Тема «Обратная функция».

Обратная функция
1. Рассмотрим две функции, 𝑓 и 𝜑, графики которых изображены,
соответственно, на рисунках 1 и 2. Функция 𝑓 обладает следующим
свойством: каждое свое значение функция принимает только при одном
значении аргумента. То есть, если 𝑦0 ∈ 𝐸(𝑓), то уравнение 𝑓(𝑥) = 𝑦0 имеет
единственное решение 𝑥 = 𝑥0 . В геометрической интерпретации это
означает, что параллельная оси абсцисс прямая 𝑦 = 𝑦0 пересекает график
функции ровно в одной точке.
Определение 1. Если функция 𝑓 каждое свое значение принимает
только при одном значении аргумента, то эта функция называется обратимой.
Иначе можно сказать, что разным значениям аргумента соответствуют
разные значения функции 𝑓.
Рисунок 2
Рисунок 1
Функция 𝜑 таким свойством не обладает. Например, отмеченное на
рисунке 2 значение функции 𝑦0 принимается при разных значениях
аргумента, 𝑥0 и 𝑥1 , то есть 𝜑(𝑥0 ) = 𝑦0 и 𝜑(𝑥1 ) = 𝑦0 . Другими словами,
уравнение 𝜑(𝑥) = 𝑦0 имеет при данном значении 𝑦0
два корня. Прямая,
параллельная оси абсцисс, может пересечь график этой функции более чем в
одной точке.
Свойство функции 𝑓 принимать
каждое свое значение только при
одном значении аргумента, то есть быть обратимой, позволяет определить
новую функцию. А именно функцию, которая ставит в соответствие
значению 𝑦0 ∈ 𝐸(𝑓) то единственное значение 𝑥0 ∈ 𝐷(𝑓), при котором
𝑓(𝑥0 ) = 𝑦0 . То есть ставит числу 𝑦0 в соответствие единственный корень
уравнения 𝑓(𝑥) = 𝑦0 . Назовем эту функцию обратной к функции 𝑓 и
обозначим буквой 𝑔. Таким образом, 𝑔(𝑦0 ) = 𝑥0 .
Отметим, что в отличие от функции 𝑓, для функции 𝜑 задать таким же
способом обратную функцию не удастся, поскольку уравнение 𝜑(𝑥) = 𝑦0
может иметь несколько корней. Дадим определение обратной фукции.
Определение 2. Пусть задана обратимая функция 𝑓. Функция 𝑔,
определенная на множестве 𝐸(𝑓), и ставящая в соответствие числу 𝑦0 ∈
𝐸(𝑓) число 𝑥0 ∈ 𝐷(𝑓), такое, что 𝑓(𝑥0 ) = 𝑦0 , называется обратной к
функции 𝑓.
2.
Найдем обратную функцию к
функции 𝑓(𝑥) = √𝑥, 𝑥 ∈ [0; 5].
Область определения функции 𝑓, отрезок [0; 5], обозначим буквой 𝑋, то есть
𝐷(𝑓) = 𝑋 (рис. 3). Множество значений функции 𝑓 составляет отрезок
[0; √5], обозначенный буквой 𝑌, то есть 𝐸(𝑓) = 𝑌
Рисунок 3
Рисунок 4
Функция 𝑓 числу из промежутка 𝑋 ставит в соответствие корень
квадратный из этого числа, например, 𝑓(4) = 2, 𝑓(5) = √5, 𝑓(𝑥0 ) = √𝑥0 .
Функция 𝑓 является обратимой, поскольку разным значениям ее аргумента
соответствуют разные значения функции.
Обратная функция 𝑔 определена на промежутке 𝑌 и произвольному
числу 𝑦0 ∈ 𝑌 ставит в соответствие число 𝑥0 , которое определяется условием
𝑓(𝑥0 ) = 𝑦0 , то есть равенством √𝑥0 = 𝑦0 (рис.4). Выражаем из этого
равенства 𝑥0 , возведя обе части равенства в квадрат, 𝑥0 = 𝑦0 2 . Таким
образом, функция 𝑔 произвольному числу 𝑦0 ∈ 𝑌 ставит в соответствие
число 𝑥0 , равное 𝑦0 2 . Значит, для каждого 𝑦 ∈ 𝑌 имеем 𝑥 = 𝑔(𝑦), где 𝑔(𝑦) =
𝑦 2 , то есть 𝑥 = 𝑦 2 .
