Уравнения и различные кодировки 1. Задание 16 № 2307. Укажите, сколько всего раз встречается цифра 2 в записи чисел 10, 11, 12, …, 17 в системе счисления с основанием 5. Пояснение. Запишем первое и последнее число в заданном диапазоне в системе счисления с основанием 5: Запишем по порядку числа от до Всего цифра «2» встречается 7 раз. Ответ: 7 2. Задание 16 № 7673. Решите уравнение: 121x + 110 = 1017 Ответ запишите в троичной системе (основание системы счисления в ответе писать не нужно). Пояснение. Преобразуем уравнение: Основание системы счисления равно 610 = 203. О т в е т : 20. Ответ: 20 3. Задание 16 № 7761. Сколько единиц содержится в двоичной записи значения выражения: 42020 + 22017 – 15? Пояснение. Преобразуем выражение: Число 24040 в двоичной записи записывается как единица и 4040 нулей. Добавив число 22017, получаем 100...00100...000 (единица, 2022 нулей, единица, 2017 нулей, всего 4040 разрядных цифр). Если вычесть из этого числа 24 = 100002 и прибавить 20, то число примет вид 100...001...10001. В полученном числе единица, 2023 нуля, 2013 единиц, три нуля и одна единица. Значит, всего в числе 2015 единиц. О т в е т : 2015. Ответ: 2015 4. Задание 16 № 7788. Сколько единиц содержится в двоичной записи значения выражения: 42018 + 22018 – 32? Пояснение. Преобразуем выражение: Число 24036 в двоичной записи записывается как единица и 4036 нулей. Добавив число 22018, получаем 100...00100...000 (единица, 2018 нулей, единица, 2018 нулей, всего 4037 разрядных цифр). Если вычесть из этого числа 25 = 1000002, то число примет вид 100...001...100000. В полученном числе единица, 2019 нулей, 2013 единиц и пять нулей. Значит, всего в числе 2014 единиц. О т в е т : 2014. Ответ: 2014 5. Задание 16 № 2314. Укажите, сколько всего раз встречается цифра 3 в записи чисел 19, 20, 21, …, 33 в системе счисления с основанием 6. Пояснение. Запишем первое и последнее число в заданном диапазоне в системе счисления с основанием 6: Запишем по порядку числа, в записи которых встречается цифра 3, от до : 316, 326, 336, 346, 356, 436, 536. Всего цифра «3» встречается 8 раз. Ответ: 8. Ответ: 8 6. Задание 16 № 2323. Укажите, сколько всего раз встречается цифра 2 в записи чисел 13, 14, 15, …, 23 в системе счисления с основанием 3. Пояснение. Запишем первое и последнее число в заданном диапазоне в системе счисления с основанием 3: Запишем все числа из заданного диапазона, содержащие цифру "2": 112, 120, 121, 122, 200, 201, 202, 210, 211, 212. Итого 2 встречается 13 раз. Ответ: 13 7. Задание 16 № 2308. Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 30, запись которых в системе счисления с основанием 5 начинается на 3? Пояснение. Сначала определим запись числа 29 в пятеричной системе. . Выпишем числа, меньшие запись которых в пятеричной системе начинается на 3: 3, 30, 31, 32, 33, 34. Переведем их в десятичную систему счисления. , , , , , Ответ: 3,15,16,17,18,19 8. Задание 16 № 2337. Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные натуральные числа, не превосходящие 17, запись которых в троичной системе счисления оканчивается на две одинаковые цифры? Пояснение. Решение. Так как число в системе счисления с основанием 3 кончается на , то искомое число в десятичной системе счисления при делении на 3 должно давать остаток (т. е. - любое целое неотрицательное число, - искомое число) и частное от этого деления также должно давать остаток при делении на 3 (т. е. , - любое целое неотрицательное число). Следовательно, . Подбирая и , найдем все натуральные решения этого уравнения, не превосходящие 17. 