СД.Ф.13 Прикладная алгебра
реклама
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Мурманский государственный гуманитарный университет»
(ФГБОУ ВПО «МГГУ»)
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
ДИСЦИПЛИНЫ
СД.13 ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА
ОСНОВНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ПРОГРАММА ПОДГОТОВКИ
СПЕЦИАЛИСТА ПО СПЕЦИАЛЬНОСТИ (специальностям)
080116 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ЭКОНОМИКЕ
(код и наименование специальности)
Утверждено на заседании кафедры
математики и математических методов
в экономике факультета
физико-математического образования,
информатики и программирования
(протокол № 6 от 27 февраля 2013 г.)
Зав. кафедрой _________О.М. Мартынов
Структура учебно-методического комплекса дисциплины
«Прикладная алгебра»
РАЗДЕЛ 1. Программа учебной дисциплины.
Структура программы учебной дисциплины
1.1 Авторы программы: доктор физико-математических. наук, профессор
Маренич Е.Е., кандидат физико-математических наук., доцент Маренич В.Е.
1.2. Рецензенты: кандидат физико-математических наук, доцент Верещагин
Б.М., кандидат физико-математических наук Карымов Д.Н.
1.3. Пояснительная записка:
Цель: Заложить фундаментальные знания, необходимые для применения математических методов. Развивать профессиональную компетентность, определяемую как совокупность теоретических и практических навыков, способность осуществлять профессиональные функции.
В ходе изучения курса осуществляется математическая подготовка
студентов на уровне, необходимом и достаточном для:
усвоения материала специальных дисциплин;
развития точного научного мышления, повышения математической
культуры;
практической работы по специальности;
формирования умения исследовать математические модели, обрабатывать и анализировать экспериментальные данные.
Задачами преподавания курса являются:
формирование математической культуры и развитие логического
мышления;
формирование практических навыков решения задач по алгебре;
решение прикладных задач математическими методами;
формирование базы математического образования, позволяющей в
дальнейшем продолжить математическое образование (самообразование);
формирование умения ставить математические задачи, формулировать задания по реализации их решения.
Данная программа составлена в соответствии с Примерным учебным планом.
Целесообразное соотношение между теоретической и практической составляющими содержания образования – 1:1.
Место курса в общей системе подготовки специалиста.
Курс "Прикладная алгебра" входит в раздел «Специальные дисциплины», региональный компонент. В профессиональной подготовке математика
данная дисциплина занимает особое положение: даёт научное обоснование
основных разделов математики, ее приложений. Для усвоения курса необходимым условием является прочное усвоение курса элементарной математи2
ки, предусмотренного школьной программой, учебных дисциплин специальности ММЭ: «Алгебра», «Линейная алгебра».
Предлагаемый курс имеет естественные межпредметные связи с курсами
линейной алгебры, теории чисел, математической логики, дискретной математики, элементарной математики, информационных технологий в математике, математического анализа, информатики.
Требования к уровню освоения содержания дисциплины.
В результате изучения курса студенты
должны знать:
понятия и утверждения, входящие в содержание дисциплины, доказательства
теорем.
должны уметь:
решать задачи по разделам курса, применять теоретический материал, творчески подходить к решению профессиональных задач, ориентироваться в нестандартных условиях и ситуациях, анализировать возникающие проблемы.
Ссылки на авторов и программы, которые использовались в подготовке.
При подготовке программы использовались учебники Кострикина А.И., Куроша А.Г., Бухштаба А.А.
Программа составлена на основе государственного образовательного
стандарта высшего профессионального образования по специальности
080116 Математические методы в экономике, утверждённого 23.03.2000 г.
1.4. Курс "Прикладная алгебра" является региональным компонентом раздела
«Специальные дисциплины».
1.5. Объем дисциплины и виды учебной работы (для всех специальностей,
на которых читается данная дисциплина:
№
п/п
1
Шифр и
наименование специальности
Курс
061800 Математические методы в экономике
3
Семестр
Виды учебной работы в часах
Трудоемкость
Всего
аудит.
ЛК
ПР
ЛБ
Сам.
работа
150
76
38
38
-
74
6
Вид итогового контроля
(форма отчетности)
экзамен
1.6. Содержание дисциплины.
1.6.1. Разделы дисциплины и виды занятий (в часах). Примерное распределение учебного времени:
3
№
Наименование раздела, темы
п/
п
1
2
3
Количество часов
Вс ЛК ПР/ Л Сам.
ег
СМ Б раб.
о
ау
д.
14 8
6
14
14 8
6
12
§1. Сравнения и их свойства
§2. Мультипликативные функции. Функция
Эйлера. Приведенная система вычетов. Теоремы Эйлера и Ферма.
§3. Сравнения первой степени. Сравнения 14
высших степеней по простому модулю.
6
8
-
12
4
§4. Первообразные корни и индексы.
14
6
8
-
12
5
§5. Приложения теории сравнений.
12
6
6
-
12
6
§6. Криптографическая система RSA.
8
4
4
-
12
1.6.2. Содержание разделов дисциплины.
Теория сравнений в кольце целых чисел.
§1. Сравнения и их свойства.
Сравнения в кольце целых чисел, их простейшие и основные свойства.
Классы эквивалентности и их свойства.
Полная система вычетов. Условие при котором ax b пробегает полную
систему вычетов, если x пробегает полную систему вычетов.
Сумма классов вычетов. Свойства сложения классов вычетов. Аддитивная
группа классов вычетов.
Умножение классов вычетов. Свойства умножения классов вычетов. Кольцо классов вычетов.
§2. Мультипликативные функции. Функция Эйлера. Приведённая система
вычетов. Теоремы Эйлера и Ферма.
Мультипликативные функции и их свойства. Функция Мёбиуса и её свойства.
Функция Эйлера. Формула для вычисления значений функции Эйлера.
Свойства функции Эйлера.
Приведённая система вычетов. Условие при котором ax пробегает приведённую систему вычетов, если x пробегает приведённую систему вычетов.
Мультипликативная группа классов вычетов взаимно простых с модулем.
Условие при котором кольцо классов вычетов является полем.
Числа взаимно обратные по модулю числа. Вычисление обратных чисел с
помощью цепных дробей.
Теорема Эйлера. Теоремы Ферма.
4
Представление простого числа p 1(mod 4) в виде суммы двух квадратов.
Теорема Дирихле и её применение к представлению простого числа
p 1(mod 4) в виде суммы двух квадратов.
§3. Сравнения первой степени. Сравнения высших степеней по простому
модулю.
Степень и число решений сравнения.
Разбиение класса вычетов по данному модулю на классы вычетов по кратному модулю.
Теоремы о разрешимости и числе решений сравнений первой степени.
Теорема о том, что число решений сравнения степени n по простому модулю имеет не более n решений. Теорема о числе решений сравнения
p1
x
1 0(mod p) , где p - простое. Теорема Вильсона. Теорема о числе решений сравнения x d 1 0(mod p ) , где p - простое, d| p 1.
§4. Первообразные корни и индексы.
Порядок числа по модулю. Свойства порядка.
Первообразные корни по простому модулю. Теорема о числе первообразных корней по простому модулю. Теорема о числе образующих циклической
группы простого порядка. Свойства первообразных корней. Описание модулей, по которым существуют первообразные корни.
Индексы по простому модулю. Свойства индексов. Таблицы индексов и антииндексов.
Двучленные сравнения по простому модулю. Необходимое и достаточное
условие разрешимости двучленного сравнения по простому модулю.
k-степенные вычеты. Необходимые и достаточные условия для того, чтобы
число было k-степенным вычетом.
Сравнения второй степени. Теорема о числе решений сравнения второй
степени. Квадратичные вычеты и невычеты. Критерий Эйлера.
Символ Лежандра. Закон взаимности.
Арифметические применения теории квадратичных вычетов.
§5. Приложения теории сравнений.
Систематические дроби. Определение длины периода при обращении
обыкновенной дроби в систематическую.
Признаки делимости. Признак Паскаля. Признаки делимости в десятичной
системе счисления.
Проверка арифметических действий с помощью сравнений.
Решение линейных уравнений первой степени.
§6. Криптографическая система RSA.
Проверка простоты целого числа. Теорема Вильсона. Числа Кармайкла. Вероятностный тест простоты Рабина. Законность теста Рабина. Алгоритмы
факторизации целых чисел. Алгоритмы факторизации Поллака (методы
Монте-Карло). Метод Монте-Карло 1. Метод Монте-Карло 2.
Основные алгоритмы, используемые в криптографической системе RSA.
Общий алгоритм шифрования RSA. Выбор параметров системы RSA. Гипо5
теза 1. Ограничения на выбор положительных простых чисел p и q . Условие
Ривеста. Алгоритм Гордона. Применение алгоритма RSA для создания электронной подписи.
1.6.3. Темы для самостоятельного изучения.
Наименование раздела
дисциплины.
Тема.
Форма самостоятельной
работы
Подготовка к
§1. Сравнения и их свойства.
коллоквиу§2. Мультипликативные функции. Функция Эйлера. При- му№1.Выполн
ведённая система вычетов. Теоремы Эйлера и Ферма.
ение домашних заданий.
Контрольная
§3. Сравнения первой степени. Сравнения высших степеней работа№1.
по простому модулю.
Выполнение
домашних заданий.
Подготовка к
§4. Первообразные корни и индексы.
коллоквиуму№2.
Выполнение
домашних заданий.
Контрольная
§5. Приложения теории сравнений.
работа№2.
Выполнение
§6. Криптографическая система RSA.
домашних заданий.
К
Ч
Форма контроля
18
Прием коллоквиума№1
18
проверка
контрольной работы№1
20
Прием коллоквиума№2
18
проверка
контрольной работы№2
1.7 Методические рекомендации по организации изучения дисциплины.
1.7.1. Тематика и планы аудиторной работы студентов по изученному материалу:
Планы последовательного проведения практических занятий:
§1. Сравнения и их свойства.- 6 часов.
Практическое занятие №1 по §1 – 2часа.
Сравнения в кольце целых чисел, их простейшие и основные свойства.
Классы эквивалентности и их свойства.
Полная система вычетов. Условие при котором ax b пробегает полную
систему вычетов, если x пробегает полную систему вычетов. – 2 часа.
Литература:
основная:
1. Бухштаб А.А. Теория чисел. - М.: Просвещение, 1966.
2. Галочкин А.И., Нестеренко Ю.В., Шидловский А.Б. Введение в теорию
чисел. - М.: МГУ, 1995.
3. Грибанов В.У., Титов П.И. Сборник упражнений по теории чисел. - М.:
Просвещение, 1964.
дополнительная:
Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. – М.: Просвещение, 1993.
Практическое занятие №2 по §1 – 2часа.
6
Сумма классов вычетов. Свойства сложения классов вычетов. Аддитивная
группа классов вычетов.
Литература:
основная:
4. Бухштаб А.А. Теория чисел. - М.: Просвещение, 1966.
5. Галочкин А.И., Нестеренко Ю.В., Шидловский А.Б. Введение в теорию
чисел. - М.: МГУ, 1995.
6. Грибанов В.У., Титов П.И. Сборник упражнений по теории чисел. - М.:
Просвещение, 1964.
дополнительная:
Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. – М.: Просвещение, 1993.
Практическое занятие №3 по §1 – 2часа.
Умножение классов вычетов. Свойства умножения классов вычетов. Кольцо классов вычетов. – 2 часа.
Литература:
основная:
7. Бухштаб А.А. Теория чисел. - М.: Просвещение, 1966.
8. Галочкин А.И., Нестеренко Ю.В., Шидловский А.Б. Введение в теорию
чисел. - М.: МГУ, 1995.
9. Грибанов В.У., Титов П.И. Сборник упражнений по теории чисел. - М.:
Просвещение, 1964.
дополнительная:
Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. – М.: Просвещение, 1993.
§2. Мультипликативные функции. Функция Эйлера. Приведённая система вычетов. Теоремы Эйлера и Ферма. – 6 часов.
Практическое занятие №1 по §2 – 2часа.
Мультипликативные функции и их свойства. Функция Мёбиуса и её свойства. – 1 час.
Функция Эйлера. Формула для вычисления значений функции Эйлера.
Свойства функции Эйлера. – 1 час.
Литература:
основная:
1. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
2. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. - М.: Просвещение, 1993.
3. Бухштаб А.А. Теория чисел. - М.: Просвещение, 1966.
4. Галочкин А.И., Нестеренко Ю.В., Шидловский А.Б. Введение в теорию
чисел. - М.: МГУ, 1995.
7
5. Грибанов В.У., Титов П.И. Сборник упражнений по теории чисел. - М.:
Просвещение, 1964.
дополнительная:
1. Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел. - М., Просвещение,
1974 г.
2. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. – М.: Просвещение, 1993.
Практическое занятие №2 по §1 – 2часа.
Приведённая система вычетов. Условие при котором ax пробегает приведённую систему вычетов, если x пробегает приведённую систему вычетов. –
Мультипликативная группа классов вычетов взаимно простых с модулем.
Условие при котором кольцо классов вычетов является полем.
Литература:
основная:
6. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
7. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. - М.: Просвещение, 1993.
8. Бухштаб А.А. Теория чисел. - М.: Просвещение, 1966.
9. Галочкин А.И., Нестеренко Ю.В., Шидловский А.Б. Введение в теорию
чисел. - М.: МГУ, 1995.
10.Грибанов В.У., Титов П.И. Сборник упражнений по теории чисел. - М.:
Просвещение, 1964.
дополнительная:
2. Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел. - М., Просвещение,
1974 г.
2. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. – М.: Просвещение, 1993.
Практическое занятие №3 по §1 – 2часа.
Числа взаимно обратные по модулю числа. Вычисление обратных чисел с
помощью цепных дробей. Теорема Эйлера. Теоремы Ферма.
Представление простого числа p 1(mod 4) в виде суммы двух квадратов.
Теорема Дирихле и её применение к представлению простого числа
p 1(mod 4) в виде суммы двух квадратов.
Литература:
основная:
11.Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
12.Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. - М.: Просвещение, 1993.
13.Бухштаб А.А. Теория чисел. - М.: Просвещение, 1966.
14.Галочкин А.И., Нестеренко Ю.В., Шидловский А.Б. Введение в теорию
чисел. - М.: МГУ, 1995.
8
15.Грибанов В.У., Титов П.И. Сборник упражнений по теории чисел. - М.:
Просвещение, 1964.
дополнительная:
3. Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел. - М., Просвещение,
1974 г.
2. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории
чисел. – М.: Просвещение, 1993.
§3. Сравнения первой степени. Сравнения высших степеней по простому
модулю. – 8 часов.
Практическое занятие №1 по §3 – 2часа.
Степень и число решений сравнения.
Разбиение класса вычетов по данному модулю на классы вычетов по кратному модулю.
Литература:
основная:
1. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
2. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. - М.: Просвещение, 1993.
3. Бухштаб А.А. Теория чисел. - М.: Просвещение, 1966.
4. Галочкин А.И., Нестеренко Ю.В., Шидловский А.Б. Введение в теорию
чисел. - М.: МГУ, 1995.
5. Грибанов В.У., Титов П.И. Сборник упражнений по теории чисел. - М.:
Просвещение, 1964.
дополнительная:
1. Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел. - М., Просвещение,
1974 г.
2. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории
чисел. – М.: Просвещение, 1993.
Практическое занятие №2 по §3 – 2часа.
Теоремы о разрешимости и числе решений сравнений первой степени. – 2
часа.
Теорема о том, что число решений сравнения степени n по простому модулю имеет не более n решений.
Литература:
основная:
6. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
7. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. - М.: Просвещение, 1993.
8. Бухштаб А.А. Теория чисел. - М.: Просвещение, 1966.
9. Галочкин А.И., Нестеренко Ю.В., Шидловский А.Б. Введение в теорию
чисел. - М.: МГУ, 1995.
9
10.Грибанов В.У., Титов П.И. Сборник упражнений по теории чисел. - М.:
Просвещение, 1964.
дополнительная:
2. Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел. - М., Просвещение,
1974 г.
2. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории
чисел. – М.: Просвещение, 1993.
Практическое занятие №3 по §3 – 2часа.
Теорема о числе решений сравнения x p1 1 0(mod p) , где p - простое. Теорема Вильсона.
