Документ 943388

Домашнее задание по курсу
«Динамическая оптимизация в экономике и финансах»
Все задачи оцениваются одинаково (в 10 баллов). Для получения оценки 10 за домашнее задание
требуется правильно сделать 5 задач. Для решения любой задачи может использоваться как Excel,
так и R.
В домашнем задании используются следующие параметры: a1 , a2 , a3 - номер первой, второй и
третьей буквы фамилии в алфавите соответственно, b1 , b2 , b3 - номер первой, второй и третьей
буквы имени в алфавите соответственно, c1 , c2 , c3 - номер первой, второй и третьей буквы
отчества в алфавите соответственно. За основу используется алфавит, представленный здесь:
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D1%83%D1%81%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D
0%BB%D1%84%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D1%82
1. Численно найдите экстремум функционала
2
v  y     y2  a1 yy  b1 y 2  c1 ye 2t  dt ,
y  0   b2 ; y  2   b3
0
2. Численно найдите экстремум функционала
2

V


0  b1 y  b2u  dt

y  a y u
3

 y  0  a ;
y  2  свободно
1

u  t   U   c1 , c2 
3. Технологическая мощность предприятия M(t) в начале планового периода (5 лет,
планирование осуществляется с шагом месяц) оценивалась в M (0)  100a1  10a2  a3
денежных единиц. В течение периода изменение мощности описывается по закону
d
M (t )  J (t )   M (t ) , где J (t ) - инвестиции текущего месяца,   1 (5  c1 ) - норма
dt
амортизации. Имеющаяся в текущем месяце мощность генерирует доход  (t )  a1  M (t )  ,
0.6
который без остатка делиться на  (t )  J (t )  CF (t )  Tax(t ) , где CF (t ) - выводимый
денежный поток (не может быть отрицательным), Tax (t ) 
1
 (t ) - налог на доходы
5  c2
предприятия. Месячная безрисковая процентная ставка в течение всего период равна 0,3%.
Рассчитайте оптимальную стратегию наращивания технологической мощности, инвестиций и
денежных потоков, максимизирующую NPV. Как изменится стратегия, если
1) В начале 4 года безрисковая процентная ставка вырастет до 0,5%,
2) Налог на доходы снизится в 2 раза, то есть Tax(t ) 
1
 (t ) ,
2  5  c2 
3) Норма амортизации увеличится в 2 раза, то есть   2 (5  c1 ) .
4. В течение пятилетнего планового периода (с шагом в 1 квартал) банк управляет объемом
выданных кредитов L (t ) и привлеченных депозитов S (t ) . К началу планового периода банк
имел задолженность в размере
S (0)  1000  100b1  10b2  b3 и портфель кредитов
L(0)  1000  100c1  10c2  c3 . Процентная ставка по безрисковому инструменту составляет
1%, по депозитам – 2%, по кредитам – 3%. Изменение текущего портфеля за счет выдачи
d
d
L (t ) или привлечения депозитов V (t )  S (t ) сопровождается
dt
dt
a
расходами C (t )  1  K (t ) 2  V (t ) 2  . Выплаты акционерам рассчитываются в соответствии
1000
с финансовым балансом:
CF (t )  V (t )  rl (t ) L(t )  K (t )  rs (t ) S (t )  C (t ) . Рассчитайте
кредитов
K (t ) 
оптимальную стратегию управления активами и пассивами банка, максимизирующую NPV.
Как изменится стратегия, если
1) В начале 4 года безрисковая процентная ставка вырастет до 2%,
2) В начале 3 года ставка по кредитам сократиться до 2%,
3) В начале 2 года ставка по депозитам вырастет до 1,5%,
5. Для формирования портфеля доступны два актива: A и B. Безрисковая ставка равна 1%.
Доходности активов составляют соответственно rA (t )  0.02  0.001t , rB (t )  0.01  0.002t ,
дисперсии -  A 2 (t )  2 ,  B 2 (t )  1  0.07t , корреляция corr (t )  0.2 , где t - номер недели в
течение года (общее число недель – 52). Рассчитайте оптимальную стратегию,
минимизирующую среднюю дисперсию портфеля в разные моменты времени так, чтобы NPV
было не меньше 0,8.
6. Постройте фазовый портрет системы дифференциальных уравнений
x '  y

 y '  x  cos y
7. Численно решите дифференциальное уравнение
y '' y 'cos t  ty  5, y (0)  1, y '(0)  1
8.
Постройте
множество
Мандельброта,
z  z  c так, чтобы было красиво.
2
порождаемое
рекуррентным
соотношением