Тема: Представление числовой информации в компьютере. Системы счисления. Представление десятичных чисел в двоичной системе счисления. Системы счисления с произвольным основанием. Родственные системы счисления. Арифметические действия в разных системах счисления. Форматы представления чисел в компьютере. Основные понятия: Система счисления, непозиционные и позиционные системы счисления, основание системы счисления, индекс, значащие и незначащие нули, алфавит системы счисления, Целочисленный формат, формат с плавающей точкой, мантисса, знак и порядок числа. Ученики должны знать: - основные понятия - формулу разложения целого десятичного числа по степеням 10. - формулу разложения целого десятичного числа по степеням 2. - формулу разложения действительного числа по степеням 2. - формулу разложения целого десятичного числа по степеням произвольного основания. - алгоритм перевода десятичного числа в число с произвольным основанием методом деления - алгоритм перевода числа с произвольным основанием в десятичную систему счисления методом разложения по степеням - алгоритм нахождения основания системы счисления - таблицы соответствия каждой цифры восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления и двоичного кода этой цифры - алгоритм перевода чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в двоичную и обратный перевод с помощью таблицы соответствия методом триад и тетрад - представление целого положительного, целого отрицательного и действительного чисел в компьютере Ученики должны уметь: - раскладывать целое десятичное число по степеням 10 - раскладывать целое десятичное число по степеням 2. - раскладывать целого десятичное число по степеням произвольного основания. - переводить десятичное число в число с произвольным основанием методом деления - переводить числа с произвольным основанием в десятичную систему счисления методом разложения по степеням - находить основание системы счисления - переводить числа из восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в двоичную и обратный перевод с помощью таблицы соответствия методом триад и тетрад - сравнивать числа, представленные в разных системах счисления - складывать числа, представленные в разных системах счисления 1 Системы счисления. Урок 1. Алфавит системы счисления. Основание системы счисления. Позиция (разряд) цифры в числе. Значащие и незначащие нули. Алгоритм перевода числа из недесятичной системы счисления в десятичную - методом разложения по степеням основания. Ход урока: Система счисления (СС)– совокупность приемов и правил записи чисел с помощью определенного набора символов. Системы счисления бывают позиционными и непозиционными. В непозиционной системе цифры не меняют своего значения в зависимости от их положения в числе. А в позиционной системе значение каждой цифры зависит от того в какой позиции или разряде она записана. Пример непозиционной СС – римская. Например число ХХХ. Х- везде означает 10. Всего ХХХ = Х+Х+Х=30 Мы будем изучать позиционные СС. Например число 555 в позиционной СС это не 5+5+5, а 555=500+50+5. Алфавит СС – набор символов для записи числа. Основание СС – количество символов алфавита. Система счисления Основание Десятичная 10 Двоичная 2 Восьмеричная 8 Шестнадцатеричная 16 Алфавит 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 0,1 0,1,2,3,4,5,6,7 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A,B,C,D,E,F Обратите внимание, алфавит каждой системы начинается с 0 ! Теперь вы по аналогии назовите алфавиты других систем счисления. 