1. При ; 2. При ; 3. При ; 4. При ; 5. При ; 6. При . Заметим, что в последнем варианте искомое число больше 17, значит, мы заканчиваем пересчет на предыдущем. Ответ: 4, 8, 9, 13, 17 9. Задание 16 № 2309. Чему равно наименьшее основание позиционной системы счисления x, при котором 225x = 405y? Ответ записать в виде целого числа. Пояснение. Поскольку в левой и в правой частях есть цифра 5, оба основания больше 5, то есть перебор имеет смысл начинать с Для каждого вычисляем значение и решаем уравнение , причем нас интересуют только натуральные Для и нужных решений нет, а для получаем так что Ответ: Ответ: 8 10. Задание 16 № 2317. Сколько значащих цифр в записи десятичного числа 357 в системе счисления с основанием 7? Пояснение. Запишем число в системе счисления с основанием 7. . Ответ: 4 11. Задание 16 № 2319. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 31 оканчивается на 4. Пояснение. 1. Итак, нужно найти все целые числа (цифра 4 присутствует в системах счисления только с таким основанием), такие что остаток от деления 31 на равен 4, или (что то же самое) , где — целое неотрицательное число (0, 1, 2, …); 2. Из формулы получаем , так что задача сводится к тому, чтобы найти все делители числа 27, которые больше 4; 3. В этой задаче есть только два таких делителя: и . Ответ: 9, 27 12. Задание 16 № 2322. Десятичное число кратно 16. Какое минимальное количество нулей будет в конце этого числа после перевода его в двоичную систему счисления? Пояснение. Пусть это десятичное число - . Тогда Совершим перевод этого десятичного числа в двоичную систему счисления. Для этого мы должны разделить его на 2 и записать остаток, потом частное от этого деления также разделить на 2 и записать остаток, и т.д. То есть, если число делится на 2, остаток равен 0, соответственно, количество нолей в конце двоичного числа - это количество раз, которое мы можем разделить число на 2 без остатка. Чтобы число было минимальным, будем считать, что - нечетное. значит, в конце числа будут стоять 4 ноля. Ответ: 4 13. Задание 16 № 2324. Найдите основание системы счисления, в которой выполнено сложение: 144 + 24 = 201. Пояснение. Пусть основание искомой системы счисления - . Переведем в десятичную систему счисления исходное равенство: Упростим это уравнение, скомпоновав члены: Решим это уравнение. Ответ: 7 14. Задание 16 № 2329. Укажите наименьшее основание системы счисления, в которой запись числа 50 трехзначна. Пояснение. Составим уравнение для перевода числа в систему счисления. где - разряды числа в системе счисле- ния, числа в промежутке . Так как мы ищем наименьшее основание системы счисления, рассмотрим максимальные и , равные Перепишем уравнение: То есть, Будем искать не в точности ведь оно не будет натуральным, а близкие к решению этого уравнения. Возьмем наименьшее Переведем 50 в троичную систему счисления: . Число четырехзначно, и это означает, что стоит взять систему счисления Переведем 50 в четверичную систему счисления: , это число трехзначно, следовательно, ответом к этой задаче будет 4. Ответ: 4 15. Задание 16 № 2330. К записи натурального числа в восьмеричной системе счисления справа приписали два нуля. Во сколько раз увеличилось число? Ответ запишите в десятичной системе счисления. Пояснение. Когда мы приписываем к числу в некоторой системе счисления справа два ноля, мы "сдвигаем" число на два разряда, т.е. увеличиваем его в раз, где — основание системы счисления. В нашем случае оно равно 8, а значит, число увеличится в раза. Ответ: 64 16. Задание 16 № 2331. Запись числа 338 в системе счисления с основанием N содержит 3 цифры и оканчивается на 2. Чему равно максимально возможное основание системы счисления? Пояснение. Составим уравнение для перевода числа в систему счисления ( ). где стеме счисления, числа в промежутке — разряды числа в си- . Так как — целое, 336 должно делиться нацело на . Найдем все делители 336, большие 2: 3, 4, 7, 8, 12, 14. 