Подборка задач.

15.12.2014
Меркулова Татьяна Игоревна
ГБОУ СОШ 2088
Подготовка к ЕГЭ по математике.
Решение задач с банковскими процентами.
Вашему вниманию предлагается серия задач, аналогичных тем, что предлагаются к решению
учащимся, изучающим математику на профильном уровне. Т.к. данный материал отсутствует в ныне
действующих учебниках и пособиях, то возникла необходимость каким-то образом сделать его доступным
для учащихся, дать им представление об основных видах таких задач и методах их решения. Ниже
рассмотрена серия задач с подробным решением, которая может быть использована как учебное пособие
при изучении данной темы.
Задача 1 .(Виленкин Н.Я. Алгебра 9. Уч-к для углубленного изучения математики. №202)
Вкладчик внес в банк 12000 р. Банк выплачивает 3% годовых. Через 2 года 3 месяца
и 7 дней вкладчик закрыл счет. Какую сумму выплатил банк?
Решение: В данной задаче не сказано, что начисление процентов происходит
ЕЖЕГОДНО. Т.е. имеет место задача с начислением простых процентов. Поэтому
выплата банка через означенный период составит: 12000 (собственно вклад) +
12000  0,03  2 (процент за два года) + 12000  0,03  3 / 12 (процент за 3 месяца) +
12000 7 / 365 (процент за 7 дней). Т.е: 12000 + 720 + 90 + 6,90 = 12816,9 рублей
Ответ 1: 12816,9 рублей
Задача составлена не очень корректно. Должно быть сказано: «3% годовых
за весь период хранения».
Примечание 2: В действительности в банках происходит ежегодное начисление процентов.
Т.е. через год происходит начисление процентов на проценты.
3
 1,03 . Тогда за первые два года будет
Коэффициент увеличения ставки в  1 
100
начислено: 12000  1,032  12730,8 рублей. А за оставшийся период:
3
7
12730,8  0,03  ( 
)  102,81 руб. И общая сумма составит: 12833,61 руб.
12 365
Ответ 2: 12833,61 руб.
Примечание 1:
Задача 2. (Математика ЕГЭ-2015. 30 вариантов +800 задач. Вариант 2)
31 декабря 2014 года Дмитрий взял в банке 4 290 000 рублей в кредит под 14,5%
годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк
начисляет проценты на оставшуюся часть долга (т.е. увеличивает долг на 14,5%),
Затем Дмитрий переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы
Дмитрий выплатил платеж двумя равными платежами (т.е. за два года)?
Решение: Пусть сумма кредита S, процент по кредиту а = 14,5%, транш по
кредиту, т.е. сумма возврата банку, Х.
a
Тогда долг через год S1  Sb  X , где b  1 
. Очевидно, что, S1 меньше S, т.к.
100
часть долга банку погашается. Через два года кредит полностью выплачен, поэтому:
Sb 2
S 2  (Sb  X )b  X  Sb 2  X (b  1)  0 , откуда X 
;
b 1
4290000  1,145  1,145 4290  1145  1145
X 

 2  1145  1145  2290  1145  2622050
1  1,145
2145
Ответ: две выплаты по 2 622 050 рублей
15.12.2014
Меркулова Татьяна Игоревна
ГБОУ СОШ 2088
Задача 3. (Математика ЕГЭ-2015. 30 вариантов +800 задач. Вариант 4)
31 декабря 2014 года Владимир взял в банке некоторую сумму в кредит под 14%
годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк
начисляет проценты на оставшуюся часть долга (т.е. увеличивает долг на 14%), Затем
Владимир переводит в банк 4 548 600 рублей. Какую сумму взял Владимир в банке, если он
выплатил долг двумя равными платежами?
Решение: Аналогично предыдущей задаче, необходимо использовать формулу
S 2  Sb 2  X (b  1)  0 . Только в данном случае необходимо выразить собственно сумму
X (b  1) 4548600  2,14 454860000  214
кредита, т.е. S: S 


