Математический анализ - Факультет математики

Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Форма
Ф-Рабочая программа по дисциплине
УТВЕРЖДЕНО
Ученым советом факультета математики и
информационных технологий
Протокол №________ от «____»_________2008 г.
Председатель __________________А.А. Бутов
(подпись, расшифровка подписи)
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
Дисциплина:
Кафедра:
ЕНФ.01.1 Математический анализ
Алгебро-геометрических вычислений ____(АГВ)____
(аббревиатура)
Специальность (направление): 010200 Прикладная математика и информатика
(код специальности (направления), полное наименование)
Дата введения в учебный процесс УлГУ:
«_____» ___________ 2008 г.
Сведения о разработчиках:
ФИО
Верёвкин Андрей Борисович
Аббревиатура
кафедры
АГВ
Ученая степень,
звание
к.ф.-м.н., доцент
Заведующий кафедрой
Мищенко С.П.
(ФИО)
/_____________/
(Подпись)
«______»__________ 2008 г.
Форма А
Страница 1 из 9
Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Форма
Ф-Рабочая программа по дисциплине
Оглавление
1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ. ...................................... 3
1.1. Цели ........................................................................................................... 3
1.2. Задачи ........................................................................................................ 3
2. ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ ...................... 3
3. ОБЪЕМ ДИСЦИПЛИНЫ. ............................................................................... 4
3.1. Объем дисциплины и виды учебной работы: ....................................... 4
3.2. Распределение часов по темам и видам учебной работы: ................... 4
4. СОДЕРЖАНИЕ ................................................................................................ 5
Тема 1: Первообразные и неопределённый интеграл ..................................... 5
Тема 2: Определённый интеграл Римана ......................................................... 5
Тема 3. Длина и мера числовых подмножеств................................................. 5
Тема 4. Геометрические приложения интеграла ............................................. 5
Тема 5. Вещественные пространства и топология .......................................... 5
Тема 6. Вектор-функции многих переменных ................................................. 5
Тема 7. Пределы, непрерывность и дифференциалы ……………………..5-6
Тема 8. Исследование экстремумов числовых функций с помощью правила
множителей Лагранжа ………………………………………………………...6
5. ТЕМЫ СЕМИНАРСКИХ ЗАНЯТИЙ ............................................................ 6
6. ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ КОНТРОЛЬНЫХ ВОПРОСОВ ПО
ПОДГОТОВКЕ К ЗАЧЕТАМ И ЭКЗАМЕНАМ ................................................ 6
7. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ.............. 8
7.1. Список литературы: ................................................................................. 8
Форма А
Страница 2 из 9
Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Форма
Ф-Рабочая программа по дисциплине
1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ.
Учебная дисциплина «Математический анализ» является одной из фундаментальных математических дисциплин, изучаемых студентами первых курсов, обучающихся на специальностях математического профиля. Она является обязательной
естемтвенно-научной математической дисциплиной. Цель её – дать студентам навыки
работы с функциями и числовыми множествами, а также – понимание и применение
законов дифференцирования и интегрирования для исследования математических
моделей геометрических, физических, экономических и социальных явлений.
Дисциплина «Математический анализ» базируется на знаниях и умениях в
области элементарной математики, приобретённых студентами в школе.
1.1. Цели
Целями изучения дисциплины являются:
1. овладение начальными знаниями по математическому анализу, необходимыми
для изучения других дисциплин специальности
2. развитие навыков решения задач по математическому анализу
1.2.
Задачи
Основными задачами учебной дисциплины являются:
1. формирование у будущих математиков всесторонних знаний об основных
методах исследования функций в математическом анализе.
2. приобретение студентами навыков и умений по решению простейших задач
математического анализа.
2. ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
В результате изучения дисциплины «Математический анализ» студенты должны
знать основные понятия (и соответствующие факты ) данного курса:
множества и функции одной и нескольких переменных, поле действительных
чисел и его подмножества, вещественное векторное пространство и евклидову
топологию в нём, предел последовательности и функции, непрерывность функции,
точки разрыва, дифференцируемость функции, дифференциал, первообразную и
интеграл Римана функции одной переменной, меру и длину подмножеств
вещественных чисел;
уметь решать простейшие задачи по данному курсу:
1. Находить первообразные и интегралы элементарных функций.
