Сидоров С.В.

УДК 677
НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ОСОБОЙ ТОЧКИ ТИПА РОТОР
Сидоров С. В.
Рассмотрены свойства особой (неподвижной) точки типа ротор в
двумерных
неавтономных
диссипативных
вещественных
системах
обыкновенных дифференциальных уравнений. Показано, что особая точка
типа ротор не имеет аналогов среди особых точек двумерных
автономных вещественных систем обыкновенных дифференциальных
уравнений.
Ключевые слова: нелинейные системы дифференциальных уравнений;
комплексные показатели Флоке; уравнение Матьё.
ВВЕДЕНИЕ
При изучении различных явлений и процессов все более широкое
применение находят нелинейные модели, в том числе и нелинейные
системы дифференциальных уравнений. Особенностью таких моделей
является наличие в большинстве случаев хаотической динамики. В работе [1]
было показано, что существование хаотической динамики в двумерных
неавтономных
нелинейных
диссипативных
вещественных
системах
обыкновенных дифференциальных уравнений связано исключительно с
особой неподвижной точкой типа ротор, которая не имеет аналогов среди
особых
точек
двумерных
автономных
систем
обыкновенных
дифференциальных уравнений. Название точки ротор отражает вращение
траекторий вокруг этой особой точки, однако механизм этого вращения
отличается от механизма вращения траекторий автономной системы вокруг
особых точек типа фокус или центр.
Открытие точки ротор позволило понять механизм появления хаоса и в
трехмерных
автономных
нелинейных
системах
обыкновенных
дифференциальных уравнений. В работах [13] было показано, что с точкой
ротор
связаны
так
называемые
сингулярные
предельные
циклы,
порождающие хаотические аттракторы в автономных диссипативных
системах
дифференциальных
уравнений.
Более
того,
исследование
механизма перехода к хаосу в многомерных системах дифференциальных
уравнениях, в дифференциальных уравнениях с запаздывающим аргументом
и
в
дифференциальных
уравнениях
с
частными
производными
параболического типа показало, что только сингулярные предельные циклы
порождают каскады бифуркаций, приводящие к появлению хаотических
аттракторов в этих уравнениях [4  6]. В связи с этим представляются
интересными свойства этой особой точки.
ОСОБАЯ ТОЧКА ТИПА РОТОР
Рассмотрим
двумерную
линейную
неавтономную
вещественную
систему дифференциальных уравнений
x  A(t ) x,
x  R2 ,
(1)
с непрерывной периодической матрицей A(t  T )  A(t ), T  0 .
Согласно теории Флоке для линейной системы (1) с Т-периодической
матрицей нормированная при T = 0 фундаментальная матрица решений имеет
вид
X (t )  P(t )e Bt ,
где P(t)  С1  Т-периодическая неособенная матрица такая, что Р(0) = Е, Е 
единичная матрица, В  постоянная матрица, собственные значения которой
называются показателями Флоке. Отметим, что матрицы P(t) и В в общем
случае являются комплексными. Магницкий [1] впервые обратил внимание
на то, что матрица В в вещественной системе дифференциальных уравнений
может иметь комплексные, но не комплексно сопряженные собственные
значения 1 = 1 + i0 и 2 = 2 + i0, где i  мнимая единица.
О п р е д е л е н и е. Особая точка двумерной неавтономной
вещественной
системы
(1),
имеющей
Т-периодическую
матрицу
и
комплексные показатели Флоке с одинаковыми мнимыми и различными
вещественными частями, называется ротором.
Найдём канонический вид двумерной вещественной неавтономной
системы обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими
коэффициентами, неподвижная точка которой является ротором. Рассмотрим
линейную двумерную вещественную неавтономную систему
x1  (a11  b11 cos t  c11 sin t ) x1  (a12  b12 cos t  c12 sin t ) x 2 ,
x 2  (a 21  b21 cos t  c 21 sin t ) x1  (a 22  b22 cos t  c 22 sin t ) x 2 ,
с нулевой особой точкой, удовлетворяющей определению ротора, в которой
T = 2/-периодические коэффициенты представлены тригонометрическими
полиномами с постоянными aij, bij, cij, i,j = 1,2. Сделаем замену переменных
 cos  0 t  sin  0 t 
 u(t )
x(t )  R(t ) u(t )  
sin

t
cos

t
0
0 

(2)
и найдем такое значение 0 в ортогональном преобразовании R(t), чтобы
u (t )  B u (t ) , где постоянная вещественная матрица
B имеет вид
B  diag(  1 ,  2 ) .
Очевидно, что
(3)
B
 a  b cos t  c11 sin t a12  b12 cos t  c12 sin t 

 R(t )  R (t ) .
 R(t )  11 11
 a 21  b21 cos t  c21 sin t a 22  b22 cos t  c22 sin t 

