓) = 𝑅, проверяем выполнение второго
условия
определения
четной
функции:
𝑓(−𝑥) = (−𝑥)2 = 𝑥 2 = 𝑓(𝑥).
Поскольку оно выполняется, то функция у = 𝑥 2 – четная.
Аналогично доказывается четность функций у = 𝑥 4 , у = 𝑥 6 и всех
функций вида у = 𝑥 2𝑛 , 𝑛 ∈ 𝑁. Если показатель степени – число четное, то и
функция – четная.
Пример 4. Определить, является ли функция у =
𝑥 3 −𝑥
𝑥 3 +𝑥
четной.
Решение. В область определения функции входят те значения 𝑥, при
которых знаменатель не равен нулю 𝑥 3 + 𝑥 ≠ 0. Так как 𝑥 3 + 𝑥 = 𝑥(𝑥 2 + 1),
то
𝐷(𝑓) = (−∞ ; 0) ∪ (0 ; +∞).
Таким
образом,
область
определения
симметрична относительно нуля. Проверим выполнение равенства 𝑓(−𝑥) =
𝑓(𝑥):
𝑓(−𝑥) =
(−𝑥)3 −(−𝑥)
(−𝑥)3 +(−𝑥)
=
−𝑥 3 +𝑥
−𝑥 3 −𝑥
=
𝑥 3 −𝑥
𝑥 3 +𝑥
= 𝑓(𝑥).
Значит, заданная функция – четная.
Пример 4. Доказать, что функция у = 𝑥 + 2 не является четной.
Решение. Область определения функции симметрична относительно нуля,
так как 𝐷(𝑓) = 𝑅. Поэтому, нужно доказать, что равенство 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) не
выполняется при некоторых значениях 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓). Сделать это можно одним
из двух способов:
1. найти хотя бы одно значение 𝑥0 , такое, что 𝑓(−𝑥0 ) ≠ 𝑓(𝑥0 ). Можно
взять, например, 𝑥 равным 1. Тогда 𝑓(1) = 3, в то время как 𝑓(−1) = 1.
Поэтому 𝑓(−1) ≠ 𝑓(1).
2. найти все значения 𝑥, для которых выполняется равенство 𝑓(−𝑥) =
𝑓(𝑥), то есть решить уравнение −𝑥 + 2 = 𝑥 + 2. Получаем 2𝑥 = 0, 𝑥 = 0.
Поэтому равенство 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) выполняется только для одного, а не для
всех значений 𝑥 ∈ 𝑅.
Отметим, что наличие свойства четности
у функции существенно
влияет на вид графика этой функции. Имеет место следующая теорема.
Теорема 1. График четной функции симметричен относительно оси
ординат.
Пусть
𝑦 = 𝑓(𝑥)
-
четная
функция.
Рассмотрим
точку
𝐹,
принадлежащую графику функции и имеющую абсциссу 𝑥0 . Тогда ордината
точки 𝐹 равна 𝑦0 = 𝑓(𝑥0 ). Нам нужно доказать, что точка 𝐹 ′ , симметричная
точке 𝐹 относительно оси ординат 𝑂𝑦, также принадлежит графику функции
𝑦 = 𝑓(𝑥)(рис. 2). Точка 𝐹 ′ имеет координаты (−𝑥0 ; 𝑦0 ). Она также
принадлежит графику функции 𝑦 = 𝑓(𝑥), так как ее координаты, (−𝑥0 ; 𝑦0 ),
удовлетворяют уравнению 𝑦 = 𝑓(𝑥). Это следует из четности функции
𝑓(−𝑥0 )=𝑓(𝑥0 ) = 𝑦0 .
Поскольку вместе с любой своей точкой график содержит также и
симметричную ей относительно оси 𝑂𝑦 точку, то график четной функции
симметричен относительно оси ординат (рис.2).
Рисунок 2
2Рисунок
1
Из теоремы следует, что для построения графика четной функции
достаточно построить часть графика этой функции для значений аргумента
𝑥 ≥ 0 или 𝑥 ≤ 0. Оставшаяся часть графика получается в результате
симметрии относительно оси 𝑂𝑦 уже построенной части графика.
На рисунках 2a-2c приведены примеры графиков четных функций.
Рисунок 2a
Рисунок 2b
Отметим, что верным является и
утверждению теоремы 1:
Рисунок 2c
утверждение, обратное к
Если график функции у = 𝑓(𝑥) симметричен относительно оси
ординат, то функция у = 𝑓(𝑥) является четной.
Действительно, если две точки графика 𝐹
и 𝐹 ′ симметричны
относительно оси 𝑂𝑦, то они имеют противоположные абсциссы, 𝑥 и −𝑥, и
равные ординаты, 𝑓(𝑥) и 𝑓(−𝑥). (рис.1). Это означает, что 𝑓(𝑥) = 𝑓(−𝑥), то
есть у = 𝑓(𝑥) — четная функция.