16, 21, 24, 28, 42, 48, 56, 84, 112, 336. Максимально возможное основа- ние системы счисления достигается при минимальном значении выражения , равном , при котором само — целое. Решая уравнение, получим корень между 19-ю и 18ю. Начнем перебирать системы счисления с основанием, меньшим либо равным 18, но при этом являющиеся делителем 336. Первое подходящее — 16. Ответ: 16. Ответ: 16 17. Задание 16 № 2332. Запись числа 180 в системе счисления с основанием N содержит 3 цифры и оканчивается на 0. Перечислите в порядке возрастания все возможные основания системы счисления. Пояснение. 1) Поскольку запись в системе счисления с основанием заканчивается на 0, то остаток от деления числа 180 на N равен 0, то есть при некотором целом имеем Cледовательно, основание – это делитель числа 180 (делителями числа 180 являются числа: 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30... 3) C другой стороны, запись числа содержит 3 цифры, то есть 4) Начнем выписывать кубы и квадраты делителей, пока квадрат делителя не будет превышать 180: 5) Видим, что из этого списка все условия выполняются для чисел . Ответ: 6, 9, 10, 12 18. Задание 16 № 2336. Укажите наименьшее основание системы счисления, в которой запись числа 70 трехзначна. Пояснение. Составим уравнение для перевода числа в систему счисления. где - разряды числа в системе счисления, числа в промежутке . Так как мы ищем наименьшее основание системы счисления, рассмотрим максимальные и , равные Перепишем уравнение: То есть, Будем искать не в точности ведь оно не будет натуральным, а близкие к решению этого уравнения. Возьмем наименьшее Переведем 70 в четверичную систему счисления: . Число четырехзначно, и это означает, что стоит взять систему счисления Переведем 70 в пятеричную систему счисления: , это число трехзначно, следовательно, ответом к этой задаче будет 5. Ответ: 5 19. Задание 16 № 3808. Текстовый документ, состоящий из 5120 символов, хранился в 8битной кодировке КОИ-8. Этот документ был преобразован в 16-битную кодировку Unicode. Укажите, какое дополнительное количество Кбайт потребуется для хранения документа. В ответе запишите только число. Пояснение. Объем информации в кодировке КОИ-8: 5120 символов * 1 байт = 5120 байт. Объем информации в 16-битной кодировке Unicode: 5120 символов * 2 байта = 10240 байт. 10240 байт - 5120 байт = 5120 байт. 5120 : 1024 = 5 Кбайт. Ответ: 5 Кбайт. Ответ: 5 20. Задание 16 № 3847. Запишите десятичное число 100 в системе счисления с основанием 9. Пояснение. Переведем 100 в 9-ричную систему счисления. Ответ - 121. Приведем другой вариант решения. 100 / 9 = 11 (Остаток от деления 1). 11 / 9 = 1 (Остаток от деления 2). 1 на 9 не делится, записываем в конец. Результат записываем по остаткам в обратном порядке. Результат 121. Ответ: 121 21. Задание 16 № 4559. Запись десятичного числа в системах счисления с основаниями 3 и 5 в обоих случаях имеет последней цифрой 0. Какое минимальное натуральное десятичное число удовлетворяет этому требованию? Пояснение. Если искомое десятичное число при переводе в другую систему счисления дает последним разрядом 0, это значит, что оно делится на основание этой системы счисления без остатка. Минимальное натуральное десятичное число, имеющее делителями 3 и 5 — это 15. Ответ: 15 22. Задание 16 № 4585. Текстовый документ хранился в 8-битной кодировке КОИ-8. Этот документ был преобразован в 16-битную кодировку Unicode, при этом размер памяти, необходимой для хранения документа увеличился на 4 Кбайт. При этом хранится только последовательность кодов символов. Укажите, сколько