nesterov

О ВЛИЯНИИ ВЗАИМНОГО РАСПОЛОЖЕНИЯ ПОЛЮСОВ
И НУЛЕЙ НА ЖЕСТКОСТЬ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ САУ
А. В. Нестеров, С. В. Нестеров
ФГБОУ ВПО "Кубанский государственный технологический
университет", Краснодар, Россия
Цель настоящего исследования заключается в усовершенствовании
известной методики оценки жесткости систем обыкновенных
дифференциальных уравнений (ОДУ)
(1)
x  A  x  B  u , x(0)  0 .
Названная оценка необходима для обеспечения эффективного
численного решения задачи Коши [1-3]. К достоинствам этой методики
относят её простоту, что достигается за счет косвенного определения
жесткости ОДУ. Прямую оценку заменяют косвенной, в качестве которой
используют какое-либо «стандартное» число обусловленности, например,
L-число Ламберта [4]
max Re i
,
(2)
L( A) 
min Re i
где max Re i ; min Re i – максимальный и минимальный модули
вещественной части собственных чисел  i матрицы коэффициентов A
системы (1).
Вычислительная математика явление жесткости ОДУ связывает
с плохой обусловленностью названной матрицы A . Однако, при этом
игнорируется функция B  u уравнения (1). В этом случае критерий
жесткости имеет вид неравенства
L( A)  1 .
Систему ОДУ (1) признают жесткой, если число Ламберта намного
больше единицы. Рассмотренное число L(A) и подобные ему критерии
часто приводят к недостоверным результатам [3]. При исследовании САУ
завышенные числа L(A) скорее правило, чем исключение. Искаженная
оценка влияет главным образом на правильный выбор метода численного
решения задачи Коши. Несовершенство «классической» методики
заключено в самом подходе к исследованию системы однородных ОДУ.
(3)
x  A  x , x(0)  0 .
взамен анализа неоднородных уравнений (1).
Вычислительная математика не видит между ними различий.
Полагают, что жесткость неоднородной системы (1) обусловливает
жесткость однородной (3). Утверждают также, что жесткость является
внутренним свойством линейной системы и не может появиться только
благодаря изменениям функции B  u [4].
Вопрос об адекватности систем дифференциальных уравнений (1)
и (3) решён в теории автоматического управления [5]. С жесткостью ОДУ
он не связан, но имеет важнейшее значение в задачах устойчивости и
качества управления в линейных САУ. Доказано, что для суждения об
устойчивости САУ достаточно однородных уравнений (3). Напротив, для
оценки качества управления в общем случае требуется решение задачи
Коши для системы неоднородных ОДУ (1). В этом случае получают
прямые оценки. В частном случае определить качество управления можно
без интегрирования ОДУ, не решая задачу Коши. О качестве можно судить
по косвенным признакам, которые называют критериями качества
(корневыми, частотными и интегральными). Они играют ту же роль, что и
критерии устойчивости при оценке устойчивости или критерии жесткости
в соответствующей задаче. Напомним, что корневыми называют критерии,
которые для анализа качества буквально берут в расчет только характер
корней pi (полюсов) и их расположение на комплексной плоскости. Эти
критерии дают приближенные, но достоверные оценки качества САУ,
передаточные функции (ПФ) которых не имеют нулей ( zi  0) . Если у САУ
скалярный вход и скалярный выход, то ее ПФ выглядит следующим
образом
b0
,
(4)
W (s) 
n
an  ( s  pi )
i 1
где pi – полюсы ПФ, которые одновременно являются собственными
числами матрицы А [5].
Такие САУ являются исключением из общего правила. Их
математические модели (ММ) составляют частный случай, о котором
сказано выше.
В самом общем случае, когда ПФ может содержать несколько нулей
m
W ( s) 
bm  ( s  z j )
j 1
n
an  ( s  pi )
,
i 1
корневыми критериями пользоваться не рекомендуется. Нули оказывают
сильное влияние на динамические характеристики САУ. Доказано, что
игнорирование нулей приводит к недопустимым погрешностям в оценке
качества [6].
Можно предположить, что влияние нулей распространяется также на
жесткость ММ. Основание для этого дает формула (2). С точки зрения
ТАУ число Ламберта L(A) и другие числа обусловленности допустимо
рассматривать как корневые критерии качества исследуемой САУ.
Подобно классическим степени устойчивости, степени колебательности и
другим [5] они характеризуют динамические свойства САУ. Это сходство
столь глубоко, что критерии жесткости и критерии качества имеют общий
недостаток. И те и другие недостоверны при анализе САУ, ПФ которых
имеют нули. С другой стороны, влияние нулей на динамику САУ хорошо
изучено. Установлено, что оно особенно сильно при близком
расположении нулей и полюсов системы. Чем ближе нуль ПФ расположен
к какому-либо её полюсу, тем меньше вклад в переходную характеристику
составляющей, соответствующей этому полюсу. Возможна полная
компенсация одного или нескольких полюсов. Такие полюсы называют
нежелательными. Типичной является ситуация, когда нежелательный
полюс pn ближе других расположен к мнимой оси комплексной
плоскости. При синтезе САУ для придания ей необходимых свойств
нежелательный полюс полностью компенсируют нулем z m . В
математическом плане это означает исключение этого полюса из числа
полюсов системы p1, p2 , , pn1, pn или из спектра собственных чисел
1,  2 , ,  n1,  n . Порядок САУ n при этом понижается на единицу.