2. Нечётные функции.
Определение. Функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) называется нечётной, если выполнены
следующие два условия:
1. если 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓), то и −𝑥 ∈ 𝐷(𝑓)
2. 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥) для любого 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓)
Как и в случае четной функции, первое условие требует, чтобы область
определения функции была симметрична относительно нуля. Второе условие
означает,
что
в
противоположных
точках
функция
принимает
противоположные значения.
Пример 5. Доказать, что у = 𝑥 3 является нечетной функцией.
Решение. Так как 𝐷(𝑓) = 𝑅, то первое условие определения выполнено.
Проверим выполнение второго условия определения нечетной функции:
𝑓(−𝑥) = (−𝑥)3 = −𝑥 3 = −𝑓(𝑥). Утверждение доказано.
Точно также доказывается нечетность функций у = 𝑥 5 , у = 𝑥 7 , то
есть всех функций вида у = 𝑥 2𝑛+1 , 𝑛 ∈ 𝑁. Таким образом, если показатель
степени – число нечетное, то и функция – нечетная.
Пример 6. Определить, является ли функция у = 𝑥 3 |𝑥| − 𝑥 нечетной.
Решение. Областью определения функции является вся числовая
прямая, поэтому первое условие определения выполнено. Проверим
выполнение второго условия, для чего сравним два выражения 𝑓(−𝑥) и
−𝑓(𝑥):
 𝑓(−𝑥) = (−𝑥)3 |−𝑥| − (−𝑥) = −𝑥 3 |𝑥| + 𝑥.
 −𝑓(𝑥) = −𝑥 3 |𝑥| + 𝑥
Таким образом, равенство 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥) выполняется для всех
значений 𝑥 и поэтому заданная функция является нечетной.
Для нечетных функций, так же как и для четных, имеет место теорема,
применение которой позволяет упростить построение графиков нечетных
функций.
Теорема 2. График нечетной функции симметричен относительно
центра координат.
Пусть 𝑦 = 𝑓(𝑥) - нечетная функция. Рассмотрим точку графика
функции 𝐹 с абсциссой 𝑥0 . Тогда ее ордината равна 𝑦0 = 𝑓(𝑥0 ). Построим
точку 𝐹 ′ , симметричную точке 𝐹
относительно начала координат.
Координаты точки 𝐹 ′ противоположны координатам точки 𝐹 и равны
Рисунок 3
Рисунок 4
(−𝑥0 ; −𝑦0 ) (рис.3). Точка 𝐹 ′ также принадлежит графику функции 𝑦 =
𝑓(𝑥), так как ее координаты, (−𝑥0 ; −𝑦0 ), удовлетворяют уравнению 𝑦 =
𝑓(𝑥). Это следует из нечетности функции 𝑓(−𝑥0 )=−𝑓(𝑥0 ) = −𝑦0 .
Таким образом, вместе с любой своей точкой график содержит также и
точку, симметричную ей относительно центра координат. Это значит, что
график нечетной функции симметричен относительно центра координат
(рис.4).
Из теоремы следует, что график нечетной функции, так же как и
график четной, удобно строить по частям. Сначала нужно построить ту часть
графика нечетной функции, которая расположена правее, или, наоборот,
левее оси 𝑂𝑦. Вторую часть графика получают симметрией относительно
центра координат уже построенной части графика.
Отметим, что на практике, для осуществления симметрии линии
относительно центра координат, часто пользуются следующим приемом:
сначала эту линию симметрично отражают относительно оси 𝑂𝑦, а затем
полученную линию симметрично отражают относительно оси 𝑂𝑥 (рис.5).
Рисунок 6
Рисунок 5
В итоге получается тот же результат, что и при симметрии линии
относительно центра координат (рис. 6).
Утверждение, обратное к утверждению теоремы 2, тоже верно:
Если график функции у = 𝑓(𝑥) симметричен относительно центра
координат, то функция у = 𝑓(𝑥) является нечетной.
Действительно, если две точки графика 𝐹
и 𝐹 ′ симметричны
относительно центра координат, то они имеют противоположные абсциссы и
противоположные ординаты (рис.3). Это означает, что 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥), то
есть у = 𝑓(𝑥) является нечетной функцией.
Докажем,
что
множество
значений
любой
нечетной
функции
симметрично относительно нуля. Пусть 𝑐 ∈ 𝐸(𝑓), то есть 𝑐 = 𝑓(𝑥0 ) для
некоторого значения 𝑥0 ∈ 𝐷(𝑓). Тогда в силу нечетности функции 𝑓 имеем
𝑓(−𝑥0 ) = −с. Последнее равенство означает, что и число
−с
также
принадлежит множеству значений функции и, значит, 𝐸(𝑓) симметрично
относительно нуля. Поэтому, например, отрезок [−3; 3] может оказаться
множеством значений какой-либо нечетной функции, а отрезок [−3; 2]-нет.