символов в документе. В ответе запишите только число. Пояснение. Обозначим количество символов в документе за . Тогда объем информации в кодировке КОИ-8: бит = байт Объем информации в 16-битной кодировке Unicode: бит = байт. Размер памяти увеличился на байт = 4*1024 байт . Откуда = 4096. Ответ: 4096 символов. Ответ: 4096 23. Задание 16 № 4938. Решите уравнение 100 7 + x = 2005. Ответ запишите в шестнадцатеричной системе (основание системы счисления в ответе писать не нужно). Пояснение. Приведем элементы уравнения к десятичному виду: 1007 = 1·72 + 0·71 + 0·70 = 4910; 2005 = 2·52 + 0·51 + 0·50 = 5010. Запишем получившееся уравнение: 4910 + x = 5010 ⇔ x = 110. В шестнадцатеричной системе 1 и есть 1. О т в е т : 1. Ответ: 1 24. Задание 16 № 4979. Решите уравнение 60 8 + x = 1007. Ответ запишите в шестеричной системе (основание системы счисления в ответе писать не нужно). Пояснение. Приведем элементы уравнения к десятичному виду: 608 = 6·81 + 0·80 = 4810; 1007 = 1·72 + 0·71 + 0·70 = 4910. Запишем получившееся уравнение: 4810 + x = 4910 ⇔ x = 110. В шестиричной системе 1 и есть 1. О т в е т : 1. Ответ: 1 25. Задание 16 № 5214. Запись числа 6910 в системе счисления с основанием N оканчивается на 1 и содержит 4 цифры. Чему равно основание этой системы счисления N? Пояснение. Составим уравнение для перевода числа в систему счисления с основанием ( ). с основанием , числа в промежутке где . — разряды числа в системе счисления Так как — целое, 68 должно делиться нацело на . Найдем все делители 68, большие 2: 4, 17. В системе с основанием 17 число 69 не будет содержать 4 цифры, в системе с основанием 4 число 69 будет выглядеть так: 10114. Следовательно, основание системы равно 4. Ответ: 4 26. Задание 16 № 5246. Запись числа 6810 в системе счисления с основанием N оканчивается на 2 и содержит 4 цифры. Чему равно основание этой системы счисления N? Пояснение. Составим уравнение для перевода числа в систему счисления с основанием ( ). числа в системе счисления с основанием , числа в промежутке где . — разряды Так как — целое, 66 должно делиться нацело на . Найдем все делители 66, большие 2: 3, 6, 11, 33. В системе с основанием 33, 11 и 6 число 68 не будет содержать 4 цифры. В системе с основанием 3 число 68 будет выглядеть так: 21123. Следовательно, ответ: 3. Ответ: 3 27. Задание 16 № 5279. Запись числа N в системе счисления с основанием 6 содержит две цифры, запись этого числа в системе счисления с основанием 5 содержит три цифры, а запись в системе счисления с основанием 11 заканчивается на 1. Чему равно N? Пояснение. Составим уравнения для перевода числа в 11-ю систему счисления. Из уравнения следует, что число N-1 кратно 11. Наибольшее число, содержащее две цифры, в системе счисления с основанием 6 это 556 = 3510. Числа, для которых верное условие "N-1 кратно 11", это 12, 23, 34. Числа 12 и 23 не подходят, поскольку в 5-й системе счисления содержат 2 цифры. Следовательно, ответ 34. Ответ: 34 28. Задание 16 № 5311. Запись числа N в системе счисления с основанием 7 содержит две цифры, запись этого числа в системе счисления с основанием 6 содержит три цифры, а запись в системе счисления с основанием 11 заканчивается на 2. Чему равно N? Пояснение. Составим уравнения для перевода числа в 11-ю систему счисления. Из уравнения следует, что число N-2 кратно 11. Наибольшее число, содержащее две цифры, в системе счисления с основанием 7 это 667 = 4810. Числа, для которых верное условие "N-2 кратно 11", это 13, 24, 35, 46. Числа 13 и 24, 35 не подходят, поскольку в 6-й системе счисления содержат 2 цифры. Следовательно, ответ 46. Ответ: 46 29. Задание 16 № 5363. Укажите наименьшее основание системы счисления, в которой