Определим значения постоянных aij,
элементах
bij,
c ij,
i,j = 1,2, и 0
bij
b11  a11 cos 2  0 t  a22 sin 2  0 t  (b11 cos 2  0 t  b22 sin 2  0 t ) cos t 
 (c11 cos 2  0 t  c22 sin 2  0 t ) sin t 
sin 2 0 t
a12  a21  (b12  b21 ) cos t  (a12  a21 ) sin t ,
2
b12  a12 cos 2  0 t  a 21 sin 2  0 t   0  (b12 cos 2  0 t  b21 sin 2  0 t ) cos t 
 (c12 cos 2  0 t  c 21 sin 2  0 t ) sin t 
sin 2 0 t
a22  a11  (b22  b11 ) cos t  (с22  с11 ) sin t ,
2
в
b21  a12 cos 2  0 t  a 21 sin 2  0 t   0  (b12 cos 2  0 t  b21 sin 2  0 t ) cos t 
 (c12 cos 2  0 t  c 21 sin 2  0 t ) sin t 
sin 2 0 t
a22  a11  (b22  b11 ) cos t  (с22  с11 ) sin t ,
2
b22  a11 cos 2  0 t  a22 sin 2  0 t  (b11 cos 2  0 t  b22 sin 2  0 t ) cos t 
 (c11 cos 2  0 t  c22 sin 2  0 t ) sin t 
sin 2 0 t
a12  a21  (b12  b21 ) cos t  (a12  a21 ) sin t ,
2
матрицы
B таким образом, чтобы эта матрица имела вид (3). Достаточно
очевидными являются следующие соотношения: a11 = a22, b11 =  b22, c11 = 
c22, a12 = a21, b12 = b21, c12 =  c21. При этих условиях
 a11  b11 cos( 2 0   )t
B  
 b21 sin( 2 0   )t  a12   0
 b21 sin( 2 0   )t  a12   0 
.
a11  b11 cos( 2 0   )t

Из последнего выражения следует, что матрица
положить a12 =  0 = /2. Обозначим
B будет иметь вид (3), если
a11 = a,
b11 = b
и получим
окончательный вид системы
x1  (a  b cos t ) x1  (b sin t   / 2) x2
x 2  (b sin t   / 2) x1  (a  b cos t ) x2
(4)
с особой точкой типа ротор. При этом вещественные части показателей
Флоке равны 1 = a + b , 2 = a  b, а мнимая часть 0 =  /2. Подставляя эти
значения в (4), получим систему

    2 1   2

 2
x1   1

cos t  x1   1
sin t   x 2 ,
2
2
2


 2

 2
    2 1   2

x 2   1
sin t   x1   1

cos t  x 2 ,
2
2
2
 2


(5)
которую в силу произвольности величин 1 и 2 можно считать канонической
формой особой точки типа ротор. Мультипликаторы ротора, т.е.
соответствующие
показателям
Флоке
вещественные мультипликаторы
системы (5) равны


 j  exp   i  i 0 

2 
i  2
  exp   i  
 
2 

 2 j

 2 j
 exp 
 i    exp 
 

 
Покажем,
что

,


неавтономная

 

j  1,2.
двумерная
система
обыкновенных
дифференциальных уравнений (1) c T-периодической матрицей в особой
точке типа ротор может иметь периодические решения с периодом,
отличным от T. Пусть система (1) имеет различные комплексные, но не
комплексно сопряженные показатели Флоке 1 = 1 + i0 и 2 = 2 + i0, в
которых мнимая часть одинаковая, а вещественные части различны. Для
матрицы B существует невырожденное преобразование Q такое, что B = Q-
Q, где  = diag(1, 2). Поэтому
1
X (t )  P(t )e
Q 1Qt
 e (1 i 0 )t
 P(t )Q e Q  P(t )Q 
 0
1 t
 e i 0t P(t )Q 1diag(e 1t , e 2t )Q  S (t )e B t ,
1

