taranovov - Саратовский государственный университет

На правах рукописи
Таранов Олег Викторович
НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ВОЛНЫ В ПОЛУПОЛОСЕ И
ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКЕ ПРИ ПОВЕРХНОСТНЫХ И
ТОРЦЕВЫХ УДАРНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ НОРМАЛЬНОГО ТИПА
Специальность 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела
Автореферат
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Саратов 2010
Диссертационная работа выполнена в ГОУ ВПО
”Саратовской государственный университет им. Н.Г. Чернышевского”
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук, профессор
Коссович Леонид Юрьевич
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук, профессор
Миронов Борис Гурьевич
(Чувашский государственный педагогический
университет им. И.Я. Яковлева)
доктор физико-математических наук, профессор
Козлов Владимир Анатольевич
(Воронежский государственный
архитектурно-строительный университет)
Ведущая организация:
ГОУ ВПО ”Тульский государственный
университет”
Защита состоится 29 июня 2010 г. в 15 час 30 мин. на заседании
диссертационного совета Д 212.243.10 при Саратовском государственном
университете им. Н.Г. Чернышевского по адресу: 410012, г. Саратов,
ул. Астраханская, 83.
С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Саратовского
государственного университета.
Автореферат разослан ”_____” мая 2010 г.
Ученый секретарь
диссертационного совета
кандидат физ.-мат. наук, доцент
Ю.В. Шевцова
2
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. В современном мире оболочечные
конструкции широко применяются во многих отраслях производства,
таких, как авиа- и ракетостроение, машиностроение, строительная
индустрия. Знание закономерностей распространения нестационарных
волн в оболочках является основой для анализа и систематизации данных,
относящихся к практически используемым конструкциям. Непрерывное
усложнение машин и механизмов, наращивание мощностей приводит к
увеличению динамических нагрузок на их элементы. Вследствие этого
появляются эффекты, для описания которых недостаточно имеющихся
приближенных теорий. Поэтому так актуальны проблемы обоснования
перехода от трехмерных краевых задач теории упругости к двумерным
задачам и оценки возникающих при этом погрешностей. Особое место в
теории пластин и оболочек занимают задачи нестационарной динамики,
поскольку в таких задачах изменяемость искомого решения существенно
неоднородна по координатам и по времени. Теоретический и прикладной
интерес представляет напряженное состояние при ударных нагрузках,
моделируемых импульсными функциями. Асимптотические методы
исследования НДС в задачах такого типа детально разработаны в трудах
У.К. Нигула, Ю.Д. Каплунова, Л.Ю. Коссовича и др. Однако построение
схемы расчленения для воздействий нормального типа (воздействий вида
NW) до сих пор не было завершено. Это было связано с тем, что, в отличие
от рассмотренных ранее воздействий тангенциального и изгибающего
типов, нормальные воздействия приводят к принципиально новой схеме
расчленения, в которой должен быть учтен условный фронт
поверхностной волны Рэлея.
Целью данной диссертационной работы является исследование
нестационарного волнового напряженно-деформированного состояния
(НДС) в упругой полуполосе и в цилиндрических оболочках при
поверхностных и торцевых ударных воздействиях нормального типа. В
работе развивается асимптотический подход к решению задач о
нестационарных волновых процессах в оболочках.
Из поставленной цели вытекают следующие задачи:
 построение асимптотической модели для нахождения решения в
окрестности условного фронта поверхностной волны Рэлея в упругой
полуполосе при торцевом воздействии нормального вида и обобщение
этой модели для случая оболочки;
 разработка асимптотической схемы расчленения напряженнодеформированного состояния оболочки на составляющие и методов
аналитического решения задач для всех составляющих.
Научная новизна: На основе символического метода А.И. Лурье
получены асимптотические модели, позволяющие описать дальнее поле
волны Рэлея при действии ударной нагрузки нормального типа на торец
3
полуполосы и полубесконечной цилиндрической оболочки, а также при
действии ударной нормальной нагрузки на лицевые поверхности
бесконечной оболочки. Построена асимптотическая схема расчленения
нестационарного НДС оболочки при ударных воздействиях нормального