Литература:
основная:
11.Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
12.Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. - М.: Просвещение, 1993.
13.Бухштаб А.А. Теория чисел. - М.: Просвещение, 1966.
14.Галочкин А.И., Нестеренко Ю.В., Шидловский А.Б. Введение в теорию
чисел. - М.: МГУ, 1995.
15.Грибанов В.У., Титов П.И. Сборник упражнений по теории чисел. - М.:
Просвещение, 1964.
дополнительная:
3. Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел. - М., Просвещение,
1974 г.
2. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории
чисел. – М.: Просвещение, 1993.
Практическое занятие №4 по §3 – 2часа.
Теорема о числе решений сравнения x d 1 0(mod p ) , где p - простое, d| p 1.
Литература:
основная:
16.Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
17.Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. - М.: Просвещение, 1993.
18.Бухштаб А.А. Теория чисел. - М.: Просвещение, 1966.
19.Галочкин А.И., Нестеренко Ю.В., Шидловский А.Б. Введение в теорию
чисел. - М.: МГУ, 1995.
20.Грибанов В.У., Титов П.И. Сборник упражнений по теории чисел. - М.:
Просвещение, 1964.
дополнительная:
4. Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел. - М., Просвещение,
1974 г.
2. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории
чисел. – М.: Просвещение, 1993.
10
§4. Первообразные корни и индексы. – 8 часов.
Практическое занятие №1 по §4 – 2часа.
Порядок числа по модулю. Свойства порядка. – 1 час
Первообразные корни по простому модулю. Теорема о числе первообразных корней по простому модулю. Теорема о числе образующих циклической
группы простого порядка. Свойства первообразных корней. Описание модулей, по которым существуют первообразные корни. – 1 час.
Литература:
основная:
1. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
5. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. - М.: Просвещение, 1993.
6. Бухштаб А.А. Теория чисел. - М.: Просвещение, 1966.
7. Галочкин А.И., Нестеренко Ю.В., Шидловский А.Б. Введение в теорию
чисел. - М.: МГУ, 1995.
8. Грибанов В.У., Титов П.И. Сборник упражнений по теории чисел. - М.:
Просвещение, 1964.
дополнительная:
1. Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел. - М., Просвещение,
1974 г.
2. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории
чисел. – М.: Просвещение, 1993.
Практическое занятие №2 по §4 – 2часа.
Индексы по простому модулю. Свойства индексов. Таблицы индексов и антииндексов. – 1 час.
Двучленные сравнения по простому модулю. Необходимое и достаточное
условие разрешимости двучленного сравнения по простому модулю. – 1 час.
k-степенные вычеты. Необходимые и достаточные условия для того, чтобы
число было k-степенным вычетом. – 1 час.
Литература:
основная:
1. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
9. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. - М.: Просвещение, 1993.
10.Бухштаб А.А. Теория чисел. - М.: Просвещение, 1966.
11.Галочкин А.И., Нестеренко Ю.В., Шидловский А.Б. Введение в теорию
чисел. - М.: МГУ, 1995.
12.Грибанов В.У., Титов П.И. Сборник упражнений по теории чисел. - М.:
Просвещение, 1964.
дополнительная:
2. Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел. - М., Просвещение,
1974 г.
11
2. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории
чисел. – М.: Просвещение, 1993.
Практическое занятие №3 по §4– 2часа.
Сравнения второй степени. Теорема о числе решений сравнения второй
степени. Квадратичные вычеты и невычеты. Критерий Эйлера.
Литература:
основная:
1. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
13.Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. - М.: Просвещение, 1993.
14.Бухштаб А.А. Теория чисел. - М.: Просвещение, 1966.
15.Галочкин А.И., Нестеренко Ю.В., Шидловский А.Б. Введение в теорию
чисел. - М.: МГУ, 1995.
16.Грибанов В.У., Титов П.И. Сборник упражнений по теории чисел. - М.:
Просвещение, 1964.
дополнительная:
3. Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел. - М., Просвещение,
1974 г.
2. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории
чисел. – М.: Просвещение, 1993.
Практическое занятие №4 по §4 – 2часа.
Символ Лежандра. Закон взаимности. – 1 час.
Арифметические применения теории квадратичных вычетов. – 1 час.
Литература:
основная:
1. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
17.Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. - М.: Просвещение, 1993.
18.Бухштаб А.А. Теория чисел. - М.: Просвещение, 1966.
19.Галочкин А.И., Нестеренко Ю.В., Шидловский А.Б. Введение в теорию
чисел. - М.: МГУ, 1995.
20.Грибанов В.У., Титов П.И. Сборник упражнений по теории чисел. - М.:
Просвещение, 1964.
дополнительная:
4. Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел. - М., Просвещение,
1974 г.
2. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории
чисел. – М.: Просвещение, 1993.
§5. Приложения теории сравнений. – 6 часов.
Практическое занятие №1 по §5 – 2часа.
12
Систематические дроби. Определение длины периода при обращении обыкновенной дроби в систематическую.
Литература:
основная:
1. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
5. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. - М.: Просвещение, 1993.
6. Бухштаб А.А. Теория чисел. - М.: Просвещение, 1966.
7. Галочкин А.И., Нестеренко Ю.В., Шидловский А.Б. Введение в теорию
чисел. - М.: МГУ, 1995.
8. Грибанов В.У., Титов П.И. Сборник упражнений по теории чисел. - М.:
Просвещение, 1964.
дополнительная:
1. Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел. - М., Просвещение,
1974 г.
2. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории
чисел. – М.: Просвещение, 1993.
Практическое занятие №2 по §5 – 2часа.
Признаки делимости. Признак Паскаля. Признаки делимости в десятичной
системе счисления.
Литература:
основная:
1. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
9. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. - М.: Просвещение, 1993.
10.Бухштаб А.А. Теория чисел. - М.: Просвещение, 1966.
11.Галочкин А.И., Нестеренко Ю.В., Шидловский А.Б. Введение в теорию
чисел. - М.: МГУ, 1995.
12.Грибанов В.У., Титов П.И. Сборник упражнений по теории чисел. - М.:
Просвещение, 1964.
дополнительная:
2. Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел. - М., Просвещение,
1974 г.
2. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории
чисел. – М.: Просвещение, 1993.
Практическое занятие №3 по §5 – 2часа.
Проверка арифметических действий с помощью сравнений. – 1 час.
Решение линейных уравнений первой степени. – 1 час.
Литература:
основная:
1. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
13
13.Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. - М.: Просвещение, 1993.
14.Бухштаб А.А. Теория чисел. - М.: Просвещение, 1966.
15.Галочкин А.И., Нестеренко Ю.В., Шидловский А.Б. Введение в теорию
чисел. - М.: МГУ, 1995.
16.Грибанов В.У., Титов П.И. Сборник упражнений по теории чисел. - М.:
Просвещение, 1964.
дополнительная:
3. Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел. - М., Просвещение,
1974 г.
2. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории
чисел. – М.: Просвещение, 1993.
§6. Криптографическая система RSA.- 4 часа.
Практическое занятие №1 по §6 – 2часа.
Проверка простоты целого числа. Теорема Вильсона. Числа Кармайкла. Вероятностный тест простоты Рабина. Законность теста Рабина. Алгоритмы
факторизации целых чисел. Алгоритмы факторизации Поллака (методы
Монте-Карло). Метод Монте-Карло 1. Метод Монте-Карло 2.
Литература:
основная:
1. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
4. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. - М.: Просвещение, 1993.
5. Бухштаб А.А. Теория чисел. - М.: Просвещение, 1966.
6. Галочкин А.И., Нестеренко Ю.В., Шидловский А.Б. Введение в теорию
чисел. - М.: МГУ, 1995.
7. Грибанов В.У., Титов П.И. Сборник упражнений по теории чисел. - М.:
Просвещение, 1964.
дополнительная:
1. Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел. - М., Просвещение,
1974 г.
2. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. – М.: Просвещение, 1993.
Практическое занятие №2 по §6 – 2часа.
Основные алгоритмы, используемые в криптографической системе RSA.
Общий алгоритм шифрования RSA. Выбор параметров системы RSA. Гипотеза 1. Ограничения на выбор положительных простых чисел p и q . Условие
Ривеста. Алгоритм Гордона. Применение алгоритма RSA для создания электронной подписи.
Литература:
основная:
1. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
14
8. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. - М.: Просвещение, 1993.
9. Бухштаб А.А. Теория чисел. - М.: Просвещение, 1966.
10.Галочкин А.И., Нестеренко Ю.В., Шидловский А.Б. Введение в теорию
чисел. - М.: МГУ, 1995.
11.Грибанов В.У., Титов П.И. Сборник упражнений по теории чисел. - М.:
Просвещение, 1964.
дополнительная:
3. Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел. - М., Просвещение,
1974 г.
2. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории
чисел. – М.: Просвещение, 1993.
Для удобства использования программ, основные данные приведем в таблицу:
Количество часов
практические заняконтрольтия
коллоквиные работы
умы
Наименование раздела темы
Всего
аудиторных
лекции
№
76 38 38
Теория сравнений в кольце целых чисел.
1
§1. Сравнения и их свойства.
14 8 6
Сравнения в кольце целых чисел, их простейшие и основные свойства. Классы эквивалентности и их свойства.
Полная система вычетов. Условие при котором ax b
пробегает полную систему вычетов, если x пробегает
полную систему вычетов.
Сумма классов вычетов. Свойства сложения классов
вычетов. Аддитивная группа классов вычетов.
Умножение классов вычетов. Свойства умножения
классов вычетов. Кольцо классов вычетов.
2
§2. Мультипликативные функции. Функция Эйлера. 14 8 6
Приведённая система вычетов. Теоремы Эйлера и Ферма.
Мультипликативные функции и их свойства. Функция
Мёбиуса и её свойства.
Функция Эйлера. Формула для вычисления значений
функции Эйлера. Свойства функции Эйлера.
Приведённая система вычетов. Условие при котором
15
2
2
1
3
4
ax пробегает приведённую систему вычетов, если x
пробегает приведённую систему вычетов.
Мультипликативная группа классов вычетов взаимно
простых с модулем. Условие при котором кольцо классов вычетов является полем.
Числа взаимно обратные по модулю числа. Вычисление обратных чисел с помощью цепных дробей.
Теорема Эйлера. Теоремы Ферма.
Представление простого числа p 1(mod 4) в виде суммы двух квадратов. Теорема Дирихле и её применение к
представлению простого числа p 1(mod 4) в виде суммы
двух квадратов.
§3. Сравнения первой степени. Сравнения высших сте- 14
пеней по простому модулю.
Степень и число решений сравнения.
Разбиение класса вычетов по данному модулю на
классы вычетов по кратному модулю.
Теоремы о разрешимости и числе решений сравнений
первой степени.
Теорема о том, что число решений сравнения степени
n по простому модулю имеет не более n решений. Теорема о числе решений сравнения x p1 1 0(mod p) , где p
- простое. Теорема Вильсона. Теорема о числе решений
сравнения x d 1 0(mod p ) , где p - простое, d| p 1.
§4. Первообразные корни и индексы.
14
Порядок числа по модулю. Свойства порядка.
Первообразные корни по простому модулю. Теорема о
числе первообразных корней по простому модулю. Теорема о числе образующих циклической группы простого порядка. Свойства первообразных корней. Описание
модулей, по которым существуют первообразные корни.
Индексы по простому модулю. Свойства индексов.
Таблицы индексов и антииндексов.
Двучленные сравнения по простому модулю. Необходимое и достаточное условие разрешимости двучленного сравнения по простому модулю.
k-степенные вычеты. Необходимые и достаточные
условия для того, чтобы число было k-степенным вычетом.
Сравнения второй степени. Теорема о числе решений
сравнения второй степени. Квадратичные вычеты и невычеты. Критерий Эйлера.
Символ Лежандра. Закон взаимности.
16
6
8
6
8
1
1
5
6
Арифметические применения теории квадратичных
вычетов.
§5. Приложения теории сравнений.
12
Систематические дроби. Определение длины периода
при обращении обыкновенной дроби в систематическую.
Признаки делимости. Признак Паскаля. Признаки делимости в десятичной системе счисления.
Проверка арифметических действий с помощью сравнений.
Решение линейных уравнений первой степени.
§6. Криптографическая система RSA.
8
6
6
4
4
1
Проверка простоты целого числа. Теорема Вильсона.
Числа Кармайкла. Вероятностный тест простоты Рабина. Законность теста Рабина. Алгоритмы факторизации
целых чисел. Алгоритмы факторизации Поллака (методы Монте-Карло). Метод Монте-Карло 1. Метод МонтеКарло 2.
Основные алгоритмы, используемые в криптографической системе RSA. Общий алгоритм шифрования RSA.
Выбор параметров системы RSA. Гипотеза 1. Ограничения на выбор положительных простых чисел p и q .
Условие Ривеста. Алгоритм Гордона. Применение алгоритма RSA для создания электронной подписи.
1.8 Учебно-методическое обеспечение дисциплины.
1.8.1. Рекомендуемая литература:
основная:
1. Биргоф, Гарет. Современная прикладная алгебра/ Г. Биргоф, Т. К. –
СПб.: Лань, 2005
дополнительная:
1. Кострикин А.И. Введение в алгебру, ч.1. Основы алгебры. – М.: Физ.мат. литература, 2000.
2. Кострикин А.И. Введение в алгебру, ч. 2. Линейная алгебра. – М.: Физ.мат. литература, 2000.
3. Кострикин А.И. Введение в алгебру, ч. 3. Основные структуры алгебры. – М.: Физ.-мат. литература, 2000.
4. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. - М.: 1986.
5. Ильин В., Позняк Э. Линейная алгебра: Учеб. для вузов по спец. “Физика”, “Прикл. математика”. - М., 1978.
6. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. - М., 1970.
17
7. Постников М. Линейная алгебра: Учеб. пособие для студентов вузов,
обуч. по спец. “Математика”. - М., 1986.
8. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. – М.: Просвещение, 1993.
2. Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел. - М., Просвещение,
1974 г.
3. Маренич Е. Е., Маренич А. С. Вводный курс прикладной математики:
Учеб. пособие. – Мурманск: МГПУ, 2003
4. Малыхин, В. И. Математика в экономике: учеб. пособие для вузов.- М.:
ИНФРА- М, 2002
5. Математика в экономике: Учебник для студ. экон. спец. вузов. В 2-х ч.
Ч. 1./ А. С. Солодовников, В. А. Бабайцев, А. В. Браилов, И. Г. Шандра.
– М.: Финансы и статистика, 2003
6. Математика в экономике: Учебник для студ. экон. спец. вузов. В 2-х ч.
Ч. 2./ -./ А. С. Солодовников, В. А. Бабайцев, А. В. Браилов, И. Г.
Шандра. М.: Финансы и статистика, 2003
7. Мостовской А. П., Мостовская Л. Г. Компьютерная математика: Учеб.
пособие. – Мурманск: МГПИ, 1998
8. Бухштаб А.А. Теория чисел. - М.: Просвещение, 1966.
9. Галочкин А.И., Нестеренко Ю.В., Шидловский А.Б. Введение в теорию
чисел. - М.: МГУ, 1995.
10.Грибанов В.У., Титов П.И. Сборник упражнений по теории чисел. - М.:
Просвещение, 1964.
11.Кудреватов Г.А. Сборник задач по теории чисел. - М.: Просвещение,
1970.
12.Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел. - М.: Наука,
1982.
13.Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел. - М.: Мир,
1974.
14.Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.
15.Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
16.Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. - М.: Просвещение, 1993.
17.Курош А.Г, Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1971.
18.Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Высшая
школа, 1974.
19.Сборник задач по алгебре. Под редакцией Кострикина А.И. - Факториал, 1995.
20.Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. - М.: Наука, 1984.
21.Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. - М.:
Наука, 1977.
1.9 Материально-техническое обеспечение дисциплины.
1.9.1 Перечень используемых технических средств.
18
Компьютерная лаборатория ”Вычислительная математика”, аудитории №314
и №313.
1.9.2 Перечень используемых пособий – электронная библиотека компьютерных лабораторий ”Вычислительная математика”, аудитории №314 и
№313.
