Document 944651

Соприкосновение линейчатых развертывающихся поверхностей
А.С. Нитейский, К.Л. Панчук
ОмГТУ, каф. ИГ и САПР, г.Омск
В работах [1,2] были представлены результаты исследования соприкосновения
косых (неразвертывающихся) линейчатых поверхностей по их общей образующей
прямой.
Рассмотрим применение этих результатов для соприкасающихся линейчатых
развертывающихся поверхностей (ПЛР).
Уравнение линейчатой поверхности может быть выражено в дуальной векторной
форме [3]:
А1 t   a 01 t   a 11 t  , ω2=0, где a 01 t  - единичный вектор образующей прямой;
a11 t  - момент вектора a 01 относительно начала координат системы отнесения; А1 (t ) -
дуальный единичный вектор с координатным представлением А1  i x  jy  k z , при
этом x 2  y 2  z 2  1 ; t – вещественный параметр T0 ≤ t ≤ T1 . Полагаем, что дуальная
векторная функция А1 (t ) обладает на отрезке изменения параметра т непрерывными
производными любого порядка. В центральной точке А образующей линии линейчатой
поверхности существует ортонормированный триэдр с дуальными ортами [3]:
A
А1 ; А2  а 02  а 12  1 ; А3  а 03  а 13  А1  А2 .
H
Деривационные уравнения триэдра имеют известный вид [3]:
(1)
А1  H  А2 ; А2  H  А1  Q  A3 ; A3  Q  A2 ,
Дуальная дуга образующей ЛП зависит от вещественного параметра
t
t
t0
t0
st   s0 t   s1 t    H  dt   (h0  h1 )  dt .
~ ~
a01 ~
t   ~
a11 ~
t  , ω2=0 имеют место
Пусть для другой ПЛР с уравнением А1 t   ~
геометрические предпосылки, аналогичные указанным для первой А1  А1 (t ) . Если
~
разложить дуальные векторные функции А1 (t ) и А1 (~
t (t )) в ряд Тейлора по степеням
~
приращения ∆t их образующих t0 и t0 (t0 ) то, учитывая существование функции
~
t  f (t ) , можно получить дуальный вектор расхождения соприкасающихся ПЛР в их
~
общей образующей: G t   A1 t  - A1 ~
t (t )  , представимый также в виде разложения в ряд
Тейлора. Вектор G t  , характеризующий близость обеих ЛП в окрестности их общей
 и ~
 , каждая из которых смещена
образующей, определяется двумя образующими а01
а01
~
по своей ЛП на одну и ту же дуальную дугу ds  ds от общей образующей.
~
Если А1 (t ) и А1 (~
t ) - поверхности ПЛР, но не цилиндрические и не конические, то
~
параметры Р и P их образующих равны нулю и поэтому элементы их дуальных дуг ∆s
и ~
s - вещественные числа ∆s0 и ~s0 . Стрикционные линии рассматриваемых поверхностей будут их ребрами возврата. В этом случае, например для ПЛР А1 (t ) , ее образующая a 01 t  будет касательной в точке А ребра возврата, a 02 t  - главной нормалью и
a 03 t  - бинормалью, поскольку по определению a 03 t  определяет ось вещественного
угла ds0  k  dσ , принадлежащего соприкасающейся плоскости ребра возврата (А), где
k и dσ - соответственно кривизна и элемент дуги линии (А).
Для соприкосновения порядка n=1 из условий обеспечения данного порядка:
~
~
~
A1 t0   A1 ~
t (t0 )  ; A1 t0   A1~
t (t0 )  ; A1t0   A1~
t (t0 )  ,
(1)
~ ~
~
~
~
~
~
с учетом A1t (t0 )   ( A1 )~t  t   H  t   A2 ; A1  H  A2 , следует [1]:
~
~
~
~
А1  А1 ; А2  А2 ; А3  A3 ; H  H  ~
t .
~ ~
~ ~ ~
В итоге получаем ds  H  dt  H  t   dt  H  dt  ds . Поскольку ds  k  dσ , то
0
получаем
~
(2)
k  dσ  k  d~
σ.
Таким образом, соприкосновение n = 1 для двух ПЛР приводит к совпадению их
триэдров а01 , а02 , а03   ~
а01 , ~
а02 , ~
а03 и к выполнению равенства (2). Если к первым
~
~
t ( t ) ; A (t )  A ' ' ' ~
t ( t ), то получим
двум равенствам (1) добавить A ' ' t   A ' ' ~


