Муниципальное образовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 49 Выполнила: ученица 11 «М» класса Боголей Светлана Учитель: Пирогова Г.С. Карасук – 2007 Объект исследования: материалы ЕГЭ по математике. Предмет исследования: способы решения задач на определение множества значений функции. Цель исследования: разработка и систематизация оптимальных методов решения задач ЕГЭ по математике. Задачи исследования: 1. Изучить типы заданий ЕГЭ. 2. Рассмотреть различные способы решений задач на нахождение множества значений функции. 3. Сравнить временные затраты на решение задания различными способами. 4. Выбрать оптимальные методы решения. Гипотеза: если представить сложную функцию как композицию элементарных функций, указать множества значений, применить свойства монотонности, то можно найти множество значений сложной функции, минуя трудоемкий процесс нахождения производной, экстремумов и т.д., тем самым сэкономить время для решения других задач на экзамене. Методы исследования: самостоятельное решение заданий; обсуждение решений с одноклассниками на уроке и факультативе; проведение анализа, сравнение, выводы. Рассмотрим решение задачи с помощью производной. В7 (вариант 89).Найдите наименьшее значение функции g x log 0,5 (2 x 2 ). Область определения функции Dg : 2 x 2 0 . Рассмотрим функцию f x 2 x . Графиком этой функции служит парабола, причем ветви 2 её направлены вниз. Найдем точки пересечения параболы с осью абсцисс: 2 x 0 2 x 2 x 2 1 2 ; x2 2 D( g ) : 2 x 2 Найдем производную функции g(x): 1 1 2x g ' x 2 x . 2 2 ln 0,5 2 x 2 x ln 0,5 - 2 2 Область определения производной функции: 2 D g ' : 2 x 0 2 x x 1 2 2 x 2 2 Найдем нули производной g’(x)=0 2x 0 (2 x 2 ) ln 0,5 2x 0 x0 Определим: максимум или минимум принимает функция в точке x=0. 2 x f x 0. g’(x) g(x) - 2 + 0 min x 2 Функция убывает на 2 ;0 и возрастает на 0; 2 , следовательно, достигает своего минимума в точке х=0, равного -1. Ответ:-1. Теперь рассмотрим решения типичных задач другим способом: с помощью оценки области определения. В7 (вариант 89).Найдите наименьшее значение функции g x log 0,5 (2 x 2 ). 1) f ( x) 2 x 2 D( f ) R; E( f ) (; 2 f ( x) y 2) h( y ) log 0,5 y 2 f x D(h) (0; 2 h(2) log 0,5 2 1 h E (h) 1; Ответ:-1. y 1 2 -1 В4 (вариант 001).Найдите наибольшее целое значение функции y 5 1) f ( x) x f D( f ) R; E( f ) 0; f ( x) z x 2) g ( z ) 5 z D( g ) 0; E ( g ) 0;1 g ( z) t 1 5 z g 1 z 3) h t 11 D(h) 0;1 h(1) 22 ; E (h) 1; 22 h 22 1 -1 22 4,69 Ответ: 4. 3 1 t x 11 . 24 С2 (вариант 90). Найдите множество значений функции y log 0,5 11 1 ln x f 1) f ( x) ln x D( f ) 0; E( f ) R f ( x) z 2) g ( z) z D( g ) R E ( g ) 0; g ( z) p 1 x 3)h( p) 1 p h 1 Dh 0; ; E h 1; h p t 24 4) t ; 11 t (1) 2 p D( ) 1; E ( ) 0;2 (t ) l 5) (l ) log 0,5 l t D( ) 0;2 1 2 E ( ) 1; (2) log 0,5 2 1 l -1 Ответ: 1; . C2(вариант 95). Найдите множество значений функции 4 . y 3 2 sin x cos x . arccos 4 2 9 sin x cos x sin x sin x 2 cos sin x 4 4 2 3 2 2 sin x 3 cos x 9 4 9 4 y arccos arccos 4 4 2 3 sin x 4 f x 4 1 D f R; E f ;1 2 f x z 2) g z arccos z 1 D g ;1; E g 0; 2 3 9 3 h z arccos z E h 0;3. Ответ : 0;3. С2 (вариант 89).Найдите множество значений функции y sin 2 x , если x arctg 0,5; arctg3. y 3 arctg3 2arctg3 2arctg0,5 0,5 5 arctg0,5 x y sin 2 x, x arctg 0,5; arctg 3 sin 2 x на промежутке 2arctg 0,5;2arctg 3 возрастает, достигает наибольшего значения в 1 и затем убывает. Вычислим sin 2arctg 0,5 и sin 2arctg 3. arctg 0,5 , tg 0,5 2tg 2 0,5 1 4 1 tg 1 0,25 0,75 3 1 1 1 tg 2 2 cos 2 2 2 cos 2 1 tg 2 2 1 9 cos 2 2 16 25 1 9 3 т.к. 2 I четверти cos 2 5 sin 2 4 3 4 tg 2 sin 2 tg 2 cos 2 cos 2 3 5 5 arctg 3 ; tg 3 2tg tg 2 1 tg 2 6 3 tg 2 1 9 4 1 tg 2 2 1 cos 2 2 1 cos 2 2 2 tg 2 1 1 16 cos 2 2 25 25 16 tg 2 4 5 3 4 3 sin 2 tg 2 cos 2 4 5 5 т.к. 2 II четверти cos 2 3 Ответ : E (sin 2 x) ;1. 5 Выводы: из приведенных выше примеров решения заданий, взятых из ЕГЭ, видно, что меньше времени на экзамене занимает решение их с помощью оценки области определений. Для решения таким способом необходимо просто рассмотреть в сложной функции комбинацию простых. Этот способ значительно облегчает задачу перед учеником на экзамене. Гипотеза, выдвинутая в начале работы, подтвердилась. 6