1,14  1,14
114  114
b2
227430000  107 75810000  107 25270000  107 1330000  107
S



 70000  107
57  57
19  57
19  19
19
S  7490000
Ответ: 7 490 000 рублей
Задача 4. (Математика ЕГЭ-2015. 30 вариантов +800 задач. Вариант 19)
31 декабря 2014 года Евгений взял в банке 1 млн. рублей в кредит. Схема выплаты
кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на
оставшуюся часть долга (т.е. увеличивает долг на а%), Затем Евгений переводит в банк
очередной транш. Евгений выплатил кредит за два транша, переведя в первый раз 540
тыс. рублей, а во второй 649,6 тыс. рублей. Под какой процент банк выдал кредит
Евгению?
Решение: Отличие данной задачи от предыдущих задач заключается в том, что в
формуле выплаты кредита за второй год присутствуют два различных значения транша,
т.е. Х1 и Х2:
S 2  (Sb  X 1 )b  X 2  0 Или: 1000000b  540000b  649600  0
10000b 2  5400b  6496  0
1250b 2  675b  812  0
D  675 2  4  1250  812  25 2  729  25 2  6496  25 2 729  6496  25 2  7225
675  25  85
b
. Т.к. банковский коэффициент не может быть отрицательным, то:
2500
25(27  85) 112
b

 1,12 а = 12%
2500
100
Ответ: 12 %
Задача 5. (Математика ЕГЭ-2015. 30 вариантов +800 задач. Вариант 1)
1 января 2015 года Александр Сергеевич взял в банке 1,1 млн. рублей в кредит.
Схема выплаты кредита следующая – 1 числа каждого следующего месяца банк
начисляет 1% на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1%), затем
Александр Сергеевич переводит в банк платеж. На какое минимальное количество
месяцев Александр Сергеевич может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были
не более 275 тыс.рублей?
Решение: Пусть сумма взятого кредита S, ставка по кредиту a%, а коэффициент
а
увеличения ставки b  1 
. Тогда долг через месяц составит Sb. После погашения
100
части долга Х, остаток кредите составит: S1  Sb  X
Меркулова Татьяна Игоревна
15.12.2014
Через два месяца: S 2  ( Sb  X )b  X  Sb 2  X (b  1)  Sb 2  X
ГБОУ СОШ 2088
b2 1
b 1
Через 3 месяца: S 3  ( Sb 2  X (b  1))  X  Sb 3  X (b 2  b  1)  Sb 3  X
b3  1
b 1
Через 4 месяца: S 4  ( Sb 3  X (b 2  b  1))b  X  Sb 4  X (b 3  b 2  b  1)  Sb 4  X
b4 1
b 1
bn -1
Т.о. через n месяцев: S n  Sb - X
.
b -1
Подставляя данные, получаем следующее выражение:
1,01n - 1
1100000  1,01n - 275000 
0
0,01
Ноль в правой части формулы означает, что весь кредит будет погашен. Из данного
неравенства выразим выражение, содержащее степень:
275  (1,01n - 1)  11  1,01n
264  1,01n  275 , откуда: 1,01n  1,0416
Используем формулу для приближенного вычисления значений, близких к
единице: (1   ) n  1  n
1,01n  1  0,01  n  1,0416 , n  4,16 . Т.к. n  N , то n = 5
Ответ: 5
n
Задача 6. (http://alexlarin.net/ege/2015/trvar86.html)
В банк помещена сумма 3 900 000 рублей под 50 % годовых. В конце каждого из
первых четырех лет, после начисления процентов, вкладчик вносит одну и ту же
фиксированную сумму. К концу пятого года после начисления процентов оказалось, что
размер вклада увеличился на 725%. Какую сумму вкладчик вносил в банк ежегодно?
Решение: Задача очень похожа на предыдущую, где на протяжении нескольких
месяцев ежемесячно погашалась часть кредита, но в данном случае происходит не
уменьшение общей суммы, а увеличение.
Сумма вклада через год после внесения дополнительного взноса Х: S1  Sb  X
Через два года: S 2  (Sb  X )b  X  Sb 2  X (b  1)
Через 3 года: S 3  ( Sb 2  X (b  1))  X  Sb 3  X (b 2  b  1)
Через 4 года: S 4  ( Sb 3  X (b 2  b  1))b  X  Sb 4  X (b 3  b 2  b  1)
Через 5 лет: S 5  ( Sb 4  X (b 3  b 2  b  1))b  Sb 5  X (b 4  b 3  b 2  b)  8,25S
Т.к. вклад увеличился на 725%, следовательно, он составил 825% = 8,25.
8,25S  Sb 5
S  1,5(5,5  1,5 4 )
3,9  (5,5  5,0625)
X  4