1
0
1
0
1
0
1
0
условия обеспечения соприкосновения второго порядка двух линейчатых поверхностей. Поскольку имеют место уравнения
~
~
~
~ ~
~~ 2 ~
2~
2
t  A1  H ~t ~
t   H ~
t  A2  HQ ~
t  A3 ,
(3)
A1  - H 2 A1  H A2  HQA3 ; A1   H 2 ~
то в общей образующей соприкасающихся ПЛР выполняются условия:
~ ~
~ ~
~
(4)
H  H ~
t  ; H   ( H  t )t ; Q  Q  t  ,

 

d 2s
~
(~
s~t  ~
t  )t ; ds(1)  d~s(1) , в которых
из которых следуют равенства: ds  ds ;
2
dt
~
~
~
ds  ds  ωds и ds  ds  ωds - элементы дуальных дуг ЛП, образованных
(1)
01
11
(1)
01
11
бинормалями а 03 и ~
а03 соответственно стрикций (ребер возврата) соприкасающихся
~ ~
~ ~
s(1) .
ПЛР, при этом ds(1)  Q  dt  Q  t   dt  Q  d t  d~
Из дифференциального уравнения стрикции линейчатой поверхности [3]
x (t )  q1а 01  h 1а 03 ,
с учетом условий для ПЛР: h1=0, q1≠0, следует уравнение ее стрикции x   q1а 01 . Из
него следует ( dx )2  dσ 2  ( q1 dt )2 . Таким образом, с произвольным знаком получаем:
(5)
dσ q1dt.
Из ds0 h0 dt  k  dσ с учетом (5) можно получить:
k  h0 / σ t  h0 / q1 .
(6)
Из третьего дуального равенства (4) следуют вещественные равенства
~
q0  q0 ~
t , q1  q~1~
t , что позволяет записать
(7)
d~
σ  q~1d~
t  q1 / ~
t   q1dt  dσ.
Учитывая (2), получаем итоговый результат
~
k k,
(8)
Для элемента ds(1) дуальной дуги, образованной перемещением бинормали а 03 , можно
записать [3] дуальные равенства: ds(1)  ds01  ωds11  Q  dt  (q0  ωq1 )dt , из которых,
по разделению главных и моментных компонент, на основании (7) следует:
~ d~
~
ds01  q0 dt  q~0 ~
t dt  q~0 d~
t  d~
s01 ; ds11  q1dt  dσ  d~
σq
1 t  ds11 .
Таким образом, имеет место следующий результат:
ds(1)  d~
s(1) .
(9)
Элемент дуальной дуги ds(1) бинормали ребра возврата ПЛР может быть выражен известным образом [4]:
ds( 1 )    d  e /  ,
(10)
где  2  0;  – кручение линии (А) в точке А. Поскольку имеет место результат (9), то
следует
  ~ ,
(11)
~
т.е. кручения ребер возврата (А) и ( A ) соприкасающихся ПЛР в центральных точках
~
A  A их совмещенных образующих а01  ~
а01 также равны. Из (10) и предыдущих результатов, следует: ds( 1 )  ds01  ωds11  ( q0  q1 )dt    d    d ,что позволяет
получить следующие результаты: q0     t , q1   t ,   q0 / q1. Для параметра элемента дульной дуги ds(1) имеют место соотношения
P(1)  q1 / q0  1 /  ,
что приводит с учетом (11) к равенству
а 02
(12)
~
P(1)  P(1) .
(13)
Определим теперь элемент ds дуальной дуги, описываемой главной нормалью
линии (А) на основании дуального уравнения [4]
(14)
ds 2  ds 2 (1)  (ds) 2 .
Разделяя в нем главную и моментную компоненты и учитывая вышеприведенные результаты, получим:
ds   ds0  ωds1  h0 2  q0 2  dt  q0   t  dt / h0 2  q0 2 .
После подстановки в это уравнение ранее полученных результатов, а именно
2
2
h0  k   t , q0     t , приходим к следующей формуле: k 2   2  d  e /( k   ) .
Из формулы (14), с учетом ранее доказанs(1) ,
s0  d~
s и ds(1)  d~
ных равенств ds  ds0  d~
следует
ds  d~
s.
(15)
Для параметра дуального элемента ds на
основании (8) и (11) можно записать:
ds
~
P  1   /( k 2   2 )  P .
ds0
(16)
Для дуальной кривизны линейчатой поверхности в ее образующей известна дуальная
формула [4]
ds
1