1.9.3 Перечень программного обеспечения. Программы Mathematic 7.0; Maple и др. программное обеспечение Компьютерных лабораторий ”Вычислительная математика”, аудитории №314 и №313.
1.10 Примерные зачётные тестовые задания.
ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Факультет Прикладной математики, программирования и экономики
Кафедра Алгебры, геометрии и прикладной математики
МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ КОНТРОЛЯ ЗНАНИЙ
Дисциплина: СД. Р.13. Прикладная алгебра
Специальность: 080116 Математические методы в экономике
Курс: 4, 2 семестр
Составитель: доктор физ.-мат. наук, профессор Маренич Е.Е., кандидат
физ-мат наук, доцент Маренич В.Е.
Форма аттестации: Контрольная работа
Цель контрольной работы (или теста): проверка промежуточных знаний.
Количество вариантов: 3
Продолжительность: 2 часа
Утверждено на заседании кафедры, протокол № 6, от 26.02.2008
Содержание контрольной работы
ДЕ №1. Решение сравнений первой степени. (Задания №1-№2, всего 2 задания)
№ 1. Решить сравнение.
I вариант: 39х 84 (mod 93).
II вариант: 14х 22 (mod 36).
III вариант: 90х + 18 0 (mod 138).
№ 2. Удовлетворяет ли заданное число x сравнению, если
I вариант: x 1 , 39х 84 (mod 93).
Ответ: нет
II вариант: x 2 , 14х 22 (mod 36).
Ответ: нет
III вариант: x 3 , 90х + 18 0 (mod 138). Ответ: нет
ДЕ №2. Решение сравнений высших степеней. (Задания №3-№6, всего 4
задания)
19
№ 3. Решить сравнение:
I вариант:
37х15 62 (mod 73).
II вариант: 5х4 3 (mod 11).
III вариант: 2х8 5 (mod 13).
№ 4. Удовлетворяет ли заданное число x сравнению, если
I вариант: x 1 , 37х15 62 (mod 73). Ответ: нет
II вариант: x 2 , 5х4 3 (mod 11). Ответ: да
III вариант: x 2 , 2х8 5 (mod 13). Ответ: да
№5. Решить сравнение, понизив его степень.
I вариант: x8 2 x 7 x5 x 4 x 2 0 (mod 5) .
II вариант: 4 x 17 2 x 3 8 0 (mod 5) .
III вариант: 3 x17 2 x 6 2 x 2 13 0 (mod 5) .
№6. Является ли x 1 решением сравнения
I вариант: x8 2 x 7 x5 x 4 x 2 0 (mod 5) . Ответ: да
II вариант: 4 x 17 2 x 3 8 0 (mod 5) .
Ответ: нет
III вариант: 3 x17 2 x 6 2 x 2 13 0 (mod 5) .
Ответ: да
ДЕ №3 . Длина периода g-ичного разложения рациональной дроби. (Задания №7-8)
№7. Определить длину периода g-ичного разложения рациональной дроби.
1
I вариант:
, g=10.
19
1
II вариант:
, g=7.
41
1
III вариант:
, g=10.
17
1
№8. Чему равна наименьшая длина периода при разложении дроби
в g19
ичную периодическую дробь, если
I вариант: g=3. Ответ: 18
II вариант: g=4. Ответ: 9
III вариант: g=5. Ответ: 9
ДЕ №4 . Применение сравнений для нахождения остатков при делении.
(Задания №9-10, всего 2 задания).
20
№9. Найти остаток при делении.
100
2000
243
245
I вариант: 1999
II вариант: (17
III вариант: (17
100
243
на 11.
405 1999
245
)
на 11.
405 1999
)
на 13.
№10. Найти остатки при делении
I вариант: 1991 1992 1993 на 11. Ответ: 0
II вариант: 1991 1992 1993 на 13. Ответ: 9
III вариант: 1991 1992 1993 на 17. Ответ: 2
ДЕ №5. Решение диофантовых уравнений первой степени с помощью
теории сравнений. (Задания №11-12)
№11. Решить уравнения в целых числах, используя теорию сравнений.
I вариант: 3x 4 y 15 .
II вариант: 8x 13 y 65 .
III вариант: 39x 22 y 20 .
№12. Решить уравнения в целых числах, используя теорию сравнений.
I вариант: 24x 42 y 15 .
II вариант: 17x 9 y 29 .
III вариант: 17x 25 y 123.
ДЕ №6. Цепные дроби. (Задания №13-16)
№13. Записать в виде конечной цепной дроби
163
I вариант:
.
159
II вариант:
571
.
359
III вариант:
648
.
385
№14. По данным цепным дробям найти их запись в виде обыкновенной дроби:
I вариант: [2; 1,1,3,1,2] .
II вариант: [1; 1,2,3,4] .
III вариант: [1; 2,3,4,5] .
21
№15. По данным цепным дробям найти их запись в виде обыкновенной дроби:
I вариант: [2; 5,3,2,1,3,1,3] .
II вариант: [1; 3,2,4,30,1,1,4] .
III вариант: [1; 2,4,1,2,4,1,2,4] .
№16. Сократить дробь, используя разложение данной дроби в цепную дробь.
3587
I вариант:
.
2743
II вариант:
3563
.
3107
III вариант:
11281
.
6581
1.11 Примерный перечень вопросов к зачету (экзамену).
Сравнения в кольце целых чисел, их простейшие и основные свойства.
Классы эквивалентности и их свойства.
Полная система вычетов. Условие при котором ax b пробегает полную систему вычетов, если x пробегает полную систему вычетов.
Сумма классов вычетов. Свойства сложения классов вычетов. Аддитивная
группа классов вычетов.
Умножение классов вычетов. Свойства умножения классов вычетов. Кольцо классов вычетов.
Мультипликативные функции и их свойства. Функция Мёбиуса и её свойства.
Функция Эйлера. Формула для вычисления значений функции Эйлера.
Свойства функции Эйлера.
Приведённая система вычетов. Условие при котором ax пробегает приведённую систему вычетов, если x пробегает приведённую систему вычетов.
Мультипликативная группа классов вычетов взаимно простых с модулем.
Условие при котором кольцо классов вычетов является полем.
Числа взаимно обратные по модулю числа. Вычисление обратных чисел с
помощью цепных дробей.
Теорема Эйлера. Теоремы Ферма.
Представление простого числа p 1(mod 4) в виде суммы двух квадратов.
Теорема Дирихле и её применение к представлению простого числа
p 1(mod 4) в виде суммы двух квадратов.
Степень и число решений сравнения.
Разбиение класса вычетов по данному модулю на классы вычетов по кратному модулю.
Теоремы о разрешимости и числе решений сравнений первой степени.
22
Теорема о том, что число решений сравнения степени n по простому модулю имеет не более n решений. Теорема о числе решений сравнения
p1
x
1 0(mod p ) , где p - простое. Теорема Вильсона. Теорема о числе решений сравнения x d 1 0(mod p ) , где p - простое, d| p 1.
Порядок числа по модулю. Свойства порядка.
Первообразные корни по простому модулю. Теорема о числе первообразных корней по простому модулю. Теорема о числе образующих циклической
группы простого порядка. Свойства первообразных корней. Описание модулей, по которым существуют первообразные корни.
Индексы по простому модулю. Свойства индексов. Таблицы индексов и антииндексов.
Двучленные сравнения по простому модулю. Необходимое и достаточное
условие разрешимости двучленного сравнения по простому модулю.
k-степенные вычеты. Необходимые и достаточные условия для того, чтобы
число было k-степенным вычетом.
Сравнения второй степени. Теорема о числе решений сравнения второй
степени. Квадратичные вычеты и невычеты. Критерий Эйлера.
Символ Лежандра. Закон взаимности.
Арифметические применения теории квадратичных вычетов.
Систематические дроби. Определение длины периода при обращении
обыкновенной дроби в систематическую.
Признаки делимости. Признак Паскаля. Признаки делимости в десятичной
системе счисления.
Проверка арифметических действий с помощью сравнений.
Проверка простоты целого числа. Теорема Вильсона. Числа Кармайкла. Вероятностный тест простоты Рабина. Законность теста Рабина. Алгоритмы
факторизации целых чисел. Алгоритмы факторизации Поллака (методы
Монте-Карло). Метод Монте-Карло 1. Метод Монте-Карло 2.
Основные алгоритмы, используемые в криптографической системе RSA.
Общий алгоритм шифрования RSA. Выбор параметров системы RSA. Гипотеза 1. Ограничения на выбор положительных простых чисел p и q . Условие
Ривеста. Алгоритм Гордона. Применение алгоритма RSA для создания электронной подписи.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Прикладная алгебра, 4 курс, ММЭ, 2 семестр
Экзаменационный билет №1
Вопрос №1. Сравнения в кольце целых чисел, их простейшие и основные свойства.
23
Вопрос №2. Проверка арифметических действий с помощью сравнений.
Зав. кафедрой АГ и ПМ, декан ПМПЭ
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 11 от 23.05.2008 г.
Е.Е. Маренич
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Прикладная алгебра, 4 курс, ММЭ, 2 семестр
Экзаменационный билет №2
Вопрос №1. Классы эквивалентности и их свойства.
Вопрос №2. Признаки делимости. Признак Паскаля. Признаки делимости в деся-
тичной системе счисления.
Зав. кафедрой АГ и ПМ, декан ПМПЭ
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 11 от 23.05.2008 г.
Е.Е. Маренич
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Прикладная алгебра, 4 курс, ММЭ, 2 семестр
Экзаменационный билет №3
Вопрос №1. Полная система вычетов.
Вопрос №2. Систематические дроби. Определение длины периода при обращении
обыкновенной дроби в систематическую.
Зав. кафедрой АГ и ПМ, декан ПМПЭ
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 11 от 23.05.2008 г.
Е.Е. Маренич
.
24
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Прикладная алгебра, 4 курс, ММЭ, 2 семестр
Экзаменационный билет №4
Вопрос №1. Сумма классов вычетов. Свойства сложения классов вычетов. Адди-
тивная группа классов вычетов
Вопрос №2. Арифметические применения теории квадратичных вычетов.
Зав. кафедрой АГ и ПМ, декан ПМПЭ
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 11 от 23.05.2008 г.
Е.Е. Маренич
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Прикладная алгебра, 4 курс, ММЭ, 2 семестр
Экзаменационный билет №5
Вопрос №1. Умножение классов вычетов. Свойства умножения классов вычетов.
Кольцо классов вычетов.
Вопрос №2. Символ Лежандра. Закон взаимности.
Зав. кафедрой АГ и ПМ, декан ПМПЭ
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 11 от 23.05.2008 г.
Е.Е. Маренич
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Прикладная алгебра, 4 курс, ММЭ, 2 семестр
Экзаменационный билет №6
Вопрос №1. Мультипликативные функции и их свойства. Функция Мёбиуса и её
свойства.
Вопрос №2. Квадратичные вычеты и невычеты. Критерий Эйлера.
25
Зав. кафедрой АГ и ПМ, декан ПМПЭ
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 11 от 23.05.2008 г.
Е.Е. Маренич
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Прикладная алгебра, 4 курс, ММЭ, 2 семестр
Экзаменационный билет №7
Вопрос №1. Функция Эйлера. Формула для вычисления значений функции Эйлера.
Свойства функции Эйлера.
Вопрос №2. k-степенные вычеты. Необходимые и достаточные условия для того,
чтобы число было k-степенным вычетом.
Зав. кафедрой АГ и ПМ, декан ПМПЭ
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 11 от 23.05.2008 г.
Е.Е. Маренич
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Прикладная алгебра, 4 курс, ММЭ, 2 семестр
Экзаменационный билет №8
Вопрос №1. Мультипликативная группа классов вычетов взаимно простых с моду-
лем. Условие при котором кольцо классов вычетов является полем.
Вопрос №2. Сравнения второй степени. Теорема о числе решений сравнения вто-
рой степени.
Зав. кафедрой АГ и ПМ, декан ПМПЭ
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 11 от 23.05.2008 г.
Е.Е. Маренич
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
26
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Прикладная алгебра, 4 курс, ММЭ, 2 семестр
Экзаменационный билет №9
Вопрос №1. Числа взаимно обратные по модулю числа. Вычисление обратных чи-
сел с помощью цепных дробей.
Вопрос №2. Двучленные сравнения по простому модулю. Необходимое и доста-
точное условие разрешимости двучленного сравнения по простому модулю.
Зав. кафедрой АГ и ПМ, декан ПМПЭ
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 11 от 23.05.2008 г.
Е.Е. Маренич
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Прикладная алгебра, 4 курс, ММЭ, 2 семестр
Экзаменационный билет №10
Вопрос №1. Теорема Эйлера. Теоремы Ферма.
Вопрос №2. Систематические дроби. Определение длины периода при обращении
обыкновенной дроби в систематическую.
Зав. кафедрой АГ и ПМ, декан ПМПЭ
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 11 от 23.05.2008 г.
Е.Е. Маренич
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Прикладная алгебра, 4 курс, ММЭ, 2 семестр
Экзаменационный билет №11
Вопрос №1. Теорема Дирихле и её применение к представлению простого числа
27
p 1(mod 4) в виде
суммы двух квадратов.
Вопрос №2. Арифметические применения теории квадратичных вычетов.
Зав. кафедрой АГ и ПМ, декан ПМПЭ
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 11 от 23.05.2008 г.
Е.Е. Маренич
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Прикладная алгебра, 4 курс, ММЭ, 2 семестр
Экзаменационный билет №12
Вопрос №1. Степень и число решений сравнения.
Разбиение класса вычетов по данному модулю на классы вычетов по кратному
модулю.
Вопрос №2. Квадратичные вычеты и невычеты. Критерий Эйлера.
Зав. кафедрой АГ и ПМ, декан ПМПЭ
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 11 от 23.05.2008 г.
Е.Е. Маренич
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Прикладная алгебра, 4 курс, ММЭ, 2 семестр
Экзаменационный билет №13
Вопрос №1. Первообразные корни по простому модулю. Теорема о числе первооб-
разных корней по простому модулю. Теорема о числе образующих циклической
группы простого порядка
Вопрос №2. k-степенные вычеты. Необходимые и достаточные условия для того,
чтобы число было k-степенным вычетом.
Зав. кафедрой АГ и ПМ, декан ПМПЭ
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 11 от 23.05.2008 г.
Е.Е. Маренич
28
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Прикладная алгебра, 4 курс, ММЭ, 2 семестр
Экзаменационный билет №14
Вопрос №1. Умножение классов вычетов. Свойства умножения классов вычетов.
Кольцо классов вычетов.
Вопрос №2. Символ Лежандра. Закон взаимности.
Зав. кафедрой АГ и ПМ, декан ПМПЭ
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 11 от 23.05.2008 г.
Е.Е. Маренич
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Прикладная алгебра, 4 курс, ММЭ, 2 семестр
Экзаменационный билет №15
Вопрос №1. Сумма классов вычетов. Свойства сложения классов вычетов. Адди-
тивная группа классов вычетов.
Вопрос №2. Сравнения второй степени. Теорема о числе решений сравнения второй степени.
Зав. кафедрой АГ и ПМ, декан ПМПЭ
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 11 от 23.05.2008 г.
Е.Е. Маренич
1.13 Примерная тематика рефератов.
1) Интерполяционные формулы. Интерполяционная формула Ньютона. Интерполяционная формула Лагранжа.
2) Теорема Лукаса о сравнениях для биномиальных коэффициентов. Условия, при которых биномиальный коэффициент сравним с нулём по простому
модулю.
29
3) Вычисление наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного в кольце многочленов над полем. Свойства наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного.
4)Простейшие дроби. Теорема о единственности разложения рациональной
дроби в сумму простейших дробей.
5) Степенные суммы. Формулы Ньютона.
6) «Нестандартные» методы решения алгебраических уравнений.
7) «Нестандартные» методы решения задач с параметрами.
Литература
1. Б.Л. ван дер Варден. Алгебра. - М.: Наука, 1976.
2. Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.
3. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
4. Курош А.Г, Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1971.
5. С. Ленг. Алгебра. Алгебра. - М.: Мир, 1968.
6. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. - М.: Наука, 1984.
7. С. Ленг. Алгебра. Алгебра. - М.: Мир, 1968.
__________________________________________________________________
_________
8)Делимость и её применение.
9) Простые числа и их применение.