X 
3
2
3
2
3,375  2,25  2,5
b  b  b  b 1,5(1,5  1,5  1,5  1)
3,9  0,4375 3,9  8750 3,9  17500 3,9  35
млн. рублей
X 



8,125
16250
32500
65
3900000  7
X 
 210000
13
Данная задача может быть рассчитана и в простых дробях:
Меркулова Татьяна Игоревна
15.12.2014
ГБОУ СОШ 2088
 1 35 
S  8  5 
 4 2 
 33 243 
3,9   

8,25S  Sb
4
32  3,9  264  243

X 



3  3  9 
3  2  5  13
b(b 3  b 2  b  1) 3 
2
 b  1b  1
  1  1
2
2  2  4 
3,9  21
X 
 0,21млн. руб  210000 руб
39  10
Ответ: 210 000 рублей
5
Задача 7.
За время хранения вклада в банке процент по нему начислялся ежемесячно в
размере 5%, затем 8% и, наконец, 111/9 %. Известно, что под действием каждой
процентной ставки вклад находился целое число месяцев. По истечению срока хранения
первоначальной суммы вклад увеличился на 96%. Определите срок хранения вклада.
Решение: Пусть изначально сумма была равна S. Тогда через месяц, после
5 

начисления процентов, мы имеем: S1  S 1 
 , а через два месяца, при той же ставке:
 100 
2
n
5 
5 


S 2  S 1 
 , а через n месяцев Sn  S 1 
 .
 100 
 100 
Т.к. мы не знаем с какой процентной ставкой какой срок лежал вклад, то индекс n надо
пронумеровать:
n3
n1
n2
1
5  
8   11 9 

Sn  S 1 
 1,96S После преобразования:
  1 
  1
100 
 100   100  


n2
3
72
196
 3 7   3   2 5 
 105   108   1000 









  2  2 

 
 

100
52
 45  5   3 
 100   100   900 
Т.к. число 7 встречается в левой части только в первой дроби, а в правой части
n1
n2
n3
n1
n2
n3
 33   2  5 
24
встречается во второй степени, то n1 = 2. Тогда:  2    2   2 , откуда n3 = 4 и,
3
5   3 
следовательно, n2 = 2 .
Ответ: 2 + 4 + 2 = 8 месяцев
Задача 8. (Корешкова Т.А., Шевелева Н.В. «ЕГЭ 2015. Математика. Тренировочные задания. 40
n3
вариантов» Вариант 35)
Некоторая сумма, больше 1000 рублей, была помещена в банк, и после первого года
хранения проценты, начисленные на вклад, составили 400 рублей. Владелец вклада
добавил на счет 600 рублей. После второго года хранения и начисления процентов сумма
на вкладе стала равна 5500 рублей. Какова была первоначальная сумма вклада, если
процентная ставка банка для первого и второго года хранения была одинакова?
a
 400 рублей (1) .
100
Тогда через год сумма вклада составила: S  400 . К началу второго года, после внесения
дополнительной суммы: S  400  600  S  1000 .
a
Через два года процент за хранение вклада будет составлять ( S  1000)
.
100
А собственно сумма вклада может быть представлена формулой:
Решение: Доход по вкладу через год хранения: S 
Меркулова Татьяна Игоревна
15.12.2014
S  1000  ( S  1000)
SS
ГБОУ СОШ 2088
a
a 