Независимой переменной, то есть аргументом обратной функции 𝑔,
является переменная 𝑦, а зависимой - переменная 𝑥. То есть, в сравнении с
функцией 𝑓, переменные поменялись ролями. Если теперь переменные
обозначить традиционным образом, а именно, буквой х - аргумент функции
𝑔, а зависимую переменную – буквой 𝑦, то функция 𝑔 примет вид 𝑦 = 𝑥 2 .
Таким образом, мы нашли, что квадратичная функция 𝑦 = 𝑥 2 , заданная на
отрезке [0; √5], является обратной к функции 𝑓(𝑥) = √𝑥, 𝑥 ∈ [0; 5]..
Множество значений обратной функции - отрезок [0; 5].
График обратной функции 𝑔 мы можем изобразить в той же системе
координат, что и график 𝑓. Для этого отрезок 𝑌, составляющий область
определения функции 𝑔 нужно отложить на оси ординат, поскольку на этой
оси располагаются значения аргумента функции. Точки графика функции
𝑦 = 𝑔(𝑥) имеют координаты (𝑥; 𝑥 2 ), при этом 𝑥 ∈ [0; √5] (рис.5).
Рисунок 5
На рисунке 5 показано, что области определения и множества значений
функций 𝑓 и 𝑔 «меняются местами»: 𝐷(𝑔) = 𝐸(𝑓) и 𝐸(𝑔) = 𝐷(𝑓).
3. Пример 1. Показать, что линейная функция у = 2𝑥 + 1 обратима.
Найти обратную к ней функцию.
Функция у = 2𝑥 + 1 принимает каждое свое значение только при
одном
значении
аргумента,
поскольку
линейное
уравнение 2𝑥 + 1 =
𝑦0 имеет только один корень (рис.6). Значит, эта функция имеет обратную
функцию 𝑔, которая определена на 𝑅, так как 𝑅- множеством значений
функции у = 2𝑥 + 1 (рис.7). Обратная функция 𝑔 произвольному числу
𝑦0 ∈ 𝑅 ставит в соответствие число 𝑥0 , которое определяется условием 𝑦0 =
2𝑥0 + 1 (рис.7). Выразив из этого равенства 𝑥0 , получаем 𝑥0 =
для каждого 𝑦 ∈ 𝑅 имеем 𝑥 = 𝑔(𝑦), где 𝑔(𝑦) =
𝑦0 −1
2
. Значит,
𝑦−1
1
1
2
2
2
, то есть 𝑥 = 𝑦 − .
Рисунок 7
Рисунок 6
Обозначив аргумент обратной функции буквой х, а зависимую переменную
1
1
2
2
буквой 𝑦, то есть, поменяв переменные местами, получим 𝑦 = 𝑥 − . Итак,
обратной функцией к линейной функции у = 2𝑥 + 1 будет функция 𝑦 =
1
2
1
𝑥 − , которая также является линейной.
2
Замечание. При решении задач можно обозначать произвольное
значение аргумента обратной функции буквой у, а не 𝑦0 , как это для ясности
сделано в разобранных примерах.
4. Пусть
у = 𝑓(𝑥)
обратимая
функция,
заданная
формулой.
На
основании определения обратной функции можно сформулировать порядок
действий для нахождения функции, обратной к функции у = 𝑓(𝑥).
 Из равенства у = 𝑓(𝑥) выразить 𝑥 через 𝑦, то есть решить уравнение
у = 𝑓(𝑥) относительно неизвестной 𝑥.
 В полученной формуле обратной функции 𝑥 = 𝑔(𝑦) обозначить
аргумент функции буквой х, а зависимую переменную - буквой 𝑦, то есть,
поменять переменные местами.
5. Теорема. Если функция у = 𝑓(𝑥) является возрастающей (или
убывающей), то она обратима.
Пусть для определенности функция у = 𝑓(𝑥) является возрастающей.
Возьмем два различных значения аргумента, меньшее обозначим через 𝑥1 ,
большее - через 𝑥2 , то есть 𝑥1 < 𝑥2 .