запись десятичного числа 30 имеет ровно три значащих разряда. Пояснение. Составим уравнение для перевода числа в систему счисления. где — разряды числа в системе счисления, числа в промежутке . Так как мы ищем наименьшее основание системы счисления, рассмотрим максимальные и , равные Перепишем уравнение: в точности ведь оно не будет натуральным, а Возьмем наименьшее: Переведем 30 в троичную систему счисления: означает, что стоит взять систему счисления То есть, Будем искать не близкие к решению этого уравнения. . Число четырёхзначно, это Переведем 30 в четверичную систему счисления: , это число трёхзначно, следовательно, ответом к этой задаче будет 4. Ответ: 4 30. Задание 16 № 5395. Укажите наименьшее основание системы счисления, в которой запись десятичного числа 15 имеет ровно три значащих разряда. Пояснение. Составим уравнение для перевода числа в систему счисления. где — разряды числа в системе счисления, числа в промежутке . Так как мы ищем наименьшее основание системы счисления, рассмотрим максимальные и , равные Перепишем уравнение: в точности ведь оно не будет натуральным, а Возьмем наименьшее: Переведем 15 в двоичную систему счисления: означает, что стоит взять систему счисления То есть, Будем искать не близкие к решению этого уравнения. . Число четырёхзначно, это Переведем 15 в троичную систему счисления: , это число трёхзначно, следовательно, ответом к этой задаче будет 3. Ответ: 3 31. Задание 16 № 5459. В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 24 записывается в виде 30. Укажите это основание. Пояснение. Составим уравнение: где — основание этой системы счисления. Исходя из уравнения, Ответ: 8 32. Задание 16 № 5491. Запишите десятичное число 27 в системе счисления с основанием 4. Основание системы счисления (нижний индекс после числа) писать не нужно. Пояснение. Запишем число 27 в виде суммы степеней четвёрки с соответствующими коэффициентами: 27 = 16 + 2 · 4 + 3 · 1. Таким образом, 2710 = 1234. Ответ 123. Ответ: 123 33. Задание 16 № 5523. Укажите наименьшее основание системы счисления, в которой запись десятичного числа 48 имеет ровно три значащих разряда. Пояснение. Составим уравнение для перевода числа в систему счисления. где — разряды числа в системе счисления, числа в промежутке . Так как мы ищем наименьшее основание системы счисления, рассмотрим максимальные и , равные Перепишем уравнение: То есть, Будем искать не в точности ведь оно не будет натуральным, а Возьмем наименьшее: Переведем 48 в троичную систему счисления: означает, что стоит взять систему счисления близкие к решению этого уравнения. . Число четырёхзначно, это Переведем 48 в четверичную систему счисления: , это число трёхзначно, следовательно, ответом к этой задаче будет 4. Ответ: 4 34. Задание 16 № 5555. Укажите наименьшее основание системы счисления, в которой запись десятичного числа 15 имеет ровно три значащих разряда. Пояснение. Составим уравнение для перевода числа в систему счисления. где — разряды числа в системе счисления, числа в промежутке . Так как мы ищем наименьшее основание системы счисления, рассмотрим максимальные и , равные Перепишем уравнение: в точности ведь оно не будет натуральным, а Возьмем наименьшее: Переведем 15 в двоичную систему счисления: означает, что стоит взять систему счисления То есть, Будем искать не близкие к решению этого уравнения. . Число четырёхзначно, это Переведем 15 в троичную систему счисления: , это число трёхзначно, следовательно, ответом к этой задаче будет 3. Ответ: 3 35. Задание 16 № 5619. В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 36 записывается в виде 40. Укажите это основание. Пояснение. Составим уравнение: где — основание этой системы