 5500 или ( S  1000)1 
  5500 (2).
100
 100 
a
 1000  10a  5500
100
Выразим из уравнения 1 сумму вклада: S 
40000
и подставим ее в уравнение 2:
a
40000
 400  1000  10a  5500  0
a
a 2  410a  4000  0
Легко увидеть, что корнями уравнения являются числа 400 и 10. Для первого случая
сумма, помещенная в банк, равна 100, а для второго – 4000.
Т.к. по условию сумма больше 1000, то ответ – 4000 рублей.
Ответ: 4000 рублей
Задача 9. (Корешкова Т.А., Шевелева Н.В. «ЕГЭ 2015. Математика. Тренировочные задания. 40
вариантов» Вариант 40)
Цена некоторого товара была повышена сначала на 10%, затем еще на 120 рублей
и, наконец, еще на 5%. Какова была первоначальная цена товара, если в результате
повышение составило 31,25%?
Решение: Пусть первоначальная цена товара равна S. Тогда после первого повышения
10
S
цена товара составила S1  S 
100
1
После второго повышения цена составила: S 2  S1  120  S  S  120
10
5
105  11

S2 
После третьего: S 3  S 2 
 S  120 
100
100  10

Т.к. цена увеличилась на 31,25%, то она составила 131,25% или 1,3125S.
26  11
 13125
S
 S  120  
25  10
 10000
11
125
120 12000 4000
S  120 
S Откуда: 0,15S  120
Или: S 


 800
10
100
0,15
15
5
Ответ: 800 рублей
Задача 10. (http://alexlarin.net/ege/2015/trvar85.html)
Фермер получил кредит в банке под определенный процент. Через год фермер
вернул в банк в счет погашения кредита ¾ от всей суммы, которую он должен был банку
к этому времени, а еще через год в счет полного погашения кредита он внес в банк сумму
на 21% превышающую величину полученного кредита. Каков процент годовых по
кредиту?
Решение: Пусть сумма кредита S, тогда через год сумма к возврату Sb. Сумма долга
после выплаты ¾ кредита составила 1/4Sb.
Через два года оставшаяся часть по кредиту увеличилась в b раз: 1/4Sb2 и составила
121% первоначальной суммы:
1 2
Sb  1,21S .Откуда: b 2  4  1,21 Или: b  2,2
4
15.12.2014
Меркулова Татьяна Игоревна
ГБОУ СОШ 2088
a
 2,2 то получаем: a  120%
100
Ответ: 120%
Задача 11. (http://alexlarin.net/ege/2015/trvar91.html)
Т.к. b  1 
Два брокера купили акции одного достоинства на сумму 3640 р. Когда цена на эти
акции возросла, они продали часть акций на сумму 3927 р. Первый брокер продал 75%
своих акций, а второй 80% своих. При этом сумма от продажи акций, полученная
вторым брокером, на 140% превысила сумму, полученную первым брокером. На сколько
процентов возросла цена одной акции?
Решение: Пусть у первого брокера было А акций, а у второго В акций. Тогда
стоимость всех акций составляла: А  В  3640 руб.
После подорожания акции на к %, стоимость акции увеличилась в в раз, где
к
в  1
.
100
Тогда выручка от продажи акций первым брокером составила 0,75Ав, а вторым брокером
0,8Вв. При этом выручка второго брокера больше НА 140 %, т.е. составила 240 % выручки
первого брокера. Или 2,4 части выручки первого брокера.
 А  В  3640

Составим систему уравнений: 0,75 Ав  0,8Вв  3927
0,8Вв  2,4  0,75 Ав

9
Из третьего уравнения Вв  Ав . После подстановки данных во второе уравнение
4
находим, что после подорожания все акции первого и второго брокеров соответственно
стоили: Ав  1540 и Вв  3465 рублей. Таким образом, стоимость акций увеличилась в
Ав  Вв 1540  3465
в

 1,375 раз. Или на 37,5 %.
А В
3640
Ответ: 37,5 %.