Document 953448

Вопрос 2. Гипотеза случайного блуждания (RWH)
Сформулировать задачу динамической оптимизации для потребителя в условиях
неопределенности в отношении будущих доходов и ставок процента.
Рассматриваем домохозяйство, которое максимизирует свою общую функцию полезности (1) при
бюджетном ограничении (2) на бесконечном или конечном периоде T.
T /
u (Ct )
(1) 
 max
t
Ct
t 0 (1   )
T /
T /
Ct
Yt
(2) 

A


0
t
t
t  0 (1  r )
t  0 (1  r )
u(*) – функция текущей полезности
ρ – субъективная норма предпочтений
А0 – первоначальный запас богатства
Y – трудовой доход
Бюджетное ограничение (2) можно переписать в динамической форме:
 At 1   At  Yt  Ct (1  r )

At

0
(3)  NPG : lim
t  (1  r ) t


AT  0
где NPG – условие отсутствия игр Понзи, другими словами, условие отсутствия пузырей. В конце жизни
сбережения не нужны, поэтому накопленное богатство должно стремиться к нулю.
условие At=0 – это NPG в случае конечного периода максимизации.
Решение данной задачи может быть получено с использованием принципа динамического
программирования. Первое, что необходимо сделать – ввести в модель функцию Беллмана (функция
стоимости) и составить соответствующее уравнение Беллмана (4).
E V ( At 1 , Yt 1 , rt 1 )

(4) V ( At , Yt , rt )  max u (Ct )  t

Ct
(1   )


Объясните экономический смысл уравнения Беллмана.
Эта функция может рассматриваться как обобщенная функция полезности или функция полезности от
богатства. Метод динамического программирования позволяет переформулировать задачу (1), (3) в
проблему пошагового принятия оптимальных решений в каждый момент времени. Такая задача
позволяет двигаться из будущего в прошлое, устраняя проблему неопределенности. В каждый момент
времени перед репрезентативным агентом стоит проблема оптимального распределения трудового
дохода между потреблением и сбережениями в отсутствии точного знания будущих значений трудового
дохода и ставки процента. Но если бы эту задачу можно было бы решать не сейчас, а в следующий
период времени, проблема неопределенности бы не стояла. В этом и состоит суть метода динамического
программирования.
Т.е. (4) определяет текущее значение функции стоимости как уже оптимальное решение проблемы
выбора между полезностью от Сt и ожидаемой приведенной стоимостью полезности от потребления во
все будущие моменты. Функция стоимости V ( At , Yt , rt ) имеет обычный для данного класса
экономических задач смысл. Она может рассматриваться как обобщенная функция полезности, или
функция полезности от богатства. Зависимость функции стоимости от величины трудового дохода и
ставки процента характеризует ее будущие значения как случайные величины.
Выведите и проинтерпретируйте F.O.C. в модели
Оптимизация правой части (4) с учетом динамического Б.О., определяющего зависимость At 1 от Ct ,
дает следующий F.O.C.:

1
V ( At 1, Yt 1, rt 1 ) 
(5)
u(Ct ) 
Et (1  rt 1 )
 . Обозначая валовые сбережения Zt = At + Yt - Ct ,
1 ρ 
At 1

перепишем уравнение Беллмана (4) как если бы оптимизировали деятельность агента не по
потреблению, а по «валовым сбережениям»:
E V ( At 1 , Yt 1 , rt 1 )

6 V ( At , Yt , rt )  max
u ( At  Yt  Z t )  t

 Допустим, мы уже нашли максимум правой
Zt
(1   )


*.
части уравнения Беллмана для некоторого Zt С учетом того, что At 1  Z t (1  rt 1 ) , мы можем
представить (6) в виде:
(7) V ( At , Yt , rt )  u( At  Yt  Z t* ) 


Et V ( Z t* (1  rt 1 ), Yt 1 , rt 1 )
. Далее дифференцируем уравнение по At и
(1   )
*
получаем: V ( At , Yt , rt )  u ( At  Yt  S t )  u ' (C ) , или окончательно: (8) V ( At , Yt , rt )  u(C ) .
t
t
At
At
At
Экономический смысл: в точке оптимума предельная полезность потребления должна быть равна
предельной полезности богатства. Предельные потери отказа от дополнительной единицы текущего
потребления должны быть компенсированы предельным выигрышем от получаемой возможности
увеличения потребления в будущем – возможности, которую дает дополнительная единица
накопленного богатства.
Теперь можно выводить зависимость оптимального потребления от стохастической динамики трудового
дохода. (Что и делал Холл).
Сформулируйте предположения Холла и выведите основные результаты теории случайного
блуждания Хола.
Записывая (8) для момента времени t  1 и подставляя его в (5), мы получаем:
1
u(Ct ) 
Et (1  rt 1 )u(Ct 1 ) .
(9)
1 ρ
Если предположить, что ставка процента является постоянной величиной, rt  r , то (9) можно
представить в виде:
1 ρ
Et u(Ct 1 )  γu(Ct ), γ 
или (10) u(Ct 1 )  γu(Ct )  ξt 1 .
1 r
1
2
Холл также предположил, что функция полезности квадратическая: u (C t )   C  C t  . Тогда
2
предельная полезность – линейная: u(Ct )  C  Ct . Тогда получаем Et u (Ct 1 )  u ( Et Ct 1 ) . Т.е.
использование квадратической функции полезности означает, что поведение репрезентативного агента
соответствует принципу эквивалентности детерминированному случаю – решение задачи
оптимизации в условиях неопределенности обладает теми же свойствами что и в случае субъективной
определенности. Тогда условие (10) преобразовывается к виду:
C ( r  ρ)
Ct 1  β0  γCt  εt 1 , β0 
, Et εt 1  0 .
1 r
Кроме того, Холл также предположил, что r  ρ и получил (11) Ct 1  Ct  εt 1 .
Т.е. изменение в потреблении между любыми двумя периодами t и t+1 не связано с предшествующей
динамикой трудового дохода.
А что тогда определяет случайное приращение в потребительских расходах?
Рассмотрим
бюджетное
ограничение
для
случая
постоянной


Cτ
Yτ
,
Et 
 At  Et 
τ t
τ t
τ  t 1  r 
τ  t 1  r 
мы можем, используя (11), определить текущий уровень потребления:
 
1
Ct   
τ t
 τ  t 1  r 
ставки
процента:
1


 


Yτ
r 
Yτ
  At  Et 

A

E
t
 t
τ t 
τ t 
τ  t 1  r 
τ  t 1  r 
 
 1 r 

Отсюда и получаем определение приращения в потреблении:
r  Et 1Yτ  EtYτ
.
ΔCt  Ct 1  Ct 

1  r τ t 1 1  r τ t 1
Таким образом, случайное изменение в уровне потребления εt 1 - это результат переоценки ожидаемых
значений будущих доходов. И только новая информация относительно любых показателей,
воздействующих на перманентный доход, является релевантной для определения текущего
потребления.