типа, найдены решения приближенных уравнений для каждой из
составляющих и установлено наличие областей согласования между ними.
Практическая значимость работы состоит в расширении области
действия асимптотических методов исследования нестационарных
волновых процессов в оболочках. Представленные методы позволят
решить вопрос создания надежных и эффективных численноаналитических методов исследования динамического НДС пластин и
оболочек, необходимых в авиастроении, машиностроении, судостроении и
других отраслях промышленности.
Результаты диссертационной работы могут также применяться при
чтении спецкурсов по специальности «Механика».
На защиту выносятся следующие положения:
1. Разработка асимптотических моделей для нахождения решения в
окрестности условного фронта поверхностной волны Рэлея в упругой
полуполосе и цилиндрической оболочке при действии торцевой
ударной нагрузки нормального типа.
2. Разработка приближенной теории, описывающей дальнее поле волны
Рэлея в цилиндрической оболочке при ударном нормальном
воздействии на её поверхность.
3. Развитие асимптотического метода расчленения нестационарного
НДС оболочки на составляющие для случая поверхностных и
торцевых воздействий нормального типа.
4. Построение решений приближенных уравнений для каждой из
составляющих и установление наличия областей согласования между
ними.
Достоверность и обоснованность научных положений и выводов
обеспечивается применением при решении поставленных задач
апробированных асимптотических методов и приближенных теорий,
строгостью используемых математических методов, подтверждается
непротиворечивостью
полученных
результатов,
физическими
соображениям, сравнением приближенных решений модельных задач,
полученных асимптотическими методами, с точными решениями.
Апробация работы. Основные положения и работа в целом
докладывалась
и
обсуждалась
наследующих
международных,
всероссийских, региональных научных конференциях, семинарах и
школах:
1. Международный семинар «Дни дифракции». Санкт-Петербург.
29 июня – 2 июля 2004 г.
4
2. V Российская конференция с международным участием
«Смешанные задачи механики деформируемого тела». Саратов: 23–25
августа 2005 г.
3. IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной
механике. 22–28 августа 2006 г. Нижний Новгород.
4. Всероссийская сессия Научного совета РАН по механике
деформируемого твердого тела «Фундаментальные и прикладные
проблемы деформируемого твердого тела». 2–6 июля 2007 г. Самара.
5. Юбилейная школа-семинар «Проблемы современной механики
твердого тела и прикладной математики», к 70-летию доктора физикоматематических наук, профессора Г.И. Быковцева. Самара. 29 января –
1 февраля 2008 г.
6. Всероссийская научно–технической конференция «Новые информационные технологии». Москва. 2006, 2009 гг., 19–21 апреля 2010 г.
7. Научный семинар «Актуальные проблемы математики и
механики» под руководством доктора физико-математический наук,
профессора В.А. Ковалева. Москва, Московский городской университет
управления Правительства Москвы. 14 декабря 2009 г.
8. Научный семинар «Современные проблемы математики и
механики» под руководством доктора физико-математический наук,
профессора Ю.Н. Радаева. Самара, Самарский государственный
университет. 17 февраля 2010 г.
9. Научный семинар кафедры математической теории упругости и
биомеханики
Саратовского
государственного
университета
под
руководством доктора физико-математических наук, профессора
Л.Ю. Коссовича. Саратов. 2009–2010 гг.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 13 работ [1–13].
Работы с соавторами выполнены на паритетных началах.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения,
четырех глав, заключения. Список литературы содержит 126
наименования. Общий объем работы составляет 125 страниц, в том числе
рисунков и графиков 21.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении приведен краткий обзор работ по асимптотическим
методам теории оболочек, исследований волновых процессов деформации
в пластинах и оболочках, а также работ, связанных с исследованием
дальнего поля волны Рэлея, сформулирована тема и цель диссертации,
дано краткое описание работы по главам.
В первой главе приводятся постановки задач о распространении
упругих волн, вызванных ударными нагрузками нормального типа (см.
рис. 1,2), для полуполосы (п.1) и цилиндрической оболочки (п.2).
Рассматриваются два вида нагрузки (на лицевые поверхности бесконечной