Из
этого неравенства в силу
определения возрастающей функции следует, что 𝑓(𝑥1 ) < 𝑓(𝑥2 ), а значит
𝑓(𝑥1 ) ≠ 𝑓(𝑥2 ). Поэтому разным значениям аргумента соответствуют разные
значения функции и, следовательно, функция у = 𝑓(𝑥) обратима. Для
убывающей функции доказательство аналогично.
Отметим, что любая линейная функция у = 𝑘𝑥 + 𝑏 обратима, если
𝑘 ≠ 0, поскольку является либо возрастающей, либо убывающей функцией, в
зависимости от знака коэффициента 𝑘. Обратима также возрастающая
функция у = 𝑥 3 .
Если функция задана формулой и нам неизвестен ее график, то
определить, будет ли функция обратимой можно только путем исследования
количества корней уравнения 𝑓(𝑥) = 𝑏, 𝑏 ∈ 𝑅. Если при некотором значении
𝑏 их два или более, то функция не является обратимой.
6. Если известен график обратимой функции, то график обратной
функции 𝑔 можно построить путем преобразования графика функции 𝑓.
Следующая теорема определяет вид этого преобразования.
Теорема. График функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) и график обратной к ней функции
𝑦 = 𝑔(𝑥) симметричны относительно прямой 𝑦 = 𝑥.
Пусть точка F с координатами (𝑎, 𝑏) принадлежит графику функции
𝑦 = 𝑓(𝑥), то есть 𝑏 = 𝑓(𝑎). Тогда, по определению обратной функции 𝑔(𝑏) =
𝑎. Это означает, что точка 𝐺 с координатами (𝑏; 𝑎) принадлежит графику
обратной функции (рис. 11).
Рисунок 8
Рисунок 9
Докажем, что точки 𝐹(𝑎, 𝑏) и 𝐺(𝑏; 𝑎) симметричны относительно
прямой 𝑦 = 𝑥. Для определенности рассмотрим случай, когда точка F лежит
в первом координатном угле и 𝑎 < 𝑏. Проведем через точки 𝐹 и 𝐺 прямые,
перпендикулярные осям координат (рис.8). Прямоугольник 𝐷𝐺𝐸𝐹 является
квадратом, так как имеет равные смежные стороны:|𝐹𝐷| = |𝐺𝐷| = 𝑏 − 𝑎.
Вершины квадрата 𝐷𝐺𝐸𝐹, точки 𝐷 и 𝐸, имеют координаты (𝑎, 𝑎) и (𝑏, 𝑏),
соответственно, и, значит, принадлежат прямой 𝑦 = 𝑥 (рис.9). Поскольку
диагонали квадрата перпендикулярны и делятся точкой пересечения
пополам, то точки
𝐹 и 𝐺 симметричны относительно диагонали 𝐷𝐸, а,
следовательно, и относительно прямой 𝑦 = 𝑥.
Таким образом, мы доказали, что точка плоскости, симметричная точке
графика функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) относительно прямой 𝑦 = 𝑥, принадлежат
графику обратной функции 𝑦 = 𝑔(𝑥). Аналогично доказывается, что верно и
обратное утверждение: точка, симметричная точке графика обратной
функции 𝑦 = 𝑔(𝑥) относительно прямой 𝑦 = 𝑥, принадлежат графику
функции 𝑦 = 𝑓(𝑥). Значит, графики этих функций симметричны. Теорема
доказана.
7. Пример 2. Докажите, что функция 𝑦 = 𝑥 2 − 2𝑥, 𝑥 ∈ [1, +∞) является
обратимой. Найдите обратную к ней функцию.
Решение. Построим график заданной функции – часть параболы 𝑦 = 𝑥 2 −
2𝑥 (рис.10), которая удовлетворяет условию 𝑥 ∈ [1, +∞) (рис. 14).
Рисунок 10
Рисунок 11
Заданная функции является возрастающей а, следовательно, и
обратимой. Для нахождения обратной к ней функции нужно из уравнения
𝑦 = 𝑥 2 − 2𝑥 выразить х через у, а затем ввести новые обозначения
переменных.
