ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3 Тема: Цель работы:

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3
Тема: исследование управления манипулятором .
Цель работы: приобретение опыта динамического описания движения
плоских механизмов (метод Лагранжа); ознакомление с методикой решения
обратных задач динамики механических систем.
1. Постановка задачи
Рассматривается механическая система (манипулятор) с двумя степенями свободы, движущаяся в горизонтальной плоскости xOy (рис.1). Геометрические и динамические параметры заданы, силы трения
в кинематических парах и деформации элементов конструкции отсутствуют.
Требуется определить управляющие усилия и мощности двигателей управления, обеспечивающие за время  сближение захвата С и движущейся детали
D. Деталь движется прямолинейно с постоянной скоростью VD в заданном
направлении. Начальное положение манипулятора задано обобщёнными
координатами s0 , 0 а детали—декартовыми координатами xD 0 , yD 0 . К моменту
времени t= отношение рассогласований координат захвата и детали к
начальным рассогласованиям должно составлять малую величину  .
Для рассматриваемого в качестве примера манипулятора приняты следующие
значения параметров: АС=L=1м–
длиназвена1; AC1  b  0,5 ì =0,5м—
расстояние до центра масс этого звена;
m1 =3кг, m2 =2кг – массы звеньев;
J  0,8 êã  ì
2
– центральный момент
инерции 1-го звена относительно оси,
перпендикулярной плоскости
движения; VD =2м/с –скорость детали;

Рис.1. Схема манипулятора

7
ðàä ;  =1 с– время сближения;
  0,01, xD 0  y D 0  0 , s0  0 ,0  

4
ðàä .
Вычислить управляющие силу P(t) и момент M(t); мощности двигателей
N1 (t) и N 2 (t); обобщённые координаты  , s и декартовы координаты захвата
xC , yC как функции времени.
2. Дифференциальные уравнения движения системы
Дифференциальные уравнения движения составляем в форме уравнений
Лагранжа, которые для данной механической системы имеют вид
d T T

 Q
dt  
d T T

 Qs
dt s s
(2.1)
Вычисляем кинетическую энергию системы Т как функцию обобщённых
скоростей s,  и обобщённых координат s,  .
Кинетическая энергия звена 1, совершающего плоское движение, вычисляется по теореме Кёнига
1
1
T1  m1VC21  J 2 ,
2
2
– скорость центра масс C1 ,    – угловая скорость звена 1.
(2.2)
где VC
Кинетическая энергия звена 2, движущегося поступательно,
1
T2 
m2V22
,
2
(2.3)
где V2 = s – скорость звена 2.
Скорость точки C1 вычисляем координатным способом. Согласно рисунку 1
координаты этой точки равны
xC1  s  b cos  , yC1  b sin  .
Дифференцируя эти выражения по времени, получаем проекции скоростей.
Тогда
VC21  s  b sin    b cos    s 2  b 2 2  2b s sin  .
2
2
(2.4)
Учитывая (2.2–2.4), кинетическую энергию системы записываем в виде


1
1
T  ms 2  m1b 2  J  2  m1b s sin  .
(2.5)
2
2
здесь m  m1  m2 .
Для определения обобщённой силы Q мысленно накладываем на систему
связь s  const и сообщаем системе виртуальную скорость  ; получаем
выражение виртуальной мощности
N  M    Q   .
Q  M .
Отсюда
(2.6)
Аналогично, мысленно накладываем на систему связь   const и, сообщив
системе виртуальную скорость s , вычисляем сумму виртуальных мощностей
активных сил, действующих на нее
N s  P  s  Qs  s ;
Qs  P .
отсюда имеем
(2.7)
Используя (2.5), вычисляем значения слагаемых в уравнениях Лагранжа


T
T
 m1b 2  J   m1bs sin  ,
 m1b s cos 


d T
 m1b 2  J   m1bssin   m1b s cos  ;
dt 
T
T
 ms  m1b sin  ,
 0;
s
s
d T
 ms  m1b sin   m1b 2 cos  ;
dt s


(2.8)
(2.9)
(2.10
(2.11)
Подставляя (2.6—2.11) в (2.1), получаем уравнения для определения
управляющих усилий М и Р
m b
1
2