2 Система счисления Основание Двоичная 2 Троичная 3 Четверичная 4 Пятеричная 5 Шестеричная 6 Семеричная 7 Восьмеричная 8 Девятеричная 9 Десятичная 10 Одинадцатеричная 11 Двенадцатеричная 12 Тринадцатеричная 13 Четырнадцатеричная 14 Пятнадцатеричная 15 Шестнадцатеричная 16 Алфавит 0,1 0,1,2 0,1,2,3 0,1,2,3,4 0,1,2,3,4,5 0,1,2,3,4,5,6 0,1,2,3,4,5,6,7 0,1,2,3,4,5,6,7,8 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A,B 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A,B,C, 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A,B,C,D 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A,B,C,D,E 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A,B,C,D,E,F Как видите, это совсем не трудно. Любое число можно разложить по степеням основания системы счисления, основание СС пишется справа снизу. Например: 2 1 0 555 10 = 5 * 10 + 5 * 10 + 5 * 10 555,55 10 = 5 * 102 + 5 * 101 + 5 * 100 + 5 * 10-1 + 5 * 10 -2 Обратите внимание, отсчет идет с нулевого разряда ! 3 Есть задачи, в которых требуется найти позицию цифры в числе. Задача: Найти позицию цифры 5 в десятичном числе 154418,25 10 Смотрим, где запятая, перед ней 0-позиция, отсчет целой части - справа налево, отсчет дробной части – слева направо позиция цифры 5 4 3 2 1 0 -1 -2 число 1 5 4 4 1 8 2 5 Ответ: Цифра 5 находится в 4 позиции. Всем понятно, что если к целой части дописать слева нули, а к дробной части дописать справа нули, то эти нули будут незначащими. 00154418, 250 С десятичной СС все ясно. Теперь переходим к двоичной СС. Как вы думаете, числа 101,11 10 А числа 000101,110 2 и 101,11 2 одинаковые ? Нет. и 101,11 одинаковые ? Да. 2 В первом варианте у числа в целой части слева и в дробной части справа дописаны незначащие нули. 000101,110 2 . Так, с незначащими нулями разобрались. 4 Теперь разложим двоичное число по степеням основания, т.е. по степеням числа 2. Степени числа 2 все знают наизусть, поэтому будет легко. Первый раз для наглядности, будем писать в виде таблицы, но скоро это будет настолько очевидно, что вы это будете делать в уме. позиция цифры 2 1 0 -1 -2 число 1 0 1 1 1 101,11 2 = 1*22 + 0*21 + 1*20 + 1*2 -1 + 1*2 -2 = = 4 + 0 + 1 + 0,5 + 0.25 = 5,75 10 Напоминаю, отсчет начинается с нулевого разряда, т.е. с 0-вой степени основания, поэтому, хотя первая цифра стоит третьей от запятой, на самом деле, это второй разряд, т.е. вторая степень основания 2. Т.о. разложив по степеням основания 2 двоичное число, мы получили десятичное. Вот вам алгоритм перевода числа из любой системы счисления в десятичную – метод разложения по степеням основания. Давайте еще раз потренируемся переводить число из 2-ной СС в 10-ную СС. К доске 10110,101 2 = 1* 24 + 0*23 + 1*22 + 1*21 + 0*20 + 1*2 -1 + 0*2 -2 + 1*2 -3 = = 16 + 0 + 4 + 2 + 0 + 0,5 + 0 + 0,125 = = 22,625 10 Так же мы поступаем и при переводе из других систем счисления в 10-ную. Попробуем перевести из 5-ричной СС в 10-ную К доске 433 5 = 4*52 + 3*51 + 3*50= 100 + 15 + 3 = 118 10 5 Попробуем перевести из 6-ричной СС в 10-ную К доске 433 6 = 4*62 + 3*61 + 3*60= 144 + 18 + 3 = 165 10 Попробуем перевести из 7-ричной СС в 10-ную К доске 433 7 = 4*72 + 3*71 + 3*70= 196 + 21 + 3 = 220 10 Попробуем перевести из 8-ричной СС в 10-ную К доске 433 8 = 4*82 + 3*81 + 3*80= 256 + 24 + 3 = 283 10 Попробуем перевести из 9-ричной СС в 10-ную К доске 433 9 = 4*92 + 3*91 + 3*90= 324 + 27 + 3 = 354 10 Попробуем перевести из 16-ричной СС в 10-ную. Если в составе числа нет букв, то алгоритм абсолютно совпадает К доске 433 16 = 4*162 + 3*161 + 3*160= 1024 + 48 + 3 = 1075 10 Если в составе числа есть буквы, то есть одна маленькая трудность в том, что буквы 16-ричной системы надо заменять цифрами. Из розданной вам таблицы вы пока должны запомнить только этот кусочек. 10-чная 10 11 12 13 14 15 16-чная A B C D E F 5D8 16 = 5*162 + 13*161 + 8*160= 1280 + 208 + 8 = 1496 10 Попробуем перевести из 16-ричной СС в 10-ную число с буквами К доске СА 16 = 12*161 + 10*160 = 192 + 10 = 202 10 6 В некоторых задачах требуется сравнить два числа или более. Алгоритм такой. Если числа в разных системах счисления – представляем их в одной системе счисления и записываем друг под другом, четко соблюдая разряды. Сравниваем, начиная со старшего разряда. Сразу все ясно. Задача: Сравнить два двоичных числа А и В: А = 10100111 и В = 10111111. Запишем их друг под другом. А В 10100111 10111111 Сразу видно, что второе число больше, т.к. 7, 6 и 5 разряды совпадают , а в 4-ом разряде у первого – 0, а у второго – 1. Ответ: А < B 7