5
оболочки и на торец полубесконечной оболочки), приводящие к
различным типам нестационарного НДС. Трехмерные уравнения для
оболочки записываются в цилиндрической системе координат. Записанные
уравнения позволяют описать нестационарное волновое НДС оболочки
при воздействии указанных нагрузок. В момент приложения ударной
нагрузки в оболочке возникает система первичных волн, как продольных,
так и поперечных, которые начинают распространяться вглубь ее. При
этом первичные волны, распространяющиеся в продольном направлении,
взаимодействуя с лицевыми поверхностями, отражаются от них и, в свою
очередь, порождают вторичные волны. Таким образом, в оболочке
возникает сложная система волн, распространение которых и описывается
приведенными в данном разделе уравнениями. При решении поставленной
задачи используются методы, связанные с анализом суммарного вклада
всех волн пакета, а не на изучении вклада отдельно взятой волны.
z
h
2HI0
x
-h
Рис. 1. Упругая полуполоса под действием торцевой нагрузки нормального типа
r
P
P
x
P
P
Рис. 2. Бесконечная цилиндрическая оболочка под действием поверхностной
нагрузки нормального типа
В основном в работе исследуется поведение перерезывающей силы
N 1 . В третьем параграфе первой главы обсуждается метод расчленения
НДС оболочки на составляющие с различными показателями
изменяемости, который будет применен в следующих главах для решения
поставленных задач. Приводятся схемы расчленения нестационарного
НДС, возникающего в оболочке при действии ударной нагрузки
нормального типа (см. рис. 3 для случая поверхностного воздействия), и
схема областей применимости асимптотических теорий. В случае
6
нормального воздействия поперечного типа NW на торец полуполосы
схема расчленения для касательного напряжения  rx выглядит так же, как
на рис. 3. Решение для перерезывающего усилия в окрестности фронта
волны Рэлея в данном случае является малоамплитудным. Следует
отметить, что рис. 3 имеет качественный характер. В некоторых
конкретных задачах, например, когда воздействие на поверхность
оболочки имеет вид сосредоточенной силы, перерезывающее усилие также
терпит разрыв на фронте волны Рэлея. Однако условный характер этого
фронта сохраняется и в этом случае, поскольку перемещения и все
компоненты тензора напряжений остаются непрерывными вплоть до
границы.
N1 R5
B5
R4
B4
R1
B3
R3
B2
R1
cRt
B1
R2
c2t
R1
c1t
x
Рис. 3. Схема расчленения для перерезывающего усилия (поверхностная нагрузка)
В рассматриваемых случаях поверхностных и торцевых воздействий
нормального типа следует использовать следующие приближенные
теории:
1. Изгибная составляющая теории Кирхгофа–Лява (область R4);
2. Квазиплоская квазиантисимметричная задача теории упругости
(область R1);
3. Погранслой в окрестности условного фронта поверхностных волн
Рэлея (область R3);
4. Пограслой в окрестности фронта волны сдвига (область R2);
5. Наложение двумерной составляющей и квазистатического
погранслоя типа Сен–Венана (область R5).
Далее рассматриваются моменты времени, большие времени пробега
передним фронтом волны толщины оболочки.
В последнем параграфе первой главы приведена постановка задачи
для оболочки по двумерной теории типа Тимошенко. Для этой теории
также указана схема расчленения решения на составляющие.
Во второй главе на основе символического метода А.И. Лурье
выводятся приближенные уравнения для нахождения решения в
окрестности условного фронта поверхностной волны Рэлея. В первом
7
параграфе рассматривается поле Рэлея в случае упругой полуполосы, к
торцу которой приложено ударное торцевое воздействие нормального
типа. Задача сводится к эквивалентной задаче для бесконечного слоя под
действием касательной нагрузки, приложенной к лицевым поверхностям.
Для этого выделяется частное решение уравнений движения,
удовлетворяющее только торцевым граничным условиям:
u 3(0)   I (   ) H (   ) ,
u 1(0)  0,
11(0)   33(0)  0,
13(0) 
(1)
EI
H (   ).
2(1   )h
где u1 , u3 – перемещения в направлении осей x и z , соответственно,
 11 , 22 , 33 , 13 – компоненты тензора напряжений, t – время, h –
полутолщина полосы, E , ,  – модуль Юнга, коэффициент Пуассона и
плотность материала,   x h ,    h – безразмерные переменные.
Решение рассматриваемой задачи представляется в виде следующей
суммы:
НДС = НДС(0) + НДС(1) ,
(2)
где для решения с верхним индексом «1» на торце и лицевых поверхностях
ставятся следующие граничные условия:
  0:
  1:
u3(1)
 0,


