Сложная функция 1. Если задана некоторая функция 𝑦 = 𝑓(𝑥), например, 𝑦 = 2𝑥 + 1 , то это значит, что задано правило соответствия 𝑓. Это правило предписывает произвести над значением аргумента 𝑥 определенные действия, а именно, в нашем случае, умножить его на 2 и затем к произведению прибавить 1. В итоге получаем определенное число - соответствующее значение функции 𝑓(𝑥). Так, если 𝑥 = 0, то 𝑓(0) = 2 ∙ 0 + 1 = 1, а если 𝑥 = 1 + √2, то 𝑓(1 + √2) = 2 ∙ (1 + √2) + 1 = 2√2 + 3. При 𝑥 = 𝑎 получаем 𝑓(𝑎) = 2𝑎 + 1. Областью определения функции является числовое множество, в нашем примере – это 𝑅. Рассмотрим следующее выражение 𝑓(t 2 + 1), в котором вместо аргумента данной функции подставляется некоторая функция от другого аргумента, а именно 𝜑(𝑡) = t 2 + 1. Можно записать это выражение в виде 𝑓(𝜑(𝑡)). Таким образом, мы имеем «функцию от функции». Аргументом этой новой функции является переменная t. Значения функции 𝑓(t 2 + 1), то есть 𝑓(𝜑(𝑡)), вычисляются следующим образом. Берется значение аргумента t, например, равное 2, и находится значение функции 𝜑(𝑡) = t 2 + 1 при t = 2. Имеем 𝜑(2) = 22 + 1 = 5. Далее вычисляем значение функции 𝑓 при 𝑥 = 5. Получаем 𝑓(5) = 2 ∙ 5 + 1 = 11. Таким образом, 𝑓(𝜑(2)) = 11. Для произвольного значения t имеем 𝜑(𝑡) = t 2 + 1 , то есть 𝑥 = t 2 + 1, значит f(t 2 + 1) = 2(t 2 + 1) + 1 = 2t 2 + 3 (1). Поэтому формула функции 𝑓(𝜑(𝑡)) имеет вид 𝑦 = 2t 2 + 3. Отметим, что фактически в(1) были проделаны те действия, которые предусматриваются правилом f, однако эти действия были проделаны не над аргументом х, а над выражением t 2 + 1. Функция 𝑓(𝜑(𝑡)) получена в результате описанной операции называется сложной. Термин «сложная» используется здесь в смысле «составная», то есть сложная функция составлена из других функций. Дадим точное определение сложной функции. Определение. Пусть функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) определена на множестве 𝑋, а функция 𝑥 = 𝜑(𝑡) – на множестве 𝑈, причем множество значений функции 𝜑 содержится в области определения функции 𝑓.Поставим в соответствие каждому числу 𝑡 из 𝑈 число 𝑓(𝜑(𝑡) ). Тем самым на множестве 𝑈 будет задана функция 𝑦 = 𝑓(𝑔(𝑡)). Эту функцию называют сложной функцией или композицией функций 𝑓 и 𝜑. При этом f называют внешней, a g — внутренней функцией композиции. Пример 1. Пусть y = f(x), где f(x) = 2x + 1. Составьте сложную функцию y = f(𝜑(𝑡)), если a) 𝜑(𝑡) = t + √t; b)𝜑(𝑡) = t 2 + t − 1 . Решение. Подставим вместо x в формулу функции y = f(x), соответственно, t + √t и t 2 − 1): Получаем a) f(t + √t) = 2(t + √t) + 1 = 2t + √t +1. f(𝜑(𝑡)) = +√t +1 b) f(t 2 + t − 1) = 2(t 2 + t − 1) + 1 = 2t 2 + 2t − 1. В итоге f(𝜑(𝑡)) = 2t 2 + 2t − 1. Пример 2. Даны две функции f и g, соответственно, y = 5x+1 x2 +1 , x=t+ 1. Найдите сложную функцию y = f(g(t)). Решение. y = 5x+1 5(t+1)+1 5t+6 x2 +1 (t+1)2 +1 t2 +2t+2 Рассмотрим следующую ,y = ,y = задачу, в . которой требуется найти композицию функций 𝑦 = √𝑥 + 1 и 𝑦 = 𝑥 2 + 2, причем первая функция – внешняя, а вторая - внутренняя. Для удобства имеет смысл ввести новые обозначения для переменных второй функции, обозначив ее аргумент буквой 𝑡, а зависимую переменную – буквой 𝑥. Имеем 𝑥 = 𝑡 2 + 2. Важно понимать, что введение других обозначений переменных никак не повлияло на функцию. Записи 𝑥 = 𝑡 2 + 2 и 𝑦 = 𝑥 2 + 2 представляют одну и ту же