Ближайшим к мнимой оси становится следующий за ним полюс pn1
( pn1  pn ). В этом случае число Ламберта равно
Re p1
.
(6)
Re pn1
Очевидно, что рассчитанное по этой формуле число N(A) будет
меньше числа L(A), вычисленного по формуле (2). Этот вывод может
объяснить
ошибочный
прогноз
жесткости
ОДУ
посредством
«классических» критериев L(A) и других.
Для проверки этого предположения проведен вычислительный
эксперимент в форме теста, подробности которого изложены в работах [13]. Здесь назовем его важные особенности. Тестированию подверглись
тридцать две ММ типовых САУ от второго до девятого порядка
включительно. На предварительном этапе исследованы ПФ этих систем.
Определены нули и полюсы, а также рассчитаны «классические» критерии
жесткости и «модифицированный» критерий N(A). Обнаружены явные
противоречия между числами Ламберта,
Тодда и другими
«классическими» критериями. Для определения «реальной» жесткости
ММ проведен собственно эксперимент, суть которого заключается в
численном решении задачи Коши. Длительность интегрирования системы
ОДУ (1) tч принята за меру их жесткости. Объясняется это тем, что в
вычислительной математике отсутствует строгое понятие жесткости ОДУ.
Его обычно сводят к описанию свойств ММ, которые наблюдаются при
решении задачи Коши. В частности, увеличение интервала наблюдения
решения [a, b] приводит к возрастанию длительности вычислительного
процесса tч . Поэтому длительность численного решения tч может служить
«мерой» жесткости ОДУ [1-3].
N ( A) 
Отметим также техническую сторону эксперимента. Длительность
численного решения tч определена с помощью профилировщика (Profiler),
утилиты системы MATLAB. Интегрирование каждой ММ осуществлено на
трех интервалах: малом [0, tп ], среднем [0, 10 t п ] и большом [0, 100 t п ]
(здесь tп – длительность переходного процесса [5]. Анализ результатов
тестирования упрощается, если длительность численного решения на
среднем t10 и большом t100 интервалах выражать в относительных
единицах, приняв за единицу длительность интегрирования на малом
интервале ( tч  1 ). Следуя работам [1-3], выполнение неравенств t10  10 и
t100  100 можно считать признаком жесткости ММ.
Для иллюстрации предлагаемого метода оценки жесткости ОДУ и
возможностей модифицированного критерия N(A) достаточно рассмотреть
ММ двух САУ, которые в работах [1-3] обозначены mod51 и mod71.
Основная ПФ первой системы имеет вид [7]
( s  z1 )( s  z2 )
,
54 ( s)  K
( s  p1 )( s  p2 )( s  p3 )( s  p4 )( s  p5 )
p2  0,3274  6,2976 j ;
p3  0,2409 ;
где p1  0,3274  6,2976 j ;
p4  0,1860 ; p5  0,0001 ; z1  0,2209 ; z2  0,0001 ; K = 8,0715.
"Классическое" число Ламберта соответственно формуле (2) равно
Re | p1 | 0,3274
L( A) 

 3274 .
Re | p5 | 0,0001
Согласно предварительному исследованию L(A) = 3274 является
одним из самых больших среди всех моделей. Кроме того, это значение
числа Ламберта L( A)  1 . Однако прогноз высокой жесткости mod54
оказывается неверным. При численном интегрировании ОДУ на среднем и
большом интервалах установлено ничтожное увеличение длительности
вычислительного процесса. Относительно длительности численного
решения t10  1,41 и t100  5,85  100 . Следовательно, исследуемая модель
не является жесткой.
Анализ взаимного расположения полюсов и нулей ПФ
рассматриваемой mod54, изображенного на рисунке, свидетельствует о
полной компенсации полюса p5  0,0001 нулем z2  0,0001 .
8
p1
+j
6
4
2
p3 z1 p4
-0,3
-0,2
-0,1
z2 +1
0 p5
-2
-4
p2
-6
-8
Рис. Диаграмма расположения
полюсов и нулей mod54
Следовательно, в результате точной компенсации нежелательного
полюса p5 наименьшим по модулю становится полюс p4  0,1860 . В
таком случае "модернизированное" число Ламберта равно
Re | p1 | 0,3274
N ( A) 

 1,76 .
Re | p4 | 0,1860
Полученное значение N ( A)  1,76 находиться в полном согласии с
результатами эксперимента t10  1,41 и t100  5,85 .