10)Дзета-функция Римана. Асимптотический закон распределения простых
чисел. Элементарное доказательство асимптотического закона.
11)Теорема Дирихле о простых числах в арифметических прогрессиях.
12)Разложение действительных чисел в цепные дроби.
13)Разложение числа e в цепную дробь.
14)Разложение квадратических иррациональностей в цепные дроби.
15)Приближение действительных чисел подходящими дробями. Оценки
сверху и снизу для приближения действительного числа подходящей дробью.
16)Теорема Туэ.
17)Трансцендентные числа. Трансцендентность числа e.
18)Сравнения в кольце целых чисел, и их применение.
19) Мультипликативные функции и их свойства. Функция Мёбиуса и её
свойства.
20)Теорема Эйлера, теорема Ферма и их применение.
21) Суммы Гаусса.
22)Квадратичные вычеты и невычеты. Критерий Эйлера.
23)Символ Лежандра. Закон взаимности.
24)Арифметические применения теории квадратичных вычетов.
25)Решение диофантовых уравнений.
Литература
1. Бухштаб А.А. Теория чисел. - М.: Просвещение, 1966.
2. Галочкин А.И., Нестеренко Ю.В., Шидловский А.Б. Введение в теорию
чисел. - М.: МГУ, 1995.
30
3. Грибанов В.У., Титов П.И. Сборник упражнений по теории чисел. - М.:
Просвещение, 1964.
4. Кудреватов Г.А. Сборник задач по теории чисел. - М.: Просвещение, 1970.
5. Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел. - М.: Наука,
1982.
6. Прахар К. Распределение простых чисел. - М.: Мир, 1967.
7. Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел. - М.: Мир,
1974.
__________________________________________________________________
____
26) Арифметические свойства комбинаторных последовательностей.
27) Числа Стирлинга первого и второго рода. Числа Белла.
28)Числа Каталана, их свойства и применение.
29) Кольца формальных степенных рядов от многих переменных, их свойства и применение.
30)Алгебраические свойства кольца формальных степенных рядов.
31)Изоморфизмы кольца формальных степенных рядов и колец последовательностей, свойства изоморфизмов.
32)Формула Варинга. Формула Фоа ди Бруно.
33) Характеризация рациональных формальных степенных рядов от одной
переменной через свойства производящих последовательностей.
Литература
1. М. Айгнер. Комбинаторная теория. - М.: Мир, 1982.
2. Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической
логике и теории алгоритмов. - М.: Наука, 1984.
3. Л. Ловас, М. Пламмер. Прикладные задачи теории графов. Теория паросочетаний в математике, физике, химии .- М.: Мир, 1998.
4. Матросов В.А., Стеценко В.А. Лекции по дискретной математике. - М.:
МПГУ, 1997.
5. Нефёдов В.Н., Осипова В.А. Курс дискретной математики. - М.: МАИ,
1992.
6. К.А. Рыбников. Введение в комбинаторный анализ .- М.:МГУ, 1985.
7. Стенли Р. Перечислительная комбинаторика. - М.: Мир, 1990.
8. Харари Ф. Теория графов. - М.: Мир, 1973.
9. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. - М. Наука, 1979.
1.14 Примерная тематика курсовых работ.
Делимость и её применение.
Простые числа и их применение.
Дзета-функция Римана. Асимптотический закон распределения простых
чисел. Элементарное доказательство асимптотического закона.
Теорема Дирихле о простых числах в арифметических прогрессиях.
Разложение действительных чисел в цепные дроби.
Разложение числа e в цепную дробь.
31
Разложение квадратических иррациональностей в цепные дроби.
Приближение действительных чисел подходящими дробями. Оценки сверху и снизу для приближения действительного числа подходящей дробью.
Теорема Туэ.
Трансцендентные числа. Трансцендентность числа e.
Сравнения в кольце целых чисел, и их применение.
Мультипликативные функции и их свойства. Функция Мёбиуса и её свойства.
Функция Эйлера.
Теорема Эйлера, теорема Ферма и их применение.
Суммы Гаусса.
Квадратичные вычеты и невычеты. Критерий Эйлера.
Символ Лежандра. Закон взаимности.
Арифметические применения теории квадратичных вычетов.
Решение диофантовых уравнений.
Литература
1. Бухштаб А.А. Теория чисел. - М.: Просвещение, 1966.
2. Галочкин А.И., Нестеренко Ю.В., Шидловский А.Б. Введение в теорию
чисел. - М.: МГУ, 1995.
3. Грибанов В.У., Титов П.И. Сборник упражнений по теории чисел. - М.:
Просвещение, 1964.
4. Кудреватов Г.А. Сборник задач по теории чисел. - М.: Просвещение, 1970.
5. Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел. - М.: Наука,
1982.
6. Прахар К. Распределение простых чисел. - М.: Мир, 1967.
7. Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел. - М.: Мир,
1974.
1.15 Примерная тематика квалификационных (дипломных) работ.
Теория Галуа.
Конечные подгруппы SO(3).
Математический аппарат теории кодирования.
Применение теории матроидов в прикладных задачах.
Прикладные задачи дискретной математики.
Алгоритмы и их применение.
Практический курс алгоритмических задач.
Математические методы и модели в экономике.
Композиция бинарных отношений, полугруппа бинарных отношений относительно композиции. Операторы замыкания. Соответствия Галуа.
Свойства симметрических групп..
Теорема о мультисекции многочленов.
Применение комплексных чисел в геометрии.
Дополнение по Шуру.
Симметрические функции и их применение.
32
Степенные суммы и числа Бернулли.
Простейшие дроби. Теорема о единственности разложения рациональной
дроби в сумму простейших дробей.
Система многочленов Штурма и её свойства. Отделение действительных
корней многочлена с действительными коэффициентами.
Делимость и её применение.
Простые числа и их применение.
Дзета-функция Римана. Асимптотический закон распределения простых чисел. Элементарное доказательство асимптотического закона.
Теорема Дирихле о простых числах в арифметических прогрессиях.
Разложение действительных чисел в цепные дроби.
Разложение числа e в цепную дробь.
Разложение квадратических иррациональностей в цепные дроби.
Приближение действительных чисел подходящими дробями. Оценки сверху
и снизу для приближения действительного числа подходящей дробью.
Теорема Туэ.
Трансцендентные числа. Трансцендентность числа e.
Сравнения в кольце целых чисел, и их применение.
Мультипликативные функции и их свойства. Функция Мёбиуса и её свойства.
Функция Эйлера.
Теорема Эйлера, теорема Ферма и их применение.
Суммы Гаусса.
Квадратичные вычеты и невычеты. Критерий Эйлера.
Символ Лежандра. Закон взаимности.
Арифметические применения теории квадратичных вычетов.
Решение диофантовых уравнений.
Арифметические свойства комбинаторных последовательностей.
Числа Стирлинга первого и второго рода. Числа Белла.
Числа Каталана, их свойства и применение.
Число пересечений графа.
Комбинаторные свойства отношения пересечения. Теорема Эрдёша -Ко - Радо.
Теорема Шпернера для частично упорядоченных множеств.
Кольца формальных степенных рядов от многих переменных, их свойства и
применение.
Алгебраические свойства кольца формальных степенных рядов.
Изоморфизмы кольца формальных степенных рядов и колец последовательностей, свойства изоморфизмов.
Формула Варинга. Формула Фоа ди Бруно.
Характеризация рациональных формальных степенных рядов от одной переменной через свойства производящих последовательностей.
Нелинейное программирование. Дискретное программирование. Динамическое программирование. Классические неравенства.
33
1.16 Методика исследования (если есть).
следования.
Фундаментальные методы ис-
1.17 Для оценивания знаний студентов по дисциплине применяется предусмотренная нормативными документами система оценок: «отлично», «хорошо», «удовлетворительно», «неудовлетворительно».
РАЗДЕЛ 2. Методические указания по изучению дисциплины и контрольные задания для студентов заочной формы обучения.
По дисциплине «Абстрактная и компьютерная алгебра» нет заочной формы
обучения.
РАЗДЕЛ 3. Содержательный компонент теоретического материала.
Планы последовательного проведения лекционных занятий:
§1. Сравнения и их свойства.- 8 часов.
Лекционное занятие №1 по §1 – 2часа.
Сравнения в кольце целых чисел, их простейшие и основные свойства.
Классы эквивалентности и их свойства.
Литература:
основная:
10.Бухштаб А.А. Теория чисел. - М.: Просвещение, 1966.
11.Галочкин А.И., Нестеренко Ю.В., Шидловский А.Б. Введение в теорию
чисел. - М.: МГУ, 1995.
12.Грибанов В.У., Титов П.И. Сборник упражнений по теории чисел. - М.:
Просвещение, 1964.
дополнительная:
Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. – М.: Просвещение, 1993.
Лекционное занятие №2 по §1 – 2часа.
Полная система вычетов. Условие при котором ax b пробегает полную
систему вычетов, если x пробегает полную систему вычетов. – 2 часа.
Литература:
основная:
13.Бухштаб А.А. Теория чисел. - М.: Просвещение, 1966.
14.Галочкин А.И., Нестеренко Ю.В., Шидловский А.Б. Введение в теорию
чисел. - М.: МГУ, 1995.
15.Грибанов В.У., Титов П.И. Сборник упражнений по теории чисел. - М.:
Просвещение, 1964.
дополнительная:
Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. – М.: Просвещение, 1993.
34
Лекционное занятие №3 по §1 – 2часа.
Сумма классов вычетов. Свойства сложения классов вычетов. Аддитивная
группа классов вычетов.
Литература:
основная:
16.Бухштаб А.А. Теория чисел. - М.: Просвещение, 1966.
17.Галочкин А.И., Нестеренко Ю.В., Шидловский А.Б. Введение в теорию
чисел. - М.: МГУ, 1995.
18.Грибанов В.У., Титов П.И. Сборник упражнений по теории чисел. - М.:
Просвещение, 1964.
дополнительная:
Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. – М.: Просвещение, 1993.
Лекционное занятие №4 по §1 – 2часа.
Умножение классов вычетов. Свойства умножения классов вычетов. Кольцо классов вычетов. – 2 часа.
Литература:
основная:
19.Бухштаб А.А. Теория чисел. - М.: Просвещение, 1966.
20.Галочкин А.И., Нестеренко Ю.В., Шидловский А.Б. Введение в теорию
чисел. - М.: МГУ, 1995.
21.Грибанов В.У., Титов П.И. Сборник упражнений по теории чисел. - М.:
Просвещение, 1964.
дополнительная:
Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. – М.: Просвещение, 1993.
§2. Мультипликативные функции. Функция Эйлера. Приведённая система вычетов. Теоремы Эйлера и Ферма. – 8 часов.
Лекционное занятие №1 по §2 – 2часа.
Мультипликативные функции и их свойства. Функция Мёбиуса и её свойства. – 1 час.
Функция Эйлера. Формула для вычисления значений функции Эйлера.
Свойства функции Эйлера. – 1 час.
Литература:
основная:
16.Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
17.Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. - М.: Просвещение, 1993.
18.Бухштаб А.А. Теория чисел. - М.: Просвещение, 1966.
19.Галочкин А.И., Нестеренко Ю.В., Шидловский А.Б. Введение в теорию
чисел. - М.: МГУ, 1995.
35
20.Грибанов В.У., Титов П.И. Сборник упражнений по теории чисел. - М.:
Просвещение, 1964.
дополнительная:
4. Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел. - М., Просвещение,
1974 г.
2. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. – М.: Просвещение, 1993.
Лекционное занятие №2 по §2 – 2часа.
Приведённая система вычетов. Условие при котором ax пробегает приведённую систему вычетов, если x пробегает приведённую систему вычетов. –
Мультипликативная группа классов вычетов взаимно простых с модулем.
Условие при котором кольцо классов вычетов является полем.
Литература:
основная:
21.Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
22.Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. - М.: Просвещение, 1993.
23.Бухштаб А.А. Теория чисел. - М.: Просвещение, 1966.
24.Галочкин А.И., Нестеренко Ю.В., Шидловский А.Б. Введение в теорию
чисел. - М.: МГУ, 1995.
25.Грибанов В.У., Титов П.И. Сборник упражнений по теории чисел. - М.:
Просвещение, 1964.
дополнительная:
5. Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел. - М., Просвещение,
1974 г.
2. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. – М.: Просвещение, 1993.
Лекционное занятие №3 по §2 – 2часа.
Числа взаимно обратные по модулю числа. Вычисление обратных чисел с
помощью цепных дробей. Теорема Эйлера. Теоремы Ферма.
Литература:
основная:
22.Бухштаб А.А. Теория чисел. - М.: Просвещение, 1966.
23.Галочкин А.И., Нестеренко Ю.В., Шидловский А.Б. Введение в теорию
чисел. - М.: МГУ, 1995.
24.Грибанов В.У., Титов П.И. Сборник упражнений по теории чисел. - М.:
Просвещение, 1964.
дополнительная:
Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. – М.: Просвещение, 1993.
36
Лекционное занятие №4 по §2 – 2часа.
Представление простого числа p 1(mod 4) в виде суммы двух квадратов.
Теорема Дирихле и её применение к представлению простого числа
p 1(mod 4) в виде суммы двух квадратов.
Литература:
основная:
26.Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
27.Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. - М.: Просвещение, 1993.
28.Бухштаб А.А. Теория чисел. - М.: Просвещение, 1966.
29.Галочкин А.И., Нестеренко Ю.В., Шидловский А.Б. Введение в теорию
чисел. - М.: МГУ, 1995.
30.Грибанов В.У., Титов П.И. Сборник упражнений по теории чисел. - М.:
Просвещение, 1964.
дополнительная:
6. Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел. - М., Просвещение,
1974 г.
3. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории
чисел. – М.: Просвещение, 1993.
§3. Сравнения первой степени. Сравнения высших степеней по простому
модулю. – 8 часов.
лекционное занятие №1 по §3 – 2часа.
Степень и число решений сравнения.
Разбиение класса вычетов по данному модулю на классы вычетов по кратному модулю.
Литература:
основная:
21.Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
22.Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. - М.: Просвещение, 1993.
23.Бухштаб А.А. Теория чисел. - М.: Просвещение, 1966.
24.Галочкин А.И., Нестеренко Ю.В., Шидловский А.Б. Введение в теорию
чисел. - М.: МГУ, 1995.
25.Грибанов В.У., Титов П.И. Сборник упражнений по теории чисел. - М.:
Просвещение, 1964.
дополнительная:
21.Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел. - М., Просвещение,
1974 г.
2. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории
чисел. – М.: Просвещение, 1993.
37
Лекционное занятие №2 по §3 – 2часа.
Теоремы о разрешимости и числе решений сравнений первой степени.
Теорема о том, что число решений сравнения степени n по простому модулю
имеет не более n решений.
Литература:
основная:
26.Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
27.Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. - М.: Просвещение, 1993.
28.Бухштаб А.А. Теория чисел. - М.: Просвещение, 1966.
29.Галочкин А.И., Нестеренко Ю.В., Шидловский А.Б. Введение в теорию
чисел. - М.: МГУ, 1995.
30.Грибанов В.У., Титов П.И. Сборник упражнений по теории чисел. - М.:
Просвещение, 1964.
дополнительная:
22.Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел. - М., Просвещение,
1974 г.
2. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории
чисел. – М.: Просвещение, 1993.
Лекционное занятие №3 по §3 – 2часа.
Теорема о числе решений сравнения x p1 1 0(mod p) , где p - простое. Теорема Вильсона.
Литература:
основная:
31.Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
32.Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. - М.: Просвещение, 1993.
33.Бухштаб А.А. Теория чисел. - М.: Просвещение, 1966.
34.Галочкин А.И., Нестеренко Ю.В., Шидловский А.Б. Введение в теорию
чисел. - М.: МГУ, 1995.
35.Грибанов В.У., Титов П.И. Сборник упражнений по теории чисел. - М.:
Просвещение, 1964.
дополнительная:
23.Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел. - М., Просвещение,
1974 г.
2. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории
чисел. – М.: Просвещение, 1993.
Лекционное занятие №4 по §3 – 2часа.
Теорема о числе решений сравнения x d 1 0(mod p ) , где p - простое, d| p 1.
Литература:
основная:
36.Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
38
37.Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. - М.: Просвещение, 1993.