функцию, с областью определения 𝑅, действие которой состоит в возведении аргумента в квадрат и прибавлении числа 2. Композицией функций 𝑦 = √𝑥 + 1 и 𝑥 = 𝑡 2 + 2 является функция 𝑦 = √𝑡 2 + 3. В этом случае также ничего не мешает обозначить другой буквой аргумент сложной функции, а именно - буквой 𝑥, то есть так, как обозначены аргументы обеих функций в условии задачи. Таким образом, получаем ответ: 𝑦 = √х2 + 3. Заметим, что тот же результат можно получить, если формально подставить в формулу первой функции 𝑦 = √𝑥 + 1 вместо 𝑥 выражение 𝑥 2 + 2. На практике, конечно, можно пользоваться этим приемом, при этом понимая математический смысл произведенной операции. Пример 3. Найдите сложную функцию, составленную из функций 𝑦 = 𝑥 3 и 𝑦 = 𝑥 2 + 2, где первая функция будет внешней, а вторая - внутренней. Решение. В первую функцию вместо 𝑥 подставим выражение 𝑥 2 + 2 . В итоге получаем 𝑦 = (𝑥 2 + 2)3 . 2. Пусть даны две функции 𝑓(𝑥) = √𝑥 и 𝑔(𝑥) = 2𝑥 + 1 сложная функцию, в которой 𝑓 - внешняя функция, а 𝑔 – внутренняя, то есть функция 𝑓(𝑔(𝑥)), имеет вид 𝑦 = √2𝑥 + 1 (2) Если, наоборот, в качестве внешней функции взять 𝑔, а в качестве внутренней - 𝑓, то есть составить сложную функцию 𝑔(𝑓(𝑥)),то получим функцию 𝑦 = 2√𝑥 + 1 (3). В итоге получены две разные функции: 𝑦 = √2𝑥 + 1 и 𝑦 = 2√𝑥 + 1. 1 Они имеют разные области определения, у первой 𝑥 ≥ − , а у второй 𝑥 ≥ 0. 2 Кроме того, функции принимают разные значения, например, при 𝑥 = 1: значение первой равно √3, а второй равно 3. Таким образом, для заданных функций 𝑓 и 𝑔 оказалось, что 𝑓(𝑔(𝑥)) ≠ 𝑔(𝑓(𝑥)). На основании этого можно сделать вывод о том, что если в сложной функции внутреннюю и внешнюю функции поменять местами, то может получиться другая функция. На самом деле, практически всегда так и происходит, поэтому нужно внимательно следить в каком порядке берутся функции при составлении из них сложной функции. 3. Рассмотрим вопрос об области определения и множестве значений сложной функции. Возьмем функции 𝑓 и 𝑔, графики которых изображены на рисунках 1 и 2 , и составим сложную функцию 𝑦 = 𝑓(𝑔(𝑥)) С помощью графиков проследим, каким образом находятся значения сложной функции. Рисунок 1 Рисунок 2 Рассмотрим число 𝑎, принадлежащее области определения внутренней функции 𝑔. В нашем примере 𝐷(𝑔) = 𝑅. Находим значение 𝑔(𝑎) (рис.2). Далее нужно вычислить значение функции 𝑓 от числа 𝑔(𝑎), то есть 𝑓(𝑔(𝑎)) (рис.1). Для этого необходимо, чтобы число 𝑔(𝑎) принадлежало области определения функции 𝑓, то есть 𝑔(𝑎) ∈ 𝐷(𝑓) (рис.1). Если это условие не выполняется, то число 𝑎 не входит в область определения сложной функции. Таким образом, число 𝑎 должно быть таким, что 𝑔(𝑎) ∈ 𝐷(𝑓) ∩ 𝐸(𝑔). Для нашего примера множество 𝐷(𝑓) ∩ 𝐸(𝑔) является отрезком [0,3](рис.1). Это значит, что 𝑔(𝑎) ∈ [0,3]. По графику функции 𝑔 определяем, что тогда 𝑎 ∈ [−2,5; 2,5](рис.2). Поэтому областью определения сложной функции 𝑦= 𝑓(𝑔(𝑥)) является отрезок [−2,5; 2,5], в то время как 𝐷(𝑔) = 𝑅. Итак, область определения сложной функции, как видно из приведенного примера, содержится в области определения внутренней функции, но может быть меньше ее. Точно также как и множество значений сложной функции в сравнении с множеством значений внешней функции. Отметим, что не всякие функции могут составить сложную функцию. Так будет в случае, если множества 𝐷(𝑓) и 𝐸(𝑔) не