,
(17)
Рис.1 К соприкосновению двух ПЛР
ds sin R
в которой R  R0  R1 – дульный угол между образующей а 01 поверхности ПЛР и соответствующей ей прямой, определяемой единичным винтом b02 , представляющем собой главную часть единичного дуального вектора B2  b02  b12 (Рис. 1).
Если подставить в формулу (17) выражение элементов ds и ds , то получим
уравнение
2 2
1

k 2   2  e /( k   ) , (18)
k
из которого, с учетом (8) и (11), следует
~
  ~, R  R.
(19)
Если же деривационные уравнения триэдров линейчатой поверхности представить в дуальной координатной форме, то для случая ПЛР получим уравнения
d
d
d
  xk  x1   e  /  ;
  yk  y1   e  /  ;
  zk  z1   e  /  ,
(20)
d
d
d
где тройки {x,y,z}, {x1,y1,z1} и {α,β,γ} суть координаты единичных дуальных векторов
A1 , A2 и A3 соответственно.
Из A2  A1 / H  A1 /( h0  h1 )  A1 / h0 
dA1
dx
dy
dz
следует A2  {  ,   ,   }.
ds0
ds0
ds0
ds0
ds 
dA2
d
d
d
  следует
 B1  { 
, 
,   } с учетом
ds0
ds
ds
ds
ds
1 d
1 d
1 d
1 d
1 d
1 d
{  
,  
,  
}  { 

, 

, 

},
 ds0
 ds0
 ds0
k   d
k   d
k   d
Из равенства
где B1 - единичный дуальный вектор главной нормали поверхности ПЛР для ее образующей прямой а 01 . С учетом изложенного и уравнений (20) получаем:
~ ~
~
~
B1  B1; B2  B2 , где B2  A2  B1  A2  B1. Таким образом, у соприкасающихся ПЛР
вдоль их общей образующей совмещены триэдры эволют первого порядка:
~
~
~
B1  B1 , B2  B2 , A2  A2 .
st  ~
t  . По этому уравнению можно определить
Из равенства ds  d~
s следует st  ~
вторую производную
(21)
st  (~
st  ~
t )t  ~
s~t  (~
t ) 2  ~
st  ~
t .
(21) по существу представляет собой преобразованное выражение среднего
условия (4). Определим производную дуальной кривизны линейчатой поверхности со
~
стрикционной линией ( A ) исходя из (17) и (21):
(~
s )~  d~
t
(~
s )~
(~
s )~t  ~
s~t  (~
s )~t  ~
s~t
d~
d~
s
.
~~t  ~  ( ~ )~t  ( ~ t ~ )~t  ( ~ t )~t 
dt
ds
s~  d t
s~
(~
s~ ) 2
t
t
t
На основании (21) следует:
~
~
( s)t  (~
s )~t  t  ( s)t  (~
st  ~
s~t  t  st  ~
s )t  (~
t  / ~
t ) ~
st  (~
t  / ~
t )
~


(~
s )~t 

s


;
.
t
~ 2
~ 2
~ 2
~ 2
(t )
(t )
(t )
(t )
Предшествующее уравнение для ~~t с помощью подстановок выражений для
s~t можно последовательно привести к окончательному виду:
(~
s )~t и ~
1 ds
1
~~t  ~  ( )t  ~   t.
(22)
t  ds
t
Очевидно, что ~~t   t , но ~~t  ~
t    t. Из формулы (17) и ~~t  ~
t    t следует равенство
~
dR
~ dR
 cos R  ~  ~
s~t  ~
t   cos R 
 st
~
~
d
s
ds
 ~t  t  

~
sin 2 R
sin 2 R
~
Учитывая, что выполняются условия R  R , st  ~
st  ~
t , из последнего равенства
~
dR dR 1 dR
dR dR