38.Бухштаб А.А. Теория чисел. - М.: Просвещение, 1966.
39.Галочкин А.И., Нестеренко Ю.В., Шидловский А.Б. Введение в теорию
чисел. - М.: МГУ, 1995.
40.Грибанов В.У., Титов П.И. Сборник упражнений по теории чисел. - М.:
Просвещение, 1964.
дополнительная:
24.Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел. - М., Просвещение,
1974 г.
2. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории
чисел. – М.: Просвещение, 1993.
§4. Первообразные корни и индексы. – 8 часов.
Лекционное занятие №1 по §4 – 2часа.
Порядок числа по модулю. Свойства порядка. – 1 час
Первообразные корни по простому модулю. Теорема о числе первообразных корней по простому модулю. Теорема о числе образующих циклической
группы простого порядка. Свойства первообразных корней. Описание модулей, по которым существуют первообразные корни. – 1 час.
Литература:
основная:
1. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
25.Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. - М.: Просвещение, 1993.
26.Бухштаб А.А. Теория чисел. - М.: Просвещение, 1966.
27.Галочкин А.И., Нестеренко Ю.В., Шидловский А.Б. Введение в теорию
чисел. - М.: МГУ, 1995.
28.Грибанов В.У., Титов П.И. Сборник упражнений по теории чисел. - М.:
Просвещение, 1964.
дополнительная:
17.Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел. - М., Просвещение,
1974 г.
2. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории
чисел. – М.: Просвещение, 1993.
Лекционное занятие №2 по §4 – 2часа.
Индексы по простому модулю. Свойства индексов. Таблицы индексов и антииндексов. – 1 час.
Двучленные сравнения по простому модулю. Необходимое и достаточное
условие разрешимости двучленного сравнения по простому модулю. – 1 час.
k-степенные вычеты. Необходимые и достаточные условия для того, чтобы
число было k-степенным вычетом. – 1 час.
Литература:
основная:
39
1. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
29.Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. - М.: Просвещение, 1993.
30.Бухштаб А.А. Теория чисел. - М.: Просвещение, 1966.
31.Галочкин А.И., Нестеренко Ю.В., Шидловский А.Б. Введение в теорию
чисел. - М.: МГУ, 1995.
32.Грибанов В.У., Титов П.И. Сборник упражнений по теории чисел. - М.:
Просвещение, 1964.
дополнительная:
18.Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел. - М., Просвещение,
1974 г.
2. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории
чисел. – М.: Просвещение, 1993.
Лекционное занятие №3 по §4– 2часа.
Сравнения второй степени. Теорема о числе решений сравнения второй
степени. Квадратичные вычеты и невычеты. Критерий Эйлера.
Литература:
основная:
1. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
33.Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. - М.: Просвещение, 1993.
34.Бухштаб А.А. Теория чисел. - М.: Просвещение, 1966.
35.Галочкин А.И., Нестеренко Ю.В., Шидловский А.Б. Введение в теорию
чисел. - М.: МГУ, 1995.
36.Грибанов В.У., Титов П.И. Сборник упражнений по теории чисел. - М.:
Просвещение, 1964.
дополнительная:
19.Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел. - М., Просвещение,
1974 г.
2. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории
чисел. – М.: Просвещение, 1993.
Лекционное занятие №4 по §4 – 2часа.
Символ Лежандра. Закон взаимности. – 1 час.
Арифметические применения теории квадратичных вычетов. – 1 час.
Литература:
основная:
1. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
37.Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. - М.: Просвещение, 1993.
38.Бухштаб А.А. Теория чисел. - М.: Просвещение, 1966.
39.Галочкин А.И., Нестеренко Ю.В., Шидловский А.Б. Введение в теорию
чисел. - М.: МГУ, 1995.
40
40.Грибанов В.У., Титов П.И. Сборник упражнений по теории чисел. - М.:
Просвещение, 1964.
дополнительная:
20.Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел. - М., Просвещение,
1974 г.
3. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории
чисел. – М.: Просвещение, 1993.
§5. Приложения теории сравнений. – 6 часов.
Лекционное занятие №1 по §5 – 2часа.
Систематические дроби. Определение длины периода при обращении обыкновенной дроби в систематическую.
Литература:
основная:
1. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
21.Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. - М.: Просвещение, 1993.
22.Бухштаб А.А. Теория чисел. - М.: Просвещение, 1966.
23.Галочкин А.И., Нестеренко Ю.В., Шидловский А.Б. Введение в теорию
чисел. - М.: МГУ, 1995.
24.Грибанов В.У., Титов П.И. Сборник упражнений по теории чисел. - М.:
Просвещение, 1964.
дополнительная:
12.Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел. - М., Просвещение,
1974 г.
2. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории
чисел. – М.: Просвещение, 1993.
Лекционное занятие №2 по §5 – 2часа.
Признаки делимости. Признак Паскаля. Признаки делимости в десятичной
системе счисления.
Литература:
основная:
1. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
25.Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. - М.: Просвещение, 1993.
26.Бухштаб А.А. Теория чисел. - М.: Просвещение, 1966.
27.Галочкин А.И., Нестеренко Ю.В., Шидловский А.Б. Введение в теорию
чисел. - М.: МГУ, 1995.
28.Грибанов В.У., Титов П.И. Сборник упражнений по теории чисел. - М.:
Просвещение, 1964.
дополнительная:
41
13.Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел. - М., Просвещение,
1974 г.
2. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории
чисел. – М.: Просвещение, 1993.
Лекционное занятие №3 по §5 – 2часа.
Проверка арифметических действий с помощью сравнений. – 1 час.
Решение линейных уравнений первой степени. – 1 час.
Литература:
основная:
1. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
29.Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. - М.: Просвещение, 1993.
30.Бухштаб А.А. Теория чисел. - М.: Просвещение, 1966.
31.Галочкин А.И., Нестеренко Ю.В., Шидловский А.Б. Введение в теорию
чисел. - М.: МГУ, 1995.
32.Грибанов В.У., Титов П.И. Сборник упражнений по теории чисел. - М.:
Просвещение, 1964.
дополнительная:
14.Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел. - М., Просвещение,
1974 г.
2. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории
чисел. – М.: Просвещение, 1993.
§6. Криптографическая система RSA.- 4 часа.
Лекционное занятие №1 по §6 – 2часа.
Проверка простоты целого числа. Теорема Вильсона. Числа Кармайкла. Вероятностный тест простоты Рабина. Законность теста Рабина. Алгоритмы
факторизации целых чисел. Алгоритмы факторизации Поллака (методы
Монте-Карло). Метод Монте-Карло 1. Метод Монте-Карло 2.
Литература:
основная:
1. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
15.Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. - М.: Просвещение, 1993.
16.Бухштаб А.А. Теория чисел. - М.: Просвещение, 1966.
17.Галочкин А.И., Нестеренко Ю.В., Шидловский А.Б. Введение в теорию
чисел. - М.: МГУ, 1995.
18.Грибанов В.У., Титов П.И. Сборник упражнений по теории чисел. - М.:
Просвещение, 1964.
дополнительная:
4. Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел. - М., Просвещение,
1974 г.
5. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. – М.: Просвещение, 1993.
42
Лекционное занятие №2 по §6 – 2часа.
Основные алгоритмы, используемые в криптографической системе RSA.
Общий алгоритм шифрования RSA. Выбор параметров системы RSA. Гипотеза 1. Ограничения на выбор положительных простых чисел p и q . Условие
Ривеста. Алгоритм Гордона. Применение алгоритма RSA для создания электронной подписи.
Литература:
основная:
1. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
19.Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. - М.: Просвещение, 1993.
20.Бухштаб А.А. Теория чисел. - М.: Просвещение, 1966.
21.Галочкин А.И., Нестеренко Ю.В., Шидловский А.Б. Введение в теорию
чисел. - М.: МГУ, 1995.
22.Грибанов В.У., Титов П.И. Сборник упражнений по теории чисел. - М.:
Просвещение, 1964.
дополнительная:
6. Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел. - М., Просвещение,
1974 г.
3. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории
чисел. – М.: Просвещение, 1993.
Для удобства использования программ, основные данные приведем в таблицу:
Количество часов
практические заняконтрольтия
коллоквиные работы
умы
Наименование раздела темы
Всего
аудиторных
лекции
№
76 38 38
Теория сравнений в кольце целых чисел.
1
§1. Сравнения и их свойства.
14 8 6
Сравнения в кольце целых чисел, их простейшие и основные свойства. Классы эквивалентности и их свойства.
Полная система вычетов. Условие при котором ax b
пробегает полную систему вычетов, если x пробегает
полную систему вычетов.
Сумма классов вычетов. Свойства сложения классов
43
2
2
2
3
4
вычетов. Аддитивная группа классов вычетов.
Умножение классов вычетов. Свойства умножения
классов вычетов. Кольцо классов вычетов.
§2. Мультипликативные функции. Функция Эйлера. 14
Приведённая система вычетов. Теоремы Эйлера и Ферма.
Мультипликативные функции и их свойства. Функция
Мёбиуса и её свойства.
Функция Эйлера. Формула для вычисления значений
функции Эйлера. Свойства функции Эйлера.
Приведённая система вычетов. Условие при котором
ax пробегает приведённую систему вычетов, если x
пробегает приведённую систему вычетов.
Мультипликативная группа классов вычетов взаимно
простых с модулем. Условие при котором кольцо классов вычетов является полем.
Числа взаимно обратные по модулю числа. Вычисление обратных чисел с помощью цепных дробей.
Теорема Эйлера. Теоремы Ферма.
Представление простого числа p 1(mod 4) в виде суммы двух квадратов. Теорема Дирихле и её применение к
представлению простого числа p 1(mod 4) в виде суммы
двух квадратов.
§3. Сравнения первой степени. Сравнения высших сте- 14
пеней по простому модулю.
Степень и число решений сравнения.
Разбиение класса вычетов по данному модулю на
классы вычетов по кратному модулю.
Теоремы о разрешимости и числе решений сравнений
первой степени.
Теорема о том, что число решений сравнения степени
n по простому модулю имеет не более n решений. Теорема о числе решений сравнения x p1 1 0(mod p) , где p
- простое. Теорема Вильсона. Теорема о числе решений
сравнения x d 1 0(mod p ) , где p - простое, d| p 1.
§4. Первообразные корни и индексы.
14
Порядок числа по модулю. Свойства порядка.
Первообразные корни по простому модулю. Теорема о
числе первообразных корней по простому модулю. Теорема о числе образующих циклической группы простого порядка. Свойства первообразных корней. Описание
модулей, по которым существуют первообразные корни.
Индексы по простому модулю. Свойства индексов.
44
8
6
6
8
6
8
1
1
1
Таблицы индексов и антииндексов.
Двучленные сравнения по простому модулю. Необходимое и достаточное условие разрешимости двучленного сравнения по простому модулю.
k-степенные вычеты. Необходимые и достаточные
условия для того, чтобы число было k-степенным вычетом.
Сравнения второй степени. Теорема о числе решений
сравнения второй степени. Квадратичные вычеты и невычеты. Критерий Эйлера.
Символ Лежандра. Закон взаимности.
Арифметические применения теории квадратичных
вычетов.
§5. Приложения теории сравнений.
12
Систематические дроби. Определение длины периода
при обращении обыкновенной дроби в систематическую.
Признаки делимости. Признак Паскаля. Признаки делимости в десятичной системе счисления.
Проверка арифметических действий с помощью сравнений.
Решение линейных уравнений первой степени.
§6. Криптографическая система RSA.
8
5
6
Проверка простоты целого числа. Теорема Вильсона.
Числа Кармайкла. Вероятностный тест простоты Рабина. Законность теста Рабина. Алгоритмы факторизации
целых чисел. Алгоритмы факторизации Поллака (методы Монте-Карло). Метод Монте-Карло 1. Метод МонтеКарло 2.
Основные алгоритмы, используемые в криптографической системе RSA. Общий алгоритм шифрования RSA.
Выбор параметров системы RSA. Гипотеза 1. Ограничения на выбор положительных простых чисел p и q .
Условие Ривеста. Алгоритм Гордона. Применение алгоритма RSA для создания электронной подписи.
РАЗДЕЛ 4. Словарь терминов (глосарий).
(страницы указаны в соответствии с учебником: Л. Я. Куликов.
