ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ ТОНКОСТЕННЫХ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ТРУБ ИЗ АРМИРОВАННЫХ ПЛАСТИКОВ А.В. Коротков, Ю.А. Куликов Марийский государственный технический университет, Йошкар-Ола, Россия Одним из источников упругих колебаний труб и трубопроводов являются пульсации давления рабочей среды. Под действием пульсаций труба совершает обычные вынужденные колебания, связанные с растяжением-сжатием стенки (труба “дышит”). В определённых условиях стационарные режимы колебаний становятся динамически неустойчивыми, в системе развивается параметрический резонанс. Результаты исследования устойчивости осесимметричных форм колебаний прямолинейных труб, как тонкостенных цилиндрических оболочек, представлены в многочисленных работах, например [1]. Отличительной особенностью параметрических колебаний криволинейных труб является наличие наряду с простыми резонансами комбинационных резонансов суммарного типа [2]. Рис. 1. Расчетная схема Рассмотрим трубу (рис. 1), осевая линия которой представляет дугу окружности радиуса R , длиной L , с центральным углом (углом гиба) 0 . Труба имеет идеально круглое поперечное сечение радиуса r , причём r / R 1/ 5 . Толщина стенки h . Края трубы закрыты абсолютно жесткими невесомыми заглушками. Стенка трубы образована перекрёстной спиральной намоткой волокон или армированной ленты на оправку. Распределения коэффициентов армирования и эффективных упругих постоянных в зависимости от углов армирования ± , структуры пакета слоёв и технологической схемы намотки даны в [3]. Труба находится под действием моногармонического давления p(t ) pm (1 cos t ) , где pm – среднее (рабочее) давление, p0 / pm 1 – параметр пульсации; p0 и – амплитуда и круговая частота. Возмущённую форму, соответствующую отклонению движения от невозмущённого, аппроксимируем функциями вида: w s, , t w1n ( s, t )cos n w2 n ( s, t ) sin n , n 1 1 (1) w1n (s, t ) sin n w2n (s, t ) cos n , n 1 n s s wm1 ( s, t ) wm1 (1 cos ), wmn ( s, t ) wmn cos . L L Здесь v и w – перемещения точек срединной поверхности в окружном и радиальном направлениях, s и – осевая и окружная координаты, t – время, wmn wmn t – v s, , t обобщенные координаты, соответствующие стержневым ( m = 1, 2 и n = 1) и оболочечным ( m = 1, 2 и n = 2, 3, 4, …) формам. Индекс m = 1 соответствует колебаниям в плоскости трубы, индекс m = 2 – колебаниям по нормали к плоскости. Стержневая (балочная) форма отражает перемещения, связанные с движениями поперечного сечения трубы как жёсткого целого, оболочечные формы – перемещения, связанные с деформированием стенки оболочки. Рассматриваются n = 2, 3, 4, .., волн в окружном направлении и одна полуволна в осевом направлении. На основании аппроксимации (1), полубезмоментной теории анизотропных слоистых оболочек и уравнений Лагранжа второго рода получены две независимые системы связанных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами жесткости Aw 2 Bw (C 2 F cos t )w 0 , (2) которые описывают параметрические колебания трубы, как в плоскости её кривизны, так и по нормали к плоскости. При этом 6 D2 /(mТ r 3 ) – множитель, mT 2 hr – масса единицы длины трубы, D2 E2h3 / 12 1 12 21 – жёсткость стенки на изгиб в окружном направлении, E2 , 12 , 21 – эффективные упругие постоянные [4], 0.5 p0 / pкр – pкр 3D2 / r 3 – критическое внешнее давление, соответствующее статической потере устойчивости, – коэффициент демпфирования, f nn n 2 1 . Элементы матриц A , B , C определяются рекуррентными формулами [5]. Разрешающая система уравнений (2) описывает параметрические колебания связанной оболочечно-стержневой системы. Источником параметрического возбуждения служит периодическое изменение объёма внутренней полости. При этом давление ”работает” не на основных (осесимметричных) перемещениях, а на дополнительных перемещениях, связанных с изгибными деформациями стенки. Из анализа структуры матрицы C следует, что стержневая форма ( n = 1) связана с оболочечной формой ( n = 2). Это значит, что колебания трубы как стержня сопровождаются колебаниями стенки оболочки, связанными со сплющиванием поперечного сечения (проявляется эффект Кармана). Взаимодействие стержневой и оболочечных форм обусловлено упругими связями, интенсивность которых характеризуется недиагональными элементами матрицы C и зависит от длины трубы L коэффициент параметрического возбуждения, и параметра кривизны r / R . Чем короче труба и чем больше параметр r / R , тем сильнее проявляются эти связи. Кроме того, оболочечные формы взаимодействуют друг с другом: раздельно n – чётные гармоники ( n = 2, 4, 6, …) и n – нечётные гармоники ( n = 3, 5, 7, …). Чем меньше радиус кривизны R и больше число n , тем сильнее взаимодействие. В условиях номинального рабочего режима идеальную трубу рассматриваем как параметрически возбуждаемую систему с малой глубиной модуляции параметра . Анализ устойчивости упругих колебаний ограничиваем областью низших собственных частот. Для расчета границ областей неустойчивости при главных простых резонансах 2i и главных комбинационных резонансах i j ( i , j = 1, 2, .., 5) используем метод малого параметра [1]. Возмущённую форму движения представляем в виде суперпозиции собственных форм. Для решения задачи на собственные значения используем метод Якоби. В докладе представлены результаты исследования зависимости спектров низших собственных форм и частот от рабочего давления, а также геометрических, структурных и технологических факторов. Полученные результаты сопоставлены с данными расчётов МКЭ. Показаны картины резонансных полос в зависимости от угла гиба трубы 0 = 5º, 90º, 135º, 180º (при L = const) и углов армирования = ±55º, ±65º, ±75º. Установлено, что при уменьшении кривизны трубы низшая собственная частота 1 увеличивается, а высшие частоты 2 , 3 , 4 , 5 наоборот, уменьшаются и приближаются к собственным частотам прямой трубы. При этом области динамической неустойчивости смещаются в сторону меньших значений / 21 , относительная ширина полос сужается. При 0 = 5º области неустойчивости 21 и 1 2 практически исчезают. С увеличением углов армирования ± области динамической неустойчивости, соответствующие главным простым и главным комбинационным резонансам, смещаются в сторону больших значений / 21 . При этом области неустойчивости 21 и 1 2 сужаются, а области неустойчивости 2 2 , 23 , 2 4 , 25 и 2 4 , 3 5 , наоборот, расширяются. ЛИТЕРАТУРА 1. Болотин В.В. Динамическая устойчивость упругих систем. – М.: Гостехиздат, 1956. – 600 с. 2. Куликов Ю.А. Вибропрочность тонкостенной криволинейной трубы под действием пульсирующего внутреннего давления // Проблемы машиностроения и надежности машин. – 1993. – № 3. – С. 23–30. 3. Куликов Ю.А., Лоскутов Ю.В. Механика трубопроводов из армированных пластиков. – Йошкар-Ола: МарГТУ, 2004. – 156 с. 4. Коротков А.В., Куликов Ю.А. Анализ собственных частот колебаний тонкостенных многослойных труб из армированных пластиков // Механика композиционных материалов и конструкций. – 2008 – Т. 14. – № 2. – С. 236–249. 5. Коротков А.В., Куликов Ю.А. Свободные колебания многослойных криволинейных труб из армированных пластиков // Механика композиционных материалов и конструкций. – 2009. – Т. 15. – № 2. – С. 203–220.