счисления. Исходя из уравнения, Ответ: 9 36. Задание 16 № 5651. В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 28 записывается в виде 40. Укажите это основание. Пояснение. Составим уравнение: где — основание этой системы счисления. Исходя из уравнения, Ответ: 7 37. Задание 16 № 5715. Запишите десятичное число 38 в системе счисления с основанием 5. Основание системы счисления (нижний индекс после числа) писать не нужно. Пояснение. Запишем число 38 в виде суммы степеней пятёрки с соответствующими коэффициентами: 38 = 25 + 2 · 5 + 3 · 1. Таким образом, 3810 = 1235. Ответ 123. Ответ: 123 38. Задание 16 № 5747. Запишите десятичное число 86 в системе счисления с основанием 5. Основание системы счисления (нижний индекс после числа) писать не нужно. Пояснение. Запишем число 86 в виде суммы степеней четвёрки с соответствующими коэффициентами: 86 = 3 · 25 + 2 · 5 + 1 · 1. Таким образом, 8610 = 3215. Ответ 321. Ответ: 321 39. Задание 16 № 5779. Запишите десятичное число 57 в системе счисления с основанием 4. Основание системы счисления (нижний индекс после числа) писать не нужно. Пояснение. Запишем число 57 в виде суммы степеней четвёрки с соответствующими коэффициентами: 57 = 3 · 16 + 2 · 4 + 3 · 1. Таким образом, 5710 = 3214. Ответ: 321 40. Задание 16 № 5811. Запишите десятичное число 27 в системе счисления с основанием 4. Основание системы счисления (нижний индекс после числа) писать не нужно. Пояснение. Запишем число 27 в виде суммы степеней четвёрки с соответствующими коэффициентами: 27 = 1 · 16 + 2 · 4 + 3 · 1. Таким образом, 2710 = 1234. Ответ: 123 41. Задание 16 № 5843. В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 24 записывается в виде 40. Укажите это основание. Пояснение. Составим уравнение: где — основание этой системы счисления. Исходя из уравнения, Ответ: 6 42. Задание 16 № 5875. В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 24 записывается в виде 40. Укажите это основание. Пояснение. Составим уравнение: где — основание этой системы счисления. Исходя из уравнения, Ответ: 6 43. Задание 16 № 5971. В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 21 записывается в виде 30. Укажите это основание. Пояснение. Составим уравнение: где — основание этой системы счисления. Исходя из уравнения, Ответ: 7 44. Задание 16 № 6005. Укажите наименьшее основание системы счисления, в которой запись десятичного числа 30 имеет ровно три значащих разряда. Пояснение. Составим уравнение для перевода числа в систему счисления. где — разряды числа в системе счисления, числа в промежутке Так как мы ищем наименьшее основание системы счисления, рассмотрим максимальные и , равные Перепишем уравнение: в точности ведь оно не будет натуральным, а Возьмем наименьшее: То есть, Будем искать не близкие к решению этого уравнения. Переведем 30 в троичную систему счисления: означает, что стоит взять систему счисления Переведем 30 в четверичную систему счисления: довательно, ответом к этой задаче будет 4. . Число четырёхзначно, это , это число трёхзначно, сле- Повтор задания 5363. Ответ: 4 45. Задание 16 № 6190. Решите уравнение: 1005 + x = 2004. Ответ запишите в семеричной системе (основание системы счисления в ответе писать не нужно). Пояснение. Переведём числа 1005 и 2004 в десятичную систему счисления: 1005 = 52 = 2510; 2004 = 2 · 42 = 3210. Тогда из уравнения находим, что x = 710 = 107. Ответ: 10. Ответ: 10 46. Задание 16 № 6235. Решите уравнение: 608 + x = 2005. Ответ запишите в шестеричной системе (основание системы счисления в ответе писать не нужно). Пояснение. Переведём числа 608 и 2005 в десятичную систему счисления: 608 = 6 · 8 = 4810; 2005 = 2 · 52 = 5010. Тогда из уравнения находим, что x = 