Запишем уравнение в виде 𝑥 2 − 2𝑥 − 𝑦 = 0. Это квадратное уравнение
относительно неизвестного 𝑥, свободный член уравнения равен −𝑦. Найдем
дискриминант квадратного уравнения 𝐷 = (−2)2 − 4 · 1 · (−𝑦), 𝐷 = 4 + 4𝑦,
𝐷 = 4(𝑦 + 1). По формуле корней квадратного уравнения имеем 𝑥1,2 =
2±√4(𝑦+1)
2
или, после упрощения 𝑥1,2 = 1 ± √𝑦 + 1. Итак при любом
допустимом значении 𝑦 квадратное уравнение имеет два корня 𝑥 = 1 −
√𝑦 + 1
и 𝑥 = 1 + √𝑦 + 1. Учитывая, что область определения заданной
функции - промежуток [1, +∞), получаем 𝑥 = 1 + √𝑦 + 1.
Переобозначив переменные, то есть поменяв их местами, получаем
формулу обратной функции 𝑦 = 1 + √𝑥 + 1.
Замечание. Фактически мы доказали, что
если рассматривать
функцию 𝑦 = 𝑥 2 − 2𝑥 на промежутке [1, +∞), то на этом промежутке она
является обратимой, поскольку возрастает. При этом, функция 𝑦 = 𝑥 2 − 2𝑥
не обратима, если она рассматривается на 𝑅 (рис.10). На промежутке (∞, 1],
функция убывает, а значит обратима.
Графики рассмотренной в примере функции и обратной к ней
изображены на рисунке 15. Следует отметить тот факт, что
они
пересекаются в точке, принадлежащей прямой 𝑦 = 𝑥. Это не случайно.
Действительно, пусть график обратимой функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) имеет общую с
прямой 𝑦 = 𝑥 точку 𝐹. Тогда, точка, симметричная точке 𝐹 относительно
этой прямой, принадлежит графику обратной функции 𝑦 = 𝑔(𝑥).Но этой
точкой является сама точка 𝐹. Значит, она принадлежит обоим графикам
одновременно, то есть является их точкой пересечения.
Рисунок 12
Упражнения
1. Укажите, на каких рисунках изображены графики обратимых функций.
1.
4.
2.
5.
3.
6.
Ответ. 4;6
2. Функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) имеет два нуля. Почему она не имеет обратной
функции?
3. На рисунке изображен график функции 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝐷(𝑓) = 𝑅. Докажите,
что она не имеет обратной функции. Определите числовой промежуток Х
на оси ординат, такой, что новая функция 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑥 ∈ Х – обратима.
Укажите несколько возможных вариантов Х.
4. На рисунке изображен график обратимой функции 𝑦 = 𝑓(𝑥). Найдите
значения обратной к ней функции при значениях аргумента равных
−1; 0; 1; 2. Укажите область определения и множество значений обратной
функции.
1.
2.
Ответ.
1) 𝑔(−1) = 3; 𝑔(0) = 2; 𝑔(1) = −1; 𝑔(2) = −6; 𝐷(𝑔) = [−1; 2]; 𝐸(𝑔) =
[−6; 3].
2) 𝑔(−1) = 3; 𝑔(0) = 3,5; 𝑔(1) = 4, 𝑔(2) = 7, 𝐷(𝑔) = [−2; 2], 𝐸(𝑔) = [1; 7].
5. Найдите функцию, обратную по отношению к линейной функции 𝑦 =
𝑓(𝑥)
𝒚 = 𝒇(𝒙)
Ответ
1.
𝑦 =𝑥+2
𝑦=𝑥−2
2.
𝑦 = −𝑥 + 1
3.
𝑦 = 3𝑥 + 2
4.
𝑦 = −5𝑥
5.
𝑦 = −2𝑥 + 4
6.