Алгебра и теория чисел.- М.: Высшая школа;1979)
А
Абсолютное значение элемента 151
45
6
6
4
4
1
Абелева группа94
Автоморфизм алгебры84
- группы 99
- кольца 107
Аддитивная группа 95, 96, 135
--векторного пространства 246
--классов вычетов 356, 400
--кольца 104
--поля 146
Аддитивный моноид натуральных чисел 123
Аксиома математической индукции 119, 120
Алгебра 82
-кватернионов 299
-линейная 298
-линейных операторов 300
-матриц 299
Алгебраическая замкнутость поля 510
-независимость элементов 487
-система 112, 113
Алгебраический элемент 528
Алгебраическое расширение поля 531, 533
-число 537
Алгоритм Евклида 379
Алфавит 117
Арифметический корень n-ой степени 154
Арифметическое векторное пространство 175
Ассоциативность 76, 347
Ассоциированные элементы 445, 446
Б
Базис векторного пространства 256
--ортогональный 271
--ортонормированный 278
--системы векторов 182
Бинарная операция 75
Бинарное отношение 48,49
В
Вектор нормированный 277
-собственный 307, 309
Векторное пространство 245, 246
--арифметическое 175
--действительное 276
46
--евклидово 276
--конечномерное 256
--со скалярным умножением 270
Взаимно-простые числа 372, 375
Включения знак 40
Вполне упорядоченное множество 73
Выпуклый конус пространства 318
Высказывания 3-5
Г
Геометрическое представление комплексных чисел 164
Главные операции алгебры 82
-элементы алгебры 83
Гомоморфизм 84
-алгебраической системы 114
-алгебры 84
-векторного пространства 283
-группы 99
-кольца 107
Граф 52
-бинарного отношения 53
График предиката 52
Группа 94
-абелева 94
-симметрическая 96, 350
-циклическая 102, 355
Д
Двучленные сравнения 418
Делимость элементов 445
Делитель 445
-нуля 104, 105
-общий наибольший 372, 453, 454
-собственный 447
Дефект оператора 286
Диагональная матрица 227, 313, 314
Диаграммы Эйлера-Венна 45
Дизъюнкция 6
Дистрибутивность 76, 128, 129
Доказательство косвенное 19, 20
-от противного 19, 20
-по индукции 121
Дополнение множества 45
Дополнение ортогональное 273
47
Е
Евклидово пространство 276
Единица группы 95
-кольца 104
Единичный идеал 430
Естественное отображение 70
Естественный гомоморфизм 92
З
Зависимость линейная 176
Закон двойного отрицания 12
-Де Моргана 45
-исключенного третьего 10
-контрапозиции 12
-сокращения 98, 125
Замкнутое подмножество 80, 87
Знак включения 40
-подстановки 224
-принадлежности 39
-числа 224
И
Идеал 430
-главный 431, 448
-единичный 430
-нулевой 430
Изоморфизм алгебры 84
--линейных операторов 301
-алгебраической системы 111
-векторного пространства 266, 283
-группы 99
-евклидова пространства 280
-кольца 364, 430
Изоморфные алгебры 84
-алгебраические системы 114
-векторные пространства 266
-группы 99
-евклидовы пространства 280
-кольца 107
Импликация 7
Индекс числа по модулю 417
Исключение переменных 502, 503
Истинностная таблица 6, 7, 13
48
К
Канонические задачи линейного программирования 328, 335
Каноническое разложение на простые множители 367, 474
Квантор общности 28
-существования 28, 29
Класс вычетов 397, 432
- смежный 352
-эквивалентности 68
Кольцо 104
-главных идеалов 448
-евклидово 451
-классов вычетов 401
-коммутативное 104
-нулевое 104
-полиномов 489
-факториальное 450, 478
-целых чисел 139-141
-числовое 163
Коммутативная группа 94
Коммутативность 76, 124, 129
Комплексные числа 161
Композиция отображений 50, 56-58
Конгруэнция 81
Конечное расширение поля 533
Конъюнкция 6
Координатная строка вектора 265
Корень из единицы 159
-полинома 467
--кратный 483
--простой 483
Кратность корня 483
Критерий неприводимости Эйзенштейна 527
-несовместности системы неравенств 323
-совместности системы линейных уравнений 191
Л
Лексикографическое упорядочение 72, 493
Лемма Гаусса 476
-Даламбера 509
Линейная зависимость системы векторов 176, 247
-независимость системы векторов 176, 247
Оболочка 176, 251
49
Линейно упорядоченное множество 72
Линейное многообразие 253
-отображение векторного пространства 283
Линейный оператор обратимый 303, 304
--пространства 283
--с простым спектром 312
-порядок 72
Логика высказываний 8
Логическое следствие 14, 26
М
Математическая индукция 121
Матрица 210
-квадратная 210
-линейного оператора 289, 290
-обратимая 215, 240
-транспонированная 213
Многообразие линейное 253
Множество 39
-вполне упорядоченное 73
-замкнутое относительно операции 80
-линейно упорядоченное 72, 150
-упорядоченное 72
-частично упорядоченное 72
Модуль комплексного числа 163
Моноид 83, 346
-натуральных чисел (мультипликативный) 130
Мономорфизм алгебры 84
Н
Наибольший общий делитель 327, 453, 454
Наименьшее общее кратное 376, 455
-подкольцо кольца 437
Натуральные числа 119, 120
Независимость линейная 247, 248
Неприводимый полином 472
-элемент кольца 447
Неравенство треугольника 277
-Чебышева 392
Нейтральный элемент 77
НОД 372, 453
НО К 376, 455
Норма вектора 277
Нормальный делитель группы 358
50
Нулевое кольцо 104
Нулевой идеал 430
-элемент 80
Нуль 120, 146
О
Область целостности 104
-значений 50, 55
-определений 50, 55
Образ линейного оператора 286
Обратимый элемент 81, 98
Обратимая матрица 215
Объединение множеств 41
Однотипные алгебры 83
Операция бинарная 75
-n-местная 75
-сложения 80
-умножения 81
-унарная 75
Определитель матрицы 227
Ортонормированная система векторов 278
Отношение 49, 52
-антирефлексивное 66
-антисимметричное 66
-бинарное 49
-делимости 143
-изоморфизма 86, 99
-конгруэнтности 81, 91
-линейного порядка 72
-n-местное 52
-порядка 71, 131,148
-рефлексивное 65
Отношение симметричное 66
-строгого порядка 71
-транзитивное 66
-эквивалентности 65, 67, 68
Отображение 54,55
-инъективное 59
-линейное 283
Отрицание высказывания 6
П
Пара упорядоченная 48
Первообразный корень 415, 416
51
Переменная свободная 22
-связанная 28,29
-предметная 33
Пересечение множеств 42
Период систематической дроби 421
Подалгебра 87
Подгруппа 100, 350
Подкольцо 109
-наименьшее 437
Подмножество 40
-замкнутое в алгебре 87, 89
Подобные матрицы 297, 313
Подполе 146
-простое 146
Подпространство векторного пространства250
Подстановка 221
-нечетная 223
-обратная 222
-четная 223
Подсистема алгебраической системы 115
Поле 146
-алгебраически замкнутое 510, 537
-алгебраических чисел 537
-действительных чисел 153
-классов вычетов 404
-комплексных чисел 157, 161
-простое 146
-рациональных чисел 148
-скаляров 245
Поле упорядоченное 150
-частных 148, 439
-числовое 162
Полином минимальный 529
-неприводимый 472
-нормированный 466
-от нескольких переменных 486
-приводимый 472
-примитивный 475
-симметрический 459, 498
Полная линейная группа 305
-система вычетов 399
Полугруппа 346
Порядок 71, 72
-группы 94
-классов вычетов 413
52
-нестрогий 71
-строгий 71
-числа по модулю 413
-элемента группы 354
Правила введения и удаления 18
Правило Крамера 241
-отделения 19
Предикат 23, 25, 26, 27
Предикатные формулы 34
Предметные переменные 33
Приведенная система вычетов 402, 403
Принадлежности знак 39
Принцип математической индукции 121
Произведение матриц 211
Производная полинома формальная 480
Простое алгебраическое расширение поля 528, 531
-поле 146
-расширение поля 459
-трансцендентное расширение кольца 459, 461
-число 365
Простой корень полинома 483
Простой элемент области целостности 446
Противоположный элемент 80, 95
Противоречие 10
Процесс ортогонализации 272
Прямая сумма подпространств 252
Прямое произведение множеств 48, 49
Пустое множество 41
Р
Равенство полиномов алгебраическое 468
-функциональное 468
-множеств 39
Равносильные формулы 15
-предикаты 26
-системы уравнений 186
Разбиение множества 68
Разложение на простые множители 366, 450, 473, 478
-определителя 235
Размерность векторного пространства 260
Разность множеств 42
Ранг линейного оператора 294
-матрицы 189, 199, 200
-операции 75
53
-системы векторов 183
Распределение простых чисел 389
Расширение поля алгебраическое 533
--конечное 533
--простое 528
--составное 533, 534
--трансцендентное 459
Рациональные числа 148
Результант 502
Рефлексивное отношение 65
Решение системы линейных неравенств 335
---уравнений 185, 206-208, 220
Решение уравнений 515, 520
Решето Эратосфена 370
С
Свободная переменная 22
Свойства группы 97
-кольца 106
-поля 146
Связанная переменная 28, 29
Симметрическая группа 96, 350
Симметрический полином 495
Симплекс-метод 335
Система действительных чисел 150, 153
-алгебраическая 112
-векторов ортогональная 271
-линейных неравенств 317
--уравнений 185
---однородная 192, 203
Скалярное произведение 270
Следствие систем линейных уравнений 180, 195, 196
---неравенств 318
Смежный класс 352, 433
--левый 353
--правый 352
Собственное значение 307, 309
Собственный вектор 307, 309
-делитель элемента 447
Сравнение по идеалу 432
-по модулю 397
Стандартные задачи линейного программирования 327, 328, 335
Старший коэффициент полинома 460
Степенные вычеты 419
54
Степень полинома 446, 492
-элемента 529
Строгий порядок 71
Ступенчатая матрица 198
--приведенная 201
Сужение функции 63
Сумма пространств 251, 252
Т
Таблица истинности 6, 7
Тавтология 10
Теорема двойственности 330, 333
-Кронекера-Копелли 193
-Кэли 351
-Лагранжа 353
-Минковского 321
-о гомоморфизмах 362
-о делении с остатком 141, 142, 469
-Ферма 408
-Штурма 523
-Эйлера 408
Тернарное отношение 52
Тождественно истинная формула 10
-ложная формула 10
Транзитивное отношение 66
Трансцендентное расширение кольца 459, 488
Тригонометрическая форма комплексного числа 166, 168
Трисекция угла 541
У
Удвоение куба 541
Универсальное множество 44
Упорядочение лексикографическое 493
Упорядоченное множество 72
-поле 150
Уравнения третьей степени 515
-четвертой степени 520
Условие с одной свободной переменной 23
-с несколькими свободными переменными 23
Ф
Фактор-алгебра 91
Фактор-группа 359, 360
Фактор-кольцо 433, 434
55
Фактор-множество 68
Формула логики высказываний 8
Формулы Крамера 242
Фундаментальная система решений 204
Функция 54, 55
-инъективная 59
-обратная 60-62
-Эйлера 406
Х
Характеристика кольца 436
Характеристическое уравнение 310, 311
Ц
Целые числа 135, 139
Циклическая группа 102, 355
Ч
Числа алгебраические 537
-действительные 153
-комплексные 161
-сопряженные 163
-натуральные 119, 120
-простые 365
-рациональные 148
-целые 135, 139
Э
Эквивалентности отношение 65,67,68
Эквивалентность 67
-логическая 15
Эквивалентные системы векторов 180
Эквиваленция 8
Элемент алгебраический 528
-множества 39
-нейтральный 77
-обратный по умножению 81
-противоположный по сложению 80
-симметрический 78, 79
Элементарные преобразования системы векторов 181
-симметрические полиномы 496
Эндоморфизм алгебры 84
Эпиморфизм 84
56
Я
Ядро гомоморфизма 361
-линейного оператора 286
РАЗДЕЛ 5. Практикум по решению задач.
Примеры решения задач.
Задача №1. Пусть m Z , найти все классы вычетов по mod m .
Решение. При делении на m возможны остатки 0,1,..., (m -1) .
Два целых числа сравнимы по mod m тогда и только тогда, когда
они имеют одинаковые остатки при делении на m. Каждый класс состоит из чисел, имеющих одинаковые остатки при делении на m. 0m – класс
вычетов по mod m , который состоит из целых чисел, имеющих при делении на m остаток 0.
0m ={…, -2m, -m, 0, 2m, …} = m Z ,
1m ={…, -2m+1, -m+1, 1, m+1, 2m+1, 3m+1, …} =1+m Z ,
2m ={…, -2m+2, -m+2, 2, m+2, 2m+2, …} =2+m Z ,
---------------------------------------------------------------------------m 1m ={…, -m+(m-1), m-1, m+(m-1), 2m+(m-1),…} =(m-1)+m Z .
0m , 1m , …, m 1m – все классы вычетов по mod m , их m штук.
Например, для m=4 мы имеем 4 класса вычетов: 04 ; 14 ; 24 ; 34 .
04 {..., 8, 4,0,4,8...},
14 {..., 7, 3,1,5,9...},
24 {..., 6, 2,2,6,10...},
34 {..., 5, 1,3,7,11...}.
Задача №2. Выписать несколько систем вычетов по mod 5.
Решение.
_
_
0 mZ 0 0, 5, 10, ... ,
_
1 1 mZ ..., -9, -4, 1, 6, 11, ... ,
_
2 2 mZ ..., -8,-3, 2, 7, 12, ... ,
_
3 3 mZ ..., -7, -2, 3, 8, 13, ... ,
_
4 4 mZ ..., -6, -1, 4, 9, 14, ....
0, 1, 2, 3, 4 – все классы вычетов по mod 5.
1) 10, -4, -8, 8, 24 – полная система вычетов по mod 5, так как 10 0;
4 1; 8 2; 8 3; 24 4 .
2) 10, 11, 12, 13, 14 – полная система вычетов по mod 5.
57
3) 10, 11, 12, 13, 21 – не является полной системой вычетов по mod 5,
так как 11,21 1 .
4) 0, 1, 2, …, m-1 – полная система вычетов по mod m .
Определение. Группа Z / mZ, , -, 0 называется аддитивной группой классов вычетов по mod m .
Задача №3. Построить таблицу сложения в аддитивной группе
класса вычетов по mod5 .
Решение.
0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 4
1 1 2 3 4 0
2 2 3 4 0 1
3 3 4 0 1 2
4 4 0 1 2 3
0 0 0; 0 1 0 1 1; 0 2 2; 0 3 3; 0 4 4; 1 1 2 ,
1 2 3; 1 3 4; 1 4 5 0, т.к. 5 0(mod m) 5 0.
2 4 6 1, т.к. 6 1(mod5) 6=1.
3 3 6 1; 3 4 7 2, т.к. 7 2(mod5) 7=2.
4 4 8 5, т.к. 8 3(mod5) 8=3.
Определение. Кольцо
Z / mZ, , , -, 0, 1,
называется кольцом
классов вычетов по модулю m.
Задача №4. Составить таблицу умножения в кольце классов вычетов по mod5 .
Решение.
0 1 2 3 4
0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4
2 0 2 4 1 3
3 0 3 1 4 2
4 0 4 3 2 1
58
0 1 0;...;0 4 0; 1 1 1;...;1 4 4;
2 2 4; 2 3 6 1 (т.к. 6 1(mod5) 6 1);
2 4 8 3 (т.к. 8 3(mod5) 8 3);
3 3 9 4 (т.к. 9 4(mod5) 9 4);
3 4 12 2 (т.к. 12 2(mod5) 12 2);
4 4 16 1 (т.к. 16 1(mod5) 16 1).
Определение. Пусть n 1; p1 ,..., p k - попарно различные, простые;
a1 ,...,a k - натуральные числа, n=p1a1 ... pakk - каноническое разложение на
простые множители, тогда значение функции Мёбиуса определяется
формулами:
1
(1)k , если все a1 ... a k 1
(n)
.
0,
если
некоторые
a
1
i
Доказать самостоятельно, что функция Мёбиуса - мультипликативная функция.
Задача № 5. Вычислить значения функции Мёбиуса.
Решение.
(1) 1, (4) 0, (7) 1, (10) 1.
(2) 1, (5) 1, (8) 0,
(3) 1, (6) 1, (9) 0,
Если p - простое, то (p) 1; если p1 p 2 -простые, то p1 p 2 1;
(p n ) 0, n 2.
Определение. Символ (n) обозначает число натуральных чисел
n и взаимно простых с n.
: n (n) - функция Эйлера.
Другими словами (n) - число чисел в множестве {1,2,...,n} взаимно
простых с n.
Задача № 6. Вычислить значения функции Эйлера.
Решение. Покажем, что 9 6 . Выпишем множество натуральных
чисел, не превосходящих 9: {1,2,3,4,5,6,7,8,9} . Числа взаимно простые с
числом 9: {1,2,4,5,7,8} , их 6 штук. Тогда 9 6 . Аналогично:
59
1 1,
2 1,
4 2, 7 6, 10 4.
5 4, 8 4,
3 2, 6 2, 9 6,
……………………………………………..
Определение. Приведенной системой вычетов по mod m называется
система (m) – чисел, взятых по одному из каждого класса вычетов по
mod m, взаимно простого с mod m.
Задача № 7. Привести примеры приведённых систем классов вычетов.
Решение.
1) По mod5 :
1,2,3,4 – все классы вычетов, взаимно простые с mod5 .
1 {..., 9, 4,1,6,11,...},
2 {..., 8, 3,2,7,12,...},
3 {..., 7, 2,3,8,13,...},
4 {..., 6, 1,4,9,14,...}.
1, 3,8, 1 - приведенная система вычетов по mod5 .
1, 3,8,6 - не является приведенной системой вычетов, так как 1;6 1 ,
а нужно брать по одному элементу из каждого класса.
Из примера следует, что приведенных систем вычетов можно выбрать бесконечно много.
2) По mod6 : 1,5 – все классы вычетов, взаимно простых с mod6
7, 1 – приведенная система вычетов по mod6 .
Задача № 8. Найти обратный к числу 24 по mod101 с помощью конечных цепных дробей.
Решение.
1)
1 0 1 2 4
9 6 4
2 4 5
2 0 4
5 4
4 1
4 1
4 4
0
m
101
101
2) [4,4,1,4]
- разложение числа
в цепную дробь.
a
24
24
60
2) Вычисляем числители подходящей дроби.
4
4
1
4
0
1
4
17
21
0
1
2
3
k
Из таблицы следует, что p0 4; p1 17; p 2 21; k 3.
4) Числитель предпоследней подходящей дроби равен 21.
5) По теореме 2 число (1)3 21 21 – является обратным к числу
24(mod101) . Действительно, 24 (21) 504 1(mod101) .
Задача № 9. Пусть a Z, m . Доказать, что если a и m взаимно
простые, то число a (m)1 будет обратным к a по mod m .
Доказательство. Действительно,
▄
a a (m)1 a (m) 1(mod m) .
Задача № 10. Пусть a 11,m 20 . Найти обратный к 11 по mod 20
по теореме Эйлера.
Решение. Имеем (20) (22 5) 2 4 8 . Тогда число
1181 117 (112 )3 11 11(mod 20) – является обратным к 11 по mod 20 .
qk
pk
Задача № 11. Решить сравнение 3x 1 0(mod5) .
Решение. нод(3,5) 1 , поэтому сравнение имеет единственное
решение. Имеем
3x 1(mod5)
6 x 2(mod5) x 2(mod5) x 3(mod5)
2 - обратный к 3 по mod5
- единственное решение.
Задача № 12. Решить сравнение 8 x 4(mod12) .
Решение.
нод(8,12) 4, 4 | 4 поэтому сравнение имеет 4 решения. Найдем
их. Сократим обе части сравнения и модуль на 4, получим 2x 1(mod3) .
Это сравнение имеет единственное решение по модулю 3, т.к.