(1)
33
 0,
u1(1)  0;

(1)
13
EI

H (   ).
2(1   )h
(3)
На рис. 4 показаны нагружения на лицевые поверхности в задаче для
НДС (а) и схема деформирования полуполосы в этой задаче (б). Его анализ
показывает,
что
деформированное
торцевое
сечение
остается
прямолинейным и перпендикулярным к оси  . Следовательно, если взять
бесконечную полосу с симметричным нагружением, показанным на рис.
2.2 а), то деформирование каждой из ее симметричных частей эквивалентно
деформированию рассматриваемой полуполосы. Поэтому можно перейти к
исследованию эквивалентной задачи для бесконечной полосы с нагрузкой,
представленной на рис. 5.
Для составляющей с индексом «1» на основе символического метода
А.И. Лурье выводятся приближенные уравнения, описывающие дальнее
поле волны Рэлея. Рассматриваются большие значения времени, когда
  1 (т.е. когда фронты волн проходят расстояние, много большее
толщины полосы):   O(T ) , T  1, вводится малый параметр   1 T и
масштабированные переменные y ,  0 :
(1)
8
ζ
ξ
τ
а)
б)
Рис. 4. Нагружения на лицевые поверхности и схема деформирования полуполосы.
ζ
τ
-τ
а)
б)
Рис. 5. Эквивалентная задача для бесконечной полосы
y
 0  k R 0
,