содержат общих точек, то есть их пересечение 𝐷(𝑓) ∩ 𝐸(𝑔) пусто (рис. 5) Рисунок 3 Рисунок 4 Пример 4. Найти множество значений сложной функции 𝑦 = 𝑔(𝑓(𝑥)), если 𝑔(𝑥) = 1 𝑥 и 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 1 Решение. Формула сложной функции имеет следующий вид: y = 1 . x2 +1 Решим эту задачу с привлечением графиков заданных функций. Напомним, что множество значений функции представляется проекцией графика на ось ординат. Множество значений внутренней функции 𝑓 составляет промежуток [1; +∞),то есть E(f) = [1; +∞) (рис. 6). Внешняя функция g определена на всем промежутке [1; +∞) (рис. 5). Исходя из ее свойств, заключаем, что функция g принимает на этом промежутке все значения от нуля, не включая его, до единицы. Таким образом, множество значений сложной функции составляет промежуток (0; 1]. Ответ. (0; 1]. Рисунок 6 Рисунок 5 Упражнения 1. – Заданы функции 𝑓(𝑥) = 2 − 𝑥 2 , 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 1. Найдите 𝑓(𝑔(1) 𝑓(𝑔(−1) 𝑔(𝑓(0) 2. Заданы функции 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 1, 𝑔(𝑥) = 2𝑥 − 1 Найдите 𝑓(𝑔(2) 𝑓(𝑔(0,5) 𝑔(𝑓(3) 𝑔(𝑓(√5) 𝑔(𝑓(2) 3. Составьте сложные функции 𝑦 = 𝑔(𝑓(𝑥)) и 𝑦 = 𝑓(𝑔(𝑥)), если 𝒇(𝒙) 𝑔(𝑥) 1. √𝑥 𝑥2 2. 3𝑥 1 𝑥 3 3. 𝑥+2 𝑥−2 4. 5 𝑥 5 𝑥 4. Заполните таблицу 1. 𝒇(𝒙) 𝑔(𝑥) 𝑓(𝑔(𝑥)) √𝑥 𝑥−7 ? 2. 3𝑥 𝑥+2 ? 3. √𝑥 − 5 ? √𝑥 2 − 5 𝑥 𝑥−1 1 1+ 𝑥 𝑥 𝑥−1 ? ? 𝑥 1 𝑥 𝑥 4. 5. 6. ? Ответ: 1) √𝑥 − 7 ; 2)3𝑥 + 6; 3) 𝑥 2 ; 4) 𝑥 , 𝑥 ∈ (−∞; 1) ∪ (1; ∞); 5) 1 𝑥−1 1 ; 6) . 𝑥 5. Найдите множество значений сложной функции 𝑦 = 𝑔(𝑓(𝑥)), если 𝑔(𝑥) = 1 𝑥 и 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 1 6. Найдите множество значений функции 𝒚 = 𝒇(𝒙) 𝒚 = 𝒇(𝒙) 1. 𝑦 = √9 − 𝑥 2 2. 𝑦 = √𝑥 2 − 4𝑥 + 5 3. 𝑦 = −𝑥 4 + 2𝑥 2 + 5 4. 𝑦 = √𝑥 2 − 6𝑥 + 11 Ответ: 1) [0; 3]; 2)[1; +∞); 3) (−∞ ; 6] ; 4) [√2; +∞);. 7. Найдите наибольшее значение функции 𝑦 = 8. Найдите наибольшее значение выражения 1. 2. Ответ: 1) 1 11 2)3,5; 1 𝑥 2 + 11 𝑥 2 + 2𝑥 + 8 𝑥 2 + 2𝑥 + 3 3 𝑥 2 −2𝑥+3 Ответ: 1,5 Дополнительные задания 1. Функции 𝑓 и 𝑔 заданы таблицами. Найти сложную функцию, в которой 𝑔 - внешняя функция, а 𝑓 – внутренняя Функция аргумент -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 f(x) значение 2 0 -1 -4 -2 3 -4 -4 -3 Функция аргумент -4 -3 -2 -1 0 g(x) значение -2 4 1 0 2 Ответ. 1 2 Функция аргумент -4 -3 -2 -1 0 g(f(x)) значение 1 2 0 -2 1 1 2 3 4 3 -2 -2 4 2 1 3 3 4 2 2. Доказать, что композиция двух возрастающих функций – функция возрастающая двух убывающих функций – функция возрастающая убывающей и возрастающей – функция убывающая возрастающей и убывающей - функция убывающая 3. Заполните таблицу 𝒇(𝒙) 𝑔(𝑥) 𝑓(𝑔(𝑥)) 4. √𝑥 ? |𝑥| 5. 𝑥2 √𝑥 − 3 ? 6. |𝑥| 1 𝑥−1 ? 7. 8. 𝑥−1 𝑥 1 𝑥 Ответ: 1)𝑥 2 ; 2) 𝑥 − 3, 𝑥 ∈ [3; ∞); 3) 1 ? 𝑥 𝑥+1 ? 𝑥2 ; 4)𝑥 + 1; 5) |𝑥−1| 1 𝑥2 . 4. Функция 𝑓(𝑥) возрастает на промежутке (−∞; 0]и убывает на промежутке [0; ∞). Найдите промежутки возрастания и промежутки убывания функции 𝑓(2𝑥 + 1). Ответ. промежуток возрастания: (−∞; 0], промежуток убывания: [0; +∞]. 5. Функция 𝑓(𝑥) возрастает на промежутке (−∞; 1]и убывает на промежутке [1; ∞). Найдите промежутки возрастания и промежутки убывания функции 𝑓(𝑥 2 − 1). Ответ. промежутки возрастания: (−∞; −√2] ; [0; √2]. промежутки убывания: [−√2; 0]; [√2; +∞]. 6. Нарисуйте графики функций 𝑦 = 𝑓(𝑥) и 𝑦 = 𝑓(𝑓(𝑥)), если 𝑓(𝑥) = { Ответ. 𝑥 + 2, −2 ≤ 𝑥 < 0 𝑥 − 1, 0 ≤ 𝑥 ≤ 2