210 = 26. Ответ: 2. Ответ: 2 47. Задание 16 № 6502. Запишите десятичное число 48 в системе счисления с основанием 4. Основание системы счисления (нижний индекс после числа) писать не нужно. Пояснение. Представим число 48 в виде суммы степеней 4: 4810 = 16 · 3 = 3 · 42 + 0 · 41 + 0 · 40 = 3004. Ответ: 300. Ответ: 300 48. Задание 16 № 6578. Запись числа в девятеричной системе счисления заканчивается цифрой 4. Какой будет последняя цифра в записи этого числа в троичной системе счисления? Пояснение. Представим число 4 в виде суммы степеней числа 3: 4 = 1 · 31 + 1 · 30. Последняя цифра в записи этого числа в троичной системе счисления — коэффициент при тройке в нулевой степени. Ответ: 1. Ответ: 1 49. Задание 16 № 6780. Решите уравнение: 1007 + x = 2105. Ответ запишите в шестеричной системе (основание системы счисления в ответе писать не нужно). Пояснение. Перейдём в десятичную систему счисления: 1007 = 1·72 + 0·71 + 0·70 = 4910; 2105 = 2·52 + 1·51 + 0·50 = 5510. Запишем получившееся уравнение: 4910 + x = 5510 ⇔ x = 610. Переведём результат в шестиричную систему счисления: 610 = 106. О т в е т : 10. Ответ: 10 50. Задание 16 № 6812. Решите уравнение: 608 + x = 609 Ответ запишите в шестеричной системе (основание системы счисления в ответе писать не нужно). Пояснение. Приведем элементы уравнения к десятичному виду: 608 = 6·81 + 0·80 = 4810; 609 = 6·91 + 0·90 = 5410. Запишем получившееся уравнение: 4810 + x = 5410 ⇔ x = 610. Переведём результат в шестиричную систему счисления: 610 = 106. О т в е т : 10. Ответ: 10 51. Задание 16 № 6894. Десятичное число 81 в некоторой системе счисления записывается как 144. Определите основание системы счисления. Пояснение. Запишем уравнение: 8110 = 144n ⇔ n2 + 4n + 4 = 81 ⇔ n(n + 4) = 77. Число 77 кратно 11 и 7, основание 11 не подходит, поскольку в данной системе счисления, число 81 будет двухзначным. Следовательно, ответ 7. О т в е т : 7. Ответ: 7 52. Задание 16 № 6926. Десятичное число 59 в некоторой системе счисления записывается как 214. Определите основание системы счисления. Пояснение. Запишем уравнение: 5910 = 214n ⇔ 2n2 + n + 4 = 59 ⇔ n(2n + 1) = 55. Число 55 кратно 11 и 5, основание 11 не подходит, поскольку в данной системе счисления, число 59 будет двухзначным. Следовательно, ответ 5. О т в е т : 5. Ответ: 5 53. Задание 16 № 7204. Запишите число 83 в троичной системе счисления. В ответе укажите только цифры, основание системы счисления писать не нужно. Пояснение. Переведём число 83 в троичную систему счисления (деля и снося остаток справа налево): 83 / 3 = 27 (2) 27 / 3 = 9 (0) 9 / 3 = 3 (0) 3 / 3 = 1 (0) 1 / 3 = 0 (1) В троичной системе счисления 83 запишется как 10002. О т в е т : 10002. Ответ: 10002 54. Задание 16 № 7373. Запишите число 128 в пятеричной системе счисления. В ответе укажите только цифры, основание системы счисления писать не нужно. Пояснение. Переведём число 128 в пятеричную систему счисления (деля и снося остаток справа налево): 128 / 5 = 25 (3) 25 / 5 = 5 (0) 5 / 5 = 1 (0) 1 / 5 = 0 (1) В пятеричной системе счисления 128 запишется как 1003. О т в е т : 1003. Ответ: 1003 55. Задание 16 № 7460. Сколько единиц содержится в двоичной записи значения выражения: 42014 + 22015 − 8? Пояснение. Преобразуем выражение: Число 24028 в двоичной записи записывается как единица и 4028 нулей. Добавив число 22015, получаем 100...00100...000 (единица, 2012 нулей, единица, 2015 нулей, всего 4029 разрядных цифр). Если вычесть из этого числа 23 = 10002, то число примет вид 100...001...1000. В полученном числе единица, 2013 нулей, 2012 единиц и три нуля. Значит, всего в числе 2013 единиц. О т в е т : 2013. Ответ: 2013 http://inf.reshuege.ru/test?theme=248&print=true