2. С помощью интегрирования находить длины, площади и объёмы.
3. Владеть техникой дифференцирования функций многих переменных: применять
правило дифференцирования сложной функции, дифференцировать параметрически и
неявно заданные функции, находить дифференциалы высших порядков.
4. Применять дифференциал и формулу Тейлора к приближённым вычислениям, в том
числе с заданной степенью точности.
5. Находить пределы (раскрывать неопределённости) функций многих переменных.
6. Находить экстремумы функций многих переменных.
Форма А
Страница 3 из 9
Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Форма
Ф-Рабочая программа по дисциплине
3. ОБЪЁМ ДИСЦИПЛИНЫ
3.1.
Объем дисциплины и виды учебной работы:
Вид учебной работы
1
Аудиторные занятия:
Лекции
практические и семинарские занятия
Самостоятельная работа
Всего часов по дисциплине
Текущий контроль (количество и вид,
контрольные работы)
Курсовая работа
Виды промежуточной аттестации
(экзамен, зачет)
Количество часов (форма обучения очная)
В т.ч. по семестрам
Всего по плану
1
2
3
2
3
4
5
144
144
72
72
72
72
144
144
288
288
3
3
зачет,
экзамен
зачет,
экзамен
3.2.
Распределение часов по темам и видам учебной работы:
Форма обучения очная
Виды учебных занятий
Аудиторные занятия
практиче Самосто
ятельная
ские
лекции
работа
занятия,
семинар
3
4
5
Название и разделов и тем
Всего
1
2
1. Первообразные и неопределённый интеграл
2. Определённый интеграл Римана
3. Длина и мера числовых подмножеств
4. Геометрические приложения интеграла
5. Вещественные пространства и топология
6. Вектор-функции многих переменных
7. Пределы, непрерывность, частные производные и дифференциалы
8. Исследование экстремумов числовых функций
с помощью правила множителей Лагранжа
16
14
12
24
14
24
20
10
10
6
8
8
10
10
6
4
6
16
6
14
10
16
14
12
24
14
24
20
26
10
10
26
Итого
144
72
72
144
Форма А
Страница 4 из 9
Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Форма
Ф-Рабочая программа по дисциплине
3. СОДЕРЖАНИЕ
Тема 1. Первообразные и неопределённый интеграл.
Правила неопределённого интегрирования: линейность, замена переменных и
подстановка в интеграл, интегрирование по частям. Таблицы интегралов.
Интегрирование рациональных функций. Правило Остроградского интегрирования
рациональных функций. Подстановки Эйлера для интегрирования иррациональностей.
Тема 2. Определённый интеграл Римана.
Единственность интеграла Римана. Необходимое условие интегрируемости по Риману.
Суммы Дарбу и формулы Дарбу и интеграл Дарбу. Критерий Дарбу интегрируемости по
Риману. Критерий Лебега интегрируемости по Риману. Свойства интеграла Римана:
аддитивность по мере, линейность, замена переменных и интегрирование по частям.
Непрерывность и дифференцируемость интеграла Римана, как функции верхнего
предела. Интегральные теоремы о среднем.
Тема 3. Длина и мера числовых подмножеств.
Числовые множества нулевой длины и нулевой меры. Их свойства. Длина и мера
числовых подмножеств. Множества, измеримые по Жордану. Множество Кантора и его
свойства.
Тема 4. Геометрические приложения интеграла.
Вычисление площадей фигур, длин линий, заданных явными декартовыми уравнениями,
параметрически и в полярных координатах. Нахождение объёмов тел вращения и
площадей их поверхности. Нахождение центров тяжести фигур и тел, а также –
моментов.
Тема 5. Вещественные пространства и топология.
Топологические, нормированные и метрические пространства: определения и примеры.