Q 
e ( 2 i 0 ) t 
0
где
B  постоянная вещественная матрица, S(t)  периодическая матрица,
период которой есть наименьшее общее кратное периода T матрицы P(t) и
периода T0 = 2/0, определяемого мнимой частью показателей Флоке. Таким
образом, если показатели Флоке матрицы B имеют одинаковые мнимые и
различные вещественные части, то в неавтономной системе с
T-
периодической матрицей A(t) существуют периодические решения с
периодом, отличным от T, в частности с периодом, кратным периоду T
матрицы A(t). Например, период решений системы (5) равен наименьшему
общему кратному периода T  периода коэффициентов системы (1), и
периода T0 =2/0 = 2T, то есть период решений равен 2T = 4/ .
Действительно, нетрудно проверить, что система (5) имеет следующее
общее решение
x1 (t )  C1e1t cos
t
 C 2 e 2t sin
t
,
2
2
t
t
x2 (t )  C1e1t sin
 C 2 e 2t cos .
2
2
Так как заменой переменных (2) система (1) сводится к системе с
постоянной диагональной матрицей
B , то согласно теореме Ляпунова об
устойчивости по первому приближению ротор устойчив (асимптотически
устойчив), если вещественные части показателей Флоке линейной системы
(1) отрицательны. В противном случае, когда одна из вещественных частей
положительна, ротор неустойчив и имеет одномерное устойчивое и
одномерное неустойчивое многообразия. В случае устойчивости ротора его
мультипликаторы, очевидно, лежат на отрицательной части вещественной
оси внутри единичного круга.
Таким образом, особая точка типа ротор в неавтономной системе
дифференциальных уравнений в отличие от особой точки типа фокус может
иметь следующие многообразия: при 1 > 0, 2 > 0  двумерное неустойчивое
многообразие; при 1 < 0, 2 > 0  одномерное неустойчивое и одномерное
устойчивое многообразия;
при 1 < 0, 2 < 0  двумерное устойчивое
многообразие. В связи с этим интересно отметить, что фазовые портреты
двумерной неавтономной системы (5) с особой точкой ротор существенно
зависят от начальных условий. Рассмотрим частные решения системы (5) при
начальных условиях x1(0) = x10 , x2(0) = x20
t
t
 x20 e t sin ,
2
2