 0   ,
 0   ,
9
(4)
позволяющие построить прифронтовую асимптотику в дальнем поле
волны Рэлея. В (4) k R  cR c2  1 , c R – скорость волны Рэлея. Исходные
уравнения записываются в символической форме, далее вводятся новые
операторы  y ,   , благодаря чему в уравнениях появляется малый
0
параметр  , что позволяет упростить их, отбрасывая асимптотически
второстепенные члены. Вводятся объемный и сдвиговой потенциалы Ламе
 и  , которые представляются в виде
  1  2 ,    1   2 .
(5)
Здесь индексом «1» обозначено отрицательное по  направление
затухания возмущений, индексом «2» – положительное направление. Из
упрощенных символьных уравнений получаются следующие уравнения
для потенциалов:
2
2
 2i
 2 i
2 2  i
2 2  i
(6)
1   kR   2   2  0, 1   kR   2   2  0,
для которых ставятся граничные условия
 2 1 cR2  2 1
 2 2
kR B


2
k
B

S
R
 2 c22  2
 2 1  k R2 2
при   1,
 2 1  2 2 cR2  2 2
kR B
2k R B 2 
 2

S
2
2


c2 
1  k R2 2
при   1,
(7)
1  k R2   1  2 
 1  

 при   1,
 
2   
 
(8)
2  k R2   1  2 
 1  

 при   1,
 
2   
 
 0,5 IH (   ),   0
S 
,
0,5 IH (   ),   0
1
 kR   2
1
4 
B 


.
2 2
2
2 
2
1


k
1

k
2

k
R
R
R 
 
(9)
Перемещения и напряжения выражаются через потенциальные
функции по формулам
u1 
1 2  1  2



,




u3 
10
1 2  1  2



,




(10)
 33 
 13 
E
1 
  k R2   21  2 2   2 1
 2 2

1




 


2   2  2     
 
E
1 
  1
 2  k    1   2  

 1   2 
.

2 








2








2
2
2
R
2
2

,

(11)
Уравнения (6)–(11) представляют собой приближенные уравнения
для описания дальнего поля волны Рэлея при торцевом воздействии
нормального типа. Распространение возмущения в дальнем поле волны
Рэлея с конечной скоростью c R описывается одномерными волновыми
уравнениями (7). Заметим, что скорость волны Рэлея c R явно присутствует
в этих уравнениях. Затухание возмущений по глубине полуполосы (от
каждой из лицевых поверхностей), описывается двумерными
эллиптическими уравнениями (6). Влияние торцевых условий на решение
определяется эквивалентной поверхностной нагрузкой S , имеющей
волновой характер и распространяющейся со скоростью сдвиговой волны.
Приближенные уравнения, полученные в данном параграфе, существенно
упрощают анализ динамических явлений в окрестности фронта
поверхностной волны Рэлея.
Второй параграф посвящен решению уравнений, выведенных в
первом параграфе, и сравнению полученного решения с решением задачи в
точной постановке. Решения как точных, так и приближенных уравнений
ищутся с помощью метода двукратных интегральных преобразований –
Лапласа по времени и Фурье по продольной координате. Сравнение
изображения приближенного решения с асимптотикой изображения
точного решения показывает, что в окрестности условного фронта
поверхностных волн Рэлея асимптотически главные составляющие
решения по точной и приближенной теориям совпадают. Этот факт
подтверждает эффективность приближенной теории, построенной в
первом параграфе.
Третий параграф посвящен выводу приближенных уравнений для
описания дальнего поля волны Рэлея в цилиндрической оболочке. Анализ
уравнений для оболочки показывает, что искомое НДС в окрестности
условного фронта волны Рэлея относится к классу коротковолновых и
является антисимметричным относительно срединной поверхности с
асимптотической погрешностью O( ) . С точностью до величин O( )
уравнения для основной составляющей совпадают с уравнениями для
плоского слоя. Вывод приближенных уравнений символическим методом
А.И. Лурье осуществляется аналогично случаю полуполосы. Для
полубесконечной оболочки получаются уравнения, совпадающие с
уравнениями (6)–(11). Для бесконечной оболочки под действием ударной
поверхностной нагрузки граничные условия (7) принимают вид:
11
2
   2 1
 2 2
P
2  1 
 2k R B
 k R BK
при   1,
 2  kR
2 
  