нод(2,3) 1 . x 2(mod3) - решение.
Класс вычетов 2(mod 3) разбивается на 4 класса вычетов по модулю 12. x 2(mod12) x 5(mod12) x 8(mod12) x 11(mod12) . Это
решения нашего сравнения.
Определение. Пусть a взаимно простое число с модулем m. Порядком числа a по модулю m называется число O(a,mod m) O(a) .
61
Другими словами, O(a,mod m) d d - наименьшее натуральное,
такое что a d 1(mod m) .
Задача № 13. Вычислить O(2,mod5) .
Решение. Вычисление можно проводить двумя способами.
1 способ. Вычисление в группе J 5 . Имеем O(2,mod5) O(2) в
группе J 5 .
1
2 2
2
2 4
3
2 3
O(2,mod5) O(2) 4.
4
2 1
2 способ. Вычисление с помощью сравнений.
2 2(mod 5)
1
22 4(mod 5)
23 3(mod 5)
O(2,mod 5) 4.
23 1(mod 5)
Задача № 14. Доказать: 1) 2 является первообразным корнем по
mod13 ;
2) 4 не является первообразным корнем по mod5 .
Решение. Вычислим O(2,mod13) .
Справедливы сравнения:
21 2(mod13), 22 4(mod13), 23 8(mod13), 2 4 3(mod13), 25 6(mod13),
26 12(mod13), 27 11(mod13), 28 9(mod13), 29 5(mod13), 210 10(mod13),
211 7(mod13), 22 1(mod13).
Отсюда O(2,mod13) 12 (13) . Значит, 2 - первообразный корень по
mod13.
Докажем, что 4 не является первообразным корнем по mod5 . Для этого вычислим O(4,mod5) . Справедливы сравнения: 41 4(mod5) ; 42 1(mod5) .
Отсюда O(4,mod5) 2 4 (5) . Следовательно, 4 - не является первообразным по mod5 .
Задача № 15. Составить таблицы индексов и антииндексов для фиксированного преобразованного корня g = 2 по mod p . (В таблице индексов указываются индексы чисел некоторой приведенной системы вычетов по mod p .)
Решение. Для p 13 число 2 является первообразным корнем (см.
задачу №14). Мы знаем, что
62
20 1(mod13), 21 2(mod13),
24 3(mod13), 25 6(mod13),
28 9(mod13), 29 5(mod13),
Таблица индексов:
a 1 2 3 4 5 6 7
ind 2 a 0 1 4 2 9 5 11
22 4(mod13), 23 8(mod13),
26 12(mod13), 27 11(mod13),
210 10(mod13), 211 7(mod13).
8 9 10 11 12
3 8 10 7 6
Таблица антииндексов:
ind 2 a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
a 1 2 4 8 3 6 12 11 9 5 10 7
Задача № 16. Решить сравнение 6x 8 5(mod13) .
Решение.
Проиндексировав
сравнение,
получим
8ind x ind5 ind6(mod12) 8ind x 9 5(mod12)
8ind x 4(mod12) * .
Решим
это
сравнение
относительно
Имеем
ind x .
нод(8,12) 4; 4 | 4 сравнение имеет 4 решения по mod12 . Обе части
сравнения * и модуль сократим на 4. Получим, что сравнение * равносильно сравнению 2ind x 1(mod3) . Это сравнение относительно
ind x имеет единственное решение по mod3 . ind x 2(mod3) . Следовательно
ind x 2(mod12) ind x 5(mod12) ind x 8(mod12) ind x 11(mod12) .
Из
таблицы
антииндексов
находим,
что
x 4 (mod13) x 6 (mod13) x 9 (mod13) x 7 (mod13) .
Определение. Целое число a называется k-степенным вычетом по
mod m , если сравнение x k a(mod m) разрешимо.
Задача № 17. Будет ли число 2 трехстепенным вычетом по
mod13 , по mod5 ?
Решение.
1) Определим, является ли число 2 трехстепенным вычетом по
mod13 . Для этого нужно определить разрешимо ли сравнение
x 3 2(mod13) . По т.1 п.4 сравнение разрешимо тогда и только тогда, когда нод(3,12) | ind 2 4 |1 (ind 1=0). Так как последнее утверждение
ложно, то 2 не является трехстепенным вычетом по mod13 .
2)Докажем, что 2 является трехстепенным вычетом по mod5 . Для
этого рассмотрим сравнение x 3 2(mod5) ; число 3 удовлетворяет этому
сравнению. Поэтому 2 является трехстепенным вычетом по mod5 .
Задача № 18. Определить, будут ли числа 2; 3 квадратичным вычетом или квадратичным невычетом по mod11 .
63
p-1 11 1
5;
2
2
25 32 1(mod11) . Поэтому 2 – квадратичный невычет по mod11 .
2) Рассмотрим число 3 по mod11 . Имеем 35 243 1(mod11) . Поэтому 3 – квадратичный вычет по mod11 .
Решение. 1) Рассмотрим число 2 по mod11 . Имеем
7
Задача № 19. Доказать, что записывается в виде периодиче 13 10
ской десятичной дроби с наименьшей длиной периода, равной числу 6.
7
Решение. Рассмотрим дробь . Эта дробь удовлетворяет услови 13 10
ям теоремы. Поэтому эта дробь записывается в виде периодической десятичной дроби g 10 , с наименьшей длиной периода, равной
O(10,mod13) . Вычислим O(10,mod 13) k . Имеем k – наименьшее нату-
ральное число, такое, что 10k 1(mod13) . Проиндексировав последнее
сравнение, получим, что k ind10 ind1(mod12) . Из таблицы индексов
находим, что
10 k 0(mod12) 5k 0(mod 6)
k 6.
k - наименьшее натуральное
7
Доказано, что записывается в виде периодической десятичной
13 10
дроби с наименьшей длиной периода, равной числу 6.
Проверим это непосредственным вычислением.
7
0,(538461...)10
13 10
7, 0
1 3
6 5
0, 5 3 8 4 6 1 …
5 0
3 9
1 1 0
1 0 4
6 0
5 2
8 0
7 8
2 0
1 3
7 …
64
Задача № 20. Вывести признаки делимости в десятичной системе
счисления.
Решение. g=10.
Для того чтобы сформулировать ″хороший″ признак делимости на
m, нужно ″хорошо″ выбрать последовательность чисел (bi )i0,..., такую, что
bi gi (mod m) .
1) Признак делимости на 3.
Определим ″хорошую″ последовательность (bi )i0,..., такую, что
bi 10i (mod3) для i 0,1,...
Имеем 10i 1i (mod3) . Выберем bi 1 для i 0,1,...
По признаку Паскаля 3| n 3| cS cS-1 ... c1 c0 . Другими словами: чис-
ло делится на 3 тогда, когда 3 делит сумму цифр десятичного разложения
этого числа.
Например, сумма цифр 199310 равна 1 9 9 3 22 ,
3 | 22 3 | 199310 .
2) Признак делимости на 9.
Определим ″хорошую″ последовательность
(bi )i0,...,
такую,
что
bi 10i (mod9) для i 0,1,...
Имеем 10i 1i 1(mod9) . Выберем bi 1 для i 0,1,...
По признаку Паскаля 9 | n 9 | cS cS-1 ... c1 c0 . Другими словами: число делится на 9 тогда и только тогда, когда 9 делит сумму цифр десятичного разложения этого числа.
Например, сумма цифр числа 199310 равна 22. 9 | 22 9 | 199310 .
3) Признак делимости на 11.
Определим ″хорошую″ последовательность (bi )i0,..., такую, что
bi 10i (mod11) для i 0,1,...
Имеем 10i 1 (mod11) . Выберем bi 1 , i 0,1,...
По признаку Паскаля: 11| n 11| c0 c1 c 2 c3 ... Другими словами: число делится на 11 тогда и только тогда, когда 11 делит знакочередующуюся
сумму цифр десятичного разложения этого числа.
Например, знакочередующаяся сумма цифр числа 1993 равна
3 9 9 1 2 . 11 | 2 11 | 1993 .
Видим, что существуют удобные признаки делимости на m 3,9,11.
Не для всякого m существует удобный признак делимости.
4) Признак делимости на 7.
i
i
65
Определим
″хорошую″
последовательность
(bi )i0,...,
такую,
что
bi 10i (mod7) для i 0,1,... Имеем:
b0 100 1(mod7) . Выберем b0 1 .
b1 101 3(mod7) . Выберем b1 3 .
b2 102 2(mod7) . Выберем b 2 2 .
b3 103 20 6 1(mod7) . Выберем b3 1 .
b4 104 10 4 3(mod7) . Выберем b 4 3 .
b5 105 40 5 2(mod7) . Выберем b5 2 .
b6 106 1(mod7) . Выберем b6 1 .
Доказано, что порядок O(10,mod7) 6 . Поэтому выберем bi6 bi для
i 0,1,... Этим последовательность (bi ) полностью определена.
По признаку Паскаля 7 | n 7 | c0 3c1 2c 2 c3 3c 4 2c5 c6 ...
Например,
для
числа
1993
имеем:
3 3 9 2 9 1 3 27 18 1 47 . 7 | 47 7 | 1993 .
Мы видим, что для числа 7 не существует удобного признака делимости в десятичной системе счисления.
Задача № 21. Рассмотреть на примере, как производится проверка правильности арифметических операций. Проверить, справедливо ли
равенство
(3197)2 32 675 926 379 .
Решение. Будем производить проверку по mod11 . Имеем
3197 7 9 1 3 8 12 4(mod11) ,
31972 (4)2 5(mod11) ,
32 675 926 379 9 7 3 6 2 9 5 7 6 2 3 22 31 9 8(mod11).
5 8(mod11) . Поэтому (3197)2 32 675 926 379 .
Задача № 22. Решить диофантово уравнение:
50x 42y 34 .
Решение. Имеем d нод(50,42) 2; 2 | 34 . Следовательно, уравнение
имеет
бесконечно
много
решений.
Рассмотрим
сравнение
50x 34(mod 42) 25x 17(mod 21) 4x 17(mod 21) . Решая последнее
сравнение, находим, что x 1(mod 21) . Выберем x 0 1. Тогда пара
34 50(1)
1,
(1, 2) - решение нашего уравнения. Следовательно,
42
множество решений нашего уравнения имеет вид:
42
50
t, 2 t t {(1 21t, 2 25t) t } .
1
2
2
66
Задача №23. Доказать, что числа 561; 1105 являются кармайкловыми.
Решение. Действительно, 561 3 1117 . Имеем
(3 - 1) | 560, (11 - 1) | 560, (17 - 1) | 560.
Следовательно, число 561 удовлетворяет условиям теоремы 5.
Доказательство для числа 1105: 1105 5 13 17 . ■
Замечание. Для кармайкловых чисел тест простоты, основанный на теореме
Ферма, не работает.
Задача №24. Доказать справедливость следующих утверждений.
1. Если тест Рабина выдает ответ " m - составное число", то m действительно
является составным.
2. Вероятность ответа "не знаю" для составного числа m не превосходит 1/4.
Доказательство. Докажем утверждение 1.
Если bm1 xt 1(mod m) , то число m не удовлетворяет теореме Ферма и,
следовательно, не является простым.
Если последовательность x0 , x1, , xt содержит фрагмент
, a,1, , где
a 1(mod m) , a 1(mod m) , то имеем
a 2 1(mod m) , a 1(mod m) , a 1(mod m) .
(3)
По простому модулю m сравнение x 2 1(mod m) имеет только два решения.
Из сравнений (3) следует, что сравнение x 2 1(mod m) имеет больше двух
решений. Поэтому число m не простое.
Задача №25. Рассмотреть алгоритмы факторизации Поллака (методы МонтеКарло).
Решение. Рассмотрим два метода разложения на простые множители, предложенных Поллаком. Эти методы позволяют быстро извлечь из составного
числа все его небольшие простые делители.
Метод Монте-Карло 1
Итак, алгоритм Поллака 1 сводится к поиску цикла в бесконечной рекуррентной последовательности b0 , b1, b2 , , состоящей из элементов конечного множества. При этом вместо того, чтобы сравнивать между собой два
элемента, мы вычисляем наибольший общий делитель их разности и числа
m . Алгоритм завершается, когда наибольший общий делитель нетривиален.
Можно предложить 2 способа решения задачи поиска цикла в последовательности.
Первый способ наиболее простой. Второй более сложный, но зато более быстрый.
Способ 1
Сравниваются числа
bi и b2i 1 , i 0,1,2, ,
67
(вычисляется число нод(bi b j , m) ).
Рано или поздно мы дойдем до равенства двух элементов, поскольку расстояние между сравниваемыми элементами на каждом шаге увеличивается
ровно на единицу; кроме того, левый элемент сдвигается вправо, так что он
рано или поздно войдет в периодический участок последовательности.
Выпишем алгоритм нахождения делителя.
алгоритм факторизация1(вход: целое число m, выход: целое число d): успех
| дано: целое число m
| надо: получить нетривиальный делитель d числа m
| возвращаемое значение: true, если удалось разложить,
|
false в противном случае
начало
| maxSteps := 1000000
// Максимальное число шагов
| step := 0
|
| b0 := случайное число в интервале 0..m
| b1 := mod(b0 * b0 + 1, m)
| d := gcd(b1 - b0, m)
|
| цикл пока step < maxSteps && d == 1 выполнять // Пока НОД тривиален
| | b0 = mod(b0 * b0 + 1, m)
// Применяем отображение f
| | b1 = mod(b1 * b1 + 1, m);
// один раз к b0 и дважды
| | b1 = mod(b1 * b1 + 1, m)
// к b1
| | d := gcd(b1 - b0, m)
| | step := step + 1
| конец_цикла
|
| вернуть (d != 1)
// Успех := d нетривиален
конец_алгоритма
На каждом шаге цикла мы трижды вычисляем значение отображения f. Небольшая модификация алгоритма позволяет делать это только один раз.
Способ 2
Выполняется следующая бесконечная последовательность сравнений
b0 <---> b1
b1 <---> b2
b1 <---> b3
b2 <---> b4
b2 <---> b5
b2 <---> b6
b2 <---> b7
b4 <---> b8
68
b4 <---> b9
b4 <---> b10
...
b4 <---> b15
b8 <---> b16
b8 <---> b17
...
b8 <---> b31
...
Вся последовательность сравнений разбивается на серии. В очередной серии
мы сравниваем элемент b_s, где s -- степень двойки, последовательно с элементами b_{2s}, b_{2s+1}, b_{2s+2}, ..., b_{4s-1}. Серия содержит 2s сравнений.
Выпишем алгоритм.
алгоритм факторизация 2 (вход: целое число m, выход: целое число d): успех
| дано: целое число m
| надо: получить нетривиальный делитель d числа m
| возвращаемое значение: true, если удалось разложить,
|
false в противном случае
начало
| maxSteps := 19
// Максимальная длина серии 2^19
| step := 0
|
| b0 := случайное число в интервале 0..m
| b1 := mod(b0 * b0 + 1, m)
| a := b1
// Первый элемент серии
| seriesLength := 1
// Длина серии
|
| цикл пока step < maxSteps && d == 1 выполнять // пока НОД тривиален
| | Инвариант: b0 -- элемент последовательности с индексом,
||
равным нулю или степени двойки
||
a -- элемент, индекс которого равен удвоенному индексу
||
элемента b0 (или 1, если индекс b0 равен 0)
||
seriesLength == удвоенному индексу элемента a
| | d := gcd(b1 - b0, m)
| | len := 0
||
| | цикл пока d == 1 и len < seriesLength выполнять
| | | b1 = mod(b1 * b1 + 1, m);
| | | d := gcd(b1 - b0, m)
| | | len := len + 1
| | конец_цикла
||
| | b0 := a
69
| | a := b1
| | seriesLength := seriesLength * 2
| конец_цикла
|
| вернуть (d != 1)
конец_алгоритма
// Успех := d нетривиален
Метод Монте-Карло 2
Пусть m --- целое число, которое мы раскладываем на множители. Оно представимо в виде произведения степеней простых чисел
m = p1^e1 p2^e2 ... pk^ek
Предположим, что p1 - 1 представимо в виде произведения степеней простых
чисел, причем каждая из этих степеней не очень велика. Более точно, существует N такое, что
p1 - 1 = q1^a1 q1^a2 ... qr^ar
q1^a1 < N, q2^a2 < N, ..., qr^ar < N.