Метрики в Rn. Полные метрические пространства, полнота Rn. Свойства непрерывных
отображений метрических пространств. Свойства компактных и секвенциально–
компактных подмножеств метрических пространств. Критерий компактности в Rn.
Связные подмножества топологических пространств. Сохранение связности при
непрерывных отображениях. Теорема Больцано. Выпуклые и линейно-связные
подмножества в Rn.
Тема 6. Вектор-функции многих переменных.
Вариация вектор–функций. Теорема Жордана о функциях ограниченной вариации. Пути
и кривые в Rn, длина кривой, касательная к кривой.
Тема 7. Пределы, непрерывность, частные производные и дифференциалы.
Частные производные и теорема Шварца о равенстве смешанных частных производных.
Форма А
Страница 5 из 9
Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Форма
Ф-Рабочая программа по дисциплине
Дифференцируемость функций многих переменных, дифференциал dF(x) отображения F:
Rn → Rm и его свойства. Матрица Якоби JF(x). Достаточное условие
дифференцируемости в точке. Теорема о дифференциале сложной функции и «цепное
правило»' вычисления частных производных. Теорема о дифференциале обратной
функции. Формула Тейлора для гладких числовых функций многих переменных. Второй
дифференциал числовой функции многих переменных. Формулировки теоремы о
локальном диффеоморфизме и теоремы о неявной функции и её дифференциале.
Касательная плоскость к поверхностям в Rn, определение и способы задания.
Необходимые и достаточные условия функциональной зависимости числовых функций
многих переменных.
Тема 8. Исследование экстремумов числовых функций с помощью правила множителей
Лагранжа.
Локальный экстремум числовой функции многих переменных. Необходимое и
достаточное условия существования локального экстремума в точке. Гладкие многообразия в Rn, неособые многообразия. Условный локальный экстремум числовой функции
многих переменных, примеры. «Правило множителей» Лагранжа. Достаточный признак
условного локального экстремума числовой функции многих переменных.
4. ТЕМЫ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
1. Нахождение неопределённых интегралов. Изучение методов интегрирования.
2. Вычисление определенных интегралов Римана с помощью правила Ньютона–
Лейбница.
3. Нахождение площадей фигур, длин кривых, объёмов тел, с помощью
интегрирования.
4. Нахождение центров тяжести тел и фигур, моментов с помощью интегрирования.
5. Нахождение пределов функций многих переменных.
6. Вычисление частных производных и дифференциалов разных порядков функций
многих переменных.
7. Разложение функций многих переменных в ряд Тейлора.
8. Изучение свойств многообразий, построение касательных к ним.
9. Нахождение локальных экстремумов, в том числе и условных правилом
множителей Лагранжа.
10. Выполнение замены переменных в дифференциальных уравнениях с частными
производными.
5. ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ КОНТРОЛЬНЫХ ВОПРОСОВ ПО ПОДГОТОВКЕ К
ЗАЧЕТАМ И ЭКЗАМЕНАМ
Требования к уровню знаний и умений студентов на зачете.
Необходимо владеть основными понятиями и решать простейшие задачи по данному
курсу:
1. Нахождение неопределённых интегралов. Знание таблицы интегралов и владение
элементарными методами интегрирования.
Форма А
Страница 6 из 9
Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Форма
Ф-Рабочая программа по дисциплине
2. Вычисление определенных интегралов Римана с помощью правила Ньютона–
Лейбница.
3. Нахождение площадей фигур, длин кривых, объёмов тел, с помощью интегрирования.
4. Вычисление частных производных и дифференциалов разных порядков функций
многих переменных.
5. Разложение функций многих переменных в ряд Тейлора.
6. Построение касательных плоскостей к многообразиям.
7. Нахождение локальных экстремумов, в том числе и условных правилом множителей
Лагранжа.
6. ЭКЗАМЕНАЦИОННАЯ ПРОГРАММА
1. Первообразная и неопределенный интеграл, и их свойства.
2. Правило Остроградского интегрирования рациональных функций.
3. Определенный интеграл Римана, его единственность.
4. Необходимое условие интегрируемости по Риману.
5. Суммы Дарбу и формулы Дарбу.