 
 

2
 2 1
   2 2
P
2  2 
2k R B

 kR
 k R BK
при   1,

2
2 
    
 

(12)
остальные уравнения остаются без изменений.
Третья глава посвящена решению задачи о действии
сосредоточенных сил на поверхность оболочки. К решению задачи
применяется метод расчленения НДС на составляющие с различными
показателями изменяемости. В первом параграфе рассматривается
решение для изгибной составляющей теории оболочек Кирхгофа–Лява
(область R4 на рис. 3). Записаны уравнения в усилиях и моментах, которые
сводятся к разрешающему уравнению для функции прогиба:
1 2 4w
2w

  2 w  2  P0 ,
3 04
 0
(13)
x
tc3
h
R 2 2
2
2
. (14)
0  ,  0  , c3  E /   (1  )  ,   ,  2  1  , P0  P
R
R
R
Eh
К решению поставленной задачи применяются интегральные
преобразование Лапласа по времени и Фурье по продольной координате.
Обращение проводится для перерезывающей силы. Сначала обращается
преобразование Лапласа по второй теореме разложения (разложение по
вычетам подынтегральной функции), а затем – преобразование Фурье.
Полученное решение представляется в виде
N1  N1,1  N1, st ,
(15)
где N1,st – решение соответствующей статической задачи, и

I 1
3
N1,1  0  2  02  sin( 0 0   0  0 )  sin( 0 0   0  0 )  d  0 .
 3 00
(16)
Получена оценка интеграла (16) методом стационарной фазы.
Второй параграф посвящен решению уравнений, выведенных в главе
2 и описывающих дальнее поле волны Рэлея в цилиндрической оболочке
при действии сосредоточенных сил на её поверхность. Метод решения с
применением интегральных преобразований Лапласа и Фурье аналогичен
использованному в первом параграфе. Решение для перерезывающей силы
имеет вид
12
 I0 Bk R5
N1 
4 k22 k32


   sin(    )  sin(    )  2 sin   d  .
c
2
R
R
R

R    R  Be2k
2

,
(16)
(17)
где  c ~ 1 – постоянная, выбираемая таким образом, чтобы при    c
асимптотика (17) достаточно хорошо описывала дисперсионную кривую
первой моды точного решения при    . Это ограничение связано с тем,
что асимптотическая модель дальнего поля волны Рэлея рассчитана на
описание коротковолновых колебаний, поэтому длинноволновые
компоненты решения (16) должны быть исключены. В окрестности
условного фронта волны Рэлея вклад второго и третьего слагаемых в
подынтегральном выражении в (16) мал, и их можно отбросить.
Оставшийся интеграл содержит экспоненциальные множители, быстро
затухающие с ростом  , благодаря чему его можно представить в виде

 I 0 Bk R5  1 
1
N1 
sin(




)
d



R
4 k22 k32  c  2R
k R2

sin

(
k



)
d



 . (18)
R


1 

1
Первое слагаемое в (18) не имеет разрыва при   k R , а второе
можно преобразовать к виду
 I 0 BkR3


sgn(kR   )   Si  1 kR     ,
2 2
4 k2 k3
2

(19)
где Si( x) – интегральный синус. Формула (19) позволяет вычислить
величину скачка перерезывающей силы на фронте волны Рэлея:
 N1 
I 0 Bk R3
 2 2.
4k2 k3
(20)
Для пластины величина  N1  определяется построенной моделью точно,
поскольку представляет собой коротковолновый предел, в котором
погрешность приближенных уравнений равна нулю. Для оболочки скачок
определяется с малой погрешностью O( 2 ) .
В третьем параграфе получено решение рассматриваемой задачи по
теории типа Тимошенко. Как и ранее, применяются интегральные
преобразования Лапласа и Фурье. Силы инерции в осевом направлении не
учитываются. В результате получается следующее выражение для
перерезывающей силы:
13
N1  

I 0k 2



0
  0   02   T2 ,1 
 2
 sin( T ,1 0  00 )  sin( T ,1 0  00 )  
2
2
  T ,1 T ,2   T ,1 
0   02   T2 ,2 
 T2 ,2 T2 ,1  T2 ,2 
sin( T ,2 0  00 )  sin( T ,2 0  00 )  
(21)

2  03
sin


0 0  d 0 ,
 T2 ,1 T2 ,2

где k 2  kT2 (1  ) 2 , T2 ,1 ,  T2 ,2 – s02 – корни уравнения
k 
2
2
0
 s  1  
2
0
2