Рассмотрим всевозможные максимальные степени простых чисел, не превосходящие N. Например, пусть N = 20, тогда рассматриваются степени простых
16, 9, 5, 7, 11, 13, 17, 19. Обозначим эти степени простых через t1, t2, ..., ts.
Выберем произвольное целое число b. Рассмотрим последовательность
b0 = b,
b1 = b0^t1 (mod m),
b2 = b1^t2 (mod m),
...
bs = b_{s-1}^ts (mod m)
Каждый раз, вычислив bi, вычисляем одновременно НОД(bi - 1, m). Утверждается, что с большой вероятностью на каком-то шаге этот НОД будет нетривиальным делителем N. Действительно, покажем, что
p | НОД(bs - 1, m).
Действительно,
bs = b^(t1 t2 ... ts),
и, поскольку по предположению, p1 - 1 | t1 t2 ... t3, то есть
t1 t2 ... ts = (p1 - 1)g,
то
bs = b^(t1 t2 ... ts) = b^((p1 - 1) g) =
(b^(p1 - 1))^g = 1 (mod p1)
по малой теореме Ферма. Значит, bs - 1 делится на p1, число m также делится
на p1, следовательно, НОД(bs - 1, m) делится на p1.
Проиллюстрируем алгоритм на простом примере. Возьмем N = 20.
Выпишем все степени простых, не превосходящие 20:
t1 = 16, t2 = 9, t3 = 5, t4 = 7,
t5 = 11, t6 = 13, t7 = 17, t8 = 19.
Попытаемся разложить на множители число m = 41779 = 41 * 1019. Выберем
b = 2. Последовательно вычисляем
2 ^ 16 (mod 41779) = 23757, gcd(23757 - 1, 41779) = 1,
70
23757 ^ 9 (mod 41779) = 7970, gcd(7970 - 1, 41779) = 1,
7970 ^ 5 (mod 41779) = 33580, gcd(33580 - 1, 41779) = 41.
Мы получили нетривиальный делитель на третьем шаге, поскольку
41 - 1 = 8 * 5 делит (t1 * t2 * t3) = 16 * 9 * 5.
Мощность алгоритма зависит от числа N --- чем больше оно, тем большие
числа можно разложить с помощью этого алгоритма. Работа алгоритма разбивается на 2 шага. Сначала мы генерируем все максимальные степени простых чисел, не превосходящие N. Этот шаг выполняется только один раз и не
зависит от входного числа m, поэтому сгенерированные степени можно, к
примеру, записать в файл и в дальнейшем использовать многократно. Затем
мы выбираем случайным образом число b и вычисляем указанную выше последовательность степеней b. Для каждой степени bi вычисляется НОД(bi - 1,
m). Алгоритм завершается успешно, если вычисленный НОД нетривиален.
Алгоритм можно убыстрить, если вычислять НОД не на каждом шаге, а, скажем, на каждом сотом шаге. При этом на промежуточных шагах последовательно вычисляется произведение
(b_i - 1) (b_{i+1} - 1) (b_{i+2} - 1) ... (b_{i+99} - 1) = n (mod m)
и затем вычисляется НО
Задача №26. Пусть p 11 , q 13 . С данными числами проиллюстрировать
схему RSA.
Решение. p 11 , q 13 , тогда n pq 143 . Значение функции Эйлера
(n) (11 13) 10 12 120 .
Выберем случайным образом число l 113 , тогда число d 17 обратно к
числу l 113 по модулю числа 120. Действительно,
113 17 1921 120 16 1, ld 1(mod n) .
Пара (143, 113) - открытый ключ, пара (143, 17) – секретный ключ.
Рассмотрим сообщение t 123 . Тогда сообщение t 123 кодируется
числом s 41, которое определяется сравнением
s t l 123113 41(mod 143) .
Расшифруем сообщение s 41 следующим образом:
t s d 4117 123(mod 143) .
Получим отправленное сообщение t 123 .
Тексты задач для самостоятельного решения.
п.1. Конечные цепные дроби.
1. Записать в виде конечной цепной дроби:
1.1. 1982 . 1.2. 1882 .
1651
1651
2. По данным цепным дробям найти их запись в виде обыкновенной дроби:
2.1. [211
2.2. [11
2.3. [2;5,3,2,1,31
; , ,31
, ,2] .
; ,2,3,4] .
, ,3].
71
2.4. [13
; ,2,4,30,11
, ,4]. 2.5. [1;2,4,1,2,4,1,2,4].
2.7. [a; a, a, a, a ].
2.8. [a; b, a, b, a, b].
3. Сократить дроби:
3.1. 3587 . 3.2. 3653 . 3.3. 11281 . 3.4. 11111 .
2743
3107
6581
2.6. [1;2,3,4,5].
7093
п.2. Сравнения.
1. Справедливы ли сравнения:
1.1. 15 3(mod 2) ? 1.2. 17 9(mod 5) ? 1.3. 123 17(mod 7) ?
1.4. 397 12(mod 51) ?
2. Записать пропущенные числа:
2.1. 23 (mod 3) . 2.2. 151 (mod 5) . 2.3. 15(mod 11) .
2.4. 25(mod 30) .
3. Определить:
3.1. Какие числа сравнимы по mod 1, mod(1) ?
3.2. Какие числа сравнимы по mod 0 ?
4. Пусть n Z, mN, n при делении на m имеет остаток r. Какое сравнение
справедливо для чисел m, r и n ?
5. Записать пропущенные числа, используя предыдущую задачу:
5.1. 123 (mod 18) . 5.2. 1999 (mod 19) . 5.3. 527 (mod 34) .
5.4. 11234 (mod 117) .
6. Пусть n Z, mN, r {0,1,, m 1} , n r(mod m) . Найдите остаток при
делении n на m.
7. Найти остатки при делении:
7.1. 1999 2001 2002 на 11.
7.2. 1999 2001 2002 на 13.
7.3. 1999 2001 2002 на 17.
7.4. 1999 2001 2002 на 19.
8. Найдите остаток при делении:
100
8.1. 1999
100
2000
243
405 1999
8.3. (17
245
9. Доказать, что:
)
5555
100
на 11.
8.2. 1999
на 11.
8.4. (17
243
2222
245
10
9.1. 7|( 2222
9.2. 100|(11
5555
).
10. На какую цифру оканчивается число:
777
177
191
11.2. 19
.
n
n
на 13.
405 1999
)
на 13.
1) .
3333
10.1. 777
?
10.2. 3333
11. Найти две последние цифры числа:
11.1. 17
100
2000
?
.
k
12. Если число 1 2 4 при некотором nN является простым, то n 3 ,
где kN 0 .
13. Доказать, что для любого простого p0 существует бесконечно много
n
nN таких, что p| 2 n .
14. Пусть a1,, a n Z . Верно ли что:
72
n
2
(a
14.1. a a 1|
2
14.2. a a 1|
r0
n
(a
2
2
r 0
3r
2
1) a r равносильно a a 1|
2
3r
1) ar равносильно a a 1|
n
( 1)
r 0
n
( 1)
r 0
r
r
ar ?
ar ?
п.3. Функция Эйлера.
n
1. Вычислить ( p ), ( p ) , если p - простое, nN.
2. Пользуясь определением функции Эйлера, вычислить
n {1,2,,10} .
3. Вычислить ( n ) , где n {1011
, ,,20} .
4. Доказать, что ( n )| n !для любого nN.
( n ) , где
п.4. Приведённая система вычетов. Мультипликативная группа классов
вычетов взаимно простых с модулем.
1. Пусть
a11 a1n
d a n1 a nn
определитель с целыми элементами.
1.1. 2|d тогда и только тогда, когда сумма некоторых строк определителя
состоит только из чётных чисел.
1.2. 2|d тогда и только тогда, когда сумма или разность некоторых строк
определителя состоит только из чисел делящихся на 3.
п.5. Теоремы Эйлера и Ферма.
1. Используя теорему Эйлера, найти остатки при делении:
1.1. 383
2000
на 45.
1.2. 439
291
1997
на 60.
1.3. 66
345
на 7.
1.4. 109
на 14.
2. Найти остатки при делении, с помощью теоремы Эйлера:
1999
2.1. 3
1999
7
1999
на 11.
1999
7
2.3. 3
на 7.
3. Доказать, что:
6n 2
3.1. 19|2
2
3.2. 132
|
79
1999
2.2. 3
1999
2.4. 5
1999
на 5.
1999
на 11.
5
7
3.
70
3 .
n!
4. Доказать, что n|2 1 для нечётных nN.
5. Найти, подбором, обратные к числам:
5.1. 1,2,3,4 (mod 5) .
5.2. 1,2,3,4,5,6 (mod 7) .
73
6. Вычислить обратные с помощью цепных дробей к числам:
6.1. 7(mod 19) . 6.2. 91(mod 222) . 6.3. 271(mod 119) .
6.4. 13(mod 153) . 6.5. 3(mod 5) .
6.6. 5(mod 7) .
6.7. 3(mod 13) .
100
7. Найти остаток от деления 1
100
2
100
1999
на 125.
p
8. Найти все простые числа p, что p|2 1 .
п.6. Порядок числа и класса вычетов.
1. Доказать, что:
а) 7|2222
5555
5555
123456789
б) 601| 25
2222
;
1.
2. На какую цифру оканчивается число 777
777
14
14
3. Найти две последние цифры числа 14
?
.
п.7. Сравнения первой степени.
1. Решить, подбором, следующие сравнения:
1.1. 3x 1(mod 5) . 1.2. 5x 6(mod 7) . 1.3. 5x 7(mod 10) .
1.4. 3x 8(mod 13) . 1.5. 4x 7(mod 16) .
2. Решить, способом Эйлера, следующие сравнения:
2.1. 23x 13(mod 17) . 2.2. 31x 26(mod 12) . 2.3. 7x 31(mod 12) .
2.4. 11x 13(mod 8) .
3. Решить, с помощью цепных дробей, следующие сравнения:
3.1. 7x 5(mod 19) .
3.2. 17x 11(mod 27) . 3.3. 35x 29(mod 117) .
3.4. 23x 665(mod 693) . 3.5. 143x 43(mod 221) .
3.6. 113x 78(mod 311) . 3.6. 221x 101(mod 360) .
4. Решить сравнения:
4.1. 15x 25(mod 35) .
4.2. 39x 87(mod 93) . 4.3. 16x 20(mod 36) .
4.4. 90x 20 0(mod 138) . 4.5. 375x 195(mod 501) .
4.6. 78x 45(mod 51) .
4.7. 114x 45(mod 87) .
5. Приписать справа к числу 34 такие две цифры, чтобы полученное четырёхзначное число делилось на 3 и 7.
6. Приписать справа к числу 523 такие три цифры, чтобы полученное шестизначное число делилось на 7, 8 и 9.
п.8. Решение сравнений высших степеней.
1. Решить сравнение, понизив его степень:
7
1.1. x 7 0(mod 5) .
8
7
5
4
1.2. x 2 x x x x 2 0(mod 5) .
4
2
1.3. 7 x 17 x 16 0(mod 3) .
74
1.4. 4 x
17
3
2 x 8 0(mod 5) .
17
6
2
1.5. 3x 2 x 2 x 13 0(mod 5) .
2. Следующие сравнения разложить на множители и решить:
3
2
4
2.1. x x 2 0(mod 5) .
3
2
2.2. x 4x 4x x 3 0(mod 5) .
4
2
2.3. x 10x 7 0(mod 11) .
2.4. x 2x 3 0(mod 5) .
3
2.5. 3x 4 0(mod 5) .
3. Пусть p- положительное простое число, k N. Доказать, что:
3.1. ( p 1)! 1 0(mod p) ;
3.2. ( p 2)! 1 0(mod p ) ;
3.3. 2( p 3)! 1 0(mod p) ;
3.4. k !( p k )! (1)
k 1
0(mod p) для всех p k .
п.9. Первообразные корни и индексы.
1. Найти порядки всех чисел взаимно простых с модулем 3,5,7.
2. Найти все первообразные корни по модулю 3,5,7.
3. Составить таблицы индексов и антииндексов по модулю 3,5,7.
4. Составить таблицы индексов и антииндексов:
4.1. первообразный корень 2 по модулю 29;
4.2. первообразный корень 5 по модулю 23.
5. Решить сравнения:
x
x
x
5.1. 2 11(mod 67) . 5.2. 13 15(mod 47) . 5.3. 16 13(mod 53) .
x
x
5.4. 53 37(mod 61) . 5.5. 13 17(mod 31) . 5.6. 13x 21(mod 17) .
5.7. 41x 85(mod 97) . 5.8. 126x 17(mod 79) .
6. Решить двучленные сравнения:
6.1. 41x
15
4
8
62(mod 73) . 6.2. 7x 3(mod 11) . 6.3. 5x 7(mod 13) .
3
6.2. 11x 19(mod 41) .
7. Решить сравнения:
5
6.3. 4x 6(mod 31) .
7.1. x
14
37(mod 41) .
7.2. x
45
17(mod 97) . 7.3. x
7.4. x
24
46(mod 73) .
7.5. x
16
23(mod 41) .
36
17(mod 67) .
п.10. Определение длины периода g- ичного разложения рациональной
дроби.
1. Вычислить порядок:
1.1. (5, mod 7) .
1.2. (5, mod 11) .
1.3. (8, mod 13) .
1.4. (12, mod 17) .
1.5. (13, mod 97) .
1.6. (37, mod 59) .
2. Определить длину периода при обращении данной дроби в g- ичную, где
g {2,3,4,510
, ,16}:
2.1. 1 .
19
2.2. 1 .
41
2.3.
1 .
5 719
2.4.
75
1 .
35 7
2.5.
1 .
5 79
п.11. Решение диофантовых уравнений 1- й степени с помощью теории сравнений.
1. Решить уравнения в целых числах:
1.1. 3x 4 y 15 .
1.2. 8x 13 y 65 .
1.3. 17x 9 y 29 .
1.4. 39x 22 y 20 .
1.5. 17x 25 y 123.
1.6. 24x 42 y 15 .
1.7. 48x 81y 66 .
2. Для перевозки зерна имеются мешки по 60 кг. и 80 кг. Сколько нужно тех
и других мешков для перевозки 460 кг. зерна ?
3. Сколько билетов по 30 коп. и по 50 коп. можно купить на 24 рубля 90 коп.
?
4. Прокладывается водопровод протяжением 115 м. Имеются трубы длиной 3
м. и 4,5 м. Сколько нужно поставить тех и других труб ?
5. Пусть a , b, c, d Z, (a, b) (c, d ) . Доказать, что число точек с целочисленными координатами, лежащими на отрезке с концами в точках (a, b) и (c, d ) ,
равно нод(a c, b d ) 1.
п.12. Признаки делимости.
1. Сформулировать признаки делимости и g - ичной системе счисления:
на 2,4,8 при g =8;
на 2,3,6 при g =6;
на 3,9 при g =9.
2. Найти наименьшее натуральное число вида 123x 43 y , которое делится на 3.
3. Найти все пятизначные числа вида 34x5 y , каждое из которых делится на
36.
4. Найти наименьшее трёхзначное число, которое делится на 2 и не делится 4.
5. Можно ли из цифр 1,2,3,4,5,6 составить шестизначное число (в десятичной
системе счисления), делящееся на 11?
РАЗДЕЛ 6. Изменения в рабочей программе, которые произошли после утверждения программы.
Характер изменений в программе
Номер и дата протокола
заседания кафедры, на
котором было принято
данное решение
Подпись заведующего кафедрой, утверждающего
внесенное изменение
76
Подпись декана факультета
(проректора по учебной работе), утверждающего данное
изменение
РАЗДЕЛ 7. Учебные занятия по дисциплине ведут:
Ф.И.О., ученое звание и степень преподавателя
Учебный год
Факультет
Специальность
Маренич А.С., кандидат физ.-мат. наук,
доцент
Богомолов Р.А., доцент
2008-2009
ПМПЭ
2010-2011
ФМОИП
Богомолов Р.А., доцент
2011-2012
ФМОИП
080116 Математические методы
в экономике
080116 Математические методы
в экономике
080116 Математические методы
в экономике
77