t

t
x2 (t )  x10 e t sin
 x20 e t cos .
2
2
x1 (t )  x10 e1t cos
2
1
(6)
2
Рис. 1. Решения системы (4) в случаях: а) 1 < 0, 2 > 0 и x20  0;
б) 1 < 0, 2 > 0 и x20 = 0; в) 1 < 0, 2 = 0 и x20  0.
Из (6) следует, что при t  в случае одномерного устойчивого и
одномерного неустойчивого многообразий (1 < 0, 2 > 0) вид частных
решений определяется начальным условием x20: если x20  0, то решение
неустойчиво (рисунок 1а), а если
x20 = 0, то решение асимптотически
стремится к особой точке (рисунок 1б). В вырожденном случае при 1 < 0, 2
= 0 асимптотическое решение системы (4) при t  имеет вид
x1 (t )   x 20 sin
t
2
,
x 2 (t )  x 20 cos
t
2
и также зависит только от одного начального условия x20 (рисунок 1в),
причем решение является устойчивым, но не асимптотически устойчивым.
Приведенные свойства особой точки ротор дают ключ к пониманию
механизма появления хаотической динамики в нелинейных двумерных
неавтономных системах дифференциальных уравнений
x  A(t ,  ) x  F ( x, t ,  ), F (0, t ,  )  0,
(7)
где A(t,)  T-периодическая матрица, F(x,t,)  нелинейная часть. С
изменением параметра  изменяются и показатели Флоке 1() = 1() +
i0() и 2() = 2() + i0() системы (7). Пусть при значениях параметра 
< 0 вещественные части показателей Флоке отрицательны и, следовательно,
ротор асимптотически устойчив. При этом его мультипликаторы лежат на
отрицательной вещественной части оси комплексной плоскости внутри
единичного круга. Без ограничения общности положим, что при значении  =
0 ротор системы (7) теряет устойчивость в результате бифуркации, связанной
с пересечением одним из его показателей Флоке мнимой оси слева на право,
что равносильно пересечению единичной окружности в точке  1 одним из
мультипликаторов. При значениях  > 0 ротор является неустойчивым,
однако в силу диссипативности системы траектория в фазовом пространстве
не может выйти за пределы шара некоторого радиуса. Периодические
решения системы при этом имеют период, равный наименьшему общему
кратному периода Т матрицы А и периода Т0 = 2/0(), определяемого
мнимой частью показателей Флоке. Таким образом, неподвижная особая
точка
ротор
в
нелинейной
двумерной
неавтономной
системе
дифференциальных уравнений обеспечивает существование периодических
решений с периодом, кратным периоду Т матрицы линеаризации системы
(7). Более подробно и строго динамика появления хаотических аттракторов в
нелинейных диссипативных системах изложена в работах [1, 3, 5], а здесь мы
ограничимся рассмотрением примера системы с особой неподвижной точкой
ротор.
ПРИМЕР.
Типичным примером такой системы является хорошо известное
обобщенное уравнение Матьё.
x  x  (   cos t ) x  x 3  0 ,
(8)
которое можно представить в виде двумерной системы с периодическими
коэффициентами, период которых Т = 2/
x  y,
(9)
y  (   cos t ) x  y  x 3 .
Система (9) диссипативна при значениях параметра  > 0. В теории
колебаний исследованы решения уравнения (8) при малых значениях
параметров ,  , 
и показано, что наличие нелинейности приводит к
ограничению амплитуды колебаний, а вязкое трение стабилизирует систему в
том смысле, что при увеличении параметра  увеличивается область
пространства параметров, где положение равновесия асимптотически
устойчиво, и уменьшается область, в которой существует колебательный
режим [7].
Рассмотрим
решения
системы
(9),
полученные
численно
при
фиксированных значениях параметров  = 5,  = 14,  = 2,  = 1. В этом
случае система (9) имеет асимптотически устойчивое нулевое решение при
значениях параметра  > 2.46. При величине   2.46 в системе (9) рождается
устойчивый сингулярный цикл с частотой, равной
/2, имеющий,
следовательно, период 2Т (рисунок 2а).Существование такого решения
свидетельствует о том, что неподвижная точка О(0,0) системы (9) является
ротором. Этот цикл порождает каскад бифуркаций удвоения периода. В
частности, в области значений параметра   [1.1425, 1.3375] в системе
существует устойчивый цикл удвоенного периода (рисунок 2б), при  =
1.130  цикл учетверенного периода, при  = 1.1184 период цикла равен 8T,
а при значении  = 1.1156  16T и т.д. Каскад бифуркаций удвоения периода
завершается образованием хаотического аттрактора Фейгенбаума [2] при
значении параметра   1.140 (рисунок 2в).
Рис. 2. Сингулярный цикл (а) при  = 2, цикл удвоенного периода (б) при
 =1.2, аттрактор Фейгенбаума (в) при  = 1.140, цикл периода 3 при  =
1.0588 и полный субгармонический аттрактор при  = 1.050 в обобщенной
системе Матьё (9).
При дальнейшем уменьшении коэффициента трения в системе (9)
обнаружены устойчивые циклы, периоды которых определяются согласно
порядку Шарковского [8]. Например, при значении  = 1.08395 в системе
имеется устойчивый цикл с периодом 9T, при  = 1.08005  цикл с периодом
7T, при
 = 1.067  устойчивый цикл с периодом 5T. Существование
устойчивого цикла с периодом 3T при значении параметра  = 1.0588 (рис.
2, г) свидетельствует о полном субгармоническом каскаде бифуркаций
рождения устойчивых циклов, имеющих периоды в соответствии с порядком
Шарковского. Отметим, что цикл периода 3T также порождает полный
субгармонический каскад бифуркаций, о чем свидетельствует существование
циклов удвоенного периода при значении параметра  =1.055 и циклов
утроенного периода этого цикла при  = 1.051. При значении   1.050
система (9) имеет субгармонический нерегулярный аттрактор (рисунок 2д).
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Установлено, что особая точка типа ротор не имеет аналогов среди
особых точек двумерных автономных вещественных систем обыкновенных
дифференциальных уравнений. Рассмотрены и проиллюстрированы на
примере свойства особой неподвижной точки типа ротор в двумерных
неавтономных
диссипативных
вещественных
системах
обыкновенных
дифференциальных уравнений.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.
Магницкий
Н.
А.
О
природе
хаотических
аттракторов
нелинейных диссипативных систем обыкновенных дифференциальных
уравнений. // Нелинейная динамика и управление. Вып. 4: Под ред.
Емельянова С. В., Коровина С. К. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.
2.
Магницкий Н. А., Сидоров С. В. Новый взгляд на аттрактор
Лоренца// Дифференциальные уравнения, т. 37, 2001, № 11,
3.
Магницкий Н. А., Сидоров С. В. Особые точки типа ротор
неавтономных
систем
дифференциальных
уравнений
и
их
роль
в
образовании сингулярных аттракторов нелинейных автономных систем. //
Дифференциальные уравнения, т. 40, 2004, № 11,
4.
Сидоров С. В. Исследование диффузионного хаоса. // Сб. Новое в
науке и производстве текстильной и легкой промышленности. Вып. 2. М.:
РосЗИТЛП, 2005.
5.
Сидоров С. В. Универсальность перехода к хаосу в динамических
диссипативных системах дифференциальных уравнений. // Динамика
неоднородных систем. Вып.9. М.: КомКнига, 2005.
6.
Магницкий Н. А., Сидоров С. В. О переходе к диффузионному
хаосу через субгармонический каскад бифуркаций двумерных торов:
численное исследование. // Дифференциальные уравнения. Том 4. 2005, №
11.
7.
Горяченко В. Д. Элементы теории колебаний: Уч. пособие для
вузов. 2-е изд., перераб и доп. М.: Высшая школа 2001.
8.
Шарковский А. Н. Сосуществование циклов непрерывного
преобразования прямой в себя. // Укр. мат. журн., 1964, № 1.
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ
Российский заочный институт текстильной и лёгкой промышленности.
Москва, Россия.