6. Критерий Дарбу интегрируемости по Риману.
7. Числовые множества нулевой длины и нулевой меры. Их свойства.
8. Множество Кантора и его свойства.
9. Критерий Лебега интегрируемости по Риману.
10. Длина и мера подмножеств R. Множества, измеримые по Жордану.
11. Свойства интеграла Римана.
12. Непрерывность интеграла Римана, как функции верхнего предела.
13. Дифференцируемость интеграла Римана, как функции верхнего предела.
14. Первая и вторая интегральные теоремы о среднем.
15. Приложения определенного интеграла Римана.
16. Топологические, нормированные и метрические пространства: определения и
примеры. Метрики в Rn.
17. Вариация вектор–функций. Теорема Жордана о функциях ограниченной вариации.
18. Пути и кривые в Rn, длина кривой, касательная к кривой.
19. Полные метрические пространства, полнота Rn.
20. Свойства непрерывных отображений метрических пространств.
21. Свойства компактных и секвенциально–компактных подмножеств метрических
пространств.
22. Критерий компактности в Rn.
23. Связные подмножества топологических пространств. Сохранение связности при
непрерывных отображениях. Теорема Больцано.
24. Выпуклые и линейно-связные подмножества в Rn.
25. Частные производные и теорема Шварца о равенстве смешанных частных
производных.
26. Дифференцируемость функций многих переменных, дифференциал dF(x)
отображения F: Rn → Rm и его свойства. Матрица Якоби JF(x).
27. Достаточное условие дифференцируемости в точке.
28. Теорема о дифференциале сложной функции и «цепное правило»' вычисления
частных производных.
29. Теорема о дифференциале обратной функции.
Форма А
Страница 7 из 9
Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Форма
Ф-Рабочая программа по дисциплине
30. Формула Тейлора для гладких числовых функций многих переменных.
31. Второй дифференциал числовой функции многих переменных.
32. Локальный экстремум числовой функции многих переменных. Необходимое и
достаточное условия существования локального экстремума в точке.
33. Формулировки теоремы о локальном диффеоморфизме и теоремы о неявной
функции и ее дифференциале.
34. Касательная плоскость к поверхностям в Rn, определение и способы задания.
35. Гладкие многообразия в Rn, неособые многообразия, примеры.
36. Условный локальный экстремум числовой функции многих переменных,
примеры. «Правило множителей» Лагранжа.
37. Достаточный признак условного локального экстремума числовой функции
многих переменных.
38. Необходимые и достаточные условия функциональной зависимости числовых
функций многих переменных.
Пример экзаменационного билета
Кафедра_Алгебро-геометрических вычислений
Факультет математики и информационных технологий
Специальность: прикладная математика и информатика, математика.
Дисциплина математический анализ. Форма обучения: очная. Курс 1, семестр 2.
Билет №1
1. Интеграл Римана и его свойства.
2. Дифференциал функции многих переменных.
3. Найти интеграл ∫ arcsin(x)dx.
4. Вычислить первый и второй дифференциалы функции f(x, y) = exy.
5. Найти экстремумы функции f(x,y) = xy при условии x2 + y2 = 1.
При
выполнении
экзаменационного
задания
требуется
решить
задачи,
сформулировать соответствующие определения и теоремы и привести доказательство
одной из них по выбору студента.
7. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ.
7.1.
Рекомендуемая литература:
1. Камынин Л.И. Курс математического анализа. Т 1.:Учебник.-М.:Изд-во МГУ, 1993400 с.
2. Зорич В.А. Математический анализ, часть 1-М.: Наука,1981.-544с.
Форма А
Страница 8 из 9
Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Форма
Ф-Рабочая программа по дисциплине
3. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу:
Учеб.пособие для вузов.- М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство
АСТ», 2002.- 558 с.
4. Ляшко И.И., Боярчук А.А., Гай Я.Г., Головач Г.П. Математический анализ в примерах
и задачах, ч.1. Введение в анализ, производная, интеграл. – Киев, Издательское
объединение «Вища школа», 1974.-680 с.
Форма А
Страница 9 из 9