 2 2 2
2 
4 2
 k   s0   0    k  0  0 ,
3


(22)
взятые с обратным знаком.
В четвертом параграфе третьей главы, также на основе указанных
выше интегральных преобразований, получено точное решение задачи в
трехмерной постановке. Отмечается, что полученное решение достаточно
громоздко и неудобно как для выполнения конкретных расчетов, так и для
качественного анализа полученных результатов. Поэтому применение
описанного выше метода расчленения НДС оболочки на составляющие с
различными
показателями
изменяемости
представляется
более
целесообразным. В дальнейшем точное решение используется для
подтверждения применимости асимптотической модели дальнего поля
волны Рэлея, построенной в главе 2.
В пятом параграфе обсуждаются области согласования и приводятся
результаты численных расчетов. Записано решение плоской задачи теории
упругости (область R1), которое для данного случая совпадает с решением
аналогичной задачи для плоского слоя. Анализ этого решения и
сопоставление его с решениями, полученными ранее, позволил получить
оценку для областей согласования B3 и B4 в виде kR     и для
области согласования B5 в виде  1 2 0  0   0 . Решение для окрестности
фронта волны сдвига (область R2) здесь не рассматривается, поскольку не
содержит ничего принципиально нового по сравнению с задачей для
полубесконечной оболочки, рассмотренной в гл. 4. На рис. 6 изображено
поведение перерезывающего усилия при   0,3 ,   0,01, I 0  1 ,   200 .
Жирной линией показано решение, найденное по теории типа Тимошенко,
тонкой линией – по плоской теории упругости (первая мода), штриховая
линия соответствует изгибной составляющей теории Кирхгофа–Лява.
Рис. 6 показывает, что область согласования при данных значениях
параметров задачи располагается в интервале 70    100 . Также из
рисунка видно, что вблизи торца решение по теории типа Тимошенко
14
совпадает с решением по теории Кирхгофа–Лява, а далее переходит в
решение по плоской теории упругости. Однако теория типа Тимошенко не
описывает вклад высших мод, в отличие от предлагаемой схемы
расчленения.
При расчетах по теории Тимошенко выбиралось значение константы
2
kT  0,86 . Как известно, при таком выборе константы теория типа
Тимошенко практически точно описывает всю дисперсионную кривую
первой моды. Исходя из этого, можно ожидать, что решение по теории
типа Тимошенко будет давать хорошую аппроксимацию точного решения
в областях R1, R3, R4. Для областей R1 и R4 этот факт подтверждается
рис. 6. Однако в окрестности условного фронта волны Рэлея (область R3)
применение теории типа Тимошенко приводит к качественно неверным
результатам. Фронт волны Рэлея ошибочно воспринимается как фронт
волны сдвига с разрывом напряжений по всей толщине пластины, в то
время как точное решение имеет разрывы только на поверхности.
Асимптотическая модель дальнего поля волны Рэлея, применяемая в
данной работе, свободна от этого недостатка.
N1
0.5
0
-0.5
ξ
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
Рис. 6. Сравнение решения по теории типа Тимошенко с решениями в областях R1 и R4
На рис. 7 решение (16) сравнивается с точным решением. На рис. 8
приведен аналогичный график для теории типа Тимошенко. В обоих
случаях интегрирование ведется от  c до  , и в подынтегральных
выражениях оставлено только первое слагаемое, вносящее основной вклад
в поле волны Рэлея, распространяющейся в положительном направлении
оси x . При расчете по трехмерной теории использованы две первые моды.
В расчетах были приняты те же значения параметров задачи, что и на
рис. 6, и  c  3 . Как видно из рисунков, теория типа Тимошенко дает
качественно неверную картину осцилляции в окрестности фронта. Кроме
того, по теории типа Тимошенко неверно определяется величина скачка
перерезывающей силы на условном фронте волны Рэлея: теория типа
15
Тимошенко дает скачок  N1   I0 , а точное решение, как видно из рис. 7,
имеет скачок, определяемый формулой (20), которая при   0,3 дает
 N1   1,342I0 . Погрешности теории типа Тимошенко в окрестности
условного фронта волны Рэлея объясняются тем, что в этой теории
принимается линейный закон изменения перемещений по толщине, в то
время как точное решение имеет характер поверхностной волны, быстро
затухающей при удалении от поверхности. Поэтому для описания дальнего
поля волны Рэлея в оболочках предпочтительнее использовать
асимптотические модели, построенные в главе 2 специально для НДС
данного типа.
N1
0.5
0
-0.5
-1
184
ξ
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
Рис. 7. Поведение перерезывающей силы в окрестности условного фронта волны Рэлея;
тонкая линия – решение по предложенной асимптотической модели, жирная линия –
точное решение
N1
0.5
0
-0.5
-1
184
ξ
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
Рис. 8. Поведение перерезывающей силы в окрестности условного фронта волны Рэлея
по теории типа Тимошенко
Также в п. 3.5 приведен график, показывающий, что впереди
условного фронта волны Рэлея теория типа Тимошенко также не вполне
верно описывает поведение перерезывающего усилия. Это связано с
16
погрешностью аппроксимации этой теорией точного графика групповой
скорости в окрестности т.н. «фазы Эйри».
В четвертой главе рассматривается задача о действии нагрузки
нормального типа на торец полубесконечной оболочки с применением
методики, аналогичной использованной в главе 3. В первом параграфе
получены приближенные решения для каждой из областей, изображенных
на рис. 3, и определены области согласования между ними. В частности,
здесь получено решение для области R2 (пограслой в окрестности фронта
волны сдвига):
N1 
16hI 0
2
 (2n  1) J  (n  0,5)