 J   m1bssin   M ,
(2.12)
ms  m1b sin   m1b cos   P.
2
3. Программа движения
Управление движением захвата предполагает, что линейные комбинации
рассогласований координат и их производных в каждый момент времени
равны нулю
x  K  x  0, y  K  y  0 ,
(3.1)
где x  xD  xC , y  yD  yC – рассогласования координат детали и захвата;
К=const – коэффициент управления.
Интегрируя (3.1), получаем
x  x(0)  e

t
K
, y  y(0)  e

t
K
.
(3.2)
Здесь x(0)  xD 0  xC 0 , y(0)  yD 0  yC 0 – начальные рассогласования координат;
xC 0 , yC 0 – координаты захвата в начальный момент времени.
Параметр K определяем из условия относительной точности сближения
к моменту времени t  
Отсюда
x( ) y( )
  

 exp      .
x(0) y(0)
 K

K 
.
ln 
Закон движения детали
xD  VD  cos   t  xD 0 ,
yD  VD  sin   t  yD 0 .
Уравнения движения захвата С , в соответствии с (3.2),
(3.3)
(3.4)
 t 
xC  xD  ( xD 0  xC 0 )  exp    ,
 K
 t 
yC  y D   y D 0  yC 0   exp    .
 K
(3.5)
Из рисунка 1 устанавливаем связь между декартовыми координатами захвата С и обобщёнными координатами манипулятора
xC  s  L  cos  , yC  L  sin  .
(3.6)
Полагая s  s0 ,   0 по формулам (3.6) вычисляем начальные координаты
захвата xC 0 , yC 0 . Уравнения (3.4), (3.5) определяют траектории детали и захвата.
Уравнения (3.6) разрешим относительно обобщенных координат  и s
  arcsin
yC
, s  xC  L  cos  .
L
(3.7)
Обобщённые cкорости и ускорения, необходимые для вычисления
управляющих усилий, получим, дифференцируя по времени обобщенные
координаты.
4. Алгоритм решения задачи о сближении
В начале счёта присваиваются числовые значения параметрам задачи:
m1 , m2 , L , b ,VD ,  , xD 0 , y D 0 , 0 , s0 , ,  . Затем по формуле (3.3)
вычисляется коэффициент управления К, по (3.6) — начальные координаты
захвата xC 0 , yC 0 .
Вычисляются путем дифференцирования формул (3.7)  ,  , s; по(2.12)
управляющие усилия Р, М. Мощности двигателей определяются по формулам
N1  M   ,
(4.1)
N2  P  s .
Траектории детали и захвата получаются соответственно по (3.4) и (3.5).
Процесс вычислений продолжается до момента t   . Результаты счёта
оформляются в виде графиков.
Все вычисления проводим с использованием Mathcad.
5.Численное решение задачи
Исходные данные задачи:
m1  3
m2  2
xD0  0 yD0  0
m  m1  m2
J  0.8


m5

7
L  1
b  0.5
S0  0.9

VD  2
 

4
0  


 1
 0.01
Вычисляем коэффициент управления и начальные координаты
захвата
  

 ln (  ) 
K  
 
K  0.217
yC0  L  sin
xC0  S0  L  cos  0
xC0  1.607
 0
yC0  0.707
Определяем траектории детали и захвата
xD ( t )  xD0  VD  cos (  )  t
x
yD ( t )  yD0  VD  sin (  )  t
0  xD0  xC0
x
y
0  yD0  yC0
0  1.607
y
xC ( t )  xD ( t )  x 0  e
t
K
0  0.707
yC ( t )  yD ( t )  y 0  e
t
K
Решаем уравнения (3.6) относительно S(t), φ(t)
 yC ( t ) 

( t )  asin 
L



'
( t ) 
d
dt

(t)
''
S ( t )  xC ( t )  L  cos (  ( t ) )
( t ) 
d2
dt
2

(t)
S' ( t ) 
d
dt
S(t)
S'' ( t ) 
dt
u  0 0.2  1
u 
'
(u) 
''
(u) 
S' ( u ) 
d2
S'' ( u ) 
0
5.832
-55.224
-9.723
97.186
0.2
2.177
-6.52
-1.379
18.983
0.4
1.424
-1.955
0.964
6.913
0.6
1.22
-0.27
1.916
3.332
0.8
1.289
1.015
2.488
2.767
1
1.768
4.992
3.25
6.23
2
S(t)
2
P ( t )  m S'' ( t )  m1  b  '' ( t )  sin (  ( t ) )  m1  b  ' ( t )  cos (  ( t ) )
2
M ( t )   m1  b  J   '' ( t )  m1  b  S'' ( t )  sin (  ( t ) )