На рисунках 6a-6c приведены примеры графиков нечетных функций.
Рисунок 6a
Рисунок 6b
Рисунок 6c
Отметим, что когда ставится вопрос об исследовании функции
3.
на четность, то имеется в виду, что нужно ответить на два вопроса:
 является ли данная функция четной?

является ли данная функция нечетной?
Если оба ответа отрицательны, то говорят, что функция не является ни
четной, ни нечетной.
Пример. Исследовать на четность функцию 𝑦 = 𝑥 2 + 𝑥
Решение. Так как область определения функции – вся числовая ось, то
она симметрична относительно нуля. Поскольку 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 𝑥, то 𝑓(−𝑥) =
𝑥 2 − 𝑥. Проверим, выполняется ли для всех действительных чисел какоелибо из двух равенств 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) (1), 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥) (2), то есть условие
четности или нечетности функции, соответственно.

𝑓(𝑥) = 𝑓(−𝑥) равносильно 𝑥 2 + 𝑥 = 𝑥 2 − 𝑥, 2𝑥 = 0, 𝑥 = 0. Равенство
(1) выполняется только при одном значении аргумента.
 𝑓(𝑥) = −𝑓(−𝑥)
равносильно
𝑥 2 + 𝑥 = −𝑥 2 + 𝑥,
2𝑥 2 = 0, 𝑥 = 0.
Равенство (2) также выполняется только при одном значении аргумента.
Функция y = x 2 + x не является ни четной, ни нечетной.
Упражнения
1. Определите, может ли область определения четной или нечетной
функции иметь вид:
2.
a)
c)
e)
g)
Среди
[−7; 7]
b) [−5; 5)
[−2; 1) ∪ (1; 2]
d) [−3; 0) ∪ (0; 3]
[−1; 0) ∪ (0; 1)
f) (−∞ ; 0)
h) [−6; 4]
(−∞ ; +∞)
функций,
определенных
на
множестве
всех
действительных чисел, найдите все функции, которые одновременно
являются и четными и нечетными. Ответ. 𝑦 = 0
3.
Среди линейных функций найдите все функции являющиеся а)
четными; б) нечетными
4.
Может ли множество значений нечетной функции иметь вид
a) [2; 3]
c) (−∞ ; +∞)
e) [−1; 0) ∪ (0; 1)
5.
b) [−4; 4)
d) [−3; 0) ∪ (0; 3]
f) (−∞ ; 0)
Нечетная функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) определена на всей числовой
прямой. Может ли оказаться, что 𝑓(0) = 2.
Ответ: Нет, не может, так как 𝑓(0) = 0.
6.
При условии, что области определения функций совпадают,
исследуйте на четность сумму, произведение и частное
a) двух четных функций
b) двух нечетных функций
c) четной и нечетной функции
7. Нечетная функция y = f(x) определена на всей числовой прямой. Для
всякого неотрицательного значения переменной х значение этой функции
совпадает со значением функции g(x) = x(2x + 1)(x − 2)(x − 3). Сколько
корней имеет уравнение f(x) = 0? Ответ: 5
8.
Исследуйте на четность следующие функции
a) 𝑦 =
|𝑥|+1
𝑥2
b) 𝑦 = 𝑥(5 − 𝑥)
c) 𝑦 = 𝑥 2 (3𝑥 − 𝑥 3 )
d) 𝑦 = √𝑥 2 − 2𝑥 4
2
e) 𝑦 = √𝑥 − 2𝑥 4
g)
9. На
f)
1
h)
𝑥 2 −1
рисунке
изображена
часть
1
𝑥+1
1
𝑥 3 −1
графика
функции
𝑦 = 𝑓(𝑥),
расположенная правее оси ординат, при этом 𝐷(𝑓) = [−5; 0) ∪ (0; 5]
.
Нарисуйте график функции 𝑦 = 𝑓(𝑥), если известно, что она является a)
четной, b) нечетной.
Рисунок
Рисунок 1
Дополнительные задания
1. Существуют ли функции, определенные на множестве
действительных чисел, которые одновременно являются
а) четными и возрастающими;
б) нечетными и убывающими;
в) нечетными и положительными?
Ответ. a) нет б) да в) нет.
всех
2. При каком значении 𝑎 функция 𝑦 = 𝑥 2 (𝑎𝑥 + 2𝑎 − 6) является а)
четной, б) нечетной
Ответ. a) 𝑎 = 0, б) 𝑎 = 3
3. Пусть 𝑓 - произвольная функция, область определения которой
симметрична относительно нуля. Докажите, что
a) функция 𝑦 =
b) функция 𝑦 =
𝑓(𝑥)+𝑓(−𝑥)
2
𝑓(𝑥)−𝑓(−𝑥)
2
является четной;
является нечетной;
c) функцию 𝑓 можно представить в виде суммы четной и нечетной
функций, причем сделать это можно единственным образом.