n 1
1
2
k

2 (   ) H (   ) .
(23)
Во втором параграфе строится решение рассматриваемой задачи по
теории типа Тимошенко и сравнивается с результатами, полученными по
методу расчленения.
На рис. 9 изображено поведение касательного напряжения в
окрестности условного фронта волны Рэлея, вычисленное при тех же
параметрах задачи, что и рис. 7,8. На рис. 10 показано поведение
перерезывающей силы по теории типа Тимошенко. В теории типа
Тимошенко разрыв перерезывающей силы соответствует разрыву
касательного напряжения, которого по точной теории нет. На рис. 11
представлено поведение перерезывающей силы в окрестности фронта
волны сдвига. Сравнение рис. 10 и 11 показывает, что поведение
перерезывающей силы в окрестности фронта волны сдвига по теории типа
Тимошенко напоминает поведение перерезывающей силы в окрестности
фронта волны сдвига по трехмерной теории. В частности, скачок на
фронте волны и в том, и в другом случае равен 2hI 0 . Однако осцилляции в
окрестности фронта по теории типа Тимошенко менее частые и
располагаются впереди фронта, а не позади, как у фронта волны сдвига.
Осцилляции впереди фронта характерны, напротив, для условного фронта
волны Рэлея. Таким образом, фронт волны сдвига по теории типа
Тимошенко представляет собой некую комбинацию фронта волны сдвига и
условного фронта волны Рэлея, при этом и тот, и другой описываются
неверно. Таким образом, и в данной задаче предпочтительнее использовать
метод расчленения НДС, описанный в п. 1.3.
17
σrx
0.02
0
-0.02
-0.04
184
ξ
184.5
185
185.5
186
186.5
187
187.5
188
Рис. 9. Поведение касательного напряжения в окрестности условного фронта волны
Рэлея
N1
0.5
0
-0.5
-1
185
ξ
185.2
185.4
185.6
185.8
186
186.2
186.4
186.6
186.8
187
Рис. 10. Поведение перерезывающей силы в окрестности фронта волны сдвига по
теории типа Тимошенко
N1
1
-0.5
0
-0.5
199
ξ
199.2
199.4
199.6
199.8
200
Рис. 11. Поведение перерезывающей силы в окрестности фронта волны сдвига по
трехмерной теории
18
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ
1. Разработаны и апробированы асимптотические модели для
нахождения
решения
в
окрестности
условного
фронта
поверхностной волны Рэлея в упругой полуполосе и цилиндрической
оболочке при действии торцевой ударной нагрузки нормального
типа.
2. Построена и подтверждена сравнением с точным решением
приближенная теория, описывающей дальнее поле волны Рэлея в
цилиндрической оболочке при ударном нормальном воздействии на
её поверхность.
3.
Сформулированы
схемы
расчленения
напряженнодеформированного состояния оболочки на составляющие с
различными показателями изменяемости для случая воздействий
вида NW.
4. Исследовано нестационарное НДС бесконечной цилиндрической
оболочки при поверхностном ударном воздействии нормального
типа. Получены решения для каждой из составляющих и
установлено наличие областей согласования. Изучены возможности
теории оболочек типа Тимошенко при описании НДС данного типа.
Показано, что фронт волны Рэлея ошибочно воспринимается теорией
типа Тимошенко как фронт волны сдвига с разрывом напряжений по
всей толщине пластины, в то время как точное решение имеет
разрывы только на поверхности. Также показано, что по теории типа
Тимошенко неверно определяется величина скачка перерезывающей
силы на условном фронте волны Рэлея.
5.
Исследовано
нестационарное
НДС
полубесконечной
цилиндрической оболочки при торцевом ударном воздействии
нормального типа. Получены решения для каждой из составляющих
и установлено наличие областей согласования. Изучены
возможности теории оболочек типа Тимошенко при описании НДС
данного типа.
По теме диссертации опубликованы следующие работы:
Статьи в изданиях, рекомендованных ВАК:
1. Коссович Л.Ю., Ковалев В.А., Таранов О.В. Поле Рэлея в задаче Лэмба
для цилиндрической оболочки // Изв. Вузов. Сев.–Кавк. Региона. Естеств. науки.
2004. Спец. выпуск. С. 52 –54.
2. Ковалев В.А., Коссович Л.Ю., Таранов О.В. Дальнее поле волны Рэлея
для упругой полуполосы при действии торцевой нагрузки // Изв. РАН. МТТ.
2005. № 5. С. 89–96.
3. Ковалев В.А., Таранов О.В. Дальнее поле волны Рэлея для упругой
цилиндрической оболочки при действии торцевой нагрузки // Вестн. Самар. унта. Естественнонаучная серия. 2007. №4(54). С. 197–208.
19
4. Ковалев В.А., Таранов О.В. Анализ точного и приближенного решений
для погранслоя в окрестности условного фронта поверхностной волны Рэлея в
упругой полуполосе // Вестн. Самар. ун-та. Естественнонаучная серия. 2007.
№ 6(56). С. 43–50.
5. Вильде М.В., Ковалев В.А., Коссович Л.Ю., Таранов О.В. Применение
метода расчленения НДС в задаче об ударном поверхностном воздействии
нормального типа на цилиндрическую оболочку // Вестн. Самар. ун-та.
Естественнонаучная серия. 2008. № 8/1(67). С. 254–268.
Статьи в прочих изданиях:
6. Kossovich L. Yu., Kovalev V.A., Taranov O.V. Asymptotic model for far
field of Rayleigh in the case of elastic thin-walled cylinder / International seminar.
Days on diffraction 2004. St. Peterburg. 2004. Abstracts. P. 69.
7. Ковалев В.А., Таранов О.В. Расчленение нестационарного НДС для
цилиндрических оболочек при ударных торцевых воздействиях нормального
типа // Материалы V Российской конференции с международным участием
«Смешанные задачи механики деформируемого тела» под ред. акад.
Н.Ф. Морозова. – Саратов: Изд-во СГУ. 2005. С. 191–193.
8. Таранов О.В. Решение для погранслоя в окрестности условного фронта
поверхностной волны Рэлея в упругой полуполосе // Сборник научных трудов
«Математическое моделирование и управление в сложных системах». Выпуск 8.
– М.: Изд. МГАПИ. 2005. С. 62–68.
9. Ковалев В.А., Таранов О.В. Специфика нестационарного напряженнодеформируемого состояния в цилиндрической оболочке при действии ударной
нагрузки // Сборник трудов IX Всероссийской научно–техн. конференции
«Новые информ. технологии». Москва. 26 апреля 2006. М. Изд. МГАПИ. 2006.
С. 39–46.
10.
Ковалев В.А.,
Таранов О.В.
Нестационарного
напряженнодеформируемое состояние пластин и оболочек при ударных торцевых
воздействиях нормального типа // IX Всероссийский съезд по теоретической и
прикладной механике. Нижний Новгород. 2006. Аннотации докладов. Том III.
C. 111.
11.
Таранов О.В.
Асимптотический
подход
в
исследовании
нестационарных волн при ударных торцевых воздействиях // Труды Юбилейной
школы-семинара «Проблемы современной механики твердого тела и прикладной
математики», к 70-летию доктора физико-математических наук, профессора
Г.И. Быковцева. Самара. Изд.-во СамГУ, 2008. С. 77–78.
12. Ковалев В.А., Таранов О.В. Задача о действии нагрузки нормального
типа на торец полубесконечной оболочки // Сборник трудов XII Всероссийской
научно–техн. конференции «Новые информ. технологии». Москва. 20–21 апреля
2009. М. Изд. МГУПИ. 2009. С. 53–59.
13. Таранов О.В. Задача об ударном поверхностном воздействии
нормального типа на цилиндрическую оболочку // Сборник трудов XIII
Всероссийской научно–техн. конференции «Новые информ. технологии».
Москва. 19–21 апреля 2010. М. Изд. МГУПИ. 2010. С. 102–107.
20