 
  представляет собой дуальный изгиб δ
получаем ~ 
. Но
ds ds0 k d
ds ds
поверхности ПЛР в ее образующей [4]. Следовательно, выполняется равенство
   ,
(23)
из которого следует, что соприкасающиеся ПЛР в их общей образующей имеют равные дуальные изгибы. Поскольку для линейчатой поверхности в ее образующей линии
а01  ~
а01 имеет место формула [4]: sin R    tgR, где R  R0  R1 - дуальный угол,
~
соответствующий эволюте ( c01 ) ПЛР (Рис.1), то из R  R ,     следует
~
R  R ,
(24)
что позволяет утверждать о совмещении триэдров эволют второго порядка соприкаса~
~
~
ющихся ПЛР: B1  B1 , C1  C1 , C2  C2 .
~
Предположим, что трехгранники стрикций (А) и ( A ) двух соприкасающихся
~
ПЛР в точке А= A совмещены, т.е. а 01  ~
а01 , а 02  ~
а02 . Можно показать, что этих условий достаточно для получения соприкосновения n = 1 данных ПЛР. Имеют место ра~ ~
~
~
~ ~ ~
~
венства A  h  A  h  t   (a~  a~ )  H  t   A  ( A )~  t и k  d  k  d~ .
1
0
2
0
02
12
2
1 t
Если совпадают трехгранники стрикций двух соприкасающихся ПЛР и имеет
~
~
место условие k  k , то из k  d  k  d~ следует d  d~. Нетрудно показать, что в
этом случае не нарушаются условия соприкосновения n = 1 и не выполняются условия
соприкосновения n = 2.
Если выполняется условие   ~ при совпадении трехгранников стрикций со~
прикасающихся ПЛР, то получаем равенство k  k и совмещены дуальные триэдры
~
~
~
эволют первого порядка B1  B1; B2  B2 ; А2  А2 . Но поскольку в исходных условиях
отсутствует задание непрерывного изменения  t  d / dt дуальной кривизны ε у соприкасающихся ПЛР, то их соприкосновение не является полным для n = 2, поскольку
не выполняется одно из условий (4) этого соприкосновения. На основании (17) можно
получить
  t  sin 2 R     sin 2 R


.
(25)
k   t  cos R
k  cos R
Следовательно, для полного выполнения условий соприкосновения n = 2 двух
ПЛР в их общей образующей необходимо существование в этой образующей значения
~
дуального изгиба    . Значение же последнего, как следует из (25), зависит от кривизны k, дуального угла R и от дуальной величины  t , которая, согласно (18), опреде~
ляется k и χ, их производными k и  , и значениями этих производных в точке А ≡ A
~
двух стрикций (А) и ( A ) – ребер возврата соприкасающихся ПЛР.
На рисунках 3 и 4 приведены иллюстрации примеров стыковки торсовых поверхностей, образующих линейчатые развертывающиеся полосы и ребра возврата ко-
торых представляют собой сегменты пространственного кусочного сплайна. В качестве
сегментов выбраны эрмитовы сплайны [5]. Расчет полос выполнен в системе компьютерной алгебры Maple.
Рис. 3 Линейчатая полоса первого
порядка гладкости стыковки
сегментов ПЛР
Рис. 4 Замкнутая линейчатая полоса
полного второго порядка гладкости
стыковки сегментов ПЛР
Литература:
1. Панчук, К.Л. Вопросы теории соприкасающихся линейчатых поверхностей /
К.Л. Панчук. – Омск: ОмПИ, 1987. – 11 с. – Деп. в ВИНИТИ 22.05.87, №4496 – В87.
2. Панчук, К.Л. О соприкосновении линейчатых поверхностей / К.Л. Панчук //
Начертательная геометрия и машинная графика в практике решения инженерных задач:
межвуз. темат. сб. науч. тр. – Омск, 1987. – С. 62-66.
3. Бляшке, В. Дифференциальная геометрия и геометрические основы теории относительности Эйнштейна. В 2-х т. Т.1. Элементарная дифференциальная геометрия
[Текст] / В. Бляшке. – М.; Л.: Объед. науч.-техн. изд-во НКТП СССР, 1935. – 330с.
4. Зейлигер, Д. Н. Комплексная линейчатая геометрия [Текст] / Д. Н. Зейлигер. –
М.; Л.: Гос. техн.-теорет. изд-во, 1934. – 196с.
5. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций.
М.: Наука,. 1980. 352 с.