1
𝑦 = 𝑥−3
2
𝑦 = −𝑥 + 1
1
2
𝑦= 𝑥−
3
3
1
𝑦=− 𝑥
5
1
𝑦 =− 𝑥+2
2
𝑦=𝑥−2
6. Нарисуйте график какой-нибудь обратимой функции 𝑦 = 𝑓(𝑥), ( 𝑔 –
обратная к ней), так, чтобы были выполнены следующие условия
1. 𝑓(1) = 3, 𝑔(4) = 2 2. 𝑓(0) = 0, 𝑔(1) = 3 3. 𝑓(1) = 2, 𝑔(0) = 5
7. Функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) имеет обратную. Найдите область определения и
множество значений обратной функции, если известно, что:
1. 𝐷(𝑓) = (1; 5), 𝐸(𝑓) = 𝑅
3. 𝐷(𝑓) = [0; +∞), 𝐸(𝑓) = [1; 2]
2. 𝐷(𝑓) = [−1; 1], 𝐸(𝑓) = [2; 4]
4. 𝐷(𝑓) = [0; 4], 𝐸(𝑓) = [−2; −1]
9. Функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) задана графиком. Построить график обратной к
ней функции
8. Найдите функцию 𝑦 = 𝑔(𝑥), которая является обратной по отношению
к функции 𝑦 = 𝑓(𝑥)
𝒚 = 𝒇(𝒙)
1.
𝑦 = 𝑥 2 − 4𝑥 + 5, 𝑥 ∈ [2, +∞).
Ответ
𝑦 = 2 + √𝑥 − 1
2.
y = x 2 − 2x, x ∈ (−∞, 1].
𝑦 = 1 − √𝑥 + 1
3.
𝑦 = 𝑥 2 − 6𝑥 − 7, 𝑥 ∈ [3, +∞).
𝑦 = 3 + √𝑥 + 16
4.
𝑦=
1
𝑥 2 +1
𝑥≥0
1
𝑦 = √ − 1, 𝑥 ∈ (0,1)
𝑥
Дополнительные задания
1. Найдите все линейные функции 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏, такие, что функция
совпадает с обратной по отношению к ней функцией.
Ответ. 𝑦 = 𝑥; 𝑦 = −𝑥 + 𝑏, 𝑏 ∈ 𝑅 .
2. Постройте график функции, обратной данной. Найдите формулу,
задающую обратную функцию.
3. Функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) обратима. Известно, что уравнение 𝑓(𝑥) = 𝑥 имеет
следующие корни 𝑥1 = −2, 𝑥2 = 2, 𝑥3 = 7. Решить уравнение 𝑔(𝑥) = 𝑥,
где 𝑔 функция, обратная к 𝑓.
Ответ. 𝑥 = −2; 2; 7.
4. Функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) имеет обратную функцию 𝑦 = 𝑔(𝑥). Решить
уравнение 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥), если известно, что уравнение 𝑓(𝑥) = 𝑥 имеет
корни 𝑥1 = 3, 𝑥2 = 5.
Ответ. 𝑥 = 3; 5.
5. Докажите, что если 𝑦 = 𝑓(𝑥) - возрастающая (убывающая) функция, то
и обратная к ней функция 𝑦 = 𝑔(𝑥) так же является возрастающей
(убывающей) функцией.
6. Верно ли, что если нечетная функция имеет обратную функцию, то она
также будет нечетной?
Ответ. Верно
7. Может ли функция, обратная к данной функции, быть четной
функцией?
Ответ. Не может
8. Найдите функцию, обратную функции 𝑦 = 𝑓(𝑥), и постройте ее
график.
1.
𝒚 = 𝒇(𝒙)
𝑥,
𝑥<0
𝑓(𝑥) = {
2𝑥,
𝑥≥0
0.5𝑥,
1
𝑔(𝑥) = {1
𝑥+ ,
3
3
2.
2𝑥,
𝑓(𝑥) = {
3𝑥 − 1,
3.
𝑥,
𝑓(𝑥) = { 2
𝑥 ,
𝑥<0
𝑥≥0
𝑥,
𝑔(𝑥) = {
√𝑥,
2𝑥,
𝑥 2,
𝑥<2
𝑥≥2
0.5𝑥,
𝑔(𝑥) = {
√𝑥,
4.
𝑓(𝑥) = {
𝑥<1
𝑥≥1
Ответ
𝑥, 𝑥 < 0
𝑔(𝑥) = {
0.5𝑥, 𝑥 ≥ 0
𝑥<2
𝑥≥2
𝑥<0
𝑥≥0
𝑥<4
𝑥≥4