Основная ПФ второй системы имеет вид [7]
k
,
 71 ( s) 
( s  p1 )( s  p2 )( s  p3 )( s  p4 )( s  p5 )( s  p6 )( s  p7 )
где p1  499,88 ; p2  147,18 ; p3  50,03 ; p4  17,04 ; p5  14,86 ;
p6  0 ,16  j 2 ,5 ; p7  0 ,16  j 2 ,5 ; K  73178014 .
"Классическое" число Ламберта согласно формуле (2) равно
Re | p1 | 499,88
L( A) 

 3124 .
Re | p7 |
0,16
Формально это значит, что сравниваемые mod54 и mod71 обладают
одинаковой жесткостью, т.к. характеризующие это свойство числа L(A)
практически
равны.
Однако,
при
численном
интегрировании
дифуравнений mod71 на среднем и большом интервалах установлено
следующее увеличение длительности вычислительного процесса
t10  16  10 и t100  1056  100 . Налицо свойство жестких ОДУ. При этом
ПФ рассматриваемой mod71 нулей не имеет, что отличает ее от mod54.
Поэтому "модифицированное" число N(A) и число Ламберта равны
N ( A)  L( A)  3124  1 .
В этом случае число L(A) верно указывает на жесткость ММ.
В вычислительном эксперименте прогноз с помощью L(A) оправдался
только тогда, когда ПФ не имела нулей. Напротив, "модифицированный"
критерий N(A) был безупречен в оценках жесткости всех моделей без
исключения. Для подтверждения эффективности N(A) составлена таблица,
которая включает часть полных данных эксперимента [2].
Таблица
Результаты вычислительного эксперимента
Параметры
моделей
mod45
mod47
mod52
mod54
mod57
mod72
mod91
L(A)
750
262
598
3274
2106
2973
25191
N(A)
17
1
3
2
299
37
227
t10
2
1
2
1
8
1
9
t100
17
1
4
6
227
5
342
Эти результаты показывают сколь велика разница в оценке
жесткости сравниваемых чисел L(A) и N(A), если игнорируются нули ПФ.
Указанные в таблице модели отличаются тем, что ближайшие к мнимой
оси полюсы точно компенсированы нулями.
Отметим, что это типичный случай. Он обязывает оценивать
жесткость ММ с учетом ПФ с помощью "модифицированного" критерия
N(A) так, как это описано выше. Каких-либо вычислительных проблем у
этой процедуры нет. Современные системы компьютерной математики
позволяют автоматизировать расчет N(A) в той или иной степени.
Наибольшими преимуществами обладает пакет расширения Control System
Toolbox системы MATLAB.
Таким образом, сформулированная в начале статьи цель вполне
достигнута. Во-первых, основа "классической" методики оценки жесткости
ОДУ сохранена, т.к. получение оценки по-прежнему не требует
интегрирования ОДУ. Во-вторых, разработан "модифицированный"
критерий жесткости N(A), учитывающий взаимное расположение нулей и
полюсов и влияние его на жесткость ММ. В-третьих, эффективность
"модифицированного" критерия N(A) доказана экспериментально.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Нестеров А. В., Нестеров С. В., Цапов Г. М. О проблемах моделирования
линейных систем автоматического управления в MATLAB // Научный потенциал вуза –
производству и образованию: Сб. тр. по материалам региональной науч.-практ. конф.,
посвященной 170-летию г. Армавира и 50-летию АМТИ. Т. 5. Армавир : Изд-во АМТИ,
2009. С. 125–130.
2. Канифольский Д. С., Нестеров А. В., Нестеров С. В., Цапов Г. М. О проблемах
численного решения задачи Коши при моделировании линейных САУ в системе Matlab
// Процессы управления и устойчивость: Труды 41-й международной науч. конф.
аспирантов и студентов / Под ред. Н. В. Смирнова, Г. Ш. Тамасяна. СПб. : Издат. Дом
С.-Петерб. гос. ун-та, 2010. С. 429–436.
3. Скорюнов А. А.,
Нестеров А. В.,
Нестеров С. В.,
Нестеров А. А.
О вычислительных
возможностях
MATLAB
для
моделирования
систем
автоматического управления // Избранные тр. Междунар. Инновационноориентированной конф. молодых ученых и студентов по проблемам машиноведения
(МИКМУС 2009). М. : Изд-во ИМАШ РАН, 2010. С. 118–125.
4. Ракитский Ю. В., Устинов С. М., Черноруцкий И. Г. Численные методы
решения жестких систем. М. : Наука, 1979. 208 с.
5. Нестеров А. В., Нестеров С. В. Теория автоматического управления.
Краснодар: Изд. ГОУ ВПО "КубГТУ", 2006. 191с.
6. Айзерман М. А.
Техническая
кибернетика.
Теория
автоматического
регулирования. Кн. 1. Математическое описание, анализ устойчивости и качества
систем автоматического регулирования. М. : Машиностроение, 1967. 770 с.
7. Егупов Н. Д. Методы классической и современной теории автоматического
управления. Т. 3. Синтез регуляторов систем автоматического управления: Учеб. для
студентов вузов. – 2-е изд. перераб. и доп. М. : Изд-во МГТУ, 2004. 616 с.