N1 ( t )  M ( t )  ' ( t )
t


100
N2 ( t )  P ( t )  S' ( t )
t  0 t  
Траектории сближения
1
0.5
yC ( t)
yD ( t)
0
 0.5
1
0
0.5
1
1.5
2
xC ( t) xD ( t)
Зависимости управляющих усилий от времени при сближении
захвата с деталью.
400
300
P ( t)
200
100
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t
P ( 0)  391.274 H
Pmin  7.92 H
P (  )  22.316 H
20
10
M ( t)
0
 10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t
M ( 0)  17.483Н  м
M (  )  0.305 Н  м
M min  9.011 Н  м
Мощность двигателей
3
110
0
3
 110
N2 ( t)
3
 210
3
 310
3
 410
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
t
N2 ( 0)  3.804  10 3вт
N2 (  )  72.526 вт
NPmin  N2 ( 0)
150
100
N1 ( t) 50
0
 50
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t
N1 ( 0)  101.97 вт
N1 (  )  0.539 вт
N1min  15.46
Необходимо иметь двигатели мощностью: N1>110вт, N2>4 квт.
вт
6. Задания
На рисунках приведены расчетные схемы манипуляторов. Числовые данные к
каждому варианту содержатся в таблице 1.
Таблица 1

m1
m2
J1
J2
l
VD

S0
0 
xD0
y D0
№
кг
кг
кгм2
кгм2
м
м/с
рад
м
рад
м
м
с
1
2
3
4
4
3
0,5
1
0,6
2
0,5
0,8
0,4
1
0,25
0,5
0
–
1/3
–
0,5
0,1
0
0,1
1
0,5
3
4
5
4
4
5
2
3
1
–
0,6
1
2
3
1/3
0
0
0
-0,5
0
0,6
0
0
1
1
1,1
5
6
2
2,5
3
3
0,8
1,2
0,6
1,5
1
0,3
1,5
1
1/6
0,5
0
0
0,5
1/3
1
1
2
0,5
1,2
1,5
7
8
2,6
3,2
2
2,8
1,3
5
–
3
0,7
2
0,5
1,5
0,25
0,5
1,4
–
0,5
–
0
1
0
0,5
0,8
1,5
9
10
2
3
1,9
2
0,8
1,5
1,4
1
0,3
1
0,5
2
0,25
0,5
0,1
0
0,5
0,5
0,1
3
0,1
0
1
1,3
11
12
5
2
6
3
4
3
4,5
–
1,5
1
2
2,5
0
1/3
–
0
–
0
1
0
-1
-1
1,5
1
13
14
2
3
2
3
1,5
2
1,6
2,5
1,2
1
2
2
1
3/4
0
0
0
0,5
1
3
1
2
1,5
1
15
4
3
5
4
0,8
2
0,5
0
0,5
1
0,5
1,5
16
17
3
2,5
3,5
2
4
3
4,5
2
2
1
1,5
2
1/6
0,5
0
1
0
0
0
2
0
0
1
1,2
18
19
2
3
3
4
2
3
2,5
3,5
1,5
1
2
2
0
0,5
0
0
0,5
0,5
2
2
0
1
1,5
1,2
20
21
2
3,5
3
4
2,5
2
3,5
2
1,5
0,5
2
1
1/3
0
1
0,2
0
1/8
-3
-1
1
1
1,5
0,5
22
23
3
2,5
3,5
2
3,5
1,5
–
1
0,6
0,7
1,5
2
0,5
1/3
0
0,1
-0,5
0
0,5
1,5
0
1,1
1
1
24
25
4
2,5
2
3
6
1
–
–
1
0,8
2
1
1/6
0
0
10
0,5
0,5
0
0,1
0
1
0,5
0,5
26
27
3,5
2
4
2
1,6
1,1
2
1,5
0,4
0,4
2
1,1
0,5
1/3
2
10
0,5
0,5
0,1
0
0
0
0,9
0,7
28
29
3
2
2,5
3
0,7
1,3
–
–
0,7
0,5
2
2
0,5
0
0
1
0
0,5
0
0
0,5
0,2
0,4
1,2
30
2,5
4
0,8
–
O,6
